2025年中考数学分类复习：直角三角形及应用（解析版）

4<12解直含三龟形及盛用

■

5年考情•探规律

考点五年考情（2020-2024）命题趋势

考点1特殊角

2023•深圳卷：30。余弦值、坡角问题

三角形函数应

2023•广州卷：30°正切值、方位角问题

用

考点2用三角2021•深圳卷:三角形的外角、等腰三角形的性质、

函数值表示线解直角三角形

段长2020•深圳卷：直角三角形的应用-方向角问题

2021•广州卷：角的三角形函数值，掌握三角形函在中考几何题中，经常会涉及到线

数的概念并利用勾股定理及旋转的性质求段长度的有关计算，我们的处理方

考点3三角函

2020•深圳卷：相似三角形、三角函数定义、勾股法一般是利用勾股定理、相似性质

数在几何计算

定理及三角函数关系解直角三角形，近

中的应用

2021•广东卷：线段垂直平分线的性质、三角函数年中考偏向于解决实际问题：仰角

的定义、勾股定理俯角问题、方位角问题、坡度坡比

2024,广东卷：矩形的性质、解直角三角形的实际问题及其他类型。

应用

考点4解直角2024,广州卷：解直角三角形的应用一仰俯角问题

三角形的实际2023•广东卷：等腰三角的性质、解直角三角形的

应用应用

2022•广州卷:相似三角形的性质、解直角三角形、

近似运算

5年真题•分点精准练

考点1特殊角三角形函数应用

1.（2023•广东深圳・中考真题）爬坡时坡角与水平面夹角为a,则每爬1m耗能（LO25-cos0J,若某人爬了

1000m,该坡角为30。，则他耗能（参考数据：6^1.732,72®1,414）（）

C.1025JD.1732J

【答案】B

【分析】根据特殊角三角函数值计算求解.

【详解】1000(1.025-cosa)=l000(1.025-cos30°)=1025-50073»1025-500x1.732=159

故选：B.

【点睛】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解题的关键.

2.(2023•广东广州,中考真题)如图，海中有一小岛A,在B点测得小岛A在北偏东30。方向上，渔船从8

点出发由西向东航行10nmile到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离

为()nmile

I.B.C.20D.1073

33

【答案】D

【解析】

【分析】连接AC,此题易得NB4c=30。，BC^10^再利用三角函数定义计算AC即可•

【详解】解：连接AC,

由已知得：ZACB=90°,CB=10

NR4c=30°

在RtZXABC中,BC(nmile),

AC==10A/3

tan30°

故选：D

考点2用三角函数值表示线段长

3.（2021•广东深圳•中考真题）如图，在点尸处，看建筑物顶端。的仰角为32。，向前走了15米到达点E即

E/=15米，在点E处看点。的仰角为64。，则C。的长用三角函数表示为（）

A.15sin32°B.15tan64°C.15sin64°D.15tan32°

【答案】C

【分析】首先根据题目条件，利用外角的性质，得出回。匹是等腰三角形，在R/SDEC中，利用SDEC的正

弦即可表示出C。的长度.

【详解】0fflF=32°,EIDEC=64°,

^\DEF=1DEC?F32?,

^\DE=EF=15,

由题可知，团OCE为直角三角形，

CD

在Rt^\DEC中，sin?DEC-----

DE

CD

即：sin64?—,

15

团CD=15咨in64?,

故选：C

【点睛】本题考查三角形的外角，等腰三角形的性质，解直角三角形的运算，解题关键是利用三角形的外

角得出等腰三角形.

4.（2020・广东深圳•中考真题）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的尸、。两

点分别测定对岸一棵树丁的位置，T在尸的正北方向，且丁在。的北偏西70。方向，则河宽（尸丁的长）可

以表示为（）

一一►东

200w。山200w

A.200tan70°o米U/B.----------米C.200sin70°米D.----------米

tan70°sin70°

【答案】B

【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及即QT的度数，进而得至腼PTQ的度数，根据三角函数即

可求得PT的长.

【详解】解：在Rt回PQT中，

团团QPT=90°,[?]PQT=90o-70o=20o,

回团PTQ=70°,

团tan70°

PT

PQ200

BPT=

tan70°-tan70°

200米

即河宽

tan70°

故选：B.

【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键.

考点3三角函数在几何计算中的应用

5.（2021•广东广州•中考真题）如图，在RMABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,将VA3C绕点A逆时针

旋转得到AAEC,使点C'落在AB边上，连结班'，贝Usin/M'C'的值为（）

A.-B.-C.@D.坟

5555

【答案】C

【分析】由勾股定理求出AB=10,并利用旋转性质得出AC'=AC=6,B'C=BC=8,ZAC'B'=ZC=90°,

则可求得BC'=4,再根据勾股定理求出BE=4百，最后由三角形函数的定义即可求得结果.

【详解】解：在R/AABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,

由勾股定理得：AB=7AC2+BC2=762+82=10-

团VABC绕点A逆时针旋转得到^AB'C,

I3AC'=AC=6,B'C=BC=8,ZAC'3'=/C=90°.

=AB-AC=10-6=4.

El在RtABB'C中，由勾股定理得BB'=JBC"+B'C'2=A/42+82=46•

回sin/即=器BC=志邛.

故选：C.

【点睛】本题考查了求角的三角形函数值，掌握三角形函数的概念并利用勾股定理及旋转的性质求解是解

题的关键.

6.（2020•广东深圳•中考真题）如图，已知四边形ABC。，AC与3。相交于点。，SABC^DAC=90°,

tanZACB=-,—=~,则°AABD

2OD3Q4CBD

B

3

【答案】

【分析】过B点作BE〃AD交AC于点E,证明△ADOSASB。，得到A。=3OE,再证明NABE=ZACB,利用

BFAF1

tanZACB=冬=tanZABE=若=：,设。£=〃,利用三角形的面积公式可得答案.

CEBE2

【详解】解：过B点作BE//AD交AC于点E,ADAC=90°,

BE0AD,

..^ADO^^EBO,

AODO

团---=---,

EOBO

BO_4

.OD~3

AODO3

0..----——,

EOBO4

3

...AO=-OE,

4

由tanZACB=；,

.BE_1

,,一，

CE2

CE=2BE,

VZABC=90°,BE±AC,

/ABE+ZCBE=90°=ZCBE+ZACB,

:.ZABE=NACB,

Ap1

?.tanZACB=tan/ABE==—,

BE2

:.BE=2AE,

:.CE=2BE=4AE,

「_°AOAB丁0AD

一一飞一百一

□△CBD"OCB丁U©CD

^AO»AD+^AO»BE_AO[AD+BE)_AO

-OC»AD+-OC»BEOC(AD+BE)oc

22

3

设。E=。，则AO=—a,

4

7

/.AE=AO+OE=-a,CE=la,OC=OE+CE=Sa.

4

3

SGBD=加二心二3

S^CBD℃8”32

3

故答案为：—

7.(2021•广东•中考真题)如图，在放A4BC中，NA=90。，作BC的垂直平分线交AC于点，延长AC至

点、E,使CE=AB.

(1)若A石=1,求的周长；

(2)若=求tan/ABC的值.

【答案】(1)1;(2)&

【分析】⑴作出BC的垂直平分线，连接8。,由垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等得到。庆。C,

由此即可求出EL48。的周长；

(2)设AD=x,BD=3x,进而求出AC=AT>+CD=4x,在Rt团ABD中使用勾股定理求得AB=20x，由此

即可求出tan/ABC的值.

【详解】解：(1)如图，连接80,设2C垂直平分线交BC于点E

回。厂为8C垂直平分线，

SBD=CD,

C=AB+AD+BD

AADRLn)

=AB+AD+DC=AB+AC

团AB=CE,

团CABD=AC+CE=AE=1.

(2)设AD=x,0BD=3x,

又团BD=CD，团AC=AD+CD=4x，

在RVABD中，AB=yjBD2-AD2=7(3x)2-x2=242x.

\r

团tan/ABC=——

AB2v2x

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角函数的定义及勾股定理等知识，熟练掌握垂直平分线上

的点到线段的两个端点距离相等是解决本题的关键.

考点4解直角三角形的实际应用

8.(2024・广东•中考真题)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新

能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形尸QMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中

一个停车位.经测量，ZA3Q=60。，AB=5Am,CE=l.6m,GHLCD,是另一个车位的宽，所有

车位的长宽相同，按图示并列划定.

根据以上信息回答下列问题：(结果精确到0.1m,参考数据631.73)

⑴求PQ的长；

(2)该充电站有20个停车位，求PN的长.

【答案】⑴66m

(2)66.7m

【分析】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形的实际应用：

(1)先由矩形的性质得到NQ=NP=90。，再解RSAB。得到AQ=得1m,接着解直角三角形得到

BC二处m,进而求出=据此可得答案；

55

(2)解RUBCE得到3E=3.2m,解RMAB。得到3Q=2.7m,再根据有20个停车位计算出叫的长即可

得到答案.

【详解】(1)解：回四边形尸QMN是矩形，

0NQ=NP=90°,

在RMABQ中，ZABQ=60°,AB=5.4m,

^AQ=AB-sinZABQ=^^m,^QAB=30°,

团四边形ABC。是矩形,

^AD=BC,ZBAD=ZBCD=ZABC=ZBCE=90°,

回/CB石=30。，

3—CE一工,

tanNCBE5

回®%;

回ZPAD=180°-30°-90°=60°,

^\AP=ADcosZPAD=^m,

5

SPQ=AP+AQ=^^^6.lm

在Rt^ABQ中，BQ=ABcos^ABQ=2.7m,

回该充电站有20个停车位，

SQM=QB+20BE=66.7m,

团四边形A3C£＞是矩形，

SPN=QM=66.1m.

9.（2024•广东广州•中考真题）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体“）

成功着陆在月球背面.某校综合实践小组制作了一个"着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模

拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到3点，再垂直下降到着陆点C,从3点测得地面。点的俯角为

36.87°,AD=17米，比＞=10米.

A

⑴求CD的长；

(2)若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到8点,求模拟装置从A点下降到8点的时间.(参考数据:

sin36.87°70.60,cos36.87°®0.80,tan36.87°«0.75)

【答案】⑴。的长约为8米；

(2)模拟装置从A点下降到B点、的时间为4.5秒.

【分析】本题考查了解直角三角形的应用一一仰俯角问题，灵活运用锐角三角函数求边长是解题关键.

(1)过点8作交AD于点E,根据余弦值求出的长即可；

(2)先由勾股定理，求出AC的长，再利用正弦值求出2C的长，进而得到AB的长，然后除以速度，即可

求出下降时间.

【详解】(1)解：如图，过点8作跳〃8交AD于点E,

由题意可知，ZDBE=36.87°,

.-.ZBDC=36.87°,

在△BCD中，ZC=90°,或>=10米，

CD

cosZBDC=—,

BD

CD=B£>-cos36.87°210x0.80土8米，

即CD的长约为8米；

(2)解：QAD=17米，CD=8米,

AC=siAD2-CD2=15米，

在△BCD中，ZC=90°,瓦＞=10米,

sin/BDC=----,

BD

:.BC=BD-sin36.87°~10x0.6026米，

AB=AC-BC=15-6=9^:,

1/模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，

，模拟装置从A点下降到B点的时间为9+2=4.5秒，

即模拟装置从A点下降到8点的时间为4.5秒.

10.（2023•广东•中考真题）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进

驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂AC=3C=10m,两臂夹

角/ACB=100。时，求A,8两点间的距离.（结果精确到0.1m,参考数据$11150。。0.766,cos50°«0.643,

tan50°~1.192）

A

【答案】15.3m

【分析】连接48,作作由等腰三角形"三线合一"性质可知，AB=2AD,

147）

ZACD=-ZACB=5Q°,在RtAACZ）中利用sinNACO=——求出AD,继而求出43即可.

2AC

【详解】解：连接A3,作CDLAB于，

团C。是边AB边上的中线，也是4cB的角平分线，

^AB=2AD,ZACD=-ZACB=50°,

2

AT）

在Rt^ACD中，AC=10m,ZACD=50°,smZACD=——

AC

0sin5O0=—,

10

回AD=lOsin50°a10x0.766=7.66

0AB=2ADx2x7.66=15.32»15,3（m）

答：A,8两点间的距离为15.3m.

【点睛】本题考查等腰三角的性质，解直角三角形的应用等知识，掌握等腰三角形的性质是解题的关键.

11.(2022•广东广州•中考真题)某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度.如图,

在某一时刻,旗杆的AB的影子为BC,与此同时在C处立一根标杆CD,标杆CD的影子为CE,CD=1.6m,

BC=5CD.

⑴求8c的长；

⑵从条件①、条件②这两个条件中选择1个作为已知，

求旗杆的高度.

条件①：CE=1.0/77；条件②：从。处看旗杆顶部A的仰角a为54.46。.

注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分.参考数据：sin54.46°=0.81,cos54.46°=0.58,

tan54.46°=1.40.

【答案】(l)3C=8.0m；

⑵①AB=12.8m；②旗杆43高度约12.8m.

【分析】(1)根据BC=5CD,求解即可；

(2)①CE=1.0m时，连接£>£,则有HDECBaACB,根据相似的性质求解即可；②当。=54.46。时，作点。

到A5的垂线段。死在尸中，——=tana,求出AF=O广式曲。\8.0><1.40=11.20%，进一步可求出

DF

AB=AF+FB=11.20m+1.6m~12.8m.

【详解】(1)解：BC=5CD=5xl.6m=8.0m.

(2)解：①CE=1.0m时，连接。E,则有EIDECEHACB,

DCAB

团-------，

CEBC

—DGBC1.6x8.0

回A3=----------=-----------=12.8m,

CE1.0

②当a=54.46。时，作点。到AB的垂线段。尸,

FD=BC=8.0rr\f

AF

Rt^ADF中，-----=tan6/,

DF

[?]AF=OF-tan8.0x1.40=11.20m.

[?lAB=AF+FB-11.20m+1.6m-12.8m.

团旗杆AB高度约12.8m.

【点睛】本题考查相似三角形的性质，解直角三角形，近似运算.解题的关键是掌握相似三角形的性质,

解直角三角形.

1年模拟•精选模考题

12.（2024•广东佛山•三模）如图，网格中的点&、夙C、。都在小正方形顶点上，连接AB、CD交于点P,

则一的正切值是（）

【答案】A

【分析】本题考查了正切函数，勾股定理，正方形的性质等，连接BE、AE,ZBDC=ZDBE

=/BED=ZAED=45。,由平行线的性质得NBPC=WE,由勾股定理求出AE、8E的长，由正切函数求

出tanNABE的值；掌握正切函数的定义，作出辅助线使得=构建直角三角形求解是解题的关

键.

由正方形的性质得:

ZBDC=NDBE=/BED=ZAED=45°,

：.BE//CD,ZAEB=90°,

:.ZBPC=ZABE,

AE=yJ^+22=2A/2，

BE=>/l2+l2=V2，

：MABE嚏咛=2,

tanZ.BPC=2；

故选：A.

13.（2024•广东深圳•三模）无人机在实际生活中的应用越来越广泛.如图所示，某人利用无人机测量某大楼

的高度BC,无人机在空中点P处，测得地面点A处的俯角为60。，且点尸到点A的距离为80米，同时测得

楼顶点C处的俯角为30。.己知点A与大楼的距曷为70米（点A,B,C,P在同一平面内），则大楼的

高度BC为（）

A.51米B.29百米C.30石米D.（406-10）米

【答案】C

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过尸作尸尸，AB,延长BC交DP的延长线于E,由三角函数得

PFPAsinZPAF,AFPA-cosZPAF,CE=PE-tan/CPE,即可求解；掌握解直角三角形的解法是解

题的关键.

【详解】解：如图，过尸作尸尸J_AB,延长BC交。P的延长线于E,

尸

。

一

一

一

7£

口

口

口

口

口:.ZAPD=60°,

口

口

口

4口

BI

F

ZCPE=30°,

PA=80,

四边形PR即是矩形,

:.BE=PF,

PE=BF,

DE//AB,

:.APAF=Gd°,

ZPEC=90°,

PFPA-sinZPAF

=80x3

2

=406，

AF=PA-cosZPAF

=80x-

2

=40,

,\PE=BF

=AB-AF

=70—40

=30,

:.CE=PE•tan/CPE

an上

=30x——

3

=10石，

:.BC=BE-CE

=40^-10A/3

=30-\/3（米）,

故选：C.

14.（2024•广东佛山,三模）下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容：设树顶到地面的高度。C=x米,

根据以上条件，可以列出求树高的方程为（）

题目测量树顶到地面的距离

DD

测量目标示意图

.______._

ABCABc

相关数据AB=30米，Na=28°,N£=45°

A.x=(x-30)tan28°B.x=(30+x)tan280

C.%+30=xtan28°D.x-30=xtan28°

【答案】B

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，先表示出8。=1C下D=x,AC=」C一D二^x,再根据AB=30

tan尸tan尸tanatana

即可列等式，问题随之得解.

CD

【详解】在RtZ\3CD中，tanp=tanZCBD=——,

在RtAACZ)中，tanor=tanACAD=----,

CDx

即AC=

tanatana

团AB=30米，Za=28°,N£=45°,

QAB=AC-BC=-.....—=-----------=30,

tanatan13tan28°tan45°

即：x-tan28°x=30tan28°,

贝U有：x=（30+x）tan28°,

故选：B.

15.（2024・广东河源•二模）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的"赵爽弦图"如图所示，它是由

四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形面积为136,小正方形面积为

16,则tan。的值为（）

【答案】A

【分析】本题考查正方形性质，锐角三角函数，勾股定理.根据题意先求得大正方形边长的平方为136,再

求得小正方形边长为4,再利用三角函数正切值等于该角的对边与邻边的比值即可得到本题答案.

【详解】解：回大正方形面积为136,小正方形面积为16,

回大正方形边长的平方为136,小正方形边长为4,

回设一个直角三角形短直角边为X,则长直角边为x+4,

团在一个直角三角形中应用勾股定理：尤2+（*+4）2="6,

解得%=6或x=—10（舍去）

团长直角长为10,短直角边长为6,

…八105

0tan0=——=—,

63

故选：A.

16.（2024•广东深圳•三模）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是16米的旗杆ED,从办公楼顶端A测

得旗杆顶端后的俯角。是45。，旗杆底端。到大楼前梯坎底边的距离。。是20米，梯坎坡长5c是12米，梯

坎坡度i=l：g,则大楼A3的高度约为（）（精确到01米，参考数据：应“41，V3-1.73,46~2.45）

\E

A.39.4B.40.4C.39.7D.37.9

【答案】B

【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，仰角俯角问题，过点E作初于则

ZAME=90°,ZAEM=Nct=45。,MN=ED=16米,AM=EM=DN,由梯坎坡度7=1：6可得/83=30。，

解直角三角形可得BN=BCsin30。=6米，CV=3CCOS30OQ：10.4米，进而得MB=10米，DN=3Q4米，即

得40=30.4米，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键.

【详解】解：过点E作曰于则ZAME=90。，ZAEM=Za=45°,MN=ED=16米,

SAM=EM=DN,

在Rt^BOV中，回梯坎坡度，=1：出，

StanZBCN=4==—>

石3

0ZfiGV=3O°,

E!8N=BCsin30°=12x：=6米，CN=BCcos30°=12x且=6A/5210.4米，

22

团加8=16-6=10米，DN=10.4+20=30.4米，

回AM=30.4米，

团AB=30.4+10=40.4米，

故选：B.

17.（2024•广东深圳•模拟预测）如图是跳台滑雪比赛的某段赛道的示意图，某运动员从离水平地面100m高

的A点出发（A8=100m）,沿俯角为30。的方向先滑行一定距离到达。点，然后再沿俯角为60。的方向滑行

到地面的C处.若AD=140m,则该运动员滑行的水平距离BC为（）米？

70^/3

【答案】B

【分析】过点。作DESAB于点E,小,台。于点P,证明四边形DE3F是矩形，再计算

DE=BF=ADcos30°=70^（m）,AE=ADsin30°=70（m）,结合tan6（T="二结合

CF

5C=5F+CF=80^（m）,解答即可.

本题考查了俯角的计算，构造辅助线，选择适当的三角函数是解题的关键.

【详解】过点。作于点E,DF,3c于点P,

SBC1AB,

回四边形DE砥是矩形,

团DE=BF,DF=BE,

团AD=140m,ZADE=30°f

@DE=BF=ADcos30°=7073（m）,AE=ADsin30°=70（m）,

团AB=100m,

^DF=BE=AB-AE=30（m）f

BF

团NDCF=60°,tan60°=——

CF

BF

tan60°

05C=BF+CF=8OA/3（m）,

故选B.

18.（2024・广东广州•三模）如图，C,。分别表示的是一个湖泊的南、北两端A和8正东方向的两个村庄,

村庄。位于村庄C的北偏东30。方向上.若C£>=8km,则该湖泊南北两端的距离AB为1______km（结果保

留根号）.

【答案】4>/3

【分析】此题考查了解直角三角形的应用一一方向角问题，矩形的判定与性质，过C作即于E,根据

题意及三角函数可求得CE的长，从而得到48的长，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，再运用三

角函数定义求解.

【详解】如图，过C作CE_L8D于E,

团四边形ABEC是矩形，

BCE=AB,

在RtACEZ）中，NECD=30°,8=8km,

贝CE=Cr>xcos300=8XB=473,

2

EIA8=46km,

故答案为：4A/3.

3

19.（2024•广东广州•三模）如图，VABC中，AB=AC=5,cos/ABC=1，点尸为边AC上一点，则线段

长的范围是.

A

【分析】本题主要考查解直角三角形、勾股定理和等腰三角形的性质，过点A作AD上3c交于点。，

则有ZABC=ZACB,BD=DC,求得03=3和3C=6,过点8作BE，AC交AC于点E,利用余弦求得CE,

利用勾股定理求得班，结合线段长最短为点B到AC的距离BE,最长为BC即可得到答案.

【详解】解：过点A作AD2BC交BC于点。，如图，

3

0AB=AC-5,cosZABC=-,

BD3

SiZABC=ZACB,BD=DC,cosZABC=—=-,

AB5

0DB=3,BC=6,

过点8作BE，AC交AC于点E,

贝I]COSNACB=COS/ABC=3=7,解得CE=电，

5CB5

i-------------24

在RM5EC中，BE=^BC2-EC2=—

团线段成长最短为点5到AC的距离3石，最长为5C,

24

24

故答案为：—BP<6.

20.（2024•广东东莞•模拟预测）某校〃数学〃小组的同学想要测量校园内文化长廊（如图1）的最高点到地面

的高度.如图2是其测量示意图，点A,B,C,D,E在同一竖直平面内，斯垂直平分垂足为REF

垂直平分CD,与CD交于点G.经测量，可知AB=3.0m,CD=5.0m,ZABD^135°,ZBDE=92°,则文

化长廊的最高点到地面的高度EF约为m.（结果保留一位小数.参考数据：sin47°。0.73,cos47°«0.68,

tan47°«1.07,72«1.41）

【答案】3.7

【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，过点3作府，8

于点H,证明四边形GFB"为矩形，得出G"=Bb=L5m,NFBH=90。,求出ND3H=45。，得到

BH=DH=GF=lm,求出NEDG=47。，再解直角三角形得出EG的长，再由EF=EG+GF计算即可得出

答案.

【详解】解：过点B作于点H,如解图所示.

回EF垂直平分A5,垂足为尸，跖垂直平分C。，与CD交于点G.BHLCD,

⑦NBFG=NFGH=NBHG=90。，DG=-CD=2.5m,BF=-AB=1.5m

22

团四边形GF3H为矩形，

回GH=5产=1.5m,ZFBH=90°.

BDH=DG-GH=lm.

团ZABD=135。

国NDBH=45。.

团△漫＞是等腰直角三角形

^BH=DH=GF=lm.

⑦NBDE=92。，

^ZEDG=47°.

在RtAEGD中，tanZEDG=——

DG

0EG-DG-tan47°®2.5x1.07®2.68（m）.

SEF=EG+GF-2.68+1~3.7（m）.

即文化长廊的最高点离地面的高度斯约为3.7m.

故答案为3.7.

21.（2024•广东•三模）人民公园是当地人民喜欢的休闲景区之一,里面的秋千深受孩子们的喜爱.如图所示，

秋千静止时，秋千链子02与支柱重合，秋千链子O3=6m,将座板推至点C处，此时秋千链子与支柱

夹角为45。，松开后座板摆动至点。处，此时秋千链子与支柱夹角为30。，则座板从点C处摆动至点。处的

水平距离为—m.（结果保留根号）

【答案】（3+3立）

【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键.分别过点C,

。作。4的垂线，垂足分别为E,F,利用三角函数分别求得小、CE的长度，即可求得答案.

【详解】解：如图，分别过点C,。作的垂线，垂足分别为E,F,

由题意，得ZAOC=45。，ZAOD=30°,OB=OC=OD=6,

0C£=§ina5°%>C=^OC=『,DF=^-OD=3,

22

团座板从C处摆动至。处的水平距离为。尸+CE=（3+30）m.

故答案为：（3+30b

22.（2024•广东河源,二模）如图，皿均为等边三角形，点O、A、3、C在同一条直线上,

【答案】6

[分析】本题主要考查了等边三角形的性质，解直角三角形，过点2作B于8,先求出AB=2,3C=3,

再由等边三角形的性质得到CF=3C=3,ZC=60°,解直角三角形得到8〃=华叵，贝I]

2

SABCF=*F-BH=当,证明腐〃CF,则S梯形BCFE==；CJBH=苧，可得

S&BEF=S梯形BCFE-S^BCF；同理可得入物='g-gX2X若=^，则以般一$"£)£=6,

【详解】解：如图所示，过点2作于H,

回。4=1,05=3,OC=6,

团AB=2,BC=3,

团V5c厂是等边三角形，

回CF=BC=3,ZC=60°,

SBH=BCsinC=—,

2

racD„_l23若_9右

△BCF2224

团AABE是等边三角形，

团NABE=60°=NC,BE=AB=2,

^\BE//CF,

向cBE+CFRW_2+3373_15A/3

U3梯形BCFE--BH-—―-4

15A/39A/33A/3

UdABEF_3梯形BCfE-dABCF--~

同理可得S4ADE=x百一；*2乂百=与，

回S/\BEF-^AADE=，

故答案为：

F

E

弋

OABC

23.（2024•广东广州•二模）某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度.下面是两个方案及测量数

据：

方案一：借助太阳光线，测量：标杆长CD=1.6m,影长£E>=L2m,塔影长。B=39m.

方案二：测量：距离CD=35m,仰角a=37。，仰角4=26.5。.

方案一方案二

请你选择一个方案，求出塔的高度.（参考数据：sin37°»0.60,cos37°«0.80,tan37°«0.75,

sin26.5°®0.45,cos26.5°«0.89,tan26.5°®0.50）

【答案】塔AB的高度为52米

【分析】本题主要考查了相似三角形的应用和解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角形函数定

义和相似三角形的判定方法.

按照方案一，证明AABDSACDE,得嚼%代入数据求出结果即可;

AnAri

按照方案二，根据三角函数定义得出=加mCD=BD-BC=35,得出

ABAB

=35,求出A8即可.

tan26.5°tan37°

【详解】（方案一）解：如图,

由题意可知。石〃AD,ZCDE=ZABE=90°,

.../CED=ZADB,

.'.AABD^ACDE,

ABCD

而一而

391.2

解得AB=52,

答：塔43的高度为52米;

（方案二）解：如图,

AB

,在RtZVIBC中,tana=----

BC

cAB

・・•在RtaABD中,tanB=----

BD

BD=—

tan26.5°

・.・CD=BD—BC=35,

ABABcu

-----------------------=35,

tan26.5°tan37°

4

即2A5-§A5=35.

二.AB=52.5米

答：塔ZB的高度为52.5米.

24.（2024・广东河源•一模）无人机在实际生活中的应用越来越广泛.如图所示，某人利用无人机测量大楼的

高度2C,无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点100米，同时测得点P距楼顶C点30米，点A处的

俯角为60。，楼顶C点处的俯角为30。.求大楼的高度3c（结果保留根号）.

【答案】（5。』-15）米

【分析】本题主要考查矩形的判定及性质和锐角三角函数，过点尸作尸XLAB于点过点C作

于点。，证明四边形CQHB是矩形，得到。H=8C,利用锐角三角函数得到尸”，PQ的数值，即可求得答

案.

【详解】如图所示：

过点尸作尸a，A5于点H,过点C作CQ1PH于点Q.

0ZCQH=ZQHB=NHBC=90°,

回四边形CQ//B是矩形.

^QH=BC.

团”=100米，PC=30米，ZPCQ=30°,ZPAH=6D°,

0PH=APsinZPAH=100x^=50V3^,PQ=PCsinZPCQ=30x1=15.

22

团BC==PH-PQ=（50必-15）米.

25.（2024・广东东莞・三模）【综合与实践】

要测量学校旗杆C。的高度，三个数学研究小组设计了不同的方案，测量方案与数据如表:

课

测量学校旗杆的高度

题

测

测量角度的仪器，皮尺，小镜子，直角三角形纸板等

量

工

具

测

量

第一小组第二小组第三小组

小

组

测

c

量

方上

4M

案L£

A0Z)

示EJ

zL)

AD

图

先测量观测台的高，再

在观测点E处测得旗杆顶利用直角三角形纸板的直角边AE保

利用镜子反射测量旗杆的高度，

说端C点的仰角/CEF,旗持水平，并且边AE与点M在同一直线

点。为镜子，眼睛B看到镜子中

明杆底端。点的俯角上，直角三角板的斜边AF与旗杆顶端

的旗杆顶端C.

NO跖.(其中EF1CD于C在同一直线上.

F)

测

量EA=2.2m,ZCEF=60°,

AO=1.5m,AT)=16.5m.AE=0.4m,EF=0.2m,AB=1.8m.

数ZDEF=30°.

据

⑴根据测量数据，无法计算学校旗杆的高度的小组有第小组和第小组;

(2)请选择其中一个可计算的方案及运用其数据求学校旗杆的高度.

【答案】(1)一；三

(2)选择方案二，旗杆的高度为8.8m

【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，相似三角形的应用，解决本题的关键是熟练掌握仰

角俯角定义.

(1)根据相似三角形的性质和解直角三角形的知识，可作出判断；

（2）对方案二，先求出跖，进而求出FC,即可求出DC.

【详解】（1）解：第一，第三小组的数据无法算出大楼高度，

4RAn

理由：第一小组是利用AABOSSCO进行计算的，即利用而=需求CD,但只测量了AO=1.5m,

AD=16.5m,没有测量A3长度，所以第一小组的数据无法算出大楼高度，