2025年中考数学二轮复习：第4章 圆 压轴题之动圆相切 （二） （含解析）

第3节动圆相切(二)

前言：本节讨论关于动圆相切的另类问题：⑴直线与圆交点个数的分析；⑵动圆相切构造最值.动圆相切不

仅仅是类题型，也可以是某些最值问题的方法.

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交点个数的分析

圆与线段或图形交点个数问题，考虑交点个数变化的位置，当：①圆与线段相切、②圆过线段端点时，交点个

数会发生改变.确定整个运动过程中的所有特殊位置是解题关键.

引例1：如图,在坐标系中，点A坐标为(1,0)，点B坐标为(0,3),以点P(m,0)(m<0)为圆心，4为半径作圆，若

OP与线段AB只有1个交点，求m的取值范围.

解析：考虑。P与AB相切：过点P作PHXAB,

当PH=4时，OP与AB相切,

由题意得：△PHA^ABOA,.\PA=471013

即m=1—

当。P过点A时，m=-3;

当。P过点B时，OP=近，故爪=-V7;

综上，当m=1-率或-3＜爪W-虫时,。P与线段AB只有1个交点.

相切构造最值

（1）角度最值（米勒问题）

【问题背景】

1471年，德国数学家米勒向诺德尔提出这样一个问题：如图，点A、B直线1的同一侧，在直线1上取一点P,

使得/APB最大，求P点位置.

【知识铺垫】

圆外角：如图，像/APB这样顶点在圆外，两边和圆相交的角叫圆外角.

相关结论：圆外角等于这个角所夹两条弧的度数差（大减小）的一半.

如图,乙P=4ACB-乙PBC=

换句话说，对同一个圆而言，同弧所对的圆周角〉圆外角.

问题结论

结论：当点P不与A、B共线时，作△PAB的外接圆.当圆与直线1相切时，ZAPB最大.

证明：在直线1上任取一点M(不与点P重合)，连接AM、BM,ZAMB即为。O的圆外角.

AZAPB>ZAMB,ZAPB最大.

..•当圆与直线1相切时，ZAPB最大.

特别地，若点A、B与P分别在一个角的两边，如下图，则有OP?=0A-。5彻割线定理)

0A

证明：•.•/POA=NBOP,ZOPA=ZOBP（弦切角定理）AOPPOB,：.—OP2=0A-0B即可通过0A、

0P

OB线段长确定OP长,便知P点位置.

弓I例2:如图，在平面直角坐标系中，A(l,0)、B(5,0)直线1经过点C(-l,2),点P是直线1上的动点若NAPB的

最大值为45。，求直线1的解析式.

解析：考虑到直线1未知但/APB的最大值已知为45°,可构造圆.记^ABP外接圆圆心为M点,

贝(]/AMB=2/APB=90。，,可确定M点位置.

根据A(l,0)、B(5,0),可得M点坐标为(3,2),连接MC、MP,：G)M与直线CP相切,

AMPXCP,ACPM是直角三角形.

,/MC=4,MP=MA=2V2

CP=2V2,gPACPM是等腰直角三角形,

可得P点坐标为(1,4),

又C点坐标为(-1,2),

；•直线1的解析式为y=x+3.

(2)线段最值

弓例3:如图，在R3ABC中，ZABC是直角，AB=3,BC=4,P是BC边上的动点，设BP=x,若能在AC边上

找到一点Q,使/BQP=90。，则x的取值范围是

解析：点Q满足/BQP=90。厕以BP为直径作圆，与AC边交点即为点Q,存在这样的点Q即圆与AC有交点.

求x的取值范围即分别确定BP的最大值和最小值.

当圆与AC相切时，BP最小，

圆心记为点0,连接0Q,则0Q=0B,

由sin/C=|,得0C=\0Q,

：.BCBO+0C=OQ+^OQ=10Q=4,

3

0Q=l，BP=20Q=3,

当点P与点C重合时，BP最大，最大值为4,故x的取值范围是3<x<4.

真题演练

1.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,动点Q从点A出发，沿着AB方向以1个单位长度/秒的速度匀速运

动，同时动点P从点B出发，沿着对角线BD方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动,设运动时间为t秒(0<t

<5),以P为圆心，PB长为半径的。P与BD、AB的另一个交点分别为E、F,连结EF、QE.

⑴填空FB=(用t的代数式表示)；

⑵当t为何值时，点Q与点F相遇？

(3)当线段QE与OP有两个公共点时，求t的取值范围.

2.如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点A、B的坐标分别为(8,0)、(0,6).动点Q从点O、动点

P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t(秒)(0<饪5).

以P为圆心，PA长为半径的0P与AB、OA的另一个交点分别为C、D,连接CD、QC.

(1)求当t为何值时，点Q与点D重合？

(2)设4QCD的面积为S,试求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；

(3)若。P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围.

3.如图1和2,在平行四边形ABCD中，AB=3,BC=IS,tanADAB=(点P为AB延长线上一点，过点A

作0O切CP于点P,设BP=x.

⑴如图Lx为何值时，圆心O落在AP上？若此时0O交AD于点E,直接指出PE与BC的位置关系；

(2)当x=4时，如图2,OO与AC交于点Q,求/CAP的度数，并通过计算比较弦AP与劣弧PQ长度的大小；

(3)当0O与线段AD只有一个公共点时，直接写出x的取值范围.

备用图

4.如图，菱形ABCD的边长为2cm,NDAB=60。.点P从A点出发，以皆cm/s的速度，沿AC向C作匀速

运动；与此同时，点Q也从A点出发，以Icm/s的速度,沿射线AB作匀速运动.当P运动到C点时，P、Q都

停止运动.设点P运动的时间为ts.

(1)当P异于A、C时,请说明PQ//BC;

(2)以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，OP与边BC分别有1个公

共点和2个公共点？

5.如图1,平行四边形ABCD中,AB，AC,AB=6,AD=10,点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的

0P与对角线AC交于A、E两点.

(1)如图2,当。P与边CD相切于点F时,求AP的长；

(2)不难发现，当。P与边CD相切时，©P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化,©P

与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4,直接写出相对应的AP的值的取值范围

6.如图，在RtAABC中，ZACB=90°,ZB=30°,AB=4,D是BC上一动点，CE_LAD于E,EF±AB交BC于

点F,则CF的最大值是

7.如图1,在等腰直角△ADC中，ZADC=90°,AD=4.点E是AD的中点以DE为边作正方形DEFG,连接

AG、CE.将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为(a(0。<a<90。).延长CE交直线AG于点P,在旋转过

程中，线段PC长的最大值是________.

8.如图.抛物线y=收+入+3与x轴交于A(-l,0)、B两点与y轴交于点C,过点C作CD”轴交抛物线

于另一点D，作DE_Lx轴，垂足为点E,双曲线y=[(x>0)经过点D,连接BD.

(1)求抛物线的表达式；

(2)动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，ZBPD

的度数最大？(请直接写出结果)

2

9.如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A(-2,O)、B、C三点的抛物线y=ax+bx+^

a<0)与x轴的另一个交点为D,其顶点为M,对称轴与x轴交于点E.

(1)求这条抛物线对应的函数表达式；

(2)已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q,使得/PQE=45。，求点P的坐标.

第3节动圆相切(二)

1.解析：(1)BE=2t,FB=|BE=景

⑵AQ=L若点Q与点F相遇,则AQ+BF=6,

即t+|t=6,解得：”患，

故t为净寸，点Q与点F相遇.

⑶考虑何时QE与圆P相切，即当QEXBD时,

整=|,又BQ=6-t,BE=2t,代入得：答=|,解得：t=与从相切开始,至点Q与点F重合，有2个交点,故t

BE32t313

的取值范围是募<tW普

2解析：(1)4。=^AC=1-2t=^,OQ=t,若点Q与点D重合,则(OQ+AQ=8,即|t+t=8,解得:t=卷

(2)当0<tW费时，

QD=8—t—t=8——t,CD=~t,

2k5/5255

当£<tw5时，

则DQ=^t-8,.-.S=^t2-^t,

--t2+—<t<—

255-13

综上，S=40

—t2~—t,-<t<5

255'13

当t=5时，S的最大值为15.

(3)1个交点：在CQ与圆P相切及之前，在Q、D相遇之后，OQ==2t,AQ=J•2t=1,t+>=8,解

4zZ

当0<tW学或募<tW5时，圆P与线段QC只有1个交点.

3.解析:(⑴tanNPBC=tanND4B==sinNPBC=£；.PC=12,PB=9,；.x的值为9时，点。落在AP上.此

45

时PE_LBC,：PE_LAD,AD〃BC,.•.可得PE_LBC.

(2)过点C作CHLAP交AP于点H,设PH=x,

贝！IBH—4+x,tan/.DABtanzCB/7=

BH=-BC=三x15=9,C”=12,

55，，

AAH=3+12=15,AAH=CH,AZCAP=45°.

过点。作ON_LAP交AP于点N,则PN=/4=（易证△PNOs/^cHP,又PH=5,CH=12,ACP=13,噗

7

案代入得：白.解得：r=JPQ.x2兀H号〜

■：^n<2n<7,/.弦AP长度大于弧PQ长度.

4o

⑶x>18.

当BP=18吐圆。与DA相切，当BP>18时，圆。与AD边只有一个交点A.

4解析：（1）由题意得：AP=43tcm,AQ=tcm,AB—2cm,AC=2y[3cm,,

.".AAPQ^AACB,/.ZAPQ=ZACB,；.PQ〃BC.

(2)当圆P与BC相切时，有1个公共点，

AQ=t,PH=PQ=AQ=t,AP=V3t,PC=2PH=2t,AC=（2+V3）t=20.t=（4百一6）s;

当圆P过点B时，圆P与BC边有2个交点，此时△PBQ是等边三角形，点P为AC中点，二AP=|/1C=V3

cm,t=Is;

当圆p过点c时，r+V3r=2V3,解得：r=3—AP=一（3-,）=3旧—3,贝!1t=3-百;

当点P与点C重合时，圆P与BC边有1个交点，此时t=2；

综上所述，当1=4旧-6或l<tW3-遍或t=2时，圆P与BC边有1个交点；

当4百—6<tW1时，圆P与BC有2个交点.

5解析：（1）连接PF,则PFLCD,且PA=PF,

设PA=x,则PF=x,PD=10-x,sinzD=^=信=

解得：久=£,；.AP的长为409.

⑵从圆P与CD边相切开始，有4个交点，直到圆P与BC边相切于点M,

此时PMXBC,易求PM=y,.-.PA=PMy.

之后交点个数大于4,直到如下图，圆P过点D,则过点C,且与BC边有1交点，

止匕时PA=PD=lAD=5.

综上所述，公共点个数为4时，^<AP<g或.AP=5.亭

6解析：NAEC=90。且AC为定值，故E点轨迹是以AC为直径的圆弧.考虑EFXAB,且E点在圆上，故当

EF与圆相切的时候,CF取到最大值.连接OF.易证△OCF^AOEF,ACOF=30°,CF=y.

7解析：2+2V3.

由题意可得/APC=90。,AC为定值.当ZACP最小时,CP长最大，由旋转可知E点轨迹是以点D为圆心的圆,

当CP与圆D相切时/PCD最大即NPCA最小，：DE=2,DC=4,；.CE=2V3又EP=ED=2,APC长的最大值

为2+2A/32+2V3,

8.解析：⑴考虑到点D纵坐标与点C相同，为3,代入反比例解析式，可得D点坐标为(2,3),根据A、D

坐标可得抛物线解析式：y=-x2+2x+3.

⑵求t即求P点位置.

思路1:作外接圆.

作过点B、D的圆且与y轴相切时，切点即为所求P点，考虑到本题只要直接写出结果即可，所以做法只要做

对就可.由抛物线解析式可得B点坐标为(3,0),结合D(2,3),则BD中点N坐标为传，|),

作BD的垂直平分线，即过N点作BD的垂线，

利用七・七=-1,可求得垂直平分线解析式为y=|x+|,

三角形PBD圆心记为Q点Q在BD垂直平分线上，设Q点坐标为(小一山+匀，

根据QP=QB,可得m=J（m-3）2+Qm+1）,

解得：mi=25-6V15,m2=25+6V15（舍）

故Q点坐标为（25-6V15-9-2底）1点坐标为（0,9-2底）,所以t的值为9-2VB.

思路2：切割线定理

延长BD交y轴于M点，当MP2=