2025年新高考数学重难点专项复习：直线与圆易错题十大题型（解析版）

重难点12直线与圆易错题十大题型］口总、

眉邛题型解读

满分技巧/

易错一.斜率公式k=口中的条件0丰卬容易被忽略.

%2—％1

易错二.忽视直线斜率不存在的情况

由于直线的斜率k=tana,a为直线的倾斜角.，当a=90。时k不存在，在解题时容易忽略.

易错三.混淆直线斜率与直线倾斜角的关系致错

直线的斜率是倾斜角的正切，所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率，倾斜角为90。的直线没有斜

率.

易错四忽略直线的截距为零的情况

在利用截距式工+(=1设方程时，容易忽略截距为零的情况.

ab

易错五.两直线平行时忽略重合的情况

在求解两条直线平行的问题是，一定要检验是否平行

易错六.忽视两条平行直线距离公式系数统一

在运用举例公式时，不要忘记统一系数

易错七.半圆问题不要忽略范围

数形结合是通过数与形之间的转化，来达到解题的目的，在转化过程中难免会出现范围的变化，在解题过

程中，应注意.

易错八.圆的一般式方程忽视成立的条件

1.当D2+E2-4F>0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程，其圆心为

(DE)1I----------

-T,，半径为r=;4D2+E2-4F.

(DE]

2.当D2+E2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示点

V22)

3.当D2+E2-4F<0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0不表示任何图形.

易错九.求过一点的切线方程时忽略斜率不存在

求切线方程时，如果需要设直线的斜率时，需要考虑直线的斜率部存在的情况是否满足题

意.

易错十.两圆相切时忽略内切外切两个情况

圆与圆相切时，有两种情况即内切和外切，但是在题设告知相切的情形下，我们往往会考虑其中一种情况，

而忽视另外一种情况.

用覆题型提分练

题型1忽略斜率公式的应用条件

【例题1](2023上•黑龙江哈尔滨•高二哈尔滨市第三十二中学校校考期中)已知直线/：mx+y+1^0,

4(l,0),B(3,l)，则下列结论正确的是()

A.直线I恒过定点(0,1)

B.当m=1时，直线I的倾斜角为平

c.当爪=0时，直线I的斜率不存在

D.当m=2时，直线I与直线4B不垂直

【答案】B

【分析】山久+y+1=0中，令x=0时,可求得I的必过点，可判定选项A；根据斜率公式求得直线I的斜

率，进而可求得直线I的倾斜角，可判定选项B;当爪=0时，求得直线I的斜率，即可判定选项C；当m=2

时，求得直线I的斜率，在求得直线力B得斜率，即可判定两者的位置关系，可判定选项D.

【详解】l.mx+y+1=。中，令x=0时y=-1,

可得I恒过定点(0,-1),故选项A错误；

当?n=1时，直线的斜率为m=-1,

则若倾斜角为a时,tana=-1,且ae[o,])Ug,n),

则。=F，故选项B正确；

当?n=0时，直线I为y=-1,斜率为0,

故选项C错误；

当m=2时，直线I的斜率为m=-2,

又%B=3=/

所以心B,即=；X(-2)=-1,

则直线I与直线4B垂直，故选项D错误.

故选：B.

【变式1-1]1.(2022上•江苏连云港•高二期末)若4(1,2),B(3,m),C(7,m+2)三点共线，则实数m的

值为()

A.—2B.2C.—3D.3

【答案】D

【分析】先判定斜率存在，再由三点共线可得，任意两个点组成直线斜率相等即可得结果

【详解】因为3*1,直线力B斜率存在，a,B,C三点共线，则%B=kAC,

即方=#，解得爪=3.

故选：D

【变式1-1]2.（2023上云南曲靖•高三曲靖一中校考阶段练习）若直线x+ysina+2=0（aeR）的倾斜

角的取值范围是

【答案】曰

【分析】根据直线斜率求直线倾斜角范围.

【详解】设直线倾斜角为e,斜率为k=tan。,直线x+ysina+2=0（aeR）

当sina=。时直线斜率不存在，止匕时倾斜角8为:；

当sin"°时，化为斜截式为y=-熹％-导3eR），

仁一熹S6R），因为一1Wsina<1,所以一熹£（一%—1]u[1,+oo）,

即ke（―°°,—i]u[1,+co）,所以eGI；,]）u&雪;

综上有：ee[；,?]•

故答案为：?用

【变式1-1]3.（2023上•河南三门峡•高二校考阶段练习）过点4（科3）,8（-1,租）两点的直线与直线I垂

直，直线I的斜率为-1，则6

【答案】1

【分析】根据直线垂直的条件，可得直线4B的斜率，利用斜率公式列式计算，即得答案.

【详解】过点4（犯3）,B（-1,6）两点的直线与直线I垂直，直线I的斜率为-1,

故直线4B的斜率为1,则小彳一1,且*合=1,m=1,

故答案为：1

【变式1-U4.（2023上•安徽亳州•高二蒙城县第六中学校考期中）过430）,8（1,2）的直线的斜率大于2,

则满足条件的一个a值可以为

【答案】|（满足。<a<1的一个值即可）

【分析】根据两点的斜率公式计算可得.

【详解】因为过23,0）,8（1,2）的直线的斜率大于2,所以a力1,

则/c=>2,解得。<a<1.

1—a

故答案为：|（满足0<a<1的一个值即可）

【变式1-1]5.（2023上•高二课时练习）已知4（-1,2）,8（科3）

Q）求直线AB的斜率k;

⑵已知实数爪e[-亨-1,。],求直线AB的倾斜角a的取值范围.

【答案】（1）答案见解析

碇闸

【分析】（1）分巾=-1和小丰-1两种情况，结合斜率公式可得；

（2）分巾=-1和小丰-1两种情况，当山力-1时，根据m的取值范围求出斜率k的范围，然后结合正切

函数图象可解.

【详解】（1）当M=-1时，直线AB的斜率不存在，倾斜角为三；

当m力—1时，由斜率公式得k=肃不=

（2）当TH=-1时，直线AB的倾斜角为£；

当m丰一1时，因为mG[-y-1,-1）U（-1,0],

所以m+le[-乎,O)U(O,1],

所以ke(―8,—代]u[1,+8).

由正切函数图象可知，ae5u6,

>

X

综上，倾斜角a的取值范围为E,用

【变式1-U6.(2023・高二课时练习)已知△48C中的两个顶点是C(0,6),B(0,-6),AB边与北边所在直

线的斜率之积是］求顶点力的轨迹.

【答案】去掉顶点的双曲线(—5=1(%羊0)

3681

【分析】设点4(x,y),进而根据斜率之积直接计算即可得轨迹方程，再根据轨迹方程求解即可.

【详解】解：设点力(x,y),因为AABC中的两个顶点是C(0,6),B(0,-6),

所以，kAB=于,题。=呼，X#0

因为边与2C边所在直线的斜率之积是，

所以%B•%c=W=黑=；，整理得、Y=1H0)

所以，顶点力的轨迹方程为(-5=10片0),

OO01

所以，顶点4的轨迹是以B,C为焦点，实轴为12,且去掉顶点的双曲黛-5=1(%*0).

DOO1

题型2忽视直线斜率不存在

【例题212023•全国模拟预测)"a?=1"是"直线x+ay=2与直线ax-y=2垂直"的条件(填

"充分不必要""必要不充分""充要"或"既不充分也不必要")

【答案】充分不必要

【分析】求出无论a为何值，均满足两条直线垂直，从而得到答案.

【详解】当a=。时，两条直线方程分别为％=2和丫=-2,两条直线垂直；

当a力0时，直线x+ay-2的斜率的=—\直线ax—y—2的斜率0=a,

kr-k2=-l,两直线垂直，

综上，无论a为何值，均满足两条直线垂直，

所以"a?=J是"直线%+ay=2与直线a%一丫=2垂直”的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要

【变式(2023上•陕西西安・高二长安一中校考期中直线+y+1=0与直线=：4x+ay+2=0

平行，则实数a的值为

【答案】-2

【分析】利用两直线平行时，利用法向量平行求解，求解出实数a的值后需要代入直线验证是否平行，若直

线重合则不符合题意应舍去.

【详解】法一：

直线L：ax+y+l=。的法向量为：&=(a,1)；

直线G：4x+ay+2-0的法向量为：(4,a)；

由于两直线平行，则法向量平行，

所以1//E台?=工，得到a=±2,

当a=2时，两直线重合，不符合题意；

当a=-2时，两直线平行，故a=-2；

法二：

直线+y+1=0的斜率为七=-a；

直线%：4%+ay+2=0

当a=。时，两直线不平行；

当a*。时，斜率为的=-;；

因为两直线平行，则的=k2

所以-a='，贝11a=±2

a

当a=2时，两直线重合，不符合题意；

当a=-2时，两直线平行，故a=-2

故答案为：-2

【变式2-1】2.(2020上天津•高二校联考期中圮知点4(1,3)和点B(5,2)到直线珀勺距离相等且1过点(3,-1),

则直线1的方程为

【答案】x=3或x+4y+1=0.

【分析】求得4B的中点为M(3与及%B=，分直线/过线段4B的中点和直线/〃4B,两种情况分类讨论，

即可求解.

【详解】由题意，点4(1,3)和点8(5,2),可得4B的中点为M(33,且％=-；，

因为点4(1,3)和点B(5,2)到直线/的距离相等，且/过点(3,-1),

当直线2过线段48的中点M(3t)时，可得直线珀勺方程为％=3,此时点48到珀勺距离相等2,满足题意；

当直线，〃4B时，此时直线加勺斜率k=-1可得直线历程为y-(-1)=-;(%-3),

即尤+4y+1=0,此时点2(1,3)和点B(5,2)到直线/的距离相等，

故答案为：工=3或x+4y+1=0.

【变式2-1J3.(2023上•四川凉山・高二宁南中学校联考期中)已知实数比,y满足x-3y+5=0(1<x<4),

则箕的取值范围为

【答案】(-8,-3]32,+8)

【分析】将胃转化为％-3y+5=0(l<%<4)上的点和C(2,-1)构成的直线的斜率，然后求斜率即可.

X—L

y可以看成X-3y+5=0(1<%<4)上的点和C(2,-1)构成的直线的斜率,

X—Z

在％—3y+5=0(1<x<4)中令％=1得y=2,令％=4则y=3,

设4(1,2),8(4,3)，

则上"=怒=-3,kBC=言=2,

所以丐的范围为(一8,—3]U2+8).

x—2

故答案为：(—8,—3]U[2,4-00)

【变式2-1]4.(多选)(2021上•河北邢台•高二统考阶段练习)某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标

分别为4(-3,-4),8(6,3)，交通枢纽C(0,-1),计划经过C修建一条马路1(I看成一条直线,1的斜率为k),

则下列说法正确的是()

A.若A,B两个镇到马路I的距离相等，贝此=窜垮

B.若A,B两个镇到马路I的距离相等，贝收=胡|

C.若A,B两个镇位于马路的两侧，则k的取值范围为(右1)

D.若A,B两个镇位于马路的两侧,则k的取值范围为(-8,§u(1,+8)

【答案】AD

【分析】结合图象，由两点斜率公式求对满足条件的直线的斜率.

【详解】若A,B两个镇到马路I的距离相等，当I与直线平行时，贝收=三3=(.

-3—0y

当直线AB与I相交时，则直线过48的中点，又4B的中点为(|,一3,所以k=罢=[故k=拿%.

若A,B两个镇位于马路的两侧，则以°=芳=1,ABC=詈=；,故k的取值范围为(-8,。u(1,+8),

故答案为：AD.

【变式2-1]5.（2023上•全国•高二专题练习）直线x+a2y+6=0和（a-2）%+3ay+2a=0无公共点，

则a的值为（）

A.-1或2B.0或3

C.-1或0D.-1或3

【答案】C

【分析】两直线无公共点，由两直线平行求解.

【详解】当a=。时，这两条直线分别为x+6=。和久=0,无公共点.

当a于0时，等=,彳,，

解得a=-1.

综上,a-0或a=-1.

故选：C

题型3混淆斜率与倾斜角的关系

【例题3]（2023上•辽宁•高二辽宁实验中学校考期中）设直线的勺方程为x-ysirW-2=0,则直线珀勺倾

斜角a的范围是（）

CY*]D.用电为

【答案】C

【分析】分sin。=0和sine丰0两种情况讨论，结合斜率和倾斜角的关系分析求解.

【详解】当sine=0时，方程为x=2，倾斜角为a==

当sin。中0时，直线的斜率k=tana=-^―,

因为sin。G[—1,0)U(0,1]/贝(Jtana6(—00,—1]u[l,+oo),

所以a4讨）ug刑;

综上所述：线/的倾斜角a的范围是仔,方

故选：C.

【变式3-1]1.（2023上•山东•高二校联考阶段练习）直线sin60。久+cos30>+2=0的倾斜角是（）

A.30°B.60°C,135°D.150°

【答案】C

【分析】利用二倍的正弦公式求出斜率的值，再根据其与倾斜角之间的关系即可得到答案.

【详解】sin60°x+cos30°y+2=0,

则斜率为出史=-2sin30°cos30°=一2sin30。=-1,

则倾斜角tana=-1,又因为0。WaW180。，所以a=135。，

故选：C.

【变式3-1]2.（2023上河北石家庄•高二石家庄二中校考期中）直线（4口2—24-2y+3=0（a为常数）

的倾斜角的取值范围是（）

A.陪）陪沙.陪）U.]

C•需）u管,n）D.陪）唔,n）

【答案】D

【分析】求出直线的斜率的取值范围，根据直线斜率与倾斜角的关系可得出该直线倾斜角的取值范围.

【详解】设直线（4a2-2）x—2y+3=。的倾斜角为a，则0Wa<n,

直线的斜率为tana=^=2a2-l>-l,

当一1<tana<0时,则于<a<TT；

当tana>0时,则0<a<p

综上所述，该直线的倾斜角的取值范围是[。仁）U玲TI）.

故选：D.

【变式3-1]3.(2020上•浙江绍兴,高二统考竞赛)已知点A(cos70°,sin7。。)，8(cos20°,sin20°),则直线AB

的倾斜角a=.

【答案】汐135。

【分析】先根据斜率公式表示出斜率，再利用诱导公式化简，然后由斜率与倾斜角的关系可求得结果.

【详解】因为4(cos70o,sin70。),B(cos20°,sin20°),

所以直线48的斜率为k=器事

sin70°-cos(90°-20°)

=cos70°-sin(90°-20°)

_sin70°-cos700_1

cos70°-sin70°'

所以tana=-1,

因为aG[0,n),所以a=平，

故答案为：雷.

【变式3-1]4.(2022・高二课时练习)已知点Q(-2,0),A(1,V3),B(1,-遮)，P为动点.当点P

在线段AB上运动时，求直线PQ的倾斜角的取值范围.

【答案】0°4a430°或150°4a<180°.

【分析】设直线PQ的倾斜角为a,线段AB与x轴的交点为M,然后结合图象和倾斜角的定义可得答案.

【详解】

设直线PQ的倾斜角为a,线段AB与x轴的交点为M.

当点P在线段AM（含端点）上时，因为乙1QM=30。,所以0*a430。；

当点P在线段BM（含端点B但不含端点M）上时，因为MQM=30。，所以150°<a<180°.

所以a的取值范围为0°4a430°或150°4a<180°.

题型4截距式忽视过原点

【例题4】（多选）（2023上•陕西西安•高二校考期中）下列命题正确的是（）

A.任何直线方程都能表示为一般式

B.直线久+2y-4-。与直线2久-y+2-0的交点坐标是（0,2）

C.两条直线相互平行的充要条件是它们的斜率相等

D.直线方程ax+（a+l）y=a（a+1）可化为截距式为+，=1

【答案】AB

【分析】根据一般式方程判断A,求出方程组的解，即可判断B,根据两直线平行的充要条件判断C,利用

特殊值判断D.

【详解】对于A:直线的一般是方程为：力x+By+C=0,

当4=0,B力0时，方程表示垂直y轴的直线；

当2不0,B=0时，方程表示垂直x轴的直线；

当2力0,B力0时，方程表示任意一条不垂直于久轴和y轴的直线；故A正确.

对于B:联立二:，解得二;，故B正确.

对于C：两条直线相互平行的充要条件是它们的斜率相等（或斜率均不存在）且不重合，故C错.

对于D:若a=0或。=—1时，式子W+廿=1显然无意义，故D错.

a+1a

故选：AB.

【变式4-1】1.（多选）（2023上・安徽铜陵•高二校联考期中）过点P（2,l）且在两坐标轴上的截距的绝对值

相等的直线方程为（）

A.x+y-3=0B.%+y+3=0C.x—y—1=0D.x-2y=0

【答案】ACD

【分析】利用截距式的求法，讨论截距的绝对值相等的情况，在进行截距式假设时，分截距为0,截距不为

0进行假设.

【详解】当直线的截距不为0时，设直线的截距式方程为壬+（=1,

由题可得'+2=1,

l|a|=\b\,

所以％+g=L或k+片1,

解得《二阈二之,

所以直线方程为X+y-3=。或X-丫-1=0,故A,C正确；

当直线的截距为0时，设直线方程为y=kx,

由题可知k=|,故直线方程为久—2y=0,D正确.

故选：ACD

【变式4-1]2.（多选）（2023上浙江•高二校联考期中）直线I经过点（2,-3）,且在两坐标轴上的截距

的绝对值相等，则直线I的方程可能是（）

A.3%+2y=0B.2%+3y=0C.x—y—5=0D.x+y+l=0

【答案】ACD

【分析】分直线过原点和不过原点两种情况，分别设直线方程，代入点的坐标，即可求解.

【详解】当直线过原点时，设直线y=kx,则-3=2k，得k=-|,

即y=—|x,整理为3x+2y=0,

当直线不过原点时，在两坐标轴上的截距相等时，设直线+?=1,

贝%+宁=1，得a=-1,方程为x+y+1=0,

当直线不过原点时，在两坐标轴上的截距相反时，设直线+孑=1,

贝%+言=1，得a=5,方程为x-y-5=0.

故选:ACD

【变式4-1]3.(2023上•湖北•高二员印日中学校联考期中)已知直线I：(a+2)x+(l-a)y+a-7=0,

aGR.

⑴证明：直线I过定点P,并求出P点的坐标；

(2)直线I与坐标轴分别交于点A,B,当截距相等时，求直线I的方程.

【答案】(1)证明见解析，P(2,3);

(2)y=或x+y—5=0.

【分析】(1)变形给定方程，求出定点坐标即得.

(2)按直线/是否过原点，结合直线的截距式方程求解即得.

【详解】(1)方程(a+2)x+(1—d)y+a—7-0变形为：a(x—y+1)+2x+y—7—0,

由｛2二710解得X=2，y=3,显然对任意实数a,当久=2,y=3时,方程恒成立,

所以直线I恒过定点P(2,3).

(2)由(1)知直线I过点P(2,3),

当截距为0时，即直线I过原点，直线I方程为：y=|乂；

当截距不为0时，设直线I方程为一+廿=1,则有？+三=1,解得a=5,

aaaa

此时直线I的方程为：X+y—5=0,

所以直线I的方程为：y=或无+y—5=0.

【变式4-1]4.(2023上•黑龙江哈尔滨•高二黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学校考期中)已知(2即)为直

线1:x+y+l=0的方向向量，M(l,0),^(2m-l,m),A为MN的中点.

(1)求出点A的坐标;

(2)若直线〃过点A,且在y轴上的截距是在x轴上的截距的]求直线，的方程；

【答案】(1)(-2,-1)

(2)x-2y—0或x+2y+4=0

【分析】(1)根据直线的方向向量与斜率之间的关系可得巾=-2,再结合中点坐标公式运算求解；

(2)分类讨论直线?是否过坐标原点，利用直线截距式方程求解.

【详解】(1)因为直线/：x+y+1=0的斜率k=-1,

由题意可得：£=一1，解得m=-2,

则M(1,O),N(-5,-2),所以MN的中点A的坐标为(手,牛),即(-2,-1).

(2)因为直线，过点4(-2,-1),设直线，在x轴上的截距为a,则在v轴上的截距是的初,

则当直线厂过坐标原点时，符合题意，此时直线方程为y=,即x-2y=0；

当直线1'的横纵截距均不为零时，设直线，的方程为三+3=1,

a2a

代入点(―2,-1),得二+—=1,解得a=-4z

a产

此时直线r的方程为；+看=1,即％+2y+4=0,

—4—L

综上所述：直线，的方程为X—2y=0或x+2y+4=0.

题型5平行问题忽视重合

【例题5](2023上•四川凉山•高二统考期中)直线匕：2x+ay+2=0/2：(a=l)x+y-2=0,贝广a=

2"是21%"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】C

【分析】根据两条直线平行的条件，求得a的值，再根据a=2判定两直线的位置关系，进而判断两命题的

关系.

【详解】=早解得a=2或a=-l,a=-1时，与重合，不合题意

所以a=2

a=2时，l/x+y+1=0;I2；x+y-2=0,Z1//Z2

故选：C.

【变式5-1]1.（2023上•山东潍坊•高二统考期中）已知直线匕：（机+1）久+y+爪=0七：久+（爪+Dy-

2=0,则下列结论正确的是（）

A.若L与1湘交,则小中一2B.若I]与q平行,则爪=-2

C.若匕与G垂直，则爪=-1D.若k与%重合,则机=0

【答案】C

【分析】先根据I"/%求解出小的可能值，然后检验是否可能两直线重合，由此可判断ABD;然后根据匕112

列出等量关系求解出血的值，由此可判断C.

【详解】当j/G时，（爪+1尸一1=0,解得爪=。或爪=-2,

若巾=0,贝”i：x+y=0,l2:x+y-2=0,此时/"/G,

若m=-2,则乙:一刀+y-2-0,l2:x—y—2=0,此时乙//},

由上可知：LG不可能重合，故D错误；

若匕与/湘交,则m丰-2且m片。，故A错误；

若%/〃2，则爪=0或〃=-2,故B错误；

若li112,则有（巾+l）xl+lx（m+l）=0,则m=-1,故C正确；

故选：C.

【变式5-1]2.（2023上福建泉州•高二泉州市城东中学校联考期中）已知直线0：%-（a-l）y-a-2=0

与G:ax-2y-2=0平行，贝!|a的值是（）

A.1B.2C.l或2D.-1或2

【答案】D

【分析】依题意可得1x(-2)=-(a-l)a,解得a的值，再检验即可.

【详解】因为直线，1：%—(a—l)y—a—2=0与％'ctx—2y—2=0平行，

所以1x(—2)=—(a—l)a,解得a=—1或a=2,

当a=-1时直线。：x+2y-1=0与％:%+2y+2=0平行，

当a=2时直线。：x-y-4=0与%：x-y-1=0平行，

所以a=-1或a=2.

故选：D

【变式5-1]3.(2023上・河南•高二校联考期中)％=4〃是〃直线①5+2%+©+2=0和直线

G：(。一l)x+(a-2)y-1=。平行〃的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据两直线平行的条件及充分条件、必要条件判断即可.

【详解】当a=4时，lr:3x+2y+1=0,l2:3x+2y-1=0,两直线斜率都为k=一|且不重合，所以两

直线平行；

当两直线平行时，由(a+2)(a—2)—a(a—1)=0,即a—4=0,解得a=4,

经检验a=4时,两直线平行，故a=4.

综上可知，"a=4"是"直线0:(a+2)x+ay+2=。和直线6(a-l)x+(a-2)y-l=0平行"的充要

条件

故选：C

【变式5-1J4.（2023上•江苏徐州•高二统考期中）已知直线久+（m+l）y+m-2=0,Z2:2mx+4y+

16=。平行，则这两条平行直线之间的距离为

【答案】等

【分析】利用两直线平行的性质即可判断m=1,然后利用平行线间的距离公式求解即可.

【详解】已知两直线平行，

则1x4—2mx（m+1）=0z解得zn=—2或1,

当m=-2时，两直线方程相同，舍去,

当m=1时，lr'.x+2y-1=0,Z2:x+2y+8=0,

则两直线间距离为需=¥

故答案为：V

【变式5-1]5.（多选）（2023上•四川凉山・高二宁南中学校联考期中）已知直线匕:久+（a-l）y+1=0,

直线12：a比+2y+2=0,则下列结论正确的是（）

A在x轴上的截距为-1B恒过定点（0，-1）

C.若I】II12,则a——1或a-2D.若匕112,贝（la—|

【答案】ABD

【分析】利用截距的定义可判定A,利用直线方程可判定B,利用两直线位置关系可判定C、D.

【详解】直线匕：%+（a-l）y+1=。中令y=0=汽=一1,即A正确；

直线+2y+2=0中％=0=y=—1,即B正确；

若两直线平行，则有1x2=a（a-1）,1x2Wax1,可得a=-1，故C错误；

若两直线垂直,则有1xa+2（a一l）=0=a=[故D正确.

故选：ABD

【变式5-1]6.（2022上•安徽黄山•高二校联考期中）已知直线%:（2。+1）%-（a+2）y+3=0M^Z2:（a-

1)%+2y+2=0.

⑴若〃〃，2，求实数a的值；

(2)若%112,求实数a的值.

【答案】(l)a=0

(2)a=£或a=—I

【分析】(1)%：力iX+8iy+C\=0,%：A2x+B2y+C2=0,若匕〃%,则必当一44=0,求出参数

后，需代入验证，排除两直线重合的情况；

(2)J:&x+Biy+的=0,Z2:A2x+B2y+C2=0,若七，则①久+当鸟？=0,由此求参数即可.

【详解】(1)因为k〃(2，所以(2a+I)x2-(a-l)[-(a+2)]=0,

整理得：a2+5a=0,即：a(a+5)=0,解得：a=。或a=-5,

当a=0时，/i：x—2y+3=0,l2:—x+2y+2=0,即x—2y—2=0,符合题意；

当a=—5时，Zx:—9x+3y+3=0,即3%—y—1=0,

l2:-6x+2y+2=0,即3x—y-1=0,此时乙与G重合，不符合题意.

所以a=0.

(2)因为2]112,所以(2a+l)(a—1)+[―(a+2)]x2=0,

整理得：2a2-3a-5=0,即：(2a-5)(a+1)=0,解得：a=域a=-1,

所以a=(或a=-1.

题型6平行线距离公式忽视系数统一

【例题6】(2023上四11凉山・高二宁南中学校联考期中)两条平行直线x+2y-l=0与ax+4y-3=0

之间的距离为()

【答案】C

【分析】根据两直线平行得到a=2,然后利用两平行线间的距离公式计算即可.

【详解】因为两直线平行，所以：=*力彳，解得。=2，

1z—1

所以直线a%+4y—3=。为2%+4y—3=0,即％+2y—|=0,

所以两平行线之间的距离d==条

V1Z+2Z10

故选：C.

【变式6-1]1.（2023上•四川凉山•高二统考期中）已知点P是直线I：3%-y-6=0与x轴的交点，直

线I绕点P逆时针方向旋转45。得到直线则直线乙与直线4x+2y+l=0之间的距离为（）

A在B.小CYD.2

551010

【答案】D

【分析】设直线3乂-y-6=。的倾斜角为a,可得tana=3和P（2,0）,根据两角和的正切公式，求得直线

的斜率为k=-2，结合点斜式方程以及距离公式，即可求解.

【详解】由直线3x-y-6=0,令y=0,解得比=2,即直线与x轴的交点为P（2,0）,

设直线，的倾斜角为a,可得tana=3,

tana+tan45°3+1

则tan(a+45°)=-2,

l-tanatan45°1-3x1

即把1绕点P按逆时针方向旋转45。得到直线0的斜率为k=-2,

所以直线〃的方程为y--2(%-2),即2x+y—4=0.

直线4x+2y+1=。的斜率为-2,则直线乙与直线4x+2y+l=0平行.

则直线，1与直线4%+2y+l=0之间的距离为d=塔言打=誓.

故选：D

【变式6-1J2.（多选X2023上•云南昆明•高一校考期中）已知直线L：ax+y-1=0八=2久+（a+l）y-

2a=0：,且[1/J，则（）

A.a=—2B.a=1

C4与直线X+2y=。垂直D与%与间的距离为平

【答案】ACD

【分析】根据两直线平行的系数要求，求出a的值，然后根据垂直要求判断直线是否垂直，根据平行线间距

离公式求其距离.

【详解】当匕〃％时，则a(a+1)=2,解得a=1或a=-2.

若a=1,则。：K+丫一1=0,12：*+3/-1=。，/132重合，故a=1不符合题意；

若a=-2,则。：2x-y+l=0,/2：2x-y+4=0/^//12,所以。与间的距离为去=¥-

由一2xl+lx2=0,得匕与直线％+2y=0垂直.

故选：ACD.

【变式6-1]3.(多选)(2023上•广东广州•高二校联考期中)已知a£R,直线II：X+ay-a=0,直线

，2:a%—(2a—3)y+a—2=0,贝[|()

A.若,则a=1或-3B.若,贝必与G间距离为等

C.若匕1%，贝必=0或2D.若I在x轴和y轴上的截距相等，贝必=1

【答案】BC

【分析】利用直线的平行、直线的垂直、平行直线的距离公式、直线的一般式方程和截距式方程逐项分析

运算判断即可得解.

【详解】对于选项A,由题意,若I//%,则有1x[-(2a-3)]-axa=0,

解得：a=1或-3,

当a=1时,直线I]：x+y—1=。和直线％x+y—1=。重合,

当a=—3时，直线I]：x—3y+3=0和直线G：-3%+9y—5=0平行，

综上，a=—3,故A错误；

对于选项B,由A知，当a=-3时，直线0：%-3y+3=0和直线％：-3%+9y-5=0平行z

直线12方程可化为％-3y+|=0,由平行直线间的距离公式可求得：

。与G间距离为点\=警，故B正确；

对于选项C,直线。：x+ay—a=0和直线%:-(2a—3)y+a—2=0垂直，

则有1xa+ax[-(2a-3)]=0z解得：a=。或2,所以，a=0或2,故C正确；

对于选项D,当a=2时，直线7：2%-y=0过原点，在X轴和y轴上的截距相等，

当aW2时，直线％方程可化为截距式方程a+当=1，则有立=号，

--------------Cl5-Z.CL

a3-2a

解得：a=1,

综上，若％在X轴和y轴上的截距相等，贝必=2或a=1,故D错误.

故选：BC.

【变式6-1】4.(2023上•贵州•高二校联考期中)已知两条平行直线0：2x+y+l=0,l2：ax+2y+c=0

间的距离为遥,贝！!a+c=.

【答案】-4或16

【分析】可先通过两直线平行求出参数a，接着将两直线的变量系数化为一致，再利用距离公式求解即可.

【详解】因为，所以2x2-lxa=0,解得a=4,

则^2：4x+2y+c=0,可化直线匕为4x+2y+2=0,

所以匕与12的距离为黑？=V5,解得c=-8或c=12

贝！|a+c=-4或a+c=16.

【变式6-1]5.(2023上•四川内江•高二校考期中)两平行直线。：2久+y+1=0,%：a久+2y+3=0的

距离为

【分析】通过平行的条件求出a,然后利用平行线直接的距离公式求解即可.

【详解】两条直线，1:2%+y+1=0与J:ax+2y+3=0平行,可得]=：士，

所以a=4,所以%：4%+2y+3=0即2%+y+|=0z

则。与G间的距离是：;

故答案为：得

题型7半圆问题忽视范围

【例题7](2023上•江苏无锡•高二校联考期中)若直线y=-%+6与曲线x=万干恰有一个公共点，

则b的取值范围是()

A.[—■\/2,V2]B.[―1,V2]C.[―1,1)u(V2}D.(―1,1]u[—■\/2)

【答案】c

【分析】由题意作图，根据直线与圆的位置关系，可得答案.

【详解】由曲线X=位于，可得/+y2=l,其中X>0,表示以原点为圆心，半径为1的右半圆，y=

—x+6是倾斜角为135。的直线，其与曲线有且只有一个公共点有两种情况：

(1)直线与半圆相切，根据d=r,所以d=号=1,结合图象，可得：b=”；

(2)直线与半圆的下半部分相交于一个交点，由图可知be[-1,1).综上可知：be[-1,1)u{V2}.

【变式7-1]1.(2023上・广东广州•高二校联考期中)已知直线y=k(x+1)与曲线y=—(x—2尸有两

个交点，则实数k的取值范围为()

A」。，等)B.(0,等)

c.2V5D.(T，O

【答案】A

【分析】根据直线过定点，曲线为半圆，数形结合求解即可.

【详解】由y=J4Tx-2)2可得(X-2)2+y2=4(y>0),即曲线为半圆，

又直线y=+1)过定点(一1,0),

作直线与曲线图象，如图，

当直线与圆相切时，|4B|=3,|4。=2,\BC\=J|4B|2—％C|2=V5,

故可得直线斜率k=需=等，

\DC\5

由图象知，当直线斜率0Wk<争时，直线与曲线有两个交点，

故选：A

【变式7-1】2.(2021・高二课时练习错直线1:k久-y-2=0与曲线C:-(y-1尸=%-1有两个交点,

则实数k的取值范围是()

A-(?21B-(?4)C-[-2^)U(?2]D-(?+co)

【答案】A

【分析】根据题意分析可得曲线C是以(1,1)为圆心，1为半径的右半圆，结合图象分析求解.

【详解】由c：一(y—1)2=X-1,可得(x-I)2+(y-I)2=1且X>1,

所以曲线是以(LD为圆心，1为半径为的右半圆，

直线过定点(。，-2),斜率为k,如图,

当直线过(1,0)时，I与曲线c有两个不同的交点，可得k=2,

当直线与曲线相切时，则器震=1,0<k<2,解得k=J

所以实数k的取值范围为(J,2]

故选：A.

【变式7-1]3.(2023上河北保定•高二统考期中)已知直线2：kx-y-3k+4=0与曲线y=历不有

且只有一个公共点，则k的取值范围为

【答案】(|,+8)U图

【分析】结合题设可知直线I过定点4(3,4),曲线y=历?为原点为圆心，3为半径的上半圆，结合图形

及点到直线的距离公式求解即可.

【1•羊解】由，:kx—y—3k+4=0,即—3)—(y—4)——0,

所以直线I过定点4(3,4),

由y=V9—x2,即/+y2=9(y>0),

所以曲线y=为原点为圆心，3为半径的上半圆，

如图所示，设/：fcx-y-3fc+4=0与曲线y=V9-五相切于点c,

曲线y=历?与久轴负半轴交于点8(-3,0),

由费=3,解得k=g可得%c=?

要使直线I：/ex-y-3/c+4=。与曲线y=79-％2有且只有一个公共点，

则k>(或忆=5，

即k的取值范围为信+8)u｛业

螃案为：(|,+8)U图.

【变式7-1]4.(2023上•甘肃白银•高二校考期中)关于x的方程VT中-kx+k-l=0有两个不等的

实数根，则实数k的取值范围为

【答案】(0月

【分析】方程有两个不等的实数根转化为半圆y=VT中与直线y=kx—k+1有两个不同的交点，作出图

形，利用数形结合思想求解.

【详解】关于X的方程V1-/-/ex+fc-1=0有两个不等的实数根即为半圆y=71-%2与直线y=kx-

k+1有两个不同的交点，

作出半圆和直线，如图，

半圆在左轴上点为4(-1,0),8(1,0),直线过定点,由图可知：

“丹=｝，直线PC：y=1是半圆的切线，

当0<kW扣寸，直线y=kx-k+1与半圆y=41-％2有两个不同的交点.

故答案为：(0点.

题型8圆的一般方程忽视成立条件

【例题8](2023上河北•高二校联考期中)若方程/+y2+钮+2y—爪=。表示一个圆，则m的取值

范围是()

A.(—co,-5)B.(—5,+oo)C.(—oo,5)D.(5,+oo)

【答案】B

【分析】根据圆的一般式满足的条件即可列不等式求解.

【详解】因为方程/+y2+4x+2y-m-0表示一个圆，所以42+22+4m>0,解得m>-5.

故选：B

【变式8-1]1.(2023上湖北武汉•高二华中师大一附中校考期中)"k>4"是"方卷2+丫2+依+(左一

2)y+5=。表示圆的方程"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据乂2+y2+kx+(k-2)y+5=。表示圆得到k<-2或k>4,然后判断充分性和必要性即可.

【详解】若/+y2+kx+(,k—2)y+5=0表示圆，则小+(fc—2)2—4x5>0,解得k<一2或k>4,

k>4可以推出/+*+上芯+住_2)y+5=0表示圆，满足充分性,

x2+y2+kx+(k-2)y+5=0表示圆不能推出k>4,不满足必要性，

所以k>4是%2+y2+卜乂+(k-2)y+5=。表示圆的充分不必要条件.

故选：A.

【变式8-1】2.(2023上•北京丰台•高二统考期中)已知圆C：/+y2_mx+3y+3=