2025年浙教版第一学期九年级数学期末模拟试卷一（含解析）

2024-2025学年第一学期九年级数学期末模拟试卷（1）

一、选择题：本题共10小题，每小题3分共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.若三1,则下列等式成立的是（）

y3

A.B.7C.4x=3yD.3x=4y

xy34

2.抛物线产）-4.r-5的顶点坐标是（）

A.(2,1)B.(2,-9)C.(-2,1)D.(-2,-9)

3.连续四次抛掷一枚硬币都是正面朝上，则第五次抛掷正面朝上的是（）

A.必然事件B.不可能事件C.随机事件D.确定事件

4.如图，四边形ABC。是半圆。的内接四边形，是直径,CD=BC.若N£)C8=100°,则NAOC的

C.120°D.130°

5.如图，△ABC与△4B1C1是以点。为位似中心的位似图形，若SAABC=Z1，贝Us八.pr

121

C.9D.13.5

6.关于抛物线丁=/-2QX+〃-4（〃<0）,下列说法错误的是（）

A.该抛物线的对称轴是直线1=1B.该抛物线的顶点坐标是（1,-4）

C.该抛物线与x轴有两个交点D.该抛物线在对称轴的左侧部分，y随x的增大而增大

7.如图，A3是的直径，C,。是。。上的两点，若NA30=41°,则N8CQ的大小为（)

c

A.41°B.45°C.49°D.59°

8.某同学在用描点法画二次函数y=o?+bx+c图象时，列出了下面的表格:

-5

9.如图，点尸是等边三角形A3C外接圆OO上的点（点尸与点A,B,。不重合），有下列结论：①当

弦尸8最长时，PA=PC；②当NAC尸=30°时，弦尸3最长；③当△APC是等腰三角形时，PO.LAC；

④当尸O_LAB时，NAC尸=30°,其中正确结论的个数是（)

C.①③④D.②③④

10.已知二次函数（x-h）2+k（〃W0）的图象与一次函数y=m+几（mW0）的图象交于（xi,yi）和

（X2,”）两点，则下列说法正确的是（）

A.若XI+X2>2/Z,则a>0,m>0B.若％I+X2〈2/Z,贝!J〃>0,m<0

C.若〃>0,m<0,贝！JXI+X2>2/ZD.若〃V0,m<0,贝！JXI+X2>2/Z

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.抛物线的y蒋x2-2X的对称轴为直线X=.

12.一个不透明的袋子中装有7个小球，其中6个红球，1个黑球，这些小球除颜色外无其它差别.小峰

同学从袋子中随机摸出1个小球，则摸出的小球是红球的概率是.

13.抛物线y=G-1产+2向左平移1个单位，向下平移3个单位后经过点尸（1,力，贝1的值为.

14.《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）.“偃

矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度.如图，点A,B,。在同一水平线上，ZABC

和NAQP均为直角，AP与相交于点D测得48=0.4优,8。=0.2%,42=12m,则树高尸。=m.

15.已知实数x,y满足/+5]+丁-2=0,则1+y的最大值为

16.如图，在。。中，A8是。。的直径，AB=1Q,AC=CD=DB，点E是点。关于A3的对称点，M是

AB上的一动点，下列结论：①N8OE=60°；②③。MJ_CE；®CM+DM的最小

2

值是10.上述结论中正确的个数是.

三.解答题(共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第

23、24题每题12分，共72分)

17.已知二次函数-4尤+3.

(1)求该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；

(2)当y<0时，直接写出x的取值范围.

18.在一个不透明的口袋中装有白、红、黑三种颜色的小球，其中白球3个，红球3个，黑球2个，它们

除了颜色外其他都相同.

(1)从袋中随机摸出1个球，求摸出白球的概率；

(2)从袋中随机摸出1个球，求摸出黑球的概率；

(3)向袋中加几个黑球，可以使摸出红球的概率变为工？

4

19.二次函数yuad+fcv+c中的无，y满足如表.

X…-10123

y…0-3-4-30

(1)观察表中信息，发现c=，抛物线的对称轴为

(2)方程0/+反+0=0的解为；

(3)当0<x<3时，y的取值范围为.

20.如图，在△ABC中，D,E分别是边A3,连接OE,且

(1)求证：△ADES/XACB；

(2)^AD=2DB,AE=4,AC=9,求8。的长.

21.已知二次函数y=/+6x+c的图象交于x轴于点A(-1,0),B(5,0),交y轴于点C(0,2).

(1)求二次函数的表达式.

(2)若点P(机，yi),Q(ZM+2,>2)在该二次函数的图象上，当声>*>0时，求机的取值范围.

22.如图，ZvlBC内接于ZABO9Q°,△ABC的外角NE4c的平分线交。。于点。，连接。8,

DC,DB交AC于点F.

(1)求证：△DBC是等腰三角形.

(2)若DA=DF.

①求证：BC'DOBF.

②若。。的半径为5,BC=6,求衿”的值.

SAADF

23.对某一个函数给出如下定义：对于函数》若当aWxWb,函数值y的取值范围是根WyWm且满足”

-m=t(6-a),则称此函数为、系郡园函数”.

(1)已知正比例函数y=or(1WXW4)为“1系郡园函数”，则°的值为多少？

(2)已知二次函数y=-/+2办+/,当1WXW3时，y是、系郡园函数”，求f的取值范围；

(3)已知一次函数y=fcv+l(aWxWb且左>0)为“2系郡园函数”,P(尤，y)是函数y=fcv+l上的

一点，若不论m取何值二次函数y^rwc+Cm-2)x-2m+l的图象都不经过点P,求满足要求的点P

的坐标.

24.在矩形ABC。中，点E为射线8C上一动点，连接AE.

(1)当点E在边上时，将△ABE沿AE翻折，使点B恰好落在对角线BD上点P处，AE交BD于

点G.

①如图1,若BC=«AB,求NAFZ)的度数；

②如图2,当A8=4,且EP=EC时，求BC的长.

(2)在②所得矩形ABC。中，将矩形ABCD沿AE进行翻折，点C的对应点为C,当点E,C,O三

点共线时，求8E的长.

图1图2备用图

答案与解析

一、选择题：本题共10小题，每小题3分共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.若&3则下列等式成立的是()

y3

A.B.7C.4x=3yD.3x=4y

xy34

【点拨】利用比例的性质逐一判断即可.

【解析】解：A.因为三=■£所以3尤=4y,苴乌以•卢星，故A不符合题意；

V3Xx2x2y

B.因为三=1,所以37f：2,故2不符合题意；

y3xy34

C.因为三J,所以3x=4y,4=AX3X=—^4y=-^-y7^3y,故。不符合题意；

y3X333

D.因为三V，所以3x=4y,故。符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键.

2.抛物线y=/-4x-5的顶点坐标是()

A.(2,1)B.(2,-9)C.(-2,1)D.(-2,-9)

【点拨】依据题意，由抛物线为y=d-4x-5=(x-2)2-9,进而可以判断得解.

【解析】解：由题意，•・•抛物线为y=7-4x-5=(x-2)2-9,

其顶点坐标为(2,-9).

故选：B.

【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用顶点式进行判断是关键.

3.连续四次抛掷一枚硬币都是正面朝上，则第五次抛掷正面朝上的是()

A.必然事件B.不可能事件C.随机事件D.确定事件

【点拨】根据随机事件的定义即可判断.

【解析】解：“第五次抛掷正面朝上”是随机事件.

故选：C.

【点睛】本题考查了随机事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必

然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件.不确定事

件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

4.如图，四边形ABC。是半圆。的内接四边形，是直径，CD=BC.若/。C8=100°,则NAZJC的

度数为（)

c

厂.\

AOB

A.100°B.110°C.120°D.130°

【点拨】连接3D,分别求出NA。'ZCDB,可得结论.

【解析】解：连接瓦).

•「AB是直径，

ZADC=90°,

,:CD=CB,ZC=100°,

ZCDB=ZCBDD=40°,

AZADC=ZADB+ZCDB=900+40°=130°.

故选：D

【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题关键是灵活运用

所学知识解决问题，属于中考常考题型.

5.如图，△ABC与△421。是以点。为位似中心的位似图形，若SAABC=27,则SA“

121△&遇D遇R］

A.3B.6C.9D.13.5

【点拨】根据OB1卷BBi可得相似比为1：3,再根据位似比即相似，相似三角形的面积比等于相似比

的平方，由此即可求解.

【解析】解：△ABC与△421。是以点。为位似中心的位似图形，若OB=^BBfSAABC=27,

・叫12

•------二--，

0B3

.SAAIBICI-<!?.1

SAAK3）"

S=SMBC=X27=3,

AA1B1C1Ti

故选：A.

【点睛】本题考查了位似变换，解答本题的关键是熟练掌握位似图形的性质.

6.关于抛物线了二办2-2办+。-4（a<0）,下列说法错误的是（）

A.该抛物线的对称轴是直线尤=1B.该抛物线的顶点坐标是（1,-4）

C.该抛物线与x轴有两个交点D.该抛物线在对称轴的左侧部分，y随x的增大而增大

【点拨】依据题意，由抛物线-2以+。-4（a<0）,从而对称轴是直线无=-二空=1,故可判

2a

断A；又当x=l时，-2〃+〃-4=-4,则顶点坐标是（1,-4）,故可判断&又A=4〃2-4〃（〃

-4）=16。，再结合〃<0,

可得AVO,进而判断C；又抛物线开口向下，从而在对称轴左侧，y随x的增大而增大，故可判断。.

【解析】解：由题意，\•抛物线-4（〃VO）,

...对称轴是直线尤=-盘=1,故A正确，不合题意.

2a

由题意，当x=l时，y—a-2a+a-4=-4,

，顶点坐标是（1,-4）,故5正确，不合题意.

X△=4a2-4a（〃-4）=16〃，

•・"VO,

A<0.

・•・该抛物线与％轴没有交点，故C错误，符合题意.

・・•抛物线开口向下，

・••在对称轴左侧，y随x的增大而增大，故0正确，不合题意.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键.

7.如图，A5是。0的直径，C,。是。0上的两点，若NA5Z）=41°,则NBCZ）的大小为（）

c

D

A.41°B.45°C.49°D.59°

【点拨】由A3是。。的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得NAD3的度数，继而求得NA

的度数，又由圆周角定理，即可求得答案.

【解析】解：连接A。，

•:AB是。。的直径，

ZADB=9Q°,

VZABD=41°,

：.ZBAD^90°-NA3£)=49°；

：.ZBCD=ZBAD=49°.

故选：C.

【点睛】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质.此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.

8.某同学在用描点法画二次函数y=/+6x+c图象时，列出了下面的表格：

x-2-1012

y…-11-21-2-5…

由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是()

A.-11B.-2C.1D.-5

【点拨】首先根据抛物线关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，得到满足条件的三点(-1,-2),

(0,1),(1,-2),然后再将点的坐标代入函数关系式得到三元一次方程组，求出a、b、c的值,

最后求出当x=2时的正确值即可.

【解析】解：由题意可知得(-1,-2),(0,1),(1,-2)在函数图象上，

把三点的坐标代入函数解析式>="2+陵+0中，

a-b+c=-2

<c=l，

a+b+c=-2

'a=-3

解得b=0，

C=1

所以函数的解析式是y=-3/+1,

x=2时y=-11,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了二次函数图象的知识，熟练掌握二次函数图象的对称性是解决本题的关键.

9.如图，点P是等边三角形ABC外接圆。。上的点（点P与点A,B,C不重合），有下列结论：①当

弦尸2最长时，B4=PC；②当/ACP=30°时，弦最长；③当△APC是等腰三角形时，POLAC-,

④当时，ZACP=30°,其中正确结论的个数是（）

【点拨】①正确.证明尸=30°,可得结论；②错误.分两种情形讨论说明即可;

③正确.分三种情形扫描即可；

④正确.利用垂径定理证明即可.

【解析】解：①如图1,当弦最长时，依为。。的直径，则/氏4尸=90°.

「△ABC是等边三角形，

：.ZBAC=ZABC=60°,AB=BC=CA.

:点P是等边三角形ABC外接圆。。上的点，BP是直径,

：.BP±AC,

：.ZABP=ZCBP=^ZABC=?>0o,

2

：.AP=CP,

故本选项正确；

②如果点尸在尸2的位置.

VZACP2=30°,

AZABP2=ZACP2=30O,

ZCBPi=ZABC+ZABP2=60°+30°=90°,ZYB尸2c是直角三角形，

CP是o。的直径，8尸不是最长的弦.当/ACP=30°时，点尸或者在Pi的位置，或者在P2的位置,

如图2.

图2

如果点尸在尸1的位置，ZBCPi=ZBCA+ZACP1=60°+30°=90°,△BP1C是直角三角形，

.••BP是。。的直径，即弦2尸最长；故本选项错误.

③当△APC是等腰三角形时，分三种情况：

a.如果用=PC,那么点尸在AC的垂直平分线上，则点尸或者在图1中的位置，或者与点2重合,

所以POLAC,正确；b.如果CP=C4,那么点P与点8重合，所以POLAC,正确；

c.如果AP=AC,那么点尸与点8重合，所以POLAC,正确；

故本选项正确；

④当POLAB时，尸。平分A3,则尸。垂直平分A2,

/.ZACP=30°；

故本选项正确；

综上所述，正确的是①③④.

故选：C.

【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，等边三角形的破的和性质，圆周角定理等知识，解题的关键

是理解题意，灵活应用所学知识解决问题.

10.已知二次函数y=a(x-/z)2+k(czWO)的图象与一次函数(〃zW0)的图象交于(xi,vi)和

(X2,*)两点，则下列说法正确的是()

A.若XI+X2>2/7,则。>0,m>QB.若XI+X2<2/Z,则。>0,m<0

C.若〃>0,m<0,贝!JXI+%2>2/ZD.若QVO,m<0,贝!］羽+%2>2。

【点拨】由二次函数解析式可得抛物线对称轴为直线x=/i,由函数图象与系数的关系讨论（XI,州）和

（X2,>2）两点中％1+%2与2%的关系.

【解析】解：,.•y=a（x-7z）?+k,

・•・抛物线对称轴为直线％=九

,."VO,m<0,

・・・抛物线开口向下，一次函数中y随x增大而减小，

设xi〈x2,则yi>>2,

Xi+x

.一i——9£>h,

2

.*.X1+X2>2/Z.

故选：D.

【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与一次函数的性质，掌握函

数与方程的关系.

二、填空题:本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.抛物线的y蒋x2-2x的对称轴为直线苫=二.

【点拨】根据二次函数的对称轴公式求解即可.

b-9

【解析】解：对称轴为直线小七%二一，二2.

2a2X1

故答案为：2.

【点睛】此题考查了二次函数的对称轴公式，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称轴公式：X=^L.

12.一个不透明的袋子中装有7个小球，其中6个红球，1个黑球，这些小球除颜色外无其它差别.小峰

同学从袋子中随机摸出1个小球，则摸出的小球是红球的概率是2.

一7一

【点拨】从袋中任意摸出一个球，共有7种等可能结果，其中是红球的有6种结果，再根据概率公式求

解即可.

【解析】解：•••从袋中任意摸出一个球，共有7种等可能结果，其中是红球的有6种结果，

从袋中任意摸出一个球，是红球的概率为反，

7

故答案为：1.

7

【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率尸（A）=事件A可能出现的结

果数+所有可能出现的结果数.

13.抛物线y=（x-1）2+2向左平移1个单位，向下平移3个单位后经过点尸（1,力，则t的值为0.

【点拨】利用平移的规律求得平移后的抛物线的解析式，然后代入点尸（1,力求得f的值即可.

【解析】解：抛物线>=（尤-1）2+2向左平移1个单位，向下平移3个单位后得到y=（X-1+1）2+2

-3,即y=x1-1,

:经过点P（1,力，

t=12-1=0,

故答案为：0.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，掌握平移的规律是解

题的关键.

14.《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的48C）.“偃

矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度.如图，点A,B,。在同一水平线上，ZABC

和尸均为直角，AP与相交于点。.测得A2=0.4〃z,BD=02m,AQ^12m,则树高PO=6

m.

P

ABQ

【点拨】根据题意可知：从而可以得到他望，然后代入数据计算，即可得到PQ

BDQP

的长.

【解析】解：由题意可得，

BC//PQ,AB=QAm,BD=0.2m,AQ=12m,

：./\ABD^/\AQP,

•••A-B=AQ-,

BDQP

即也上，

20QP

解得。尸=6,

.•.树高PQ=6m,

故答案为：6.

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

15.已知实数x,y满足/+5x+y-2=0,则x+y的最大值为6.

【点拨】用x表示》将y转化为x的二次代数式即可解决问题.

【解析】解:由题知,

=

y-J？-5x+2,

贝!Jx+y=-x2-4x+2

=-x2-4x-4+6

=-(%+2)2+6.

则当x=-2时，

x+y有最大值为：6.

故答案为：6.

【点睛】本题考查二次函数的最值，能将x+y转化为x的二次代数式是解题的关键.

16.如图，在。。中，A5是。。的直径，AB=1Q,同二而二而，点E是点。关于A5的对称点，M是

AB上的一动点，下列结论：①/BOE=60°；②/CED=L/AOD；③。M_LCE；®CM+DM的最小

2

值是10.上述结论中正确的个数是2.

【点拨】①根据等弧所对的圆心角所对得/8。。=60°；根据圆的对称性得NBOE=60°；故①正确；

②根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得NCED=]/COD，故②错误；③根据同弧所对的圆周角

等于圆心角的一半得/BMZ)=30°,再根据三角形内角和即可得QMLCE；故③正确；④作C关于A8

的对称点尸，连接C尸交AB于点M连接。尸交于点M,此时CM+DM的值最短，即为£)厂长，连

接CD,根据圆周角定理得/。=60°,/DFC=30°,再由三角形内角和得/尸。=90°,再由圆周

角定理得。尸是O。的直径，即可得出CM+DM的最小值，故④正确.

【解析】解：®VAC=CD=DB.

ZBOD=60°；

又\,点E是点D关于AB的对称点,

：.ZBOE=6Q°；故①正确；

②；NCED=//C0D，故②错误；

③由M为A3上动点，D为定点、,

.♦•OM不一定垂直于CE；故③错误；

④作C关于A2的对称点R连接C厂交于点N,连接。/交A3于点此时CM+DM的值最短，

即为。尸长，连接C。，

AF=AC=3=DB-

AZD=60°,ZDFC=30°,

：.ZFCD=180°-60°-30°=90°,

尸是o。的直径，

\'AB=10,

：.DF=10,

：.CM+DM=DF=10,故④正确.

故正确的个数为2个

故答案为：2.

【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，轴对称的应用一最短距离问题，灵活运用所

学知识求解是解决本题的关键.

三.解答题(共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第

23、24题每题12分，共72分)

17.已知二次函数y=/-4尤+3.

(1)求该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；

(2)当y<0时，直接写出尤的取值范围.

【点拨】(1)把二次函数的解析式化为顶点式，然后问题可求解；

(2)根据二次函数的开口方向和增减性可进行求解.

【解析】解：(1)y=x2-4x+3=(x-2)2-1,

.,.o=l>0,则抛物线开口向上，

而抛物线的顶点坐标为(2,-1),对称轴为直线x=2；

(2)令y=0时，则有/-4尤+3=0,

解得：Xl=l,X2=3,

由(1)可知：开口向上，当尤<2时，y随x的增大而减小，当x>2时，y随尤的增大而增大，

...当y<0时，则x的取值范围是l<x<3.

【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.

18.在一个不透明的口袋中装有白、红、黑三种颜色的小球，其中白球3个，红球3个，黑球2个，它们

除了颜色外其他都相同.

(1)从袋中随机摸出1个球，求摸出白球的概率；

(2)从袋中随机摸出1个球，求摸出黑球的概率；

(3)向袋中加几个黑球，可以使摸出红球的概率变为工？

4

【点拨】(1)根据概率公式计算，即可得到答案；

(2)根据概率公式计算，即可得到答案；

(3)设向袋中加黑球的数量为x,结合概率公式，通过求解分式方程，即可得到答案.

【解析】解：(1)根据题意，小球共3+3+2=8个，

从袋中随机地摸出1个球，共8种情况，

•.•白球3个，

•••从袋中随机地摸出1个球，摸出白球的概率=3；

8

(2)结合(1)的结论，得：从袋中随机地摸出1个球，共8种情况，

;黑球2个，

...从袋中随机地摸出1个球，摸出黑球的概率=2=1；

84

(3)设向袋中加黑球的数量为尤，

.••从袋中随机地摸出1个球，共(8+x)种情况，

•.•摸出红球的概率为』，且红球3个，

4

•••---3--.1--,

8+x4

；.x=4,

：x=4时，8+xWO,

...x=4是方程的解，

...向袋中加4个黑球，可以使摸出红球的概率变为

4

【点睛】本题考查了概率公式，解题的关键是熟练掌握概率和分式方程的性质，从而完成求解.

19.二次函数〉=办2+6无+<?中的无，y满足如表.

X.・・-10123

・・

y.0-3-4-30

(1)观察表中信息，发现。=-3，抛物线的对称轴为直线x=l

(2)方程Q/+Z?X+C=0的解为x=-1或％=3；

(3)当0<xV3时，y的取值范围为-4WyV0.

【点拨】(1)根据当％=0时，丁=-3,可得。=-3；根据对称性可求出对称轴；

(2)y=ax1+bx+c=O时，冗=-1或元=3即可得到答案；

(3)根据表格中的数据可判断出函数开口向上，进而可得当0VxV3时，y的取值范围为-4WyV0.

【解析】解：(1)1•当x=0时，y=-3,

•'•c=-3；

当x=0时和当x=2时的函数值相同，

，抛物线y=ax1+bx+c的对称轴为直线x气2=1，

故答案为：-3；直线x=l；

(2)，.,当产办2+灰+，=0时，兀=-1或工=3,

...方程a^+bx+c—O的解为X--1或x=3,

故答案为：x=-1或尤=3；

(3)顶点的纵坐标小于其它位置的纵坐标，即函数有最小值,

:.函数开口向上，

.•.当0<x<3时，y的取值范围为-4Wy<0,

故答案为：-4Wy<0.

【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与不等式之

间的关系，正确进行计算是解题关键.

20.如图，在△ABC中，D,E分别是边AB,连接。E,S.ZADE=ZACB.

(1)求证：

(2)若AE=4,AC=9,求8。的长.

【点拨】(1)根据：ZADE=ZACB,NA=NA即可解答.

(2)设BD=x,则AD=2x,AB=3x,根据相似三角形的性质可知世=幽，从而列出方程解出x的

ACAB

值.

【解析】(1)证明：VZAD£=ZACB,NA=NA,

，AADEs/XACB；

(2)解：由(1)可知：XADEsXkCB,

•AD=AE；

"AC而，

设则4O=2x,AB=3x,

；A£=4,AC=9,

.2x=_£

"T兹

解得：%=Vs(负值舍去)，

的长是仇.

【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型.

21.已知二次函数y=o?+6x+c的图象交于x轴于点A(-1,0),B(5,0),交y轴于点C(0,2).

(1)求二次函数的表达式.

(2)若点尸(m,yi),Q(m+2,”)在该二次函数的图象上，当声>*>0时，求机的取值范围.

【点拨】(1)根据题意设函数的解析式为y=a(x+1)(x-5),然后代入点C(0,2),利用待定系

数法即可求得；

m>-l

(2)根据二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征得到'm+2<5,解不等式组即可.

m+m+21o

【解析】解：(1)由题意得(x+1)(x-5),

代入点C(0,2)得，-5〃=2,

解得a=-―,

5

••y=--(x+1)(x-5),

5

・•・二次函数的表达式为y=-2?+昌什2；

55

(2)•••二次函数的表达式为y=-NA当+2；

55

二抛物线开口向下，对称轴为直线尤=2,

•.•点P(m,竺)，Q(m+2,”)在该二次函数的图象上，且yi>">0,

'm>-l

,m+2<5

m+m+2>7

2N

解得1<m<3.

【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二函

数的性质是解答此题的关键.

22.如图，△ABC内接于O。，ZABO90°,△ABC的外角/EAC的平分线交O。于点。，连接。3,

DC,DB交AC于点F.

(1)求证：△D8C是等腰三角形.

(2)若D4=DF.

①求证：BC1=DC'BF.

②若O。的半径为5,BC=6,求也好的值.

SAADF

【点拨】(1)由题意易得NBC£)+/BAO=180°,则有NE4Z)=NBC。，进而可得NE4r)=ND4C,

则NBCZ)=NC2£),然后问题可求证；

(2)①由题意易证△ZMFSZ^OBC,则有/ADF=/8r>C,进而可得NO朋=NOCB,再由相似三角

形的判定得出AFBCs4BCD,利用其性质即可证明；

②连接。。交BC于G,由题意易得D、。都在中垂线上，即。、。、G共线，进而可得£>O_LBC且8G

由相似三角形的判定得出n正MABFC,利用其性质即可求解.

【解析】(1)证明：•••四边形4BGD内接于OO,

：.ZBCD+ZBAD=180°,

"：ZDAB+ZEAD=180°,

：.ZEAD=ZBCD,

：.ZCAD=ZCBD,

•：AD平分N£AC,

：.ZEAD=ZDAC,

：.ZBCD=ZCBD,

：.DB=DC,

...△DBC是等腰三角形；

(2)①证明：・.・DA=OR

：.ZDAF=ZDFAf

：.ZDAF=NDFA=NCBD=/BCD,

：.MDAFsADBC,

：.ZADF=ZBDCf

：.ZDFA=ZDCB,

■:/DBC=/FBC,

:.△FBCS^BCD,

•・•—FB~—BC,

BCBD

:.BC2=BD-BF,

'：DB=DC,

:.BG=DC・BF；

②解：O。的半径OB为5,BC=6,如图，连接。。交2c于G,

'：BD=DC,OB=OC,

：.D,。都在中垂线上，即Z＞、0、G共线，

.•.O0_L2C且BG=GC=lBC=1X6=3,

22

在RtZXBOG中，0G=4,

.,.OG=4+0O=9,

22,

在RtZ\BDG中，由勾股定理得：BD=^9+3=3V10

；AFBCsABCD,

•••F,B=一BC-，

BCBD

•FB6

63V10

解得：FB='|VI3，

*'-DF=3VIO-4Vio

,',AD=DF="|V10,

,?ZDAC=ZDBC,ZDFA=ZBFC,

：./\AFD^/\BFC,

.BC_6_V10

,,AD-9VI0~3'

5

...S/kBCF_zBC_)2_10

^AADF皿9

【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查圆内接四边形的性质及相似三角形的判定与性质，垂径定理及

圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键.

23.对某一个函数给出如下定义：对于函数》若当函数值y的取值范围是机WyW”，且满足w

-m=t(b-a),则称此函数为〜系郡园函数”.

(1)已知正比例函数y=ox(1WXW4)为“1系郡园函数”，则°的值为多少？

(2)已知二次函数y=-/+2办+/,当时，y是"f系郡园函数”，求f的取值范围；

(3)已知一次函数y=fcc+l(aWxWb且上>0)为“2系郡园函数”,P(尤，y)是函数y=fcc+l上的

一点，若不论m取何值二次函数y=mjT+(m-2)x-2m+l的图象都不经过点P,求满足要求的点P

的坐标.

【点拨】(1)在正比例函数中，令尤=1得y=a,令无=4得y=4a,①当。>0时，4a-a—IX

(4-1),可得a=l,②当。<0时，a-4a=lX(4-1),可得a=-l；

(2)二次函数y=-j^+lax+a1的对称轴为直线x=a,求出当x=l时，y=c^+2a-1,当x=3时，y

—cr+6a-9,当尤=a,>=2品①当时，(3-1)t—n-m—(/+6。-9)-Ca2+2a-1)—4a

-8,可,得f=2a-4,知2a-422,故居2；②当2Wa<3时，(3-1)t=n-m=2a1-(/+2°-1)

=a2-2a+l,可得故③当l<a<2时，2t=n-m=a2-6a+9,同理得

l<t<2；④当时，同理得后2；

(3)根据一次函数y=fcv+lQW;cW6且上>0)为“2系郡园函数”，有(奶+1)-(faz+1)=2(/?-

a),故人=2,y=2x+l,而y=«?x2+(机-2)x-2优+1=加(/+x-2)-2x+l,可知抛物线过定点(1,

-1),(-2,5),在y=2x+l中，令尤=1得y=3,令x=-2得y=-3,即得尸为(1,3),(-

2,-3),求出过点(1,-1),(-2,5)的直线为y=-2x+l,联立［安一2乂+1,可解得两直线y

ly=2x+l

=-2x+l,y=2尤+1相交于(0,1),又抛物线也不会过点(0,1),从而可知点尸的坐标为(1,3),

(-2,-3),(0,1).

【解析】解：(1)在正比例函数y=ax中，令x=l得y=a,令x=4得y=4a,

①当4>0时，4〃>〃，

-a=lX(4-1),

解得a=l,

②当〃V0时，a>4a,

：.a-4a=lX(4-1),

・・〃=-1,

综上所述，〃的值是±1；

(2)二次函数y=-/+2狈+〃2的对称轴为直线％=〃，

当x=l时，y=a2^-2a-1,

当x=3时，y=a1+6a-9,

当x=ci9y=2〃2；

①当时，n=a2+6a-9,m=a2+2a-1,

・・・丁是〜系郡园函数”，

(3-1)t=n-m=(。2+6〃-9)-(tz2+2«-1)=4〃-8,

・•/=2a-4,

・・・2〃-422,

②当2W〃V3时，n=2a2,m=a2+2a-1,

(3-1)t=n-m=2a2--1)=a2-2tz+l,

t^-(a-1)2,

：2Wa<3,

•・・/4t<2；

③当1VaV2时,n=2a2,m=a2+6a-9,

:・2t=n~m—a-6〃+9,

二t9(a-3)，

④当时，n=a2+2a-1,m=c^+6a-9,

2t=n-m=-4〃+8,

・•./=-2。+4,

综上所述，f的取值范围为t号；

(3)I•一次函数y=fct+l(aWxWb且左>0)为“2系郡园函数”，

(妨+1)-(h+1)=2(b-a),

解得k=2.

・•・一次函数解析式为y=2x+l,

y=mj?+(m-2)x-2m+l=m(/+x-2)-2x+1,

・••当/+工-2=0时，y是定值，即函数图象过定点，

由W+x-2=0得：Xi=1,X2=