江苏专用2025版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.3圆的方程教案含解析

PAGEPAGE1§9.3圆的方程考情考向分析以考查圆的方程为主，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点，属中档题．题型主要以填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，在解答题中也会出现．圆的定义与方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆方程标准式(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心为(a，b)半径为r一般式x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要条件：D2＋E2－4F>0圆心坐标：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半径r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)概念方法微思索1．如何确定圆的方程？其步骤是怎样的？提示确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤：(1)依据题意，选择标准方程或一般方程．(2)依据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组．(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系有几种？如何推断？提示点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.题组一思索辨析1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．(×)(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(√)(4)方程x2＋2ax＋y2＝0肯定表示圆．(×)(5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0.(√)题组二教材改编2．[P111练习T4]圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是________．答案(2，－3)解析由(x－2)2＋(y＋3)2＝13，知圆心坐标为(2，－3)．3．[P111习题T1(3)]已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的标准方程为________________．答案(x－2)2＋y2＝10解析设圆心坐标为(a,0)，易知eq\r(a－52＋－12)＝eq\r(a－12＋－32)，解得a＝2，∴圆心为(2,0)，半径为eq\r(10)，∴圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.题组三易错自纠4．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是________________．答案(－∞，－2eq\r(2))∪(2eq\r(2)，＋∞)解析将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(m,2)))2＋(y－1)2＝eq\f(m2,4)－2.由其表示圆可得eq\f(m2,4)－2>0，解得m<－2eq\r(2)或m>2eq\r(2).5．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．答案－1<a<1解析∵点(1,1)在圆内，∴(1－a)2＋(a＋1)2<4，即－1<a<1.6．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________________．答案(x－2)2＋(y－1)2＝1解析由于圆心在第一象限且与x轴相切，可设圆心为(a,1)(a>0)，又圆与直线4x－3y＝0相切，∴eq\f(|4a－3|,5)＝1，解得a＝2或a＝－eq\f(1,2)(舍去)．∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.题型一圆的方程例1求经过点A(－2，－4)，且与直线l：x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．解方法一设圆心为C，所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，∴kCB＝eq\f(6＋\f(E,2),8＋\f(D,2)).∵圆C与直线l相切，∴kCB·kl＝－1，即eq\f(6＋\f(E,2),8＋\f(D,2))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝－1. ①又有(－2)2＋(－4)2－2D－4E＋F＝0， ②又82＋62＋8D＋6E＋F＝0. ③联立①②③，可得D＝－11，E＝3，F＝－30，∴所求圆的方程为x2＋y2－11x＋3y－30＝0.方法二设圆的圆心为C，则CB⊥l，可得CB所在直线的方程为y－6＝3(x－8)，即3x－y－18＝0. ①由A(－2，－4)，B(8,6)，得AB的中点坐标为(3,1)．又kAB＝eq\f(6＋4,8＋2)＝1，∴AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－3)，即x＋y－4＝0. ②由①②联立，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(11,2)，,y＝－\f(3,2).))即圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)，－\f(3,2))).∴所求圆的半径r＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)－8))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)－6))2)＝eq\r(\f(125,2))，∴所求圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(11,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3,2)))2＝eq\f(125,2).思维升华(1)干脆法：干脆求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．跟踪训练1(1)(2024·如皋模拟)已知圆C过点(2，eq\r(3))，且与直线x－eq\r(3)y＋3＝0相切于点(0，eq\r(3))，则圆C的方程为________________．答案(x－1)2＋y2＝4解析设圆心为(a，b)，半径为r，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－\r(3),a)×\f(\r(3),3)＝－1，,a－22＋b－\r(3)2＝a2＋b－\r(3)2，))解得a＝1，b＝0，则r＝2，即所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.(2)一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2eq\r(7)，则该圆的方程为______________________．答案x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0解析方法一∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，∴设所求圆的圆心为(3a，a)，又所求圆与y轴相切，∴半径r＝3|a|，又所求圆在直线y＝x上截得的弦长为2eq\r(7)，圆心(3a，a)到直线y＝x的距离d＝eq\f(|2a|,\r(2))，∴d2＋(eq\r(7))2＝r2，即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.方法二设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心(a，b)到直线y＝x的距离为eq\f(|a－b|,\r(2))，∴r2＝eq\f(a－b2,2)＋7，即2r2＝(a－b)2＋14. ①由于所求圆与y轴相切，∴r2＝a2， ②又∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，∴a－3b＝0， ③联立①②③，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝1，,r2＝9))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝－1，,r2＝9.))故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.方法三设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).在圆的方程中，令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.由于所求圆与y轴相切，∴Δ＝0，则E2＝4F. ①圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))到直线y＝x的距离为d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)＋\f(E,2))),\r(2))，由已知得d2＋(eq\r(7))2＝r2，即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)． ②又圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))在直线x－3y＝0上，∴D－3E＝0. ③联立①②③，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－6，,E＝－2，,F＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝6，,E＝2，,F＝1.))故所求圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.题型二与圆有关的最值问题例2已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求x＋y的最大值和最小值．解设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线在y轴上的截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即eq\f(|2＋－3－t|,\r(2))＝1，解得t＝eq\r(2)－1或t＝－eq\r(2)－1.∴x＋y的最大值为eq\r(2)－1，最小值为－eq\r(2)－1.引申探究1．在本例的条件下，求eq\f(y,x)的最大值和最小值．解eq\f(y,x)可视为点(x，y)与原点连线的斜率，eq\f(y,x)的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．2．在本例的条件下，求eq\r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值和最小值．解eq\r(x2＋y2＋2x－4y＋5)＝eq\r(x＋12＋y－22)，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为eq\r(34)，∴eq\r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值为eq\r(34)＋1，最小值为eq\r(34)－1.思维升华与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般依据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u＝eq\f(y－b,x－a)型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．跟踪训练2已知实数x，y满意方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)y－x的最大值和最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．解原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，eq\r(3)为半径的圆．(1)eq\f(y,x)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设eq\f(y,x)＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值和最小值，此时eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3).所以eq\f(y,x)的最大值为eq\r(3)，最小值为－eq\r(3).(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，其在y轴上的截距b取得最大值和最小值，此时eq\f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq\r(3)，解得b＝－2±eq\r(6).所以y－x的最大值为－2＋eq\r(6)，最小值为－2－eq\r(6).(3)如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何学问知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为eq\r(2－02＋0－02)＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，x2＋y2的最小值是(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3).题型三与圆有关的轨迹问题例3已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．解(1)方法一设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝eq\f(y,x＋1)，kBC＝eq\f(y,x－3)，所以eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－3)＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝eq\f(x0＋3,2)，y＝eq\f(y0＋0,2)，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．思维升华求与圆有关的轨迹问题时，依据题设条件的不同常采纳以下方法：①干脆法：干脆依据题目供应的条件列出方程．②定义法：依据圆、直线等定义列方程．③几何法：利用圆的几何性质列方程．④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满意的关系式．跟踪训练3设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．解如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，\f(y,2)))，线段MN的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－3,2)，\f(y0＋4,2))).因为平行四边形的对角线相互平分，所以eq\f(x,2)＝eq\f(x0－3,2)，eq\f(y,2)＝eq\f(y0＋4,2)，整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x＋3，,y0＝y－4，))又点N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.所以点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，直线OM与轨迹相交于两点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，\f(12,5)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,5)，\f(28,5)))，不符合题意，舍去，所以点P的轨迹为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去两点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，\f(12,5)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,5)，\f(28,5))).1．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________．答案(－2，－4)解析由题意得a2＝a＋2，a＝－1或2.当a＝－1时方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，圆心为(－2，－4)，半径为5；当a＝2时方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋(y＋1)2＝－eq\f(5,4)不表示圆．2．已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为__________．答案(0，－1)解析圆C的方程可化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(k,2)))2＋(y＋1)2＝－eq\f(3,4)k2＋1，所以当k＝0时，圆C的面积最大，此时圆心C的坐标为(0，－1)．3．若圆C经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是__________________．答案(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3,2)))2＝eq\f(25,4)解析因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m)．又因为圆与直线y＝1相切，所以eq\r(22＋m2)＝|1－m|，解得m＝－eq\f(3,2).所以圆C的方程为(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3,2)))2＝eq\f(25,4).4．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，那么与圆C有相同的圆心，且经过点(－2,2)的圆的方程是______________．答案(x－1)2＋(y＋2)2＝255．已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为________．答案(x＋3)2＋(y＋1)2＝16．圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是________________．答案x2＋y2－10y＝0解析依据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为r，则32＋(r－1)2＝r2，解得r＝5，可得圆的方程为x2＋y2－10y＝0.7．圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝eq\f(\r(3),3)x对称的圆的方程是________________．答案(x－1)2＋(y－eq\r(3))2＝4解析设圆(x－2)2＋y2＝4的圆心(2,0)关于直线y＝eq\f(\r(3),3)x对称的点的坐标为(a，b)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a－2)·\f(\r(3),3)＝－1，,\f(b,2)＝\f(\r(3),3)·\f(a＋2,2)，))解得a＝1，b＝eq\r(3)，从而所求圆的方程为(x－1)2＋(y－eq\r(3))2＝4.8．假如圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为eq\r(2)的点，则实数a的取值范围是________________．答案[－3，－1]∪[1,3]解析圆(x－a)2＋(y－a)2＝8的圆心(a，a)到原点的距离为|eq\r(2)a|，半径r＝2eq\r(2)，由圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在点到原点的距离为eq\r(2)，得2eq\r(2)－eq\r(2)≤|eq\r(2)a|≤2eq\r(2)＋eq\r(2)，∴1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1.∴实数a的取值范围是[－3，－1]∪[1,3]．9．平面内动点P到两点A，B的距离之比为常数λ(λ>0，且λ≠1)，则动点P的轨迹叫做阿波罗尼斯圆，若已知A(－2,0)，B(2,0)，λ＝eq\f(1,2)，则此阿波罗尼斯圆的方程为____________________．答案x2＋y2＋eq\f(20,3)x＋4＝0解析由题意，设P(x，y)，则eq\f(\r(x＋22＋y2),\r(x－22＋y2))＝eq\f(1,2)，化简可得x2＋y2＋eq\f(20,3)x＋4＝0.10．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________________．答案(x－2)2＋(y＋1)2＝1解析设圆上任一点坐标为(x0，y0)，xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4，连线中点坐标为(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝x0＋4，,2y＝y0－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－4，,y0＝2y＋2，))代入xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4中，得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.11．已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上，(1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)求x＋y的最大值和最小值．解方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可变形为(x－3)2＋(y－3)2＝4，则圆C的半径为2.(1)(转化为斜率的最值问题求解)eq\f(y,x)表示圆上的点P与原点连线的斜率，明显当PO(O为原点)与圆C相切时，斜率最大或最小，如图所示．设切线方程为y＝kx，即kx－y＝0，由圆心C(3,3)到切线的距离等于圆C的半径，可得eq\f(|3k－3|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(9±2\r(14),5).所以eq\f(y,x)的最大值为eq\f(9＋2\r(14),5)，最小值为eq\f(9－2\r(14),5).(2)(转化为截距的最值问题求解)设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，明显当动直线y＝－x＋b与圆C相切时，b取得最大值或最小值，如图所示．由圆心C(3,3)到切线x＋y＝b的距离等于圆C的半径，可得eq\f(|3＋3－b|,\r(12＋12))＝2，即|b－6|＝2eq\r(2)，解得b＝6±2eq\r(2)，所以x＋y的最大值为6＋2eq\r(2)，最小值为6－2eq\r(2).12．已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满意PA＝2PB.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求QM的最小值．解(1)设点P的坐标为(x，y)，则eq\r(x＋32＋y2)＝2eq\r(x－32＋y2).化简可得(x－5)2＋y2＝16，此方程即为所求．(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．由题意知直线l2是此圆的切线，连结CQ，则QM＝eq\r(CQ2－CM2)＝eq\r(CQ2－16)，当QM最小时，CQ最小，此时CQ⊥l1，CQ＝eq\f(|5＋3|,\r(2))＝4eq\r(2)，则QM的最小值为eq\r(32－16)＝4.13．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝PB2＋PA2，其中A(0,1)，B(0，－1)，则d的最大值为________．答案74解析设P(x0，y0)，d＝PB2＋PA2＝xeq\o\al(2,0)＋(y0＋1)2＋xeq\o\al(2,0)＋(y0－1)2＝2(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0))＋2.xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)为圆上任一点到原点距离的平方，∴(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0))max＝(5＋1)2＝36，∴dmax＝74.14．已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x－2y＝0的距离为eq\f(\r(5),5)，且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C的方程为__________________________．答案(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2解析设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则点C到x轴、y轴的距离分别为|b|，|a|.由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r2＝2b2，,r2＝a2＋1，,\f(|a－2b|,\r(5))＝\f(\r(5),5)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－1，,r2＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1，,r2＝2.))故所求圆C的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2.15．若圆x2＋y2＋4