2025年新高考数学复习突破讲义：两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布

专题32四大分布：两点分布、超几何分布、二项分布、

正态分布

【考点预测】

一、离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质

(1)离散型随机变量q的分布列.

表13-1

4£42•・・

P

PlP1。3Pn

①8Vpt<1(1<i<n,i£N*);

@px+p2+---pn=l.

(2)纥表示J的期望：后不邛1+^2p2+-+^p„,反应随机变量的平均水平，若随机变量J,11满足

〃=若+b，则々=aEg+b.

(3)q表示J的方差：A=值-£J0+值-£J22+…+(〃£JPn'反映随机变量4取值的波动

性。q越小表明随机变量越稳定，反之越不稳定。若随机变量〃满足/7=a&+b，则2="?。

二、几种特殊的分布列、期望、方差

(1)两点分布(又称0,I分布)

401

P1-Pp

E.=p,D?=p(l-p).

(2)二项分布：若在一次实验中事件发生的概率为p(0<^<1),则在〃次独立重复实验中恰好发生上次

概率p(&=k)=c>£(i-p)"“(左=0,1,2,…,〃)，称《服从参数为小。的二项分布，记作J

〜B(〃,p),E,=np,D.=p(l-p).

(3)超几何分布：总数为N的两类物品,其中一类为M件，从N中取〃件恰含”中的加件，

CM'N-M

m=0,l,2…,k，其中左为M与〃的较小者，P^=m）=，称J服从参数为N,M,〃的超几

玛

何分布，记作J〜H（N,M,n），此时有公式纥=?。

三、正态分布

”）2

（1）若X是正态随机变量，其概率密度曲线的函数表达式为/（耳=^^62M,xe&（其中〃,b

72兀-cr

是参数，且b>0,一8<〃<+001

其图像如图所示，有以下性质：

①曲线在x轴上方，并且关于直线x=〃对称；

②曲线在》=〃处处于最高点，并且此处向左右两边延伸时，逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；

③曲线的形状由b确定，。越大，曲线越“矮胖”，b越小,曲线越“高瘦”；

④/（X）图像与X轴之间的面积为1.

2

（2）々=〃,D?=（y，记作J~

当〃=O,b=l时，4服从标准正态分布，记作《〜N（O,1）.

（3）J〜N（〃,02），则4在（〃一b,〃+b）,（〃—2b,〃+2b）,（〃—36〃+3b）上取值的概率分

别为68.3%,95.4%,99.7%,这叫做正态分布的3b原则。

【典型例题】

例1.（2024・高三•江苏镇江•阶段练习）若随机变量X服从两点分布，其中尸（X=0）=g,£（X）,D（X）分别

为随机变量X的均值与方差，则下列结论不正确的是（）

A.尸（X=1）=E（X）B,£（3X+2）=4

()

C.D(3X+2)=4D.DX<

【答案】c

12

【解析】随机变量X服从两点分布，其中P（X=O）=".•.P（X=1）=],

i7?

£(X)=Ox_+lx_=_

v7333

D(x)=[o-|"+(12丫22

—X—二一

3J39

在A中，尸（X=1）=E（X）,故A正确；

在B中，E(3X+2)=3E(X)+2=4,故B正确；

2

在C中，D（3X+2）=9D（X）=9x-=2，故C错误；

2

在D中，D（X）=-，故D正确.

故选：C.

例2.（2024・高三・广东深圳•期末）一袋中装有大小、质地均相同的5个白球,3个黄球和2个黑球，从中任

取3个球，则至少含有一个黑球的概率是（）

7811

A'15B-15C'5

【答案】B

【解析】根据题意，至少含有一个黑球的概率是c©=.

故选：B.

例3.（2024湖南长沙一模）若X〜8100,，，则当斤=0,1,2,...,100时（）

A.P（X=/t）WP（X=50）B,尸（X=@4P（X=32）

c.P（X=左）WP（X=33）D,P（X=k）＜P（X=49）

【答案】C

【解析】由题意得：

P（X=k）＞P（X=k-1）,

P（X=k）＞P（X=k+l）,

又左为整数，可得A=33,所以尸(X=左)V尸(X=33),

故选：C.

例4.(2024•广东佛山•三模)高考是全国性统一考试，因考生体量很大，故高考成绩近似服从正态分布一般

正态分布可以转化为标准正态分布，即若Z〜,令丫/£,则丫〜NQ1),且

P(Z40)=尸]丫4yJ.已知选考物理考生总分Z的全省平均分为460分，该次考试的标准差为40,现

从选考物理的考生中随机抽取30名考生成绩作进一步调研，记「为这30名考生分数超过520分的人数，则

尸(拈1)=()

参考数据:若丫〜N(0,l),则41.5)=0.9332,0.9332”。0.1257.

A.0.8743B.0.1257C.0.9332D.0.0668

【答案】A

【解析】根据题意尸(ZW520)=尸("52。勤460]=尺yv]§=0.9332

则考生分数超过520分的概率尸(Z>520)=1-尸(ZV520)=0.0668

根据题意可得”3(30,00668),贝(JPQ21)=1一尸。=0)=1-0.93323°a0.8743

故选：A.

例5.(2024•山东枣庄一模)下列命题错误的是()

A.若数据国,如马,…，毛的标准差为S,则数据3再,3%,3马,,3%的标准差为35

327

B.若丫~3(4,0,。(幻=7,贝”(X=2)=菽

4IZo

C,若X~N(l,b2),P(X>0)=0.75,贝[j尸(0<X<2)=0.5

D.若X为取有限个值的离散型随机变量，则[E(X)『2£(片)

【答案】D

【解析】数据为，X?,%3，…，X〃的标准差为s,则数据3再，3X2,3X3,…，3%的标准差为^t=35,

故A正确；

333

X〜5(4,〃)，D(X)=~,贝iJ4p(l—P)=:，得Ml—夕)=/，

4416

P(X=2)=Cjp2q_p)2=6[Ml-p)[2=6xO=?，故B正确；

116/12o

X〜N(l,〃)，P(X>0)=0.75,

贝I]尸(0<X<2)=2P(0<X<l)=2[P(X>0)-P(X>l)]=2x(0.75-0.5)=0.5,故C正确;

X为取有限个值的离散型随机变量，

则。(X)=£(2)_[E(X)F20,故D错误.

故选：D.

例6.(2024・高二•河北唐山•阶段练习)甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继

续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮命中率均为0.6,乙每次投篮命中率

均为0.8,由抽签确定第1次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

(1)求第2次投篮的人是乙的概率.

⑵求第i次投篮的人是甲的概率.

(3)设随机事件丫为甲投篮的次数，丫=。，1,2,……，〃，求E(Y).

【解析】(1)

设第2次投篮的人是乙的概率为产，

由题意得P=0.5*0.4+0.5x0.8=0.6；

(2)由题意设匕为第〃次投篮的是甲，

贝UPn+i=0.6月+0.2(1-^,)=0AP„+0.2,

.•几1=0.4(々_；),

又"；=：十"0,则｛〜3是首项为:，公比为0.4的等比数列，

•,・**(/即

・・・第i次投篮的人是甲的概率为+(I)-1；

(3)由(2)得4=：+：x(铲

由题意得甲第i次投篮次数匕服从两点分布，且尸比=1)=1-尸(匕=0)=4,

.•.£(£与)=£«)=£4,

,当此1时，研)=/=£(|尸+(=~~2~d口-令]《

,=16j=]5331o53

5?H

综上所述，£(y)=-[l-(7)n]+T，MSN.

1oJ3

例7.(2024・高二・北京•阶段练习)地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转

化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将

数据按照[40,50),[50,60),[60,70)[70,80)[80,9。[90/0q分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.

频率

骊

O405060708090100成绩(分)

(1)求频率分布直方图中加的值；

(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70,80),[80,90),[90,100]的三组中抽取了11人，再从这11

人中随机抽取3人，记J为3人中成绩在怜0,90)的人数，求4的分布列和数学期望；

(3)转化为百分制后，规定成绩在[90,100]的为/等级，成绩在[70,90)的为B等级，其它为C等级.以样本

估计总体，用频率代替概率.从所有参加考试的同学中随机抽取3人，求获得5等级的人数不少于2人的

概率.

【解析】(1)由频率和为1可得，2x0.004xl0+0,022xl0+0.03xl0+0.028xl0+10m-l

解得加=0.012.

(2)由频率分布直方图可得，成绩在[70,80),[80,90),[90,100]的三组人数比为7:3:1,

根据分层抽样抽取的成绩在[70,80),[80,90),[90,100]的三组人数为7,3,1,

所以4的可能取值为04，2,3.

d

P偌=。）="=森3)告C2c28

ell55

C；1

P《=2)半1尸(1)=

C^-165

Mi

所以J的分布列为

0123

562881

P

1655555165

尸/八28819

.=E(5)=—x1H----x2H------x3——

v7555516511

（3）由题意，成绩为4民C等级的频率分别为0.04,0.4,0.56,

设从所有参加考试的同学中随机抽取3人，获得3等级的人数为〃，

则〃服从二项分布〃〜/3。4）,

所以获得B等级的人数不少于2人的概率为尸=C；x0.42x0.6+C；x0.43=0.352

例8.（2024•陕西西安•三模）每个国家对退休年龄都有不一样的规定,2018年开始，我国关于延迟退休的

话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查

情况如下表：

年龄段（单位：岁）[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]

被调查的人数101520m255

赞成的人数612n20122

（1）从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此年龄在口5,45）的概率为g,求出表格中〃？，”的值；

（2）若从年龄在［45,55）的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项

调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为X,求X的分布

列及数学期望.

【解析】（1）因为总共抽取100人进行调查，所以，”=100-10-15-20-25-5=25,

因为从赞成“延迟退休”的人中任选1人，其年龄在［35,45）的概率为52g=；,所以〃=13.

(2)从年龄在［45,55)中按分层抽样抽取10人，赞成的抽取10x2=8人，不赞成的抽取2人，再从这10

人中随机抽取4人，则随机变量X的可能取值为2,3,4.

则尸(X=2)=皆■盛

«3)=生U

15，

P(X=4)=/^=]

50J

§+4工”

1535

例9.(2024・陕西西安•二模)某校组织学生进行跳绳比赛，以每分钟跳绳个数作为比赛成绩(单位：个).

为了解参赛学生的比赛成绩，从参赛学生中随机抽取50名学生的比赛成绩作为样本，整理数据并按比赛成

绩分成[60,80),[80,100),[100,120),[120,140),[140,160)，口60,180]这6组，得到的频率分布直方图如

o6080100120140160180比赛成绩/个

(1)估计该校学生跳绳比赛成绩的中位数；

(2)若跳绳比赛成绩不低于140分的为优秀，以这50名学生跳绳比赛成绩的频率作为概率，现从该校学生中

随机抽取3人，记被抽取的比赛成绩优秀的学生人数为X,求X的分布列与期望.

【解析】(1)因为(0.004+0.012)x20=0.32<0.5,0.32+0.016x20=0,64>0,5,

所以该校学生比赛成绩的中位数在［100,120)内，

设该校学生比赛成绩的中位数为加，则(加-100)x0.016+0.32=0.5,

解得机=111.25,即该校学生比赛成绩的中位数为11L25.

(2)由频率分布直方图可知比赛成绩优秀的频率为(0.002+0.008)x20=0.2,

则从该校学生中随机抽取1人，被抽取的学生比赛成绩优秀的概率是02.

由题意可知X~8(3,02),

贝［(尸(X=斤)=C;X0.2&X(1—0.2)3*=c：X0.2"x0.8号(斤=0,1,2,3),

即尸(X=0)=C；x0.2°x0.83=0.512,尸(X=1)=C；x02x0.82=0.384,

=2)=C"x0.22x0.8?=0.096,P(X=3)=x0.23x0.8?=0.008

所以X的分布列为

X0123

P0.5120.3840.0960.008

故E(X)=3x0.2=0.6.

例10.(2024・全国•模拟预测)中医药学是中国古代科学的瑰宝，也是打开中华文明宝库的钥匙.为了调查某

地市民对中医药文化的了解程度，某学习小组随机向该地100位不同年龄段的市民发放了有关中医药文化

的调查问卷，得到的数据如下表所示：

[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)

31岁〜40岁481396

41岁〜50岁28102218

规定成绩在［0,60)内代表对中医药文化了解程度低，成绩在［60,100］内代表对中医药文化了解程度高.

(1)从这100位市民中随机抽取1人，求抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率；

(2)将频率视为概率，现从该地41岁〜50岁年龄段的市民中随机抽取3人，记X为对中医药文化了解程度高

的人数，求X的分布列和期望.

【解析】(1)由表格可知，成绩在［60,100］的人数为9+6+22+18=55,

所以，抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率为亮=费.

(2)根据表格可知，41岁〜50岁年龄段中，成绩在［0,60)内的人数为2+8+10=20,成绩在［60,100］内的

人数为22+18=40,

402

则随机抽取1人,这个人是对中医药文化了解3高的市民的概率八而二§,了解程度低的概率

1一二型」

603

由题意可知,则X的可能取值为（M,2,3,

30

则尸(x=o)=cY>04，

2

尸(X=l)=C；x§xI

2丫14

（）；；

PX=2=Cx3J3~9

8

P(X=3)=C；x

27

故X的分布列为

X0123

1248

P

279927

1OJQ

所以x的数学期望E(X)=0x万+lx§+2x§+3x方=2

例11.（2024・四川模拟预测）据相关机构调查表明我国中小学生身体健康状况不容忽视，多项身体指标（如

肺活量、柔初度、力量、速度、耐力等）自2000年起呈下降趋势，并且下降趋势明显，在国家的积极干预下,

这种状况得到遏制，并向好的方向发展，到2019年中小学生在肺活量、柔初度、力量、速度、而力等多项指标

出现好转，但肥胖、近视等问题依然严重，体育事业任重道远.某初中学校为提高学生身体素质，日常组织学

生参加中短跑锻炼，学校在一次百米短跑测试中，抽取200名女生作为样本，统计她们的成绩（单位：秒）,

整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）.

八A_频__率_

组距

0.18-------

0.14-------

0.06

3

O..O2

O.1

O.

.Ooio12141618202224成绩/秒

(1)估计样本中女生短跑成绩的平均数；(同一组的数据用该组区间的中点值为代表)

(2)由频率分布直方图，可以认为该校女生的短跑成绩丫~"(〃。2),其中〃近似为女生短跑平均成绩鼠4

近似为样本方差s2，经计算得$2=5.79，若从该校女生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在(11.34,20.98］内

的人数为Y,求尸任48)(结果保留2个有效数字).

附参考数据：标x2.41,随机变量X服从正态分布N"),则

尸(〃一b<X«//+cr)=0.6827,尸(4-2(J<X<+2cr)=0.9545,P(以一3cr<XV〃+3cr)=0.9974,

O.682710®0.0220,0.954510®0.6277,0.997410«0.9743,0.68279«0.0322,0.95459®0.6576.

【解析】(1)

估计样本中女生短跑成绩的平均数为：

11x0.04+13x0.12+15x0.36+17x0.28+19x0.12+21x0.06+23x0.02=16.16.

(2)由题意知》~N(16.16,5.79),〃=16.16,cr2=5.79。=7^79~2.41,

则〃-2。=11.34,〃+2。=20.98,

故该校女生短跑成绩在(H-34,20.98］内的概率。=尸(〃-2b<X4〃+2b)=0.9545,

由题意可得丫~8(10,09545),

所以尸(Y=9)=C：ox0.95459x(l-0.9545)~10x0.6576x0.0455=0.299205,

P(y=lO)=C；oxO.954510~0.6277,

所以尸(y«8)=i—尸(y=9)—Ry=io)~0.073.

例12.(2024・高三・广东湛江•期末)已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量"(单

位：g)服从正态分布N(250,/)，且P”<248)=0.1.

(1)若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于248g的概率；

(2)若从公司销售的牛肉干中随机选取K(K为正整数)包，记质量在248g〜252g内的包数为x,且

O(X)>320,求K的最小值.

【解析】(1)由题意知每包牛肉干的质量M(单位：g)服从正态分布N(250,4),且尸(M<248)=0.1,

所以尸(“2248)=1-0.1=0.9,

则这3包中恰有2包质量不小于248g的概率为C；x0.92x0.1=0.243.

(2)因为尸(M<248)=0.1,所以尸(248<M<252)=(0.5-0.1)x2=0.8,

依题意可得X〜B(K,0.8)，所以D(X)=Kx0.8x(l-0.8)=0.16K,

因为。(X)>320,所以0.16K>320,K>2000,

又K为正整数，所以K的最小值为2001.

例13.(2024•云南大理•模拟预测)目前，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.

当前,中小学教师资格考试分笔试和面试两部分，笔试通过后才能进入面试环节.已知某市2022年共有10000

名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，笔试成绩4〜N(60,102),只有笔试成绩高于70分的学生才能进入

面试环节.

(1)从报考中小学教师资格考试的考生中随机抽取6人，求这6人中至少有一人进入面试的概率；

321

⑵现有甲、乙、丙3名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为设这3名学生中通过面试的人

数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.

参考数据:若X〜则

+乏0.6827,。(4一2。(X<//+2a)«0.9545,-3(r<X<〃+3。)a0.9973,

0.841356«0.3547,0.977256*0.8710.

【解析】(1)记“至少有一人进入面试”为事件A,由已知得:〃=60,b=10,

所以尸(^《70)=1+尸(为；“J+0,27=0.84135,

则尸(/)=1-0.841356a1-0.3547=0.6453,

即这6人中至少有一人进入面试的概率为0.6453.

(2)X的可能取值为04,2,3,

P(X=l)=|x1221-|11

Xx-xXX—

3+1324'

391-131-|32111

P(X=2)=-x-x4--X+1X—X—

4443224'

「（『=泊K

则随机变量X的分布列为：

X0123

1J_11j_

尸(X)

244244

,£(X)=0xLlx'+2xU+3xL空

v724424412

【过关测试】

一、单选题

1.（2024•全国•模拟预测）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点。出发，每次向左移动的概率为

2.1

f,向右移动的概率为］,若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置,

则P(X>0)=()

।।।।»

-4-3-2-10123456%

.50c5217

A.-----B•谢D.——

243-I81

【答案】D

【解析】依题意，当X>0时，X的可能取值为1,3,5,且x

所以尸（X>0）=尸（X=5）+尸代=3）+尸"=1）

43

22

故选：D.

2.（2024•全国•模拟预测）某高三班级有校级优秀毕业生8人，其中男生6人、女生2人，从这8人中随机

选取2人作为班级代表发言.若选取的第一位是女生，则第二位是男生的概率为（）

3126

AB.——

,413D7

【答案】D

【解析】记事件A为“选取的2人中第一位是女生”，事件3为“选取的2人中，1男1女”，

则尸（/）=,=：，尸（"）=堂，所以尸（0/）=然=,

A84A814n句/

故选：D.

3.（2024・天津南开一模）已知随机变量X〜N（〃,4）,¥〜8（6,p），且P（XN4）=g,£（X）=E⑺测。=

（）

1112

A-6B-4C'30-3

【答案】D

【解析】由X〜N（〃,4）,以及P（X"）=g可得〃=4,

由于£（x）=£（y）,故6P=4,p=-,

故选：D

4.（2024•辽宁辽阳一模）辽宁的盘锦大米以粒粒饱满、口感香糯而著称.已知某超市销售的盘锦袋装大米

的质量加（单位：kg）服从正态分布N（25,〃），且尸（24.9<河<25.1）=0.8,若从该超市中随机选取60

袋盘锦大米，则质量在25kg~25.1kg的盘锦大米的袋数的方差为（）

A.14.4B,9.6C.24D.48

【答案】A

【解析】由题意知某超市销售的盘锦袋装大米的质量M（单位：kg）服从正态分布N（25,4）,

且尸（24.9<M<25.1）=0.8，故P（25<Af<25.1）=；x0.8=0.4,

从该超市中随机选取60袋盘锦大米，则质量在25kg~25.1kg的盘锦大米的袋数X~B（60,0.4）

故£>（X）=60x04x（1-0.4）=14.4,

故选：A

二、多选题

5.（2024・全国•模拟预测）下列说法正确的是（）

A.随机变量X服从两点分布，若P（X=0）=；,则E（X）=g

2

B.随机变量X〜8（〃,p）,若£（X）=30,O（X）=10,则p=§

C.随机变量X服从正态分布N（4,1）,且尸（X25）=0.1587，则尸（3<X<5）=0.8413

D.随机变量X服从正态分布N（3,4）,且满足X+2F=3,则随机变量¥服从正态分布N（0,1）

【答案】BD

122

【解析】对于A，随机变量X服从两点分布，由P（X=0）=§，得尸（x=l）=§,则£（x）=1,A错误；

2

对于B,随机变量工~8（〃,0）,有E（X）=〃p=30,D（X）=np[1-p）=10,解得p=§,B正确；

对于C,随机变量X~N（4,1），则尸（XW3）=尸（XN5）=0.1587,

尸（3<X<5）=1-尸（XV3）-P国25）=1-2尸>5>1-2x0.1587=0.6826,C错误;

2—Y311

对于D，随机变量X,y满足X+2L3，则丫=丁,E（Y）=---E（X）=0,D（Y）=-D（X）=1,因此

丫〜N（0,l）,D正确.

故选：BD

6.（2024辽宁•三模）若随机变量X〜8110，皆，下列说法中正确的是（）

A.尸（X=3）=m）B,期望?

C.期望E（3X+2）=22D.方差。（3X+2）=20

【答案】BCD

【解析】A选项：因万~《10,£|,所以尸（x=3）=C：r|：i-，故A错误.

220

B选项:£（X）=10x-=y,故B正确.

20

c选项:E（3X+2）=3£（X）+2=3x丁+2=22，故C正确.

2（2、2090

D选项：D（^）=10x-x^l--J=—,D（3X+2）=32D（^）=9x—=20,故D正确.

故选：BCD.

7.（2024浙江模拟预测）已知随机变量从二项分布,1001,3，则（）

A.尸(X=Q=C：ooiB.尸(X4301)=尸(X2701)

(

C.Px>£(X))>|D.P(X=左)最大时上=500或501

【答案】AD

z[\kz[、10014

【解析】对A,尸(x=0=c；M51--

3011001

对B,因为尸(X4301)=EP(X=Q,P(X>700)=£P(X=心目鼾⑼=C；：：；

k=0左=700

所以尸(X<301)=P{X>700),所以B错；

对C,因为E(X)=:%=1001x；=500.5,

10011

所以P(X>E(X))=尸(X>500.5)=ZRX=k)F,所以c错；

k=5012

（A'I。。】

对D,因为尸（X"）=C盆KJ,由组合数的性质得，尸（X=后）最大时后=500或501,所以D对.

故选：AD

8.（2024・全国•模拟预测）某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品,

已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工/从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B

从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品.设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X,员工2抽取到

的3件产品中次品数量为乙笈=0,1,2,3.则下列判断正确的是（）

A.随机变量X服从二项分布B.随机变量丫服从超几何分布

C.P（X=k）＜P（Y=k）D,E（x）=£（y）

【答案】ABD

【解析】对于A,B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知两个选项均正确；

对于D选项，该批产品有河件，则E（X）=3《=雪，

9）=尹C/C;/45或二15m一1）（.一2）=竺因此口正确.

（）hClh因此D正确,

对于C选项，假若C正确可得E（X）＜以y）,则D错误，矛盾！故C错误.

故选：ABD.

9.(2024・高三・山东范泽•阶段练习)若X~N(100,L52),则下列说法正确的有

()

A.P(X<100)=g

B.E(X)=L5

C.尸(X<101.5)=[(X>98.5)

D,P(97<X<101.5)=P(98.5<X<103)

【答案】ACD

【解析】由丫~阳100,1.52)，可得期望为〃=10。，方差为与=1.52,

对于A中，根据正态分布曲线的对称性，可得尸(X<10。)=g,所以A正确；

对于B中，因为〃=100,即E(X)=100,所以B不正确；

对于C中，根据正态分布曲线的对称性，可得尸(X<101.5)=尸(X<98.5),所以C正确；

对于D中，由正态分布曲线的性质,可得尸(97<X<101.5)=尸(〃-2b<X<〃+b),

且尸(98.5<X<103)=P(〃一cr<X<〃+2cr),

可得尸(97101.5)=尸(98.54£<103),所以D正确.

故选：ACD.

10.(2024•江苏宿迁一模)设随机变量X~N(0,l),〃x)=P(X4x),其中x>0，下列说法正确的是()

A.变量X的方差为1,均值为0B.P(|JV|<x)=l-2/(x)

c.函数f(x)在(0,+8)上是单调增函数D./(-x)=l-/(x)

【答案】ACD

【解析】随机变量X~N(0,l)n4=0,则A正确；

P(^<x)=P(-x<X<x)=l-2[l-f(x)]=2f(x)-l,则B错误；

随机变量X~N(0,l),结合正态曲线易得函数/'(x)在(0,+8)上是单调增函数，则C正确；

正态分布的曲线关于x=0对称，/'(-X)=P(X4r)=尸(X2@=1-9,则D正确，

故选：ACD.

11.（2024•新疆•二模）坐式高拉训练器可以锻炼背阔肌，斜方肌下束.小明是一个健身爱好者，他发现健身

房内的坐式高拉训练器锻炼人群的配重X（单位：kg）符合正态分布N（27.5,4）,下列说法正确的是（）

参考数据：-o-<X<ju+a）=0.6827,-2（J<X<JLI+2CT）=0.9545,

PQz—3。<XW〃+3。）=0.9973

A.配重的平均数为4kg

B.P（23.5<X429.5）=0.8186

C.b=2

D.1000个使用该器材的人中，配重超过33.5kg的有135人

【答案】BC

【解析】对于A项，由配重X（单位：kg）符合正态分布N（27.5,4）可知，配重的平均数为27.5kg,故A

项错误；

对于B项，由配重X（单位：kg）符合正态分布N（27.5,4）可知〃=27.5,b=2,故

月（23.5<X<29.5）二尸（〃—2。<X<〃+。）

=P（〃-2cr<X<〃+2cr）-g[P（〃-2b<X<〃+2<7）-P（〃一cr<X<〃+cr）]

=0.9545-1（0.9545-0.6827）=0.8186,故B项正确；

对于C项，显然正确；

对于D项，因尸（X>33.5）=尸（X>〃+3b）=g[l-尸（〃一3cr<X<〃+3b）]=-0.9973）=0.00135,

故1000个使用该器材的人中，酉己重超过33.5kg的约有1000x0.00135=1.35。2人,故D项错误.

故选：BC.

三、填空题

12.（2024・高三・江西吉安•阶段练习）已知随机变量X服从两点分布，且尸（X=0）=2。，P（X=\）=a,那

么".

【答案】|

【解析】由题意可知尸（万=0）+2（万=1）=2。+。=1,解得。=；.

故答案为：!

13.（2024・高三•全国•课后作业）袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球，至少

7

得到I个白球的概率是3.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X,求随机变量X的数学期

.

3

【答案】-

【解析】设袋中白球数为〃.

设从中任摸2个球至少得到1个白球为事件A，任取两球无白球为事件N,

所以尸（彳）=/=6，

解得〃=5,即袋中有5个白球.

所以离散型随机变量X的取值可能为：0,1,2,3,

r°C31ClC25

尸（X=0）==—p（x=1）==—

□Ci3o'142，Jco3匕121

尸（、=2）=詈=,,尸（万=3）=1=卷,

joI』jo

14.（2024・高三・浙江•阶段练习）甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制.如果每局比

21

赛中甲获胜的概率为；，乙获胜的概率为公，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率

为.

2

【答案】-/0.4

【解析】设甲获得冠军为事件N,比赛共进行了3局为事件B,

则AB表示在甲获得冠军的条件下，比赛共进行了3局，

2221212220

尸⑷=—X+—X—x+—X—x

3333333327

P（皿二八「+，」」=立

'J33333327'

8

所以加"）=常=为4

27

2

故答案为：I，

15.（2024•全国模拟预测）小明同学进行射箭训练，每次射击是否中靶相互独立，根据以往训练情况可知

小明射击一次中靶的概率为;,则小明射击3次恰好有2次中靶的概率为.

4

【答案】-

【解析】由题可知小明同学射击3次恰好有2次中靶的概率为cjg］x：

4

故答案为：--

16.（2024•四川遂宁•模拟预测）为舒缓高考压力，射洪中学高三年级开展了“葵花心语”活动，每个同学选择

一颗葵花种子亲自播种在花盆中，四个人为一互助组，每组四人的种子播种在同一花盆中，若盆中至少长

出三株花苗,则可评为“阳光小组”.已知每颗种子发芽概率为0.8,全年级恰好共种了500盆，则大概有一

个小组能评为“阳光小组”.（结果四舍五入法保留整数）

【答案】410

【解析】由题意知，每一盆至少长出三株花苗包括“恰好长出三株花苗”和“长出四株花苗”两种情况，

其概率为C：XoU+C：x（1-0.8）X0.G=0.8192,

即一盆花苗能被评为“阳光小组”的概率为0.8192,且被评为“阳光小组”的盆数X服从二项分布

y~B（500,0.8192）,

所以500盆花苗中能被评为“阳光小组”的有500x0.8192=409.6«410.

故答案为：410

17.（2024・全国•模拟预测）已知某种零件的尺寸（单位：mm）在［83.8,86.2］内的为合格品.某企业生产的

该种零件的尺寸X服从正态分布N（85,〃）,且尸（X<83.8）=0」，则估计该企业生产的2000个零件中合格

品的个数为.

【答案】1600

【解析】解法一：因为X服从正态分布N(85,〃),且尸(X<83.8)=0.1,

所以该企业生产的该种零件合格的概率尸(83.84XW86.2)=1-2Hx<83.N=1-2x0.1=05，

所以估计该企业生产的2000个零件中合格品的个数为0.8x2000=1600.

解法二：因为X服从正态分布N(85,〃),且尸(X<83.8)=0.1,

所以尸(X>86.2)=0.1,

所以该企业生产的该种零件不合格的概率为尸(X<83.8)+P(X>86.2)=0.2,

所以估计该企业生产的2000个零件中合格品的个数为(1-