2025年中考数学分类复习：几何综合压轴题（解析版）

与集19几何徐合止柚集

5年考情•探规律

考点五年考情(2020-2024)命题趋势

2024•广东卷：旋转的性质、中位线的性质、外角定理、相似三角形的判定

与性质、勾股定理、解直角三角形本题型是中

2023•广东卷：矩形的性质、圆的切线的性质、含3。度角的直角三角形的考的几何压

广东卷性质、等腰直角三角形的性质与判定、中位线的性质定理、角平分线的判轴大题，是

定定理对学生所学

2021•广东卷：等腰三角形等腰对等角、梯形中位线定理、割补法求四边形知识的灵活

的面积、圆的切线的证明方法运用及分析

2024•广州卷：轴对称的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、圆问题解决问

周角定理的应用、锐角三角函数的应用、勾股定理的应用、切线的性质题能力的全

2023•广州卷：正方形的性质，全等三角形的判定和性质、旋转的性质、轴面考察，知

对称的性质识点范围

广州卷

2022•广州卷：菱形的性质、等边三角形的判定和性质、二次函数的性质、广，综合性

三角形的重心、解直角三角形等强，难度系

2021•广州卷：菱形的性质、平行四边形及相似三角形的判定与性质数较大，既

2020•广州卷：圆与正多边形的综合以及动点问题能考察基础

2024•深圳卷：垂中平行四边形的定义、平行四边形的性质与判定、相似三知识和基本

角形的判定与性质、勾股定理、尺规作图、等腰三角形的判定与性质技能，又考

2023•深圳卷：相似三角形的性质与判定、平行四边形的性质、解直角三角查数学思想

形、矩形的性质方法和数学

2022•深圳卷：圆的性质、弧长公式、勾股定理、中位线、利用锐角三角函能力，区分

数值解三角函数度较大，同

深圳卷

2022•深圳卷：四边形的综合、全等三角形的判定、相似三角形的判定与性学们在复习

质、三角形角平分线的性质、勾股定理及应用时，要注重

2021•深圳卷：相似三角形的判定和性质、三角形中位线的性质、等腰直角总结常考的

三角形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质、锐角三角函数几何模型，

2020•深圳卷：正方形的性质、菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定举一反三。

与性质、相似三角形的判定与性质

1

5年真题•分点精准练

广东卷

1.（2024・广东•中考真题）【知识技能】

（1）如图1,在V/3C中，DE是V4BC的中位线.连接。，将△ADC绕点。按逆时针方向旋转，得到

^A'DC.当点£的对应点Q与点N重合时，求证：AB=BC.

【数学理解】

（2）如图2,在VN3c中（43<BC）,DE是V4BC的中位线.连接CD,将△/DC绕点。按逆时针方向旋

转，得到AHOC',连接48,CC，作的中线。厂.求证：2DFCD=BDCC'.

【拓展探索】

432

（3）如图3,在V/3C中，tan8=1,点。在48上，AD=—.过点。作DEL3C,垂足为£,BE=3,

32

CE=3.在四边形4DEC内是否存在点G,使得乙46。+/。6石=180。？若存在，请给出证明；若不存在,

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，证明见解析

【分析】（1）根据中位线的性质、旋转的性质即可证明；

（2）利用旋转的性质、外角定理、中位线的性质证明后即可证明；

（3）通过解直角三角形得到。E=4,BD=5,过点C作O6于点易证ABDES^BCM,得到

—=—=—,即可求得，进而从而点”是AD的中点，过点。作DP〃8C,

BCCMBM552

交CM于点、P,连接/尸，CP,EP,根据三线合一得=证明△尸。

2

即可求的尸。=匕，过点尸作PN,5c于点N,则四边形。硒P是矩形，得到EN=¥=《EC,因此点N

332

是石。的中点，amZEPN=ZCPN=-ZEPC,再证△尸瓦中-血尸M,得到/£尸N=/尸。”，根据

2

/MPD+/PDM=900,即可推出/EPC+/4P0=18O。，因此当点G与点尸重合时，满足

ZAGD+ZCGE=\S00.

2

【详解】证明：（1）DE是V4BC的中位线,

DE^-BCS.AD=DB=-AB.

22

又・•,AADC绕点D按逆时针方向旋转得到^A'DC

DE=AD

AB=BC.

(2)由题意可知：DC=DC,DA=DA,NCDC=ZADAL

作DG1CC,贝l|CG=C'G=-CCS.ZCDG=ZC'DG=-ZCDC,

22

又BD=DA=DA',

■.NA'BD=ZBA'D.

根据外角定理

NA'DA=ZA'BD-ZBA'D,

ZBA'D=-ZA'DA,

2

ZBA'D=ZC'CG.

又DB=DA,。歹是的中位线，

DF1A'B,

ZA'FD=90°,

△AFDMDGC',

.DFA'D

"'CG~'CD，

DFBD

.•七F，

2

2DFCD=BD-CC.

(3)存在点G使得N/GD+NCGE=180。.

；DE1BC,

：.ZDEB=90°,

4

・••在月中，DE=BE-tanB=3x-=4,

3

BD=YIBE2+DE2=A/32+42=5

过点。作〃1AB于点、M,

：./CMB=/DEB=90。，

*.*/B=/B,

：.小BDEs小BCM

543

BDDE翁即

3+卫CMBM，

BCCMT

41

:,BM=—

5

：.DM=BM-BD=—-5=—

55

32

AD=—

5

：.DM^-AD,

2

・••点M是/。的中点,

JCM是AD的垂直平分线,

过点。作。?〃BC,交CM于点P,连接4P,CP,EP

：.PA=PD,

：.根据三线合一得ZDPM=NAPM,

•:DP〃BC,

：.ZMDP=AB,

ZPMD=/DEB,

:.APDMSADBE,

16

,PD器，即如

5，

DB

53

4

过点P作尸于点N,则四边形。£NP是矩形,

EN=DP=PN=DE=4

3

32

•・・EC=——

3

：.EN=-EC,

2

.••点N是EC的中点,

/.PN垂直平分EC,

：.PE=PC,

.・・ZEPN=ZCPN=-ZEPC,

2

?N_4_3

DMBE_3

V£7V_16"4，

PM-DE-4’

T

.PNDM

•,EN~PM，

又/PNE=/DMP=90。,

：./\PEN^/\DPM,

：.ZEPN=ZPDMf

ZMPD+ZPDM=180°-ZPMD=90°,

NMPD+NEPN=90。

即；/£750+；//P0=90。，

：.ZEPC+ZAPD=1SO°f

：.当点G与点P重合时，满足/AGD+ZCGE=180。.

【点睛】本题考查了旋转的性质、中位线的性质、外角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直

角三角形，熟练掌握知识点以及灵活运用是解题的关键.

2.（2023•广东•中考真题）综合探究

如图1,在矩形Z5CQ中（々＞4。），对角线4G3。相交于点。，点A关于助的对称点为4,连接44,交

BD于点E,连接CH.

5

图1图2图3

(1)求证：AA'1CA'；

(2)以点。为圆心，。£为半径作圆.

①如图2,O。与CD相切，求证：AA，=辰才;

②如图3,与。，相切，AD=\,求。。的面积.

【答案】⑴见解析

⑵①见解析；②"0兀

【分析】(1)由点A关于8。的对称点为4可知点E是力4的中点，44£0=90。，从而得到OE是的

中位线，继而得到OE〃/'C,从而证明/4LC4；

(2)①过点。作。尸，于点R延长尸。交CD于点G,先证明AOCG也AO4F(AAS)得到OG=O尸，由

O。与CD相切，得到OG=OE,继而得到OE=OF,从而证明/O是/区4尸的角平分线，即

ZOAE=ZOAF=x,求得/ZOE=2x,利用直角三角形两锐角互余得到N/OE+NCUE=90。，从而得到

ZOAE=30°,即N4NC=30。，最后利用含30度角的直角三角形的性质得出44,=；

②先证明四边形/'夙阳是正方形，得到。£==,再利用OE是A/C4'的中位线得到OE=；/'C,

从而得到OH=CH,ZOCH=45°,再利用平行线的性质得到/49E=45。，从而证明△/£(?是等腰直角三

角形，AE=OE,设4E=OE=r,求得。E=(夜一l)r,在RL/DE中，/炉+。炉=/》即

r2+(V2-l)2r2=l2,解得，=32,从而得到。。的面积为5=42=后◎万.

【详解】(1).••点A关于的对称点为4,

...点£是441的中点，ZAEO=90°,

又•••四边形/BCD是矩形，

二。是4c的中点，

.♦.OE是AZCH的中位线，

OE//A'C

：.ZAA'C=ZAEO=90P,

6

AA'1CA'

(2)①过点。作。尸，于点R延长尸。交CD于点G,则/*=90。,

•.,四边形N2C。是矩形，

AAB//CD,AO=BO=CO=DO,

：.NOCG=NOAF,NOGC=NOFA=90°.

•：NOCG=NOAF,NOGC=NOFA=90°,AO=CO,

：.AOCG^AOAF(AAS),

OG=OF.

与CD相切，OE为半径，ZOGC=90°,

：.OG=OE,

：.OE=OF

又：Z/1EO=90。即OE_L/E,OFLAB,

4。是/E/F的角平分线，即/O/E=/O4F,

设/O/E=NO/尸=x,贝U/OCG=NO/尸=尤，

又：CO=DO

/.NOCG=20DG=x

：.AAOE=ZOCG+NODG=2x

又：N4EO=90°,即是直角三角形，

/.ZAOE+ZOAE=9Q°,即2x+x=90°

解得：尤=30°,

二ZOAE=30°,即ZA'AC=30°,

在Rt^H/C中，ZA'AC=30°,ZAA'C=90°,

AC=2CA',

22,2,2

AA'=^AC-CA'=A/(2C4)-C4=辰A;

②过点。作于点”，

7

A'

H

,?OO与。，相切，

OE=OH,ZA/HO=90°

'：ZAA'C=NAEO=ZA'EO=ZA'HO=90°

，四边形HEOH是矩形，

又：OE=OH,

，四边形4EOH是正方形，

：.OE=OH=A'H,

又「OE是的中位线，

OE=-A'C

2

A'H=CH=-AC

2

OH=CH

又：ZA'HO=90°,

ZOCH=45°

又，：OE〃AC,

：.ZAOE=45°

又•.•/4EO=90°,

.•.△/EO是等腰直角三角形，AE=OE,

^AE=OE=r,则/o=DO=J/炉+。炉=扬

DE=DO-OE=^2r-r=[41-^r

在Rt"DE中，AE2+DE2=AD2，AD=1

即户+(百一1『户=]2

2112+J2

•y-----------------------—---------

1+(V2-1)24-264

；•QO的面积为：S=nr'=2+亚式

【点睛】本题考查矩形的性质，圆的切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质

与判定，中位线的性质定理，角平分线的判定定理等知识，掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键.

8

3.（2021・广东•中考真题）如图，在四边形/BCL（中，ABUCD,ABCD,NABC=90°,点E、厂分别在线

段8C、上，S.EF//CD,AB=AF,CD=DF.

（1）求证：CFLFB-,

（2）求证：以为直径的圆与8C相切；

（3）若EF=2,NDFE=120°,求V/OE的面积.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）|V3

【分析】（1）设尸C=c,进而求得乙42尸=乙4用=90。-。，再由

ZCFB=180°-ZCFD-ZBFA=90°即可求得CF工FB；

⑵取4D中点过点。作OMLBC,由梯形中位线定理得到OM=；（NB+CD）,利用/尸=48,DF=DC

得到AD=2OA,进而OA=OM=OD,由此即可证明；

EF2I-

⑶过点。，点4分别向所作垂线交所于点N,得到△斯o+S△所）,分别求出5月=耳=§6,

CE=6EF=28再代入求解即可.

【详解】解：（1）・.・=Q产，设/DCF=/DFC=a,

：.ZFDC=lS00-2a,

■:CD〃AB,

：.ZBAF=180°-（180°-2a）=2a,

又,:AB=AF,

182a

：.ZABF=ZAFB=0°~=90°-a

2f

ZCFB=180。—ZCFD-ZBFA=180。一a-（90。—a）=90°,

：.CFLBF.

（2）如图，取4。中点O,过点。作。

9

•；CD〃AB,ZABC=90°,

：.ZDCB=90。,

又・・・(W_L3C,

：.OM〃AB,

・・・M为5c中点,

：.OM=^[AB+CD},

,/AD=AF+DF,

又「AF=AB,DF=DC,

AD=AB+CD=2OM,

又「AD=20A,

：.OA=OM=OD,

・••以4。为直径的圆与BC相切.

(3)VZDFE=120°fCD〃EF〃AB,

：.ZCDA=60°,ZBAD=nO°,ZAFE=60°,

又「DC=DF

「•△OC/为等边三角形，NDFC=/FCD=6。。，

,:CD〃EF,

：.ZCFE=/FCD=60°,

由(2)得：/CFB=90。，

：./EFB=30。，

：.ZBFA=ZFBA=30°,

,:EF=2,在RtABFE中,三边之比为1：Q：2,

・•・田篝=|5

在RMCEF中,三边之比为1:6:2,

:・CE=y5EF=2区

10

如图，过点。，点/分别向E尸作垂线交所于点N,

DCEM=£EMD=£ECD=90°,

四边形CWE为矩形，

•••CE=DM=26，

同理，四边形BENA为矩形，

BE=AN=-V3,

3

S.DE=SAEFD+S-EFA=--EF-DM+--EF-AN

=~EF\DM+AN)

【点睛】本题考查了等腰三角形等腰对等角、梯形中位线定理、割补法求四边形的面积、圆的切线的证明

方法等，熟练掌握各图形的基本性质是解决本题的关键.

广州卷

4.（2024・广东广州•中考真题）如图，在菱形N2CZ）中，NC=120。.点E在射线8C上运动（不与点8,点

C重合），即关于/E的轴对称图形为△/£1尸.

（1）当/A4尸=30。时，试判断线段/尸和线段ND的数量和位置关系，并说明理由;

（2）若48=6+66，。。为厂的外接圆，设。。的半径为，J

①求，的取值范围；

11

②连接心，直线ED能否与。。相切？如果能，求BE的长度；如果不能，请说明理由.

【答案】（1）/尸=/£>,AF1AD

⑵①北3+3内且rw2G+6;②能，BE=12

【分析】（1）由菱形的性质可得NB/O=NC=120。，AB=AD,再结合轴对称的性质可得结论；

（2）①如图，设△/£下的外接圆为。。，连接4C交AD于连接CM,0E,OF,OC,证明V4BC为

等边三角形，4EI,C共圆，ZAOE=2ZAFE=120°,。在3。上，//E。=/瓦4。=3（F,过。作OJ_L/£

于J,当ZE_LBC时，/E最小，则/。最小，再进一步可得答案；②如图，以A为圆心，NC为半径画圆,

可得民C/,。在。/上，延长C4与。/交于连接ZU,证明/。尸。=180。-30。=150。，可得/OFC=60。，

△OCF为等边三角形，证明NA4尸=120。-30。=90。，可得：NBAE=NFAE=45。,BE=EF,过£作

瓦欣_1/万于可，再进一步可得答案.

【详解】（1）解：AF=AD,AFA.AD；理由如下：

:在菱形N8CA中，ZC=120°,

ABAD=ZC=120°,AB=AD,

:ZBAF=30°,

：.ZFAD=nO°-30°=90°,

AFLAD,

由对折可得：AB=AF,

：.AF=AD

（2）解：①如图，设△/好的外接圆为OO,连接/C交AD于H.连接OE,OF,OC,

:四边形NBC。为菱形，/BCD=120°,

：.AC1BD,ABCA=60°,BA=BC,

.•.V4BC为等边三角形，

/.NABC=ZAFE=60。=ZACB,

共圆，NAOE=2NAFE=120。，。在8。上,

VAO=OE,

：.ZAEO=NEAO=30P,

过。作OJ_L/E于J,

12

・•・AJ=EJ,A0=-^—AJ,

3

h

；.AO=—AE,

3

当时，/E最小，则4。最小，

•・・/B=6+65ZABC=60°,

石=/2与1160。=（6+66）X号=36+9，

40=学3用9）=3+36;

,・•点£不与5、C重合，

.•./E29+3百，且/八6+6百，

『的取值范围为北3+36且rw20+6;

②。尸能为。。的切线，理由如下：

如图，以A为圆心，/C为半径画圆，

,?AB=AC=AF=AD,

：.尻C/,。在。/上，

延长C4与。/交于人连接“，

同理可得A/C£＞为等边三角形,

ZCAD=60°,

ZCLD=30°,

ZCFD=180°-30°=150°,

13

•・•£）尸为。。的切线，

ZOFD=90°,

・・・NOFC=60。,

・.•OC=OFf

：.ZiOCF为等边三角形，

・•・ZCOF=60°f

：.ZCAF=-ZCOF=30P,

2

・•・/ZU尸=60。-30。=30。，

ZBAF=120°-30°=90°f

由对折可得：/BAE=/FAE=45。,BE=EF,

过E作尸于M,

：.^AM=EM=x,

•・•ZEFM=60°,

：.FM=—EM=—X，

33

x+^-x=6+6A/3，

3

解得：x=6G，

：.FM=—x6yfi=6,

3

JBE=EF=2FM=12.

【点睛】本题考查的是轴对称的性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，锐角

三角函数的应用，勾股定理的应用，切线的性质，本题难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键.

5.（2023•广东广州•中考真题）如图，在正方形48CD中，£是边4D上一动点（不与点4,。重合）.边3C

关于对称的线段为AF，连接

AED

BC

（1）若/48£=15。，求证：2XAS厂是等边三角形；

（2）延长E4,交射线于点G；

①4BG歹能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由;

②若AB=^+a，求b面积的最大值，并求此时/£的长.

14

【答案】（1）见解析⑵①ABGE能为等腰三角形，/ABE=225°；②AE=#）

【解析】

【分析】（1）由轴对称的性质得到AF=5。，根据正方形的性质得到乙46c=90。，求得NCS£=75。，

根据轴对称的性质得到ZFBE=ZCBE=75°，根据等边三角形的判定定理即可得到结论；

（2）①根据轴对称的性质得到=根据正方形的性质得到BC=48,得到切<5£<5G,推

出点3不可能是等腰三角形BGF的顶点，若点F是等腰三角形BGF的顶点，则有

ZFGB=ZFBG=ZCBG,此时E与。重合，不合题意，于是得到只剩下GE=G8了，连接CG交

于H,根据全等三角形的性质得到FG=CG,得到ABG尸为等腰三角形，根据平行线的性质得到

AAHG=ZBCG,求得NBGF=ZBGC=-ZFGH=45°,根据等腰三角形的性质得到

2

ZGBC=ZGCB=1（180°-ZBGC）=67.5°,于是得到

ZABE=ZABC-ZGBC=90°-67.5°=22.5°；

②由①知，ACBGWFBG,要求ABG尸面积的最大值，即求ABGC面积的最大值，在ABGC中，底边

是定值，即求高的最大值即可，如图2,过G作GPL5c于尸，连接/C,取ZC的中点连接GM,

作MN1BC于N,设AB=2x,则AC=2瓜，根据直角三角形的性质得到

====推出尸GWGM+上加=（行+1）%，当当G,M,N三点共线时，

取等号，于是得到结论；如图3,设尸G与/。交于。，则四边形ZAP。是矩形，根据矩形的性质得到

AQ=PB=x,PQ=AB=2x,求得QM=MP=x,GM=gx，于是得到结论.

【小问1详解】

证明：由轴对称的性质得到BF=BC,

•.•四边形48CD是正方形，

ZABC=90°,

•••ZABE=15。,

：.ZCBE=75°,

VBC于BE对称的线段为BF，

ZFBE=NCBE=75°,

ZABF=ZFBE-ZABE=60°,

zX/B/是等边三角形；

【小问2详解】

①•••5C于8E对称的线段为BF，

二BF=BC

15

•.•四边形48CD是正方形，

BC=AB,

：.BF=BC=BA,

；E是边4D上一动点，

BA<BE<BG,

；•点B不可能是等腰三角形的顶点，

若点尸是等腰三角形BGF的顶点，

则有ZFGB=ZFBG=ZCBG,

此时£与D重合，不合题意，

只剩下Gb=G8了，连接CG交幺。于H,

BC=BF,ZCBG=ZFBG,BG=BG

AC5G包FSG(SAS)

FG=CG,

：.BG=CG,

ABGR为等腰三角形，

BA=BC=BF,

：.NBFA=NBAF,

,:ACBGQNFBG,

ZBFG=/BCG

：.AD//BC

ZAHG=ZBCG

：.ZBAF+/HAG=ZAHG+/HAG=18。。一/BAD=90°

ZFGC=180°-/HAG-ZAHG=90°,

ZBGF=ZBGC=-ZFGH=45°

2

GB=GC

：.ZGBC=ZGCB=1(180°-NBGC)=67.5°

ZABE=ZABC-ZGBC=90°-67.5°=22.5°；

16

②由①知，.CBGaFBG

要求ABG尸面积的最大值，即求ABGC面积的最大值，

在ABGC中，底边5C是定值，即求高的最大值即可，

如图2,过G作GPLBC于尸，连接/C,取/C的中点M,连接G/,作MN-LBC千N,

图2

设/8=2x,则/C=2缶，

VZAGC=90°,河是ZC的中点，

：.GM=-AC=42x,MN=-AB=x,

22

，PG<GM+MN=(y/2+l)x，

当G,M,N三点共线时，取等号，

：,ABGF面积的最大值，

△5Gb的面积二L5。尸G

2

=(行+1卜之

=1(V2+l)x(V3+V6)2

_21+15近

"4

如图3,设PG与40交于。，

G

A.^t/\\HD

Iri\I

BP(N)C

图3

则四边形ABPQ是矩形，

AQ=PB=x,PQ=AB=2x,

QM=MP=x,GM=瓜，

17

G2=1(V2-1),

•/QE+AE-AQ=x,

.AQV2+1

••=,

AE2

【点睛】此题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，轴对称

的性质，正确地作出辅助线是解题的关键.

6（2022•广东广州•中考真题）如图,在菱形48c。中,ZBAD=120°,63=6,连接8。.

⑴求8。的长；

⑵点E为线段AD上一动点（不与点2,。重合），点尸在边/。上，且BE=dDF,

①当C£_LN3时，求四边形的面积；

②当四边形ABE尸的面积取得最小值时，CE+百CF的值是否也最小？如果是，求CE+百。尸的最小值；如

果不是，请说明理由.

【答案】（1）8。=6百；

（2）①四边形环的面积为76；②最小值为12

【分析】（1）证明是等边三角形，可得8。=33，即可求解；

（2）过点E作4D的垂线，分别交4D和3c于点N,根据菱形的面积可求出,设BE=x,

贝i|£N='x,从而得至1]£70=叱-£'=3右一!工，再由2£=百。/，可得£）尸=曲》，从而得到四边形的

223

面积s=S/8。-斯=^|卜_36『+三8,①当CE_L/2时，可得点E是重心，从而得到

22

BE=CE=-50=-x3V3=2V3,即可求解；②作于，，可得当点£和尸分别到达点。和点〃位置

18

时，CF和C£分别达到最小值；再由s=*1-36）2+^^,可得当x=3。，即班=36时，S达到最

小值，从而得到此时点£恰好在点。的位置，而点尸也恰好在点"位置，即可求解.

【详解】（1）解：连接/C,设NC与8。的交点为。，如图，

•.•四边形/BCD是菱形，

J.ACLBD,OA=OC,AB//CD,4c平分ND4B,

/BAD=120。,

：.ZCAB=60°,

**.AABC是等边三角形，

50=4841160。=6xy=35

2

：.BD=2BO=6y[3;

(2)解：如图，过点E作/。的垂线，分别交4D和3C于点“，N,

,**4ABe是等边二角形，

：.AC=AB=6,

由(1)得：BD=6y/3;

菱形中，对角线5。平分N45C,AB//CD,BC=AB=6,

:・MN工BC,

,/ZBAD=120\

：.ZABC=60°,

：.ZEBN=30°；

19

：.EN=-BE

2

'-SMCD-^AC-BD^MN-BC,

:.MN=30

设BE-x,则EN--尤，

2

：.EM=MN-EN=3y/3--x,

2

*/S菱彩ABCD=AD~MN=6x36=1873,

；.SAABD=；S./ABCD=9也，

■:BEfDF,

.eBE_y/3

63

2

/.SADEF=-DF-EM=--—xf3V3-=-^x+-x,

223(1)122

记四边形的面积为s,

2

5=S^ABD-SADEF=9A/3-(-—x+-x)=—(x-3^+^^,

122121'4

•.•点E在上，且不在端点，：.0<BE<BD,即0〈尤<66；

①当CELAB时，

'JOBLAC,

...点E是△/BC重心，

BE=CE=-B0=-x3>/3=2>/3,

33

此时5=言(2指=7粗,

：.当CELAB时，四边形ABE尸的面积为;

②作CH_L4D于"，如图，

20

,：COLBD,CHLAD,而点E和尸分别在和4D上，

当点E和尸分别到达点。和点7/位置时，C尸和CE分别达到最小值;

在菱形N8CZ）中，AB//CD,AD=CD,

ZBAD=120°,

：.ZADC=60°,

：.△NC£»是等边三角形，

：.AH=DH=3,

:.CH=36,

.•.当X=3A/L即3£=36时，s达到最小值，

■:BE=6DF,

:.DF=3,

此时点E恰好在点。的位置，而点尸也恰好在点〃位置，

...当四边形斯面积取得最小值时，CE和CF也恰好同时达到最小值，

：.CE+y/3CF的值达到最小，

其最小值为。。+祈08=3+6x36=12.

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解直

角三角形等知识，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解

直角三角形等知识是解题的关键.

7.（2021•广东广州•中考真题）如图，在菱形A8CD中，ZDAB=60°,N3=2,点E为边A3上一个动点,

延长BA到点F,使/尸=/E,且CF,DE相交于点G

（2）当CG=2时，求4B的长；

（3）当点£从点/开始向右运动到点3时，求点G运动路径的长度.

21

42i-

【答案】(1)见解析；(2)—；(3)—yjl.

33

【分析】(1)根据E为45中点可得川=/5,再由菱形的性质推出CD"45,CD=AB,则跖二C。，即

可证明结论；

(2)过点。作交EB的延长线于点〃，利用菱形及直角三角形的性质可求出88=18C=1,并由

勾股定理求得CH=IBC-B/地，再根据相似三角形的判定及性质可证得跖=FG,设/£=x,则

EF=2x,可表示出厂〃=3+尤，CF=2+2x,即可由CWz+尸尸=建立关于工的方程，求解后可得出

NE的长；

(3)连接NG并延长交CO于点河，连接8D交于点N,并连接W,首先由菱形的性质得出为

Ap4E

等边三角形，贝！,再由CD〃AB,得△4FG〜△MCG,"EGfMDG,由此可证得——=——,

MCMD

再结合4E=/尸得出MC=MD=1,则由等腰三角形性质推出期_LC。，并分别求出8M=6，

AM=^AM2+BM2=V7-最后根据题意可得点G运动路径的长度为线段/N的长，由平行线分线段成比

例性质可得出AN=2MN,此题得解.

【详解】(1)证明：为48中点，

AF=AE=-AB.

2

/.EF=AB.

:四边形/BCD是菱形，

:.CD〃AB,CD=AB.

：.EF=CD.

...四边形DFEC是平行四边形；

(2)解：如图，过点C作交E8的延长线于点〃,

22

•・•四边形45。是菱形，AB=2,

；・AD〃BC,AB=BC=CD=2.

：.ZCBH=ZDAB=6(F.

・•.ZBCH=30°.

：.BH=-BC=\,

2

贝I由勾股定理得=J5c=6.

•:CD〃AB,

•••△CQGs△月EG.

.CDCG

**'

CD=CG=2,

：.EF=FG.

设Z£=x,贝U£F=2x.

/.FH=3+x,CF=2+2x.

在中，由勾股定理得：CH2+FH2=CF2,

：.(V3)2+(3+X)2=(2+2X)2.

4

解得%=-2(不合题意，舍去).

4

•*AE的长为彳；

3

(3)如图，连接4G并延长交CD于点连接8。交4M于点N,并连接

•・•四边形45CQ是菱形，ZDAB=60°,

AB=AD,ZDCB=ZDAB=60°.

J△45。为等边三角形.

23

同理可证：△5CZ）为等边三角形.

：.BD=AB=BC.

■:CD〃AB,

:・&AFGfMCG,^AEGfMDG.

.AF_AGAG_AE

MC~诟，MG~MD'

.AFAE

MC~MD

*：AE=AF,

：.MC=MD=-CD=\

2

BMLCD.

则由勾股定理得：BM=4BC1-CM1=V3，

AM=YIAM2+BM2=V7.

当点£从/出发运动到点3时，点G始终在直线上运动，运动轨迹为线段，

当点E与4重合时，点G与点/重合，

当点E与3重合时，点G为AD与41/的交点N,

/.点G运动路径的长度为线段AN的长，

,:CD〃AB,

.ANAB

：.AN=2MN.

点G运动路径的长度为AN=-AM=-V7.

33

【点睛】此题属于四边形的综合问题，考查了菱形的性质、平行四边形及相似三角形的判定与性质等知识

点，熟练掌握所学知识并灵活运用所学知识是解题的关键.

8.（2020•广东广州•中考真题）如图，OO为等边△力BC的外接圆，半径为2,点。在劣弧凝上运动（不与

点48重合），连接DB,DC.

24

(1)求证：OC是/4D2的平分线；

(2)四边形/DBC的面积S是线段。C的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理

由；

(3)若点分别在线段C/,CS上运动(不含端点)，经过探究发现，点。运动到每一个确定的位置，

AWN的周长有最小值乙随着点。的运动，/的值会发生变化，求所有，值中的最大值.

【答案】⑴详见解析；⑵是，S=^X2(2V3<X<4)；(3)4^

【分析】⑴根据等弧对等角的性质证明即可；

(2)延长DA到E,让AE=DB,证明△EAC^^DBC,即可表示出S的面积；

⑶作点D关于直线BC、AC的对称点Di、D2,当DI、M、N、D共线时△DMN取最小值，可得QD1D2,有对

称性推出在等腰4DiCDz中齐后，D与0、C共线时1取最大值即可算出.

【详解】⑴:△ABC为等边三角形,BC=AC,

就=而，都为g圆，

二NAOC=NBOC=120°,

NADC=NBDC=60°,

；.DC是NADB的角平分线.

⑵是.

如图，延长DA至点E,使得AE=DB.

连接EC,则/EAC=18(T—NDAC=NDBC.

：AE=DB,NEAC=/DBC,AC=BC,

.♦.△EACg△DBC(SAS),

ZE=ZCDB=ZADC=60°,

故4EDC是等边三角形，

・・・DC=x,・••根据等边三角形的特殊性可知DC边上的高为由工

2

S=S.DBC+S-DC=SAEAC+SAADC=SACDE=2(2任XV4).

25

⑶依次作点D关于直线BC、AC的对称点Di、D2,根据对称性

C/iDMN=DM+MN+ND=DiM+MN+ND2.

ADi，M、N、D共线时△DMN取最小值"此时占D1D2,

由对称有DiC=DC=DzC=x,ZDICB=ZDCB,ND2cA=NDCA,

ZDICD2=ZD1CB+ZBCA+ZD2cA=ZDCB+60°+ZDCA=120".

AZCDID2=ZCD2DI=60",

在等腰ADICDZ中，作CH±D1D2,

则在RtADiCH中，根据30。特殊直角三角形的比例可得D1H="C2

212

同理D2H=YIC"=巫》

22

.,.?=DID2=V3£>C=V3X.

取最大值时/取最大值.

即D与0、C共线时t取最大值,x=4.

所有;值中的最大值为4G.

2

【点睛】本题考查圆与正多边形的综合以及动点问题，关键在于结合题意作出合理的辅助线转移已知量.

深圳卷

9.（2024・广东深圳・中考真题）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的

两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行

四边形”.

26

（1）如图1所示，四边形45co为“垂中