2025年中考数学二轮复习讲义：锐角三角形及其应用 （讲练）（原卷版）

专题08锐角三角形及其应用

目录

类型二锐角三角函数与二次函数综合

一、考情分析题型0312345模型

【核心提炼•查漏补缺】

二、知识建构

【好题必刷•强化落实】

考点一解直角三角形

【真题研析•规律探寻】考点二解直角三角形的实际应用

【真题研析•规律探寻】

题型01锐角三角函数与几何图形综合

类型一锐角三角函数与等腰三角形综合题型01仰角俯角问题

类型二锐角三角函数与等边三角形综合题型02方位角问题

类型三锐角三角函数与直角三角形综合题型03坡度坡角问题

类型四锐角三角函数与矩形综合题型04与不易测量相关问题

类型五锐角三角函数与菱形综合题型05与可调节的滑动悬杆问题

类型六锐角三角函数与正方形综合【核心提炼•查漏补缺】

类型七锐角三角函数与圆综合

【好题必刷•强化落实】

类型八锐角三角函数与圆及四边形综合

类型九锐角三角函数与圆及三角形综合

题型02锐角三角函数与函数综合

类型一锐角三角函数与反比例函数综合

©

考点要求命题预测

解直角三角形中考数学中，对锐角三角函数的考察主要以特殊角的三角函数值及其有关计算、

解直角三角形、解直角三角形的应用三个方面为主.其中，锐角三角函数的性质及解

解直角三角形的实际直角三角形多以选择填空题为主，解直角三角形的应用多以解答题为主，考点所占分

应用

值有3-12分，还是需要考生对这块考点多加重视.

前提：在RtZkABC中,若NC为直角

tanA=sinA/cosA

锐角二角函数的关系同角三角函数的关系

sirT2A+cos-2A=1

锐

角sinA=cosB,sinB=cosA

三互余两角的二角函数关系

角tanA*tanB=l

函

数sinA随NA的增大而增大

性质前提:0°<ZA<90°cosA随NA的增大而减小

tanA随NA的增大而增大

锐

三边之间的关系式

角

两锐角之间的关系式ZA+ZB=90°

三常用关系式

角sinA=—,sinA=—,sinA=；

函边角之间的关系式ccb

数解直角三角形斜边和一直向边

两边

及两直角边

其

常见类型一直角边和一锐角

应

一边和一锐角另一宜角边和一锐角

用

斜边和一锐角

仰角、俯角

实际应用中

的相关术语方向角

坡度

解直角三角形解宜角三角形实际应用的一般步骤

的应用

利用水平距离测量物体高度

.测量物体的高度

X的常见模型（9种）测量底部可以到达的物体高度

测量底部不可到达的物体的高度

考点一解直角三角形

・真题研析・规律探寻

题型01锐角三角函数与几何图形综合

类型一锐角三角函数与等腰三角形综合

1.（2021•浙江绍兴・中考真题）如图，RtAABC中，ABAC=90°,cosB=士点。是边BC的中点，以4D

4

为底边在其右侧作等腰三角形4DE,使N&DE=NB,连接CE,则㈢的值为（）

2.（2021.江苏镇江・中考真题）如图，等腰三角形ABC中，AB^AC,BC=6,cosZABC=|,点尸在边AC

上运动（可与点A,C重合），将线段BP绕点尸逆时针旋转120。，得到线段。尸，连接2。，则长的最

大值为

3.（2020・甘肃天水•中考真题）性质探究

如图（1）,在等腰三角形ABC中，NACB=120。，则底边力8与腰4C的长度之比为.

C

AB

图⑴

理解运用

（1）若顶角为120。的等腰三角形的周长为4+28，则它的面积为；

（2）如图（2）,在四边形EFGH中，EF=EG=EH.在边FG,GH上分别取中点M,N,连接MN.若NFGH=120°,

EF=20,求线段MN的长.

图⑵

类比拓展

顶角为2a的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为（用含a的式子表示）

类型二锐角三角函数与等边三角形综合

1.（2023•辽宁丹东•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点。是坐标原点，已知点4（3,0）,5（0,4）,点

C在x轴负半轴上，连接ZB,BC,若tan乙4BC=2,以BC为边作等边三角形BCD,则点C的坐标为；

点D的坐标为.

2.（2023・湖南郴州•中考真题）已知△ABC是等边三角形，点。是射线A8上的一个动点，延长BC至点E,使

CE=AD,连接DE交射线AC于点F.

（1）如图1,当点。在线段力B上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由;

（2）如图2,当点D在线段4B的延长线上时，

①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；

②如图3,连接2E.设48=4,若乙AEB=LDEB,求四边形BDFC的面积.

3.（2023・甘肃武威・中考真题）【模型建立】

（1）如图1,△ABC和"DE都是等边三角形，点C关于2。的对称点F在BD边上.

①求证：AE=CD；

②用等式写出线段AD,BD,。尸的数量关系，并说明理由.

【模型应用】

（2）如图2,AaBC是直角三角形，AB=AC,CD1BD,垂足为。，点C关于4D的对称点尸在BD边上.用

等式写出线段4D,BD,DF的数量关系，并说明理由.

【模型迁移】

（3）在（2）的条件下，若2。=4&，BD=3CD,求cosNAFB的值.

类型三锐角三角函数与直角三角形综合

1.（2023•浙江温州•中考真题）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相

邻两个直角三角形组合而成.作菱形CDEF,使点。，E,F分别在边OC,OB,BC上，过点E作EH14B于

点、H.当A8=BC,ABOC=30。，DE=2时，EH的长为（）

A

图1图2

A.8B.|C.V2D,

2.（2022・四川德阳・中考真题）如图，直角三角形2BC纸片中，4ACB=90。，点。是力B边上的中点，连接CD,

将△2（?£）沿CD折叠，点a落在点E处，此时恰好有CE14B.若CB=1,那么CE=

3.（2021•辽宁鞍山•中考真题）如图，在AABC中，AB=AC,^BAC=a<0°<cr<180°；,过点A作射

线AM交射线BC于点。，将AM绕点A逆时针旋转a得到AN,过点C作CF〃/1M交直线AN于点F,在AM

上取点E,使乙4EB=AACB.

（1）当AM与线段8C相交时,

①如图1,当a=60。时，线段AE,CE和CB之间的数量关系为.

②如图2,当a=90。时，写出线段AE,CE和5之间的数量关系，并说明理由.

(2)当tana=$48=5时,若ACDE是直角三角形，直接写出AP的长.

图2

类型四锐角三角函数与矩形综合

1.（2023•辽宁丹东•中考真题）如图，在矩形2BCD中，对角线4C与8D相交于点。，乙4BD=60°,AE1BD,

垂足为点E,尸是。C的中点，连接EF,若EF=2小,则矩形4BCD的周长是（）

C.4A/3+8D.8V3+8

2.（2023・北京•中考真题）如图，在回A8CD中，点、E,尸分别在BC,4。上，BE=DF,AC=EF.

D

(2)AE=BE,AB=2,tan^ACB=求BC的长.

3.(2023•江苏泰州•中考真题)如图，矩形4BCD是一张44纸，其中2。=小天用该44纸玩折纸游

戏.

游戏1折出对角线BO,将点8翻折到8D上的点£处，折痕4F交BD于点G.展开后得到图①，发现点尸

恰为BC的中点.

游戏2在游戏1的基础上，将点C翻折到BD上，折痕为BP；展开后将点8沿过点尸的直线翻折到BP上

的点H处；再展开并连接GH后得到图②，发现乙4GH是一个特定的角.

(1)请你证明游戏1中发现的结论；

(2)请你猜想游戏2中乙4GH的度数，并说明理由.

类型五锐角三角函数与菱形综合

1.(2023•山东济南・中考真题)如图，将菱形纸片2BCD沿过点C的直线折叠，使点。落在射线C4上的点E处,

折痕CP交力。于点P.若乙4BC=30°,AP=2,贝UPE的长等于.

2.(2023・广东广州•中考真题)如图，力C是菱形48CD的对角线.

（1）尺规作图：将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,点2旋转后的对应点为。（保留作图痕迹，不写作

法）；

⑵在（1）所作的图中，连接BD,CE；

①求证：2ABDFACE；

②若tan/BHC=（求COSNDCE的值.

3.（2023・广东深圳・中考真题）（1）如图，在矩形4BCD中，E为4。边上一点，连接BE,

①若BE=BC,过C作CF1BE交BE于点F,求证：△ABEmAFCB；

②若S矩形ABCD=20时，则BE-CF=-----.

（2）如图，在菱形4BCD中，cosX=过C作CE1AB交48的延长线于点E,过E作EF14D交4D于点F,

若S菱形4BCD=24时，求EF•8C的值.

（3）如图，在平行四边形4BCD中，ZX=60°,AB=6,4D=5,点E在CD上，且CE=2,点F为BC上一

点，连接EF,过E作EG1EF交平行四边形ABC。的边于点G,若EF-EG=7百时，请直接写出4G的长.

备用图

类型六锐角三角函数与正方形综合

1.（2023•山东淄博・中考真题）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明

简明、直观，是世界公认最巧妙的方法.“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍

受人们的喜爱.小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接EG,DG.若正方形2BCD与EFGH的边长之比为代:1,

则sin/DGE等于（）

A.噂B-YC.高质D.|V5

2.（2023•浙江衢州•中考真题）下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，乙4cB=90。04c<BC）,

四边形4CDE,CBFG是正方形.过点C,8将纸片CBFG分别沿与AB平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并

与正方形4CDE,△4BC拼成图2.

C

⑴若cos〃BC.△谢的面积为16,则纸片III的面积为——

⑵若冷》则翳=

3.(2023•湖北宜昌•中考真题)如图，在正方形4BC0中,E,尸分别是边力D,上的点，连接CE,EF,CF.

(1)若正方形4BCD的边长为2,E是4D的中点.

①如图1,当NFEC=90。时，求证：AAEFs^DCE；

②如图2,当tan/FCE=|时，求4F的长；

(2)如图3,延长CF,ZM交于点G,当GE=DE,sinNFCE=决寸，求证：AE=AF.

类型七锐角三角函数与圆综合

1.(2023・山东•中考真题)如图，4B为。。的直径，C是圆上一点，。是品的中点，弦DE14B,垂足为

点、F.

(1)求证：BC=DE；

(2)尸是筋上一点，AC=6,BF=2,求tan/BPC；

(3)在(2)的条件下，当CP是N4C8的平分线时，求CP的长.

2.(2023•黑龙江绥化•中考真题)如图，MN为。。的直径，且MN=15,MC与ND为圆内的一组平行弦,

弦A8交MC于点H.点A在Mt1上，点、B在HE上,4OND+/.AHM=90°.

(1)求证：MH,CH=AH-BH.

（2）求证：AC=RC.

（3）在。。中，沿弦ND所在的直线作劣弧MD的轴对称图形，使其交直径MN于点G.若sin/CMN=|,求NG

的长.

类型八锐角三角函数与圆及四边形综合

1.（2021•江苏镇江・中考真题）如图1,正方形的边长为4,点尸在边BC上，。。经过A,B,P三

点.

（1）若3尸=3,判断边CZ）所在直线与。。的位置关系，并说明理由；

（2）如图2,E是C£）的中点，。。交射线AE于点Q,当4P平分NE4B时，求tan/EA尸的值.

2.（2023・陕西・中考真题）（1）如图①，在△。力B中，OA=OB,^AOB=120°,AB=24.若。。的半

径为4,点P在O。上，点M在48上，连接PM,求线段PM的最小值；

（2）如图②所示，五边形4BCDE是某市工业新区的外环路，新区管委会在点B处，点E处是该市的一个交

通枢纽.已知：ZX=^ABC=^LAED=90°,AB=AE=10000m,BC=DE=6000m.根据新区的自然

环境及实际需求，现要在矩形4FDE区域内（含边界）修一个半径为30m的圆型环道。。；过圆心。，作OM1

AB,垂足为M,与。。交于点N.连接BN,点P在。。上，连接EP.其中，线段BN、EP及MN是要修的三

条道路，要在所修道路BN、EP之和最短的情况下，使所修道路MN最短，试求此时环道。。的圆心。到4B的

距离。M的长.

图①

类型九锐角三角函数与圆及三角形综合

1.(2023•浙江台州•中考真题)我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直

线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，4B是。。的直径，直线，是。。的切线，8为切点.P,Q是圆上两

点(不与点力重合，且在直径力B的同侧)，分别作射线4P,AQ交直线/于点C,点D.

(1)如图1,当48=6,BP的长为it时，求BC的长.

(2)如图2,当黑=[,陟=即时，求器的值.

AD4CD

(3)如图3,当sinNB4Q=四，BC=CD时，连接BP,PQ,直接写出”的值.

4BP

2.(2023•黑龙江大庆•中考真题)如图，48是。。的直径，点C是圆上的一点，CD，2D于点D,4。交。。于

点F,连接4C,若4C平分ND4B,过点F作FG，48于点G,交4C于点H,延长力8,DC交于点£

⑴求证：CD是。。的切线；

(2)求证：AF-AC=AE-AH；

(3)若sin/DEA=求"■的值.

5FH

3.(2022•山东德州•中考真题)如图1,在等腰三角形48c中,AB=2C,。为底边BC的中点，过点0作。。LAB,

垂足为D,以点。为圆心，。。为半径作圆，交BC于点M,N.

(1)4B与。。的位置关系为:

（2）求证：4C是。。的切线；

（3）如图2,连接DM,DM=4,NA=96。，求。。的直径.（结果保留小数点后一位.参考数据：sin24。=

0.41,cos24°«0.91,tan24°«0.45）

4.（2023•浙江・中考真题）如图，在。。中，4B是一条不过圆心。的弦，点C,D是脑的三等分点，直径CE交

4B于点F,连结4D交CF于点G,连结力C,过点C的切线交的延长线于点H.

⑴求证：ADWHC；

（2）若竺=2,求tanNFAG的值；

GC

（3）连结BC交4。于点N,若。。的半径为5

①若。F=£求BC的长；

②若力//=同，求△力NB的周长；

③若HF=88,求的面积.

题型02锐角三角函数与函数综合

类型一锐角三角函数与反比例函数综合

1.（2021・内蒙古•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形0ABe的OA边在x轴的正半轴上，OC边

在y轴的正半轴上，点B的坐标为（4,2）,反比例函数y=：（x>0）的图象与交于点。，与对角线

交于点E,与交于点尸，连接0。，DE,EF,DF.下歹！J结论：①sin/。。。=COSNBOC；②0E=BE；

③SADOE=S4BEF；®OD-.DF=2:3.其中正确的结论有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

2.（2023•辽宁营口・中考真题）如图，点A在反比例函数y=£（久>0）的图象上1y轴于点8,tanN/10B=|,

AB=2.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交无轴于点。，且乙4。。=45。，求点C的坐标.

3.(2021•青海西宁•中考真题)如图，正比例函数y=1与反比例函数y=久久＞0)的图象交于点A,ABLx

轴于点2,延长AB至点C,连接。C.若COSN8OC=|,OC=3.

(1)求。B的长和反比例函数的解析式；

(2)将△20B绕点0旋转90。，请直接写出旋转后点A的对应点A的坐标.

类型二锐角三角函数与二次函数综合

1.(2023•江苏・中考真题)如图，二次函数y=|/一4的图像与x轴相交于点2(-2,0)、B,其顶点是

⑴b=；

(2)0是第三象限抛物线上的一点，连接。D,tan/AOD=|；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经

过点。，过点的0)作x轴的垂线/.已知在/的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求左的取值范围；

(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点。且其顶点P落在原抛物线上，连接

PC、QC、PQ.已知APCQ是直角三角形，求点P的坐标.

2.(2022•江苏无锡•中考真题)已知二次函数y=+bx+c图像的对称轴与x轴交于点A(1,0),

图像与y轴交于点3(0,3),C、。为该二次函数图像上的两个动点(点C在点。的左侧)，且NC4D=90°.

(1)求该二次函数的表达式；

(2)若点C与点B重合，求tanZCDA的值；

(3)点C是否存在其他的位置，使得tan/CZM的值与(2)中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标;

若不存在，请说明理由.

3.(2023•辽宁鞍山•中考真题)如图1,抛物线y=a/+|x+c经过点(3,1),与y轴交于点B(0,5),点E

为第一象限内抛物线上一动点.

图1图2

(1)求抛物线的解析式.

(2)直线y=|x—4与x轴交于点A,与y轴交于点。，过点£作直线EFlx轴，交4D于点R连接BE.当

BE=DFHt,求点E的横坐标.

(3)如图2,点N为x轴正半轴上一点，OE与BN交于点、M.若OE=BN,tan乙BME=[,求点E的坐标.

题型0312345模型

【12345模型简介】对于角a和角,若满足a+B=45°,tana',则一定tanpq,并且这三个式子，只要

满足其中任意两个，都可以推出另外一个。

已知4ABC为等腰直角三角形，点D为线段AB的中点，设NBCD=a,NACD邛，且tana=|，则tan0=1

【证明过程】过点D作DEJ_AC

设AB=BC=4,贝AD=2,AC=4a,DE=AE=V2；.CE=3/.，"邳三

Va+p=45°,.-.tan（a+p）=1,zCDE=a+45°,NBDE邛+45°（三角形内角和为180。）

tan（a+45°）=3,tan（P+45°）=2

在BC上取一点F,使DF=FC,设BF=x,则DF=4-x

在RtABDF中，由勾股定理解得x=l.5,...tan2a,tan2B=-

34

1.（2022•四川泸州•中考真题）如图，在边长为3的正方形2BCD中，点E是边力B上的点，且BE=24E,

过点E作DE的垂线交正方形外角NCBG的平分线于点F,交边BC于点M,连接DF交边BC于点N,则MN的长

为（）

6

-D

7

2.（2023・四川・中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点力（1,0）,点B（0,—3）,点C在工轴上，且点C在

点4右方，连接48,BC,若tanNa8C=1,则点C的坐标为.

3.（2021・四川宜宾・中考真题）如图，在矩形纸片ABC。中，点、E、歹分别在矩形的边A3、A。上，将矩形

纸片沿CE、CP折叠，点8落在”处，点。落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB=6,AD=

4,BE=2,则。尸的长是（）

C.当D.3

4.（2023・湖北黄冈•中考真题）如图，矩形4BCD中，AB=3,BC=4,以点2为圆心，适当长为半径画

弧，分别交BC,BD于点E,F,再分别以点E,尸为圆心，大于之EF长为半径画弧交于点P,作射线BP,过

点C作BP的垂线分别交于点M,N,贝|CN的长为（）

A.V10B.V11C.2V3D.4

5.(2023・四川凉山•中考真题)阅读理解题:

阅读材料:

如图1,四边形4BCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记NB4E为a、乙FAD为0,若tana=|,则tan£=

-1

证明：设BE=fc,,「tana=.\AB=2k,

易证△AEB=△EFC(AAS)

：.EC=2k,CF=k,

：.FD=k,AD=3k

Atan/?=—=—=

rAD3k3

若a+£=45。时,当tana=则ta叩=

同理：若a+S=45。时，当tana=贝！Jtan£=

根据上述材料，完成下列问题：

如图2,直线y=3%-9与反比例函数y=:(%>0)的图象交于点4与无轴交于点反将直线绕点川顺时

针旋转45。后的直线与y轴交于点E,过点/作ZM1%轴于点M,过点/作4Vly轴于点N,已知。A=5.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)直接写出tan/BAM、tan/NAE的值；

(3)求直线4E的解析式.

核心提炼,查漏补缺

在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：

1)直角三角形的五个元素：边：a、b、c,角：NA、ZB

2)三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理)

3)两锐角之间的关系：NA+/B=90°A

CB

4）边角之间的关系:

△所对的边所对的边

sinA=A__a,sinB=4B——b

斜边C斜边C

乙A所邻的边所邻的边

cosA二——b,cosB-4B_—a

斜边c斜边C

所对的边乙所对的边_

tanA=4A_a,tanB=B二一b

邻边b邻边a

解直角三角形常见类型及方法:

已知类型已知条件解法步骤

斜边和一直角边@b—^c2—a1②由sinA=a,求NA③NB=90。-NA

（如C,a）c

两边

两直角边®c=y/a2+b2②由tanA=3,求NA③NB=90。-ZA

（如a,b）b

斜边和一锐角①NB=90。一NA②由COSA=B,得b=c・cosA

（如c,ZA）c

③由sinA=3,得a=c・sinA

c

一边和一锐角一直角边和一锐角

①/B=90。一/A②由sinA=色，得c=——

（如a,ZA）csinA

③由tanA=,倚b=

btanA

另一直角边和一锐角①NB=90。一NA②由COSA=2,得0=―-—

（如b,ZA）ccosA

③由tanA=—,得a=b•tanA

b

好题必刷•强化落实

1.（2023・重庆・模拟预测）如图，P是O。外一点，过点P作。。的两条切线，分别交O。于点4和点B,连

接力B,C为。。上一点，连接4C,BC.若cosC=|,AP=6,贝的长度为（）

2.（2023•河南郑州•三模）如图，把矩形纸片。ABC放入平面直角坐标系中，使。4、OC分别落在久轴、y轴

上，连接OB将纸片沿。8折叠，使A落在4的位置，OB=V^,tanNBOC=|,则点4的坐标为（）

A.（-1，9B.（-点|）C.（-1,2）D.（一日,司

3.（2023・重庆・模拟预测）如图，在平行四边形2BCD中，4D=5,AB=12,cos4=|,过点。作DE14B,

垂足为E,连接CE,则sin/BCE的值为（）

4.（2023•安徽合肥•模拟预测）如图，RtaZBC中，NC=90。，点。在BC上，^CDA=^CAB.若BC=4,

5.（2024.重庆.一模）如图，在正方形48CD中，。为对角线8。的中点，连接OC,E为边AB上一点，CF1DE

于点尸，若。F=V2,CF=5,贝IME的长为（）

A.2V3B.V34-2C.3D.等

二、填空题

6.（2024•山西吕梁.一模）如图，在正方形48CD中，点E为力。的中点，点F在的延长线上，CF与A8相

交于点G,若4。=2,tan/FCE=|,则4G的长为

7.（2024•江苏常州•模拟预测）某三棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为△ABC,

已知tanB=Z-C—45°,则左视图的面积是

主视图左视图俯视图

8.（2024•山西临汾・一模）如图，在矩形中，4B=6,BC=8,E1是边上一点，点尸在BA边的延

长线上，且CE=AF,连接EF交4。边于点G,HN垂直平分EF,分别交AD,EF,力B于点H,M,N.若CE=2,

则的长为

三、解答题

9.（2024.贵州安顺.一模）如图，在矩形48CD中，25，8。于点尸，交8c于点E,过点F作N71FD的角平分

线交2D于点G,tanzDBC=|.

（1）求证：AE-BCAB-BD；

（2）求N4FG；

（3）若DC=4,求四边形EFDC的面积.

10.（2024•山东济南•一模）如图，4B是。。的直径，点C,E在。。上，过点E作。。的切线与4B的延长

线交于点RS.^AFE=AABC.

E

C

(1)求证：^CAB=2^EAB；

(2)若BF=1,sin^AFE=1,求BC的长.

11.(2024・重庆•一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a/+bx-3与无轴交于点A,B,与y轴交

于点C,其中B(3VX0),抛物线的对称轴是直线％=&.

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图，点P是直线BC下方抛物线上一动点，点M是线段8c上一动点，直线PM交y轴于点N.若tan/PNC=圣

求PM的最大值及此时点P的坐标；

(3)另有抛物线V的顶点E在线段BC上，V经过点C,将抛物线『平移得到新的抛物线/，点E,C平移后的对

应点分别是点F,G,连接GE.若GE||久轴，点F在久轴上，尸经过点C,写出所有符合条件的点尸的坐标，

并写出求解点F的坐标的其中一种情况的过程.

12.(2023•河南平顶山•一模)(1)如图1,在正方形4BCD中，点N,“分别在边BC,CD上.连接力M,AN,

MN.7.MAN=45°,将△AMD绕点4顺时针旋转90。，点。与点B重合，得至IJAABE.易证：4ANM=AANE,

从而可得：线段DM,BN与MN的关系：.(请直接写出结论，不必说明理由)

(2)如图2,在正方形ABCD中，点M,N分别在边DC,BC上，,AN,MN,^MAN=45°,若tan/B力N=

-1

求证：tan/JL4M=

(3)如图3,在矩形4BCD中,AB=12,AD=16,点M,N分别在边DC,BC上，连接AM,A/V,已知/MAN=45°,

BN=4,贝！JDM的长是.

考点二解直角三角形的实际应用

真题研析-规律探寻

题型01仰角俯角问题

1.（2023•内蒙古•中考真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD.如图所示，一架水平飞

行的无人机在4处测得河流左岸C处的俯角为a,无人机沿水平线4F方向继续飞行12米至B处，测得河流右

岸。处的俯角为30。,线段力M=24旧米为无人机距地面的铅直高度，点M,C,。在同一条直线上,其中tana=

2.求河流的宽度CD（结果精确到1米，参考数据：V3«1.7）.

ABF

'<30°

\'、、

\'、、

、、、

\、、、

、、、

'、、、、

\、'、，

Mc\____-------y

2.（2023・湖南•中考真题）2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火

发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站.如图，在发射的过程中，飞船从地

面。处发射，当飞船到达4点时，从位于地面C处的雷达站测得4C的距离是8km,仰角为30。；10s后飞船到

达B处，此时测得仰角为45。.

（1）求点a禺地面的图度力。；

（2）求飞船从4处到B处的平均速度.（结果精确到O.lkm/s,参考数据：V3~1.73）

3.（2023・山东・中考真题）无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度BC,

无人机在空中点P处，测得点尸距地面上A点80米，点A处俯角为60。，楼顶C点处的俯角为30。，已知点

A与大楼的距离为70米（点A,B,C,P在同一平面内），求大楼的高度BC（结果保留根号）

4.（2023•湖南永州•中考真题）永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高2.9米（如图1所示）,寓

意陈树湘为中国革命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁.如图2,以线段AB代表陈树湘雕像，一参观者在水

平地面8N上。处为陈树湘雕拍照，相机支架CD高0.9米，在相机C处观测雕像顶端A的仰角为45。，然后

将相机架移到MN处拍照，在相机M处观测雕像顶端A的仰角为30。，求。、N两点间的距离（结果精确到

0.1米，参考数据：V3~1.732）

图1

题型02方位角问题

1.（2023•辽宁丹东•中考真题）一艘轮船由西向东航行，行驶到A岛时，测得灯塔8在它北偏东31。方向上，

继续向东航行lOnmile到达C港，此时测得灯塔B在它北偏西61。方向上，求轮船在航行过程中与灯塔B的

最短距离.（结果精确到O.lnmile）（参考数据：sin31°~0.52,cos31°~0.86,tan31°«0.60,sin61°~0.87,

cos61°x0.48,tan61°«1.80）.

：3I

61

2.（2023・海南・中考真题）如图，一艘轮船在4处测得灯塔”位于4的北偏东30。方向上，轮船沿着正北方向

航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东60。方向上，测得港口C位于B的北偏东45。方向上.已知

港口C在灯塔M的正北方向上.

（1）填空：4AMB=_度，4BCM=_度；

（2）求灯塔M到轮船航线AB的距离（结果保留根号）；

（3）求港口C与灯塔M的距离（结果保留根号）.

3.（2023・辽宁营口・中考真题）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科

技智能馆8参观学习，学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西25。方向上，8位于C的北偏

西55。方向上，老师将学生分成甲乙两组，甲组前往A地，乙组前往2地，已知2在A的南偏西20。方向上，

且相距1000米，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程（参考数据：&=1.41,逐=2.45）

题型03坡度坡角问题

1.（2023・江苏宿迁・中考真题）【问题背景】由光的反射定律知:反射角等于入射角（如图，即NCEF=NAEF）.小

军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点。处恰好通过镜

子看到建筑物的顶端A.经测得，小军的眼睛离地面的距离CD=1.7m,BE=20m,DE=2m,求建筑

物AB的高度.

【活动探究】

观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点。处不动，将镜子

移动至Ei处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G,测出D%=2m；再将镜子移动至E2处，恰好通过镜子

看到广告牌的底端A,测出DE2=3.4m.经测得，小军的眼睛离地面距离CD=1.7m,BD=10m,求这个

广告牌AG的高度.

【应用拓展】

小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔A8的高度.他们给出了如下测量步骤（如图）：

①让小军站在斜坡的底端。处不动（小军眼睛离地面距离CD=1.7m）,小明通过移动镜子（镜子平放在

坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶8；②测出DE=2.8m；③测出坡长力D=17m；④测出坡比

为8:15（即tan乙4DG=白）.通过他们给出的方案，请你算出信号塔42的高度（结果保留整数）.

15

2.（2023・四川自贡・中考真题）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下:

图1图2图3

（1）测量坡角

如图1,后山一侧有三段相对平直的山坡48,BC,CD,山的高度即为三段坡面的铅直高度BH,CQ,DR之

和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小.

如图2,同学们将两根直杆MN,MP的一端放在坡面起始端A处，直杆MP沿坡面4B方向放置，在直杆MN另

一端N用细线系小重物G,当直杆MN与铅垂线NG重合时，测得两杆夹角a的度数，由此可得山坡坡角夕

的度数.请直接写出a,£之间的数量关系.

（2）测量山高

同学们测得山坡48,BC,CD的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为24。，30°,45°；为求BH,小

熠同学在作业本上画了一个含24。角的RtATKS（如图3）,量得KT«5cm,TS«2cm.求山高DF.（V2«

1.41,结果精确到1米）

（3）测量改进

由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入