2025年新高考数学复习突破讲义：圆锥曲线基础过关小题（含解析）

专题36圆锥曲线基础过关小题

【考点预测】

一.椭圆的定义

平面内与两个定点的距离之和等于常数2a(2a>|[4])的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做

椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c,定义用集合语言表示为：

{pII"1+\PF2E2a图>优心E2c>0)}

注明：当2a=2c时，点的轨迹是线段；

当2a<2c时，点的轨迹不存在.

二.椭圆的方程、图形与性质

椭圆的方程、图形与性质

焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上

区2

A

图形

4HloF//

标准方程（a>6〉0）A(a〉6〉0)

a2b2

统一方程mA2/=l（jn>0,n>0,/n。刀）

|x"=…acosf。f’。为,参,数（2'2/“x=a痴cos。6'°为参数以叱》

参数方程

第一定义到两定点的距离之和等于常数2a,即2a(2a>|[g|)

范围-a<x<a^-b<y<b-b<x<b<y<a

A】（—a,0）、A?（a,0）A】（0,-a）A2（0,a）

顶点

B]（0,孙B（O,6）Bj-6,0〉

2B2（A0）

轴长长轴长=2a短轴长=2b长轴长=2a短轴长=2b

对称性关于X轴、y轴对称，关于原点中心对称

焦点小。)、"，。)々（o「c）、g（o,,0

焦距产闯=2。(e2=a2-b2)

cf(0<e<1)

离心率――

r>l'外>1外

点和椭圆

---1---=10点(4,/)在椭圆<上=1O点（为几）在椭圆V上

的关系a2加a2甘

<1内<1、内

过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=2无（最短的过焦点的弦）

通径

a

设直线与椭圆的两个交点为/优由），B^2,y^,kAB=k,

则弦长卜引=Jl+*X]_巧卜Jl+k2—巧丫—肛巧

弦长公式2

=+亿_/）_4yly2=J1+*乎

（其中a是消y后关于X的一元二次方程的*的系数，A是判别式）

三、双曲线的定义

平面内与两个定点勺,g的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于pci）的点的轨迹叫做双曲线（这

两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为

I〃川=3（。<看<t£|）｝.

注（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支.

（2）当2a=时，点的轨迹是以[和心为端点的两条射线；当2a=0时，点的轨迹是线段尸占的

垂直平分线.

（3）2a>忆阕时，点的轨迹不存在.

在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：

①条件"归g|>2a”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定a?,毋的值），注意

。2+万=02的应用.

四、双曲线的方程、图形及性质

双曲线的方程、图形及性质.

y2V2,、4_,=1(3>0,6>0)

标准方程==14>0,6>0)

ab/b

y=

l'Ay=—xW"

图形

y=---J

a

焦点坐标1（-GO），g（G。）^(0,-c),F2(0,C)

对称性关于x,y轴成轴对称，关于原点成中心对称

顶点坐标4(-20),423,0)A1(0,a),A2(0,—a)

范围

实轴、

实轴长为2a,虚轴长为2b

虚轴

1+与(e>1)

离心率

渐近线方令=0=>y=+—x,

a2A2b

程

焦点到渐近线的距离为6焦点到渐近线的距离为6

点和双曲>1,点，，几）在双曲线内

>1,点G。,几）在双曲线内

（含焦点部分）

线（含焦点部分）

a2b1=1,点在双曲线上-------

的位置关a2F=1,点匕,4）在双曲线上

<L点七，4）在双曲线外

<1,点.,4）在双曲线外

系

共渐近线

^-―=2U*0)

的双曲线—=0)

a2廿a2If

方程

设直线与双曲线两交点为/优书），8%跖)，=4•

1+/卜-"21GHe)),

则弦长相=Jl+M.卜］一/=.

弦长公式

h+xj-直为=杵，其中“a”是消“y”后关于“x”的一

=）

rl

元二次方程的“小”系数.

通径（过焦点且垂直于1%的弦）是同支中的最短弦，其长为空

通径

a

五、抛物线的定义

平面内与一个定点厂和一条定直线/夕任》的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点尸叫抛物线的焦点,

定直线，叫做抛物线的准线.

注若在定义中有尸e/,则动点的轨迹为/的垂线，垂足为点尸.

六、抛物线的方程、图形及性质

抛物线的标准方程有4种形式：/=2px,/=-2px,式=2勿*=-2"⑦>0）,其中一次项与对称轴一

致，一次项系数的符号决定开口方向

标准方程y2-2px(p>0)/=-2px(p>0)V=2py[p>0)x2=-2py(p>0)

y

图形77---2----'

IT

对称轴X轴y轴

顶点原点(0,0)

焦点坐标(-,0)(--,0)%）

22

7=-y=

准线方程x=_RX=Rff

22

三、抛物线中常用的结论

1、点一恁,4）与抛物线「=2pxS>0）的关系

（1）户在抛物线内（含焦点）o片<2px0.

（2）尸在抛物线上o%=2px0.

（3）户在抛物线外o片>2px。.

2、焦半径

抛物线上的点尸&,几）与焦点尸的距离称为焦半径，若/=2后⑦>0）,则焦半径，用=%+£,

IImax2

3、p^>0）的几何意义

P为焦点厂到准线/的距离，即焦准距，P越大，抛物线开口越大.

4、焦点弦

若力6为抛物线/=2pxS>0）的焦点弦，/优书），8£，4），则有以下结论：

2

⑴玉玉=：•

（2）巨得=-p2.

（3）焦点弦长公式1：,,=Xj+巧+P，X[+.22dxix2=p,当为=/时，焦点弦取最小值2p,

即所有焦点弦中通径最短，其长度为2，

焦点弦长公式2：\AB\=^—（a为直线/8与对称轴的夹角）.

11sin2a

2

（4）A/04的面积公式：—（a为直线48与对称轴的夹角）.

M0B2sina

【典型例题】

例1.（2024・吉林长春•模拟预测）已知点尸（1,2）在抛物线C：j?=2/上，尸是抛物线C的焦点，过点尸的

直线与抛物线C交于M（X“J,N（X2，%）两点，若不+4=4,则|AW|=（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【解析】由题意可得4=2。，即。=2,

由焦点弦公式可得：\MN\=Xl+x2+p=4+2=6.

故选：D.

例2.（2024•宁夏固原一模）已知抛物线C:x2=12y的焦点为尸，顶点为。，C上一点P位于第二象限，若

|。四+|尸川=18,则直线p厂的斜率为（）

-443

A.2B.—C.—D.—

334

【答案】D

【解析】设尸（xj）,则有柄=12歹,尸（0,3）,

贝!]有尸|+|尸尸|=3+y+:=18,即y=12,

_____12-33

故x=—J12xl2=—12，故左尸尸=7^~=_'.

故选：D.

y/

Q

例3.（2024・高三・河南•阶段练习）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆

的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆。的中心为原点，焦点耳鸟均在％轴上，椭圆。的面积为岳，且

椭圆。的离心率为交，则椭圆。的标准方程为

()

2

丫2

A.—+y2=lB.

22

C.—+^=1D.

42

【答案】A

22

【解析】设椭圆C的标准方程为鼻+与=1（。＞6＞0）,焦距为2c,

ab

c_V2

丁丁

a=yp2.丫2

则ab=0解得＜椭圆c的标准方程为二+v=1.

b=L2

a1=b2+c2,

故选：A.

例4.（2024•陕西榆林•二模）已知片，此为双曲线C的两个焦点，尸为C上一点，若|尸团：|尸囚=5:3,且△尸片工

为等腰三角形，则C的离心率为（）

535

A.-B.2C.—或一D.2或3

222

【答案】C

【解析】因为|尸耳|：|尸居|=5:3,所以可设|尸耳|=5人（无＞0）,明|=3人,

2cIFFI3

依题意可得：|P用=5月尸月=忻闻=3左，则C的离心率e=2=向二嬴广§；

2c\FFI5

或|尸月|=3左,|助|=|月耳|=5左，则。的离心率，=汇=尚扁=一

故选：C

例5.（2024・高三・四川绵阳•阶段练习）过双曲线C：Y—手=i左焦点为/和点/（o,2行）直线/与双曲线。

的交点个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】由题意得双曲线C：X。-亡=1左焦点为尸(-2,0),

3

则直线I的斜率为k=冬8a=。,

0-(-2)

故直线I的方程为y=氐+，而双曲线的渐近线方程为y=土瓜,

故直线/与了=后平行，且/过双曲线的左焦点，

故直线/与双曲线C的交点个数是1,

故选：B

例6.(2024・高三・湖北•开学考试)已知抛物线C的顶点在原点，焦点厂在坐标轴上，点尸关于其准线的对

称点为(6,0),则C的方程为()

A.y2=-8xB.y1--4xC.y2-8xD.y2=4x

【答案】A

【解析】由题意，设抛物线的方程为/=-2»(p>0),

可得焦点坐标尸(-5,0),准线方程为/：x=光,

设焦点厂关于准线/的对称点为P(%,0),可得/+(-5)=2/与，解得/=当，

因为点尸关于其准线的对称点为(6,0),可得曰=6,解得。=4,

所以抛物线的方程为丁=-8-

故选：A.

例7.(2024•四川泸州二模)已知点尸在椭圆C：白+导=1上，。的左焦点为尸，若线段尸尸的中点在以原

9o

点。为圆心，I。可为半径的圆上，则忸司的值为()

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】因为椭圆C：1+q=1

9o

所以该椭圆。=3,b=2亚,贝Uc=l，

设椭圆的右焦点为尸'，连接P。，记线段尸产的中点为。，连接。。,

因为Q川=c=l,所以=

因为。,0分别为印',尸尸的中点，所以\PF'\^2\OQ\=2,

又|尸川+|尸尸|=2a=6,所以|尸产|=6臼尸尸1=4.

故选：B.

例8.（2024•陕西商洛•三模）已知点W在抛物线C:r=4x上，抛物线C的准线与x轴交于点K,线段

的中点N也在抛物线C上，抛物线C的焦点为尸，则线段儿田的长为（）

如图，不妨设点”在第一象限，依题知ON是九田的中位线，可知|A"|=2|CW|,过向准线做垂

线，垂足分别为

同理是△及0％的中位线，由抛物线定义知1跖％1=1板UMVJ=|NF|，故得

|ON|=|S，

乂厂（1,0）,则N点横坐标是/代入必=4x可得其纵坐标为行，故3|=出）2+（无）2=看叱上3.

故选：C.

22

例9.（2024・四川绵阳•一模）已知双曲线5章=1（。＞0,6＞0）的左顶点与抛物线r=2/（？＞0）的焦点的

距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2,-1）,则双曲线的焦距为（）

A.V5B.25/5C.2V2D.273

【答案】B

【解析】根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-

即点在抛物线的准线上，又由抛物线/=2px（p>0）的准线方程为x=-5=-2,则p=4,则抛物

线的焦点为（2,0）,

则双曲线的左顶点为（2,0）,即a=2

点（-2,-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=土;x,由双曲线的性质，可得6=1,

贝卜=石，则焦距为2c=2退，

故选：B

„2历

例10.（2024・高二•山西太原•阶段练习）已知椭圆C：L+廿=1,则=2”是“椭圆C的离心率为丝”的（）

m2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由加=2可得椭圆C:1+y2=l,此时离心率为e=£=与

2izV22

此时充分性成立；

若椭圆c的离心率为交，当加<1时，可得离心率为e=g=""=e,解得加=1,

2a122

即必要性不成立；

综上可知，“机=2”是“椭圆C的离心率为变”的充分不必要条件.

2

故选：A

22

例11.（2024•北京房山•一模）双曲线上-匕=1的离心率是

22

【答案】V2

【解析】由双曲线三-三二1可得：a=b=母,°=，廿+廿=2,

22C2

所以双曲线土-匕=1的离心率是e=—=F=3.

22aV2

故答案为：41-

2222

例12.（2024・湖南•二模）已知椭圆］+方=1（。>6>0）与双曲线1-方=1,椭圆的短轴长与长轴长之比

大于：，则双曲线离心率的取值范围为.

【答案】洋①

【解析】依题意，对于椭圆方程，《〈学=2<i,对于双曲线方程，e=£=

22aaa

不妨设则，尺,1),于是/(，)="齐心(；,1),由复合函数的单调性可得函数阿在区间(g,l)上单调

递增，

故，即,<e<JL故双曲线离心率的取值范围为(告，伪.

故答案为：(手,后).

例13.(2024全国•模拟预测)已知抛物线C:y2=20x(p>0)的焦点为尸，点尸。,加)是C在第一象限内的一

点，且归产|=2,过点尸作直线尸4RB交C于42两点(异于点尸).若直线尸4依关于直线尤=1对称，则

直线AB的斜率为.

【答案】-1

【解析】抛物线。：r=2川5>0)的准线方程为尤=-§；』依|=5+1=2,解得。=2,

所以抛物线C：必=4x,尸(1,2),

设直线尸/：了=勺(x-1)+2,代入抛物线方程y2=4x,

2

消去V并整理得左+(4及一2Al2—4卜+(耳—46+4)=0

xA=^~:”4,代入y=《(x-l)+2,得”=4,

/"—4左+44—2左八

设直线PB的斜率为左2,直线P4,尸8关于直线X=1对称，，勺+左2=0,

（4+4匕+4—4一24）

直线尸B：V=-%(x-l)+2,同理可得8

则直线AB的斜率3&="二以=-1.

XB-XA

故答案为：-L

22

例14.（2024•全国•模拟预测）关于双曲线C:与-2=1（“>0,"0）,四位同学给出了四个说法：

ab

小明：双曲线。的实轴长为8；

小红：双曲线C的焦点到渐近线的距离为3；

小强：双曲线c的离心率为:；

小同：双曲线C上的点到焦点距离的最小值为1；

若这4位同学中只有1位同学的说法错误，则说法错误的是.（横线上填“小明”、“小红”、“小强”或，小

同”）

【答案】小强

【解析】假设小明说法正确，则2a=8,即〃=4,

又小红说法正确，则双曲线C的焦点到渐近线的距离为6=3,

则此时双曲线为C:二-且=1,则c=寿=5,双曲线的离心率为。，

1694

双曲线。上的点到焦点距离的最小值为c-a=5-4=1,

综上，小明、小红、小同的说法正确的，小强的说法错误.

故答案为：小强.

例15.（2024•安徽池州・二模）造纸术是中国四大发明之一，彰显了古代人民的智慧.根据史料记载盛唐时期

折纸艺术开始流行，19世纪折纸与数学研究相结合，发展成为折纸几何学.在一次数学探究课上，学生们研

究了圆锥曲线的包络线折法.如图，在一张矩形纸片上取一点尸，记矩形一边所在直线为/，将点P折叠到/上

（即P）,不断重复这个操作，就可以得到由这些折痕包围形成的抛物线，这些折痕就是抛物线的包络线.

在抛物线C=4〉的所有包络线中，恰好过点/（2,1）的包络线所在的直线方程为.

【答案】x-y-l=O

【解析】依题意，抛物线C:》2=4了的每条包络线与该抛物线相切,

显然过点A（2,1）的包络线所在的直线斜率存在，设方程为y-1=k（x-2）,

fy—1=k（x-2）

2

由《2A消去》并整理得：x-4kx+8A：-4=0,

[x=4y

则A=16产一32左+16=0,解得左=1，

所以所求直线方程为=

故答案为：x-7-l=0

例16.（2024・辽宁•模拟预测）已知N为抛物线C：必=以上不关于x轴对称的两点，线段皿乂的中点

到C的准线的距离为3,则直线次W的方程可能是.（写出满足条件的一个方程即可）

【答案】了=无（答案不唯一）

,[x=my+n、

【解析】设直线MTV:x=即+〃，加/0,联工＜,',y-4my-4n-Q,

\y=4x

2

A=16m+16w>0,yi+y2=4m,yly2=^n,

2

xi+x2=m(<yl+y2^+2n=4m+In,

因为线段MV的中点到C的准线的距离为3,抛物线的准线为：尤=-1,

所以上*+1=3,所以2/+〃=2.

2

令m=l,得〃=0,直线跖V的方程可能是y=£

故答案为：了=龙（答案不唯一）

例17.（2024•北京朝阳一模）已知抛物线%2=2py（p>0）的焦点为下，准线方程为y=-1,则P=:

设。为原点，点〃（演,又）在抛物线上，若|。叫=但叫，则盟=.

【答案】2二/。-5

2

【解析】由抛物线准线方程为>=-1,故°=2,

则工2=4了，尸（0,1）,由〃（x。/。）在抛物线上，

i^\FM\=y0+^-=y0+l,

由10Ml=|四可得/+y；=（%+#,

,“1

即%=2y0+1=4y0,即为=Q.

故答案为：2；y.

【过关测试】

一、单选题

1.（2024・四川南充•二模）已知，"是实数，则“〃7〃<0''是“曲线加/+⑵2=1是焦点在x轴的双曲线”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】B

【解析】若曲线加X?+町2=1是焦点在X轴的双曲线，则机>0,H<0,所以加〃<0,故必要性成立，

若加=-1,〃=1满足机〃<0,但是曲线/-12=1是焦点在y轴的双曲线，故充分性不成立，

所以“mn<0”是“曲线刃X?+ny2=1是焦点在x轴的双曲线”的必要不充分条件.

故选：B

2.（2024・广东•一模）双曲线!-j?=i的顶点到其渐近线的距离为（）

A.6B.IC.—D.—

23

【答案】C

2

【解析】依题意，双曲线<-/=1的顶点为（土G,0）,渐近线方程为x±6y=0,

丫2

所以双曲线?-「=1的顶点到其渐近线的距离为

#+(G)22-

故选：C

22

3.（2024•辽宁葫芦岛•一模）已知椭圆G:—+匕=1,A,5为G的短轴端点，P为G上异于/,5的一点,

43

则直线N尸，5尸的斜率之积为（）

44

AB.-cD.——

-13-43

【答案】C

22

【解析】设尸（%,%）,则有多+£=1,即有需_3=—3只

4

由椭圆方程不妨设短轴端点48的坐标分别为（0,6）、（0,-百）

3x；

%一yy

则k-k60+V3=0-3V_3

^AP^BP

%%4

故选：C.

22

4.（2024・全国•模拟预测）已知双曲线》-%=l（a>0,6>0）的焦距为6,直线尤-y-1=0与双曲线的一条

渐近线平行，贝匹=(

A.逑

D.3

2

【答案】A

卫=1的渐近线方程为〉=±2苫，依题意，-=1,

【解析】双曲线

abaa

由双曲线焦距为6,得f，所以"手

故选：A

5.（2024•全国•模拟预测）双曲线C：5-，=l（a>O,b〉O）的左、右焦点分别为片,0闺闾=4,且。的一条渐

近线与直线/:6x-y+l=0平行，则双曲线C的标准方程为（)

/上//22

A.=i2c

B.—~y=lVz.---------------------1D.土-匕=1

3341234

【答案】A

2c=4a=\

【解析】由题意知，解得6=百，故双曲线。的标准方程为一

a

c=2

a2+b2=c2

故选：A.

6.（2024,陕西西安•一模）已知圆C:（x-2）2+（y-l）2=2,直线/:/尤-"V一i=。，若圆C上任意一点关于直

线/的对称点仍在圆C上，则点必在（）

A.一个离心率为e的椭圆上

B.一个离心率为2的双曲线上

2

C.一个离心率为正的椭圆上D.一个离心率为行的双曲线上

2

【答案】D

【解析】圆。:。-2）2+（广1）2=2的圆心为。（2,1）,

依题意可知直线/过圆C的圆心C（2,l）,贝1]2/一"=1，

匚2-1I-+1

所以点（。花）必在双曲线2--j?=i即1-〉=1上，且该双曲线的离心率e=2r=JL

212

故选：D.

7.（2024・湖南•二模）若椭圆]+!=1（°＞0）的焦距为2,则该椭圆的离心率为（）

A.—B.—C.立或;D.立或立

535235

【答案】C

【解析】当。＞2时，2=26-4,解得a=右，

则离心率为=

V55

当0＜。＜2时，2=2"-02,解得°=6，

则离心率为JO=L

V42

故选：C

222

8.（2024•山西朔州•一模）已知椭圆河：三+木=1卜＞6＞0）与双曲线必3-了2=1有且仅有两个交点，若

椭圆〃•的离心率为;，则椭圆M的短轴长为（）

A.2B.4C.V3D.2拒

【答案】D

【解析】因为椭圆与双曲线有且只有两个交点，椭圆的左右顶点与双曲线的顶点重合，

而双曲线的顶点为（±2,0）,故a=2,

设椭圆的半焦距为c,则£=[=]，故。=1，故短轴长为2"斤=26，

a22

故选：D.

二、多选题

22

9.（2024•江苏南通•二模）已知双曲线C：3-3=l（b＞0）的右焦点为R直线/：x+如=0是C的一条渐近

线，P是/上一点，则（）

A.C的虚轴长为2亚B.C的离心率为八

D.直线尸尸的斜率不等于-正

C.|尸尸|的最小值为2

2

【答案】AD

【解析】双曲线。:工-==1的渐近线方程为区±2y=o,依题意，_；=々,解得6=血,

4b2b2

对于A,C的虚轴长助=2拒，A正确；

对于B,C的离心率6=B错误；

a2

对于C,点尸（跖0）到直线/:%+岳=0的距离=6,即忸司的最小值为尬，C错误;

#+(拒)2

对于D,直线/:x+0y=O的斜率为_亨，而点尸不在/上，点尸在/上，则直线"'的斜率不等于-专

D正确.

故选：AD

10.（2024・湖北•一模）某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数/=■*■的图象是双曲线，设其焦点为

X

M,N,若尸为其图象上任意一点，则（）

A.>=-x是它的一条对称轴B.它的离心率为亚

C.点（2,2）是它的一个焦点D.||尸尸训=2血

【答案】ABD

【解析】反比例函数的图象为等轴双曲线，故离心率为血，

容易知道7=%是实轴，>=-x是虚轴，坐标原点是对称中心，

联立实轴方程y=x与反比例函数表达式>=:得实轴顶点

所以“=后,c=2,其中一个焦点坐标应为（也,血）而不是（2,2）,

由双曲线定义可知||尸叫-|尸N||=2a=20.

故选：ABD.

22

11.（2024•河北邯郸•三模）已知双曲线C:二-----匕=1,则（）

2+63-2

A.力的取值范围是（-6,3）B.C的焦点可在x轴上也可在y轴上

C.C的焦距为6D.C的离心率e的取值范围为（1,3）

【答案】AC

22

【解析】对于A,V—-------J=i表示双曲线,(2+6)(3-A)>0,解得—6<2<3,故A正确;

2+63-2

对于B,由A项可得-6<2<3,故彳+6>0,3-彳>0,C的焦点只能在无轴上，故B错误；

对于C,设C的半焦距为c(c>0),贝[]c2=X+6+3-X=9,；.C=3,即焦距为2c=6,故C正确;

,3

对于D,禺心率e=五高•.•-6<彳<3,”的取值范围是(1,+功，故D错误.

故选：AC.

12.(2024・广东深圳•模拟预测)设椭圆°：=+己=1的左、右焦点分别为£、F2,尸是C上的动点，则下

2516

列结论正确的是()

A.|尸团+|尸£|=5

,3

B.离心率e=《

C.△咫工面积的最大值为12

D.以线段公巴为直径的圆与圆(XT)?+(y-3)2=4相切

【答案】BCD

【解析】因为椭圆C:4+片=1,则。=5,6=4,c=3,

2516

由椭圆的定义可知，|尸耳|+|尸闾=2。=10,故A错误；

c3

由椭圆离心率公式可得0=£=3,故B正确；

a5

因为闺闾=2c=6设点p到x轴的距离为％,显然矶*=6=4,

则△尸片工面积的最大值为S△两弓=周,6=gx6x4=12,故C正确；

线段与巴的中点为(0,0),则以线段与与为直径的圆的方程为x2+y=9,

其圆心为(0,0),半径r=3,

且圆(x-4)2+(y-3)~=4的圆心为(4,3),半径R=2,

则两圆的圆心距为d=J(3-0y+(4-0)2=5=r+R,

即两圆外切，故D正确；

故选：BCD

13.(2024•海南•模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，己知点4(-2,0),8(2,0),尸是一个动点，则下列说法

正确的是()

A.若归4|+阿卜4,则点尸的轨迹为椭圆

B.若|陷|-|尸邳=2,则点尸的轨迹为双曲线

C.若*2-1尸引2=4,则点尸的轨迹为一条直线

D.若|莎+方|=|莎-丽I，则点尸的轨迹为圆

【答案】BCD

【解析】对于选项A：忸/|+忸同=4=|/同，则点P的轨迹为线段ZB,故A错误；

对于选项B：俨H-|尸卸=2<4=M司，则点尸的轨迹是双曲线，故B正确；

对于选项C：设尸

由|尸/12Tp引2=4,可得*+2）2+/-（尤-2）2-/=4,

化简得x=1,表示一条直线，故C正确；

对于选项D：由|刀+旃|=|2-而可得刀.而=0，

则点P的轨迹是以为直径的圆，故D正确.

故选：BCD.

22

14.（2024・高三・新疆•阶段练习）连接椭圆C:=+匕=l（a>两的三个顶点所围成的三角形面积为2道，记

a3

椭圆。的右焦点为少，则（）

A.。=4B.椭圆C的离心率为g

C.椭圆C的焦距为2eD.椭圆C上存在点P,使上用=2薪

【答案】BD

22

【解析】椭圆C*>我的左顶点为（一凡0）,右顶点为（。,0）,上顶点为（0,⑹，下顶点为（0,-@,

因为连接椭圆的三个顶点所围成的三角形面积为26，

若为左、右顶点与上（下）顶点时，贝内x2ax百=2百，解得。=2,符合题意；

若为上、下顶点与左（右）顶点时，贝内x2Gx0=20，解得。=2,符合题意；

2

综上可得。=2,故A错误；

则椭圆方程为兰+亡=1,所以c=77万=1，贝1J椭圆C的离心率0=£=[,故B正确；

43a2

椭圆。的焦距为2c=2,故C错误，

因为椭圆C的右焦点为尸（1,0），所以"cW|PF|Va+c,Bpi<|PF|<3,

2023

所以在椭圆。上存在点尸，^\PF\=2--故D正确.

2024f

故选：BD

22

15.（2024•高三・云南楚雄•期末）已知椭圆C：―+^—=1,则（）

4m6-4m

A.C的长轴长为B.当〃?=1时，C的焦点在x轴上

C.C的焦距可能为4D.C的短轴长与长轴长的平方和为定值

【答案】BCD

【解析】若0<4机<6-4加，则椭圆焦点在V轴上，a2=6-4m,长轴长为：2。=2〃-4加,