2025年新高考数学复习突破讲义：等差数列、等比数列综合应用

专题39等差数列、等比数列综合应用

【知识点总结】

一、基本概念

1、数列

(1)定义.

按照一定顺序排列的一列数就叫做数列.

(2)数列与函数的关系.

从函数的角度来看，数列是特殊的函数.在y=/(x)中，当自变量无eN*时，所对应的函数值

/⑴J(2)J(3),…就构成一数列，通常记为｛%｝,所以数列有些问题可用函数方法来解决.

2、等差数列

(1)定义.

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一常数，则该数列叫做等差数列，这

个常数叫做公差，常用字母d表示，即a“+「a“=d(〃eN*).

(2)等差数列的通项公式.

若等差数列｛4“｝的首项是4,公差是d,则其通项公式为q,=q+("-l)d=:办+(q-d),是关于〃的二:

次型函数.或=册+(〃-祖)d,公差d=4~—(直线的斜率)(“2WN*).

............n—m

(3)等差中项.

若x,成等差数列，那么A叫做x与y的等差中项，即4=爰或2A=x+y.在一个等差数列中，

从第2项起(有穷等差数列的末项除外)，每一项都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上，等差数列

中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项.

(4)等差数列的前〃项和S.=、*%)"="%+"("一D"=4=+祖心n(类似于S“=A"2+B〃)，是

2222

关于〃的工次型函数工二迭项系数为!■旦赏数项为。)s“的图像在过原点的直线(d=。)上或在过原点的抛

物线(dwO)上.

3、等比数列

<1)定义.

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个非零常数，则该数列叫做等比数

列，这个常数叫做公比，常用字母q表示，即—=q(qxO,〃eN*).

(2)等比数列的通项公式.

等比数列的通项%=%小1=c0（C=幺）（％应W0），是不含常数项的指数型函数.

q

（3）工厂.

an

（4）等比中项

如果x,G,y成等比数列，那么G叫做x与y的等比中项，即G?=砂或G=±而（两个同号实数的等比

中项有两个）.

（5）等比数列的前〃项和

二、基本性质

1、等差数列的性质

（1）等差中项的推广.

当"z+w=p+q（m,n,p,qeN*）时，则有am+an=ap+aq,特别地，当w+〃=2p时，则有am+an=2ap.

（2）等差数列线性组合.

①设｛%｝是等差数列，则｛2«„+切（46eR）也是等差数列.

②设｛。）｛，｝是等差数列，则｛44,+42｝（4，4eR）也是等差数列.

（3）等差数列的单调性及前〃项和S“的最值.

公差1>00｛%｝为递增等差数列，S.有最小值；

公差d<0o｛%｝为递减等差数列，S"有最大值；

公差d=0o｛%｝为常数列.

特别地

若1%>°，则S“有最大值（所有正项或非负项之和）；

若fa°,则s“有最小值（所有负项或非正项之和）.

[d>0"

（4）其他衍生等差数列.

若已知等差数列小｝,公差为前〃项和为S“，则黑国门-黑川.-邑加…为等差数列，公差为Id.

2、等比数列的性质

（1）等比中项的推广.

若〃7+〃=p+4时，则4“％=。陷，特别地，当〃?+〃=2p时，aman=.

（2）①设伍“｝为等比数列，则｛2%｝（2为非零常数），｛何J｝,｛成｝仍为等比数列.

②设｛4｝与｛b“｝为等比数列，则｛a,b„｝也为等比数列.

（3）等比数列｛风｝的单调性（等比数列的单调性由首项q与公比q决定）.

当任>0或H<0时，｛凡｝为递增数列；

[q>1[0<q<1

当或时，为递减数列，

(4)其他衍生等比数列.

若已知等比数列｛%｝,公比为g,前〃项和为S/则S”,S功-黑可”「邑皿，为等比数列，公比为〃(当

q=-l时，加不为偶数).

3、等差数列与等比数列的转化

(1)若｛4｝为正项等比数列，贝^(^^"。，。，。/。为等差数列.

(2)若｛%｝为等差数列，则｛c'｝(c>0,cwl)为等比数列.

(3)若｛%｝既是等差数列又是等比数列o｛%)是非零常数列.

【典型例题】

例1.(2024・高三•重庆•阶段练习)在等差数列｛%｝中，％=3,则%+为-；。

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】因为4=3,令｛%｝的公差为d,

贝U%+〃8-§%=%-d+%+2d--(%+3d—5,

故选：D.

例2.(2024・高三・河南•阶段练习)记数列｛%｝的前〃项和为S“，已知q=2,｛几1｝为等差数列，若

S4+/+〃4=1，贝।U=()

A.2B.—2C.-D.—

22

【答案】D

【解析】邑+%+%='+'一$2=1，故4s4-2$2=2,

所以数列"SJ是首项为2,公差为1的等差数列，

所以科=2+〃-1=〃+1,故S“=l+L

n

1

所以当时，an=Sn-Sn_x=一一,所以幺=」?=:，

n(n-1)a3_£2

6

故选：D.

例3.（2024•北京海淀•一模）已知｛2｝为等差数列，S”为其前〃项和.若q=2出，公差1。0,5加=0,则相

的值为（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】由已知％=24=2（q+d）,得力=-2d,

又5皿=m%H———-d=-2mdH———-d=0,又dW0,

所以_2〃?+"（'"T）=O,解得机=5或加=0（舍去）

2

故选：B.

例4.（2024・四川南充・二模）在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质.竹子在中国的历史

可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了.竹子可以用来加工成日用品，比

如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等.现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹

筒的容积，。9（单位：L）依次成等差数列，若4+%+%=3.6,4=0.4,则〃1+。2++。9=（）

A.5.4B.6.3C.7.2D.13.5

【答案】C

【解析】•｛4｝为等差数列，

/.%+%+%=3%=3.6,故/=1.2

9/、

+%+…+佝=5（4+%）

99

=-（a2+a8）=-x（1.2+0.4）=7.2.

故选：C.

例5.（2024•北京朝阳•一模）已知等比数列｛氏｝的前〃项和为S“，且4+的=1,%+%=4,则$6=

（）

A.9B.16C.21D.25

【答案】C

【解析】由等比数列的性质可知，”等=%詈，即叫警=：,得%+4=16,

=（0+生）+（/+。4）+（“5+a6）=21.

故选：C

例6.（2024•全国•模拟预测）已知正项等比数列｛凡｝的前〃项和为s〃，若$4=3,$8=51,则公比9=（）

A.!B.-C.2D.3

24

【答案】C

%（1-力

i

【解析】由题意，知4＞。且qwl,则3二1八二；解得4=2.

S8q（l-力1+/17

i-q

故选：C.

例7.（2024•广东广州•一模）记S"为等比数列｛%｝的前"项和，若a汹=22%，则今

)

d2

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【解析】根据题意，设等比数列｛4｝的公比为4,

若a3as=2a2a4,即-3~=2,

4(1Y)

故显=1q^=]+«2=3

S2q(l-d)

i-q

故选：c.

例8.（2024•宁夏固原•一模）已知等差数列｛4｝的前W项和为s“，若%+%=14,%=-3,贝”8=.

【答案】16

【解析】设等差数列““的公差为d,

q+4d+q+8d=14Q]=-5

则有，解得:

4+d=-3d=2

所以Sg=8x（—5）+〒义2=16.

故答案为：16

例9.（2024.全国.模拟预测）己知数列｛凡｝的首项q=1,且数列｛log?4｝是以1为公差的等差数列，则

log24Z3+log2d!8=.

【答案】9

【解析】由数列｛凡｝的首项％=1,且数列｛1国2%｝是以1为公差的等差数列，

可得log2al=0,则log?。”=0+（«-l）xl=H-l,

所以log必+1082%=（3-1）+（8-1）=9.

故答案为：9.

例10.（2024・高三・上海・专题练习）已知等比数列｛4｝的前“项和为S“，且满足25"=2向+2,则实数力

的值是—.

【答案】-2

【解析】等比数列｛%｝中，由2sL2.+2可得S〃=2〃+ga,

则q=Si=2+gx,若公比4=1,则$2=2?=2〃]=4+4.=X=0,

则S3=2^w3%,故4w1,

则等比数列的前力项和s=叱二（#i）,

\-q1-a1-a

故令乙=一1,即彳=一2,

2

故答案为：-2

例11.（2024・高三•广东广州•阶段练习）己知等比数列｛%｝的前〃项和为S“，且$3=27,$6=35,数列

｛%｝的公比4=.

【答案】|

【解析】由题意可知：#1,

根据等比数列的前〃项公式可得：s="（j）=27①,§6=%（i）=35②,

3\-q6i_q

联立①②可得1+/=||,解得：

故答案为：—

例12.（2024.高三.全国・专题练习）已知等比数列｛%｝的前〃项和为S,,,%=27电，S3=26,贝I]

+a4'

103

【答案】

77

【解析】设等比数列｛4｝的公比为鼠4*0）.

.。5=27出，

二.%夕3=27%,解得4=3.

03=26,

「.4（1+4+/）=26,解得％=2.

2x（1-3，）,3­

5=—----^=34-1=80，%=%4=54，

41-3

.$4_80__10

%+%567

故答案为：y.

例13.(2024.青海・二模)等差数列｛%｝中，%=3a6=2a3.

⑴求｛4｝的通项公式；

(2)设％=3晦,记S,,为数列｛〃｝前几项的和，若鼠=39,求

【解析】(1)设｛%｝的公差为d,由题设得+Dd

因为4=2%,所以1+(6-1)〃=2[1+(3—1)砌，解得4=1,

故见=〃.

(2)由(1)得2=3".

所以数列｛2｝是以3为首项，3为公比的等比数列,

&m+1o

由鼠=39得JZ2=39,解得帆=3.

2

例14.(2024•四川泸州・二模)已知数列｛%｝的前〃项和为S“，5„=-(a„-1)(HeN*).

(1)求数列｛见｝的通项公式；

⑵在““与”用之间插入"个数，使这〃+2个数组成一个公差为者的等差数列，求”.

【解析】(1)因为S,=|(%-l)(〃eN*),

3

当〃=1时，S]=5(q-l)=q,所以6=3,

3

当心2时，5„_,

33

所以%=S「S,T=5(31)一5(%一1),整理得q=3%,

所以数列｛见｝是以3为首项，公比为3的等比数列，

所以数列｛«„｝的通项公式为«„=3";

(2)因为%=3",凡刁=3用，

4"1

由题意得：3〃+i=3〃+(〃+1)—，即3=1+(〃+1)—,

5050

所以，=99.

例15.(2024.高三•内蒙古锡林郭勒盟•期末)已知数列｛q｝满足q=2,〃%=3(〃+1)%,设

(1)求4，b2,b3.

(2)判断数列｛b,,｝是否为等比数列,并说明理由；

(3)求｛4｝的通项公式

【解析】(1)由条件可得。用=迎土

n

将九=1代入，得出=6。1，而q=2,所以%=12,

9

将〃=2代入，得4=务%，所以。3=54,

又〃=",从而4=2,打=6,4=18.

n

(2)数列｛〃｝是首项为2,公比为3的等比数列，理由如下：

由条件可得餐=也，即bn+｝=3d,

又4=2,所以｛2｝是首项为2,公比为3的等比数列

(3)由(2)可得"=6"=2X3"T,所以a“=2〃x3"T,

n

【过关测试】

一、单选题

1.(2024•陕西商洛.三模)已知S,,是等差数列｛4｝的前"项和，且满足%=444=22,则5$=()

A.65B.55C.45D.35

【答案】D

【解析】设数列的公差为d,贝U$4=(4—d)+4+(4+d)+(4+2d)=22,，d=3,

a3=a2+d=T,S5=―(、——=5a3=35.

故选：D

2.(2024・湖北・二模)已知公差为负数的等差数列｛4｝的前〃项和为S“，若生,%，%是等比数列，则当S,,取

最大值时，〃=()

A.2或3B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】设等差数列｛%｝的公差为d(d<0)，由%，%，%是等比数列，

35

得(6+3d尸=(4+2d)(4+6d),解得%=——d,则an=ax+(n-Y)d=(n——)d,

22

显然等差数列｛%｝单调递减，当"42时，an>0,当时，%<0,

所以当S“取最大值时，n=2.

故选：B

3.（2024・北京•模拟预测）等差数列：4,出，L,a”满足-3,。=0.4,则4+%++%

()

A.5.4B.6.3C.7.2D.13.5

【答案】B

【解析】设等差数列的｛4｝的公差为d,

34+3d=3q—1.1

由题意可知,解得

%+7d=0.4d=—0.1

以〃]+。2+…+%=9x1.1H-------x(—0.1)=6.3.

故选：B.

4.(2024.重庆.模拟预测)等差数列｛4｝满足q+%=4,%=8,则〃3=()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】设等差数列｛4｝的公差为d,因为4+4=4,%=8,

伉+“+2d=4

可得,。，解得。1=一1"=3,所以为=T+2X3=5.

[%+3d=8

故选：B.

5.（2024・全国•模拟预测）已知数列｛4｝的前"项和为S“，an+2+a„-2an+l=0,若力=306,则

A.5B.7C.9D.17

【答案】C

【解析】因为2〃用=0,所以数列｛2｝是等差数列，

由i=17%=306,得〃9=18,

所以%一1=修='e4

故选：C

6.（2024•广东佛山•模拟预测）设等差数列｛?｝,｛2｝的前几项和分别为工，Tn,若对任意正整数〃都有

2九一3a.4

-=-----,则——+——=（）

Tn4几一3'々+2

351919

A.-B.—C.—D.—E.均不是

7214140

【答案】c

【解析】由等差数列的等和性可得，

+a

a3a9c^+cigax+aH2''^S”2x11-319

4+4+仇+。7西+耍=2b$=4+%=：([+/)=耳=4x11-3=8

故选：C.

7.（2024・高三.甘肃张掖•阶段练习）已知正项等差数列｛q｝满足4%=3,%%=15,则。4a5()

A.39B.63C.75D.99

【答案】B

【解析】设等差数列｛叫的公差为d,

=3q(4+d)=3

因为12所以

a2a3=15(q+d)(q+2d)=15)

，［或%=一]

解得（舍去）,

d=—2

所以%%=(1+3X2)X(1+4X2)=63.

故选：B.

45

8.（2024•山西朔州•一模）设S"为等差数列包｝的前”项和,若S9=—,贝12%-%1=()

A-iB.3C-1D.5

【答案】A

45455

【解析】因为89=3,故9%=了即。5=5，而2。8=%1+。5,

故2/-4]=a5=—,

故选：A

9.（2024・高一•江西南昌•期中）已知等差数列｛叫中，S"是它的前”项和，若儿>0,席<则当S.最大

时，〃的值为（）

A.8B.9C.10D.16

【答案】A

【解析】,・,等差数列｛0｝中，516>0,S17<0,

16（o,+a16）16（a8+a9）n（at+a„）17（a9+a9）

..k=-2—=-2->°'弗=---=--—<0,

故网+%>°，％<。，继而网

根据等差数列的性质可知前8项均为正数项，

二数列的前8项和最大；

故选：A.

10.（2024・天津•一模）已知｛4｝为等差数列，前〃项和为s“，且1=2,邑=%+18,则4=（）

A.54B.45C.23D.18

【答案】C

【解析】设等差数列｛%｝的公差为d,

因为。1=2,S3=%+18,

所以3x2+3d=2+d+18,角星得d=7,

所以%=4+3d-2+3x7=23.

故选：C

11.（2024•全国•模拟预测）己知数列｛%｝为等差数列，且4+为+4+6+41=8。，贝Ijlog2（%+%）的值为

（）

A.4B.5C.6D.3

【答案】B

【解析】由等差数列的性质，可得q+%+4+%+%=54=8。，解得。6=16,

所以log2M+%）=log2（2a6）=log232=5.

故选：B.

12.（2024.河南.三模）已知正项等比数列｛%｝的前〃项和为S,，若廿5=2%,且％与&的等差中项为

则$5=（）

4

A.29B.31C.33D.36

【答案】B

【解析】不妨设等比数列｛%｝的公比为9，由%%=2%可得：则'=2ad,因%＞。应＞0,贝觞/=2①

又由知与6的等差中项为、可得：4+必=|，即％/（1+“2）=：②

15、16（1」）

将①代入②，可得：q=-，回代入①，解得：4=16,于是邑=工q）=—产-=31.

21-qA

2

故选：B.

13.（2024・全国•模拟预测）已知等差数列｛q｝的前〃项和为S,,,$23=184,贝应+%+%=（）

A.12B.23C.24D.18

【答案】C

【解析】由数列｛%｝为等差数列，得$23=型竽2=23%=184,得知=8,

又出+。22=2。12，贝U%+^12+。22=^^12=24.

故选:c.

14.（2024・高三・山东荷泽•阶段练习）已知｛。〃｝为等差数列，%+%+%=15,&+/+。8=33,则佝二

（）

A.6B.12C.17D.24

【答案】C

【解析】设等差数列｛%｝的公差为d,

因为％+/+%=15,。4+。6+。8=33,

可得9d=（4+线+/）—（4+4+%）=33—15=18,解得d=2,

又由q+〃3+%=15,可得。1+/+%=3q=15,解得4=5,

所以〃9=々3+61=5+6x2=17.

故选：C.

15.（2024・湖南•二模）已知｛七｝是等比数列，S“是其前〃项和.若q-q=3,S4=5S2,则出的值为（）

A.2B.4C.±2D.±4

【答案】C

【解析】由4-4=3可得：等比数列｛%｝的公比4*1.

$4=5邑，化简得岐二£1=5X岐二£1,整理得1+才=5,

\-q1-q

q=±2

2

又.a3-a1=a[q-a｛=3,

..—1,

%-a\Q—±2.

故选：C.

16.（2024•高三•江西•阶段练习）已知S“是正项等比数列｛%｝的前〃项和，且％+%=82,«2a4=81,则

$5=（）

A.212B.168C.121D.163

【答案】C

【解析】设等比数列｛%｝的公比为9,

因为数列｛见｝为正项等比数列，所以4>0,

aa

因为。2。4=\5，又a2a4=81,

所以=81,因为％+%=82,

4=81、a—\

所以或x

?

。5—1a5=81

4=81q=81二1

=

若」，则41，解得。i=81,Q~

〃5-1axq=13

1

%(5)8以-

243

所以$5==121,

i-q

CLi—1CL=1

若、81，则%=8〃解得口、,

皿上lx(>243)=⑵,

所以$5=

1-q1-3

所以5=121,

故选：C.

17.（2024・广西•二模）设S“是等比数列｛4｝的前几项和，若S?=2,%+%=6,则白

)

713

A.2B.-C.3D.——

44

【答案】D

【解析】由题意得邑=2,$4-邑=6,邑=邑+6=8,

因为S?,$4-邑,$6-S,成等比数列,故(S&-S2)2=邑(七-SJ,

2

gp6=2(S6-8),解得显=26,

S,2613

故』=一=—

nx

S484,

故选：D

18.（2024•全国•模拟预测）已知等比数列｛q｝的前〃项和为臬,%=27。24=26,则$6=（）

A.63B.728C.730D.64

【答案】B

【解析】设等比数列｛4｝的公比为4（4W。）,,

3

%=27%,gpa2q=21a2,:.q=3,

S3=26,4(1+q+q?)=26,q=2,

2(14)

-------^=36-1=728・

1-3

故选：B.

19.（2024•高三•陕西安康•阶段练习）各项均为正数的数列｛%｝,满足%=叵,则%。=

（）

A.210B.221C.20D.4

【答案】A

【解析】由已知4=2”,

可得女-*=驴,a-。3=2»,4T3=2"、L,al-a；=22,«f-^=21,等式左右分别相加可得

1-2

又。1=0,即=2,

所以4：=。；+2"-2=2",

又数列｛4｝的各项均为正数，

所以4,=2万，

所以出。=2，

故选：A.

20.（2024•全国•模拟预测）已知在等比数列｛〃〃｝中，2%+々3=15,a2a3a4=729,则S〃-a〃=（）

A.2x3"-1-2B.C.2x3"-z?D.5x3"-3

【答案】B

【解析】因为在等比数列｛%｝中，出%%=729,所以尺=729,解得生=9,

又2%+〃3=15,解得%=3,

设等比数列｛凡｝的公比为4,则4=?=g=3，

所以％=1,所以s,-2=詈一3"T=g（3i-1）.

故选：B.

21.（2024•广东江门•一模）已知是等比数列，。3。5=8。4，且〃2，〃6是方程%2-34%+根=0两根，则

m=（）

A.8B.-8C.64D.-64

【答案】C

【解析】因为｛。〃｝是等比数列，所以。3。5=4，%。6=才，又〃3%=8〃4，所以〃4=8,

又〃2，。6是方程％之一34%+根=0两根，

所以小=a2a6=。：=64.

故选：c

22.（2024•河北邯郸•三模）已知等比数列｛凡｝的各项互不相等，且4q,1a3,3%成等差数列，则

“2021—a2023_/、

一（）

“2020—42022

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】设等比数列｛%｝的公比为以4a±1）,

因为4q,,3生成等差数列，所以4q+3%=〃3，即4〃]+3〃1夕=4q2,

所以二一34-4=0,解得q=4或“=一1（舍去），

mt、I“2021一“2023—“2020.9—〃2022'Q_A

所以———------z-----------------q-.

“2020—。202242020—“2022

故选：D

23.（2024.陕西西安.二模）已知等差数列｛凡｝的公差为-2,且与是〃3与〃9的等比中项，则数列｛4｝的前

20项和为（）

A.10B.-10C.20D.40

【答案】C

【解析】由题意可得。3。9=婿，即（4一4）3-16）=（4-12）2,解得4=20,

则与。」20+2。：（2。-42。川

故选：C.

24.（2024・陕西西安.二模）已知等比数列｛%｝中，公比q=2,其前5项和S§=93,则％=（）

A.6B.8C.12D.24

【答案】C

【解析】因为等比数列前5项和Ss=93,

所以+%+%+&+%=93,

所以%q2+1+。3+。3乡+=93,

31

因为4=2,所以：q=93,

所以〃3T2.

故选：C.

25.（2024・江苏•一模）等比数列｛凡｝的前〃项和为S“，已知邑=%+5%,a5=4,则（）

【答案】A

【解析】设等比数列｛%｝的公比为q,

由S3=%+5%,得：%+%+〃3=。2+5%，

艮；。3=4。］—夕，

所以，q2=4,

又见=4,所以，a1/=4（/）2=qx42=4,

所以，«1=1.

故选：A.

26.（2024・湖南衡阳•二模）已知｛风｝是等比数列，且%-%=-24,%-%=48,则囚=（）

A.-1B.《C.1D.2

【答案】C

【解析】设等比数列｛4｝的公比为9,

a-,-a.48<

贝ljq=-=—2,又4一/二aiQ~谓=一32%+8q=-24,解得%二L

〃6—%—‘4

故选：C.

27.（2024•内蒙古呼伦贝尔•一模）已知｛。“｝是正项等比数列，且/。8=32-4%，则生=（）

A.V2B.2C.4D.20

【答案】C

【解析】｛%｝是正项等比数列，由。2a8=32-%%，

得2出+a3al=2ag=32,得%=4.

故选：C

28.（2024・高三•全国・专题练习）从集合｛1,2,3,…，10｝中任意选出三个不同的数，使得这三个数依次成

等比数列，则这样的等比数列的个数是（）

A.8B.10

C.12D.16

【答案】A

【解析】解析：当公比为2时，等比数列可为1,2,4；2,4,8；当公比为3时，等比数列可为1,3,9；

当公比为

、

、

？

时，等比数列可为4,6,9.同时，4,2,1；8,4,2；9,3,1和9,6,4也是等比数列，共8个.

29.（2024•安徽黄山•一模）已知｛%｝是以9为公比的等比数列，%-q=2,4-%=16,则4=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】因为数列｛%｝是以q为公比的等比数列，且%-G=2,%-4=16,

则。6-%=g33-q）=2q3=16,解得q=2.

故选：A.

二、多选题

30.（2024・高一・福建宁德・期末）公差为d的等差数列｛4｝,其前”项和为S“，品>0,几<0,下列说法

正确的有（）

A.d<0B.%>0C.⑸｝中S5最大D.同<同

【答案】AD

【解析】由$11（4+3=11>o,得小>。，

2

又几））得，a+a<0,

J2”他=6&+%<0,67

所以&>0,%<。，数列｛%｝是递减数列，其前6项为正，从第7项起均为负数，

等差数列｛%｝,公差d<0,A选项正确；%<。，B选项错误；前6项和最大，C选项错误；

由%>0,a9<0,有|应|一|%|=%+%=%+为<0，则E|<K|，D选项正确.

故选：AD.

三、填空题

31.（2024.高三.湖南•阶段练习）等差数列｛%｝的首项为1,公差不为0,若出，的，&成等比数列，则

｛%｝的前5项的和为—.

【答案】-15

【解析】设等差数列｛%｝的公差为d且dwO,且％=1,

因为出，«3,牝成等比数列，可得代=%%，即（l+2d）2=（l+d）（l+5d）,

即d=-2或d=O（舍去），

设等差数列｛《｝的前〃项和为S”,

5x4

所以S5=5xl+-^-x（-2）=-15.

故答案为：-15.

32.（2024•北京.模拟预测）已知等差数列｛%｝满足4=2,公差且%外,%成等比数列，贝U

d=.

【答案】4

【解析】因为％=2,%,%,%成等比数列，所以。；=。口5，即（2+dp=2（2+44）,

即1-44=0,解得4=4或"=0（舍）.

故答案为：4

33.（2024.海南省直辖县级单位•一模）设等差数列｛%｝的前,项和为I，若%+%=T0,S6=-42,则

Ho=■

【答案】10

【解析】因为｛%｝为等差数列，a3+a5=-10,即2%=-10,所以为=-5,

又因为天=一42,所以6（“；&）=3@+4）=-42,所以%+%=T4,

所以。3+“4=—14,a3=—9,

所以公差d=〃4一。3=4,所以〃1=。3-2d=-17,

所以工o=lO%+^1^=10.

故答案为：10

34.（2024•全国•模拟预测）已知等差数列｛风｝的前"项和为S,,,且满足为+%+%=2%-%，贝U

S9=.

【答案】0

【解析】设首项为〃1，公差为d.丁〃2+。5+。9=2%-。8，

q+d+q+4d+%+8d=2q+12d—q—7d,

2al+8d=2（q+4d）=2a5=0,a5=0,

一（4+%）X9

••K?9—2—-u•

故答案为：0.

35.（2024・全国•模拟预测）已知正项等比数列｛4｝的前〃项和为S“，若邑=3,58=51,则％）23=

92022

【答案】W

【解析】设等比数列｛〃“｝的公比为夕，由题意知0>0且4工1,

则风=—匕^—=—\—=X

解得4=2.

58%（1-力1+/17

i-q

,4］（1-力1

贝n电=』----^=15q=3，•,.Oi=7

i-q3

2022

产2=卜12皿=9£

22022

故答案为:

5

36.（2024,jWj二•全国・专题练习）已知等差数列｛〃〃｝的公差不为零，成等比数列，且生+。5=16,则

数列｛%｝的通项公式4,=

【答案】2n

【解析】设｛凡｝的公差为或4片0）,

2M4成等比数列，,G=q，即（％+d）2=%（4+3d）,解得。i=d,

%+“5=16,/.q+2d+%+4d=16,角星得q=d=2,

:.a.=2+2(〃-1)=2”.

故答案为：2n

37.（2024•浙江金华•模拟预测）已知数列｛%｝是等差数列，数歹（］｛〃｝是等比数列，若的+%+R=5兀,

她％=34，则tanq+%_

1一她

【答案】6

5兀10兀

【解析】由等差数列的性质可知，出+%+。6=34=5兀，EPa4=—,而4+%=2%=亍

根据等比数列的性质可知，优。&6="=3相，则々=后，b也=及=3,

5兀

所以tan^i^=tantangS

1一她3

故答案为：色

四、解答题

38.（2024・高三•四川巴中•阶段练习）等差数列｛%｝的前几项和为S"，其中q=1,$3=6；

（1）求数列｛4｝的通项公式;

,1，>

(2)b“=------,求数列｛2｝的前”项和7；.

an'an+\

【解析】（1）设等差数列｛%｝的公差为d,由题可得：3%+3d=6,又q=l,解得d=l,

故q,=ai+(ii-i)d=n.

71111

(2)bn=------

〃i+i«(n+l)nn+1'

111111n

故北=4+4+4+,•+〃=++…+1-

K+2334nn+1〃+1n+1

故数列也｝的前〃项和/=W.

39.（2024四川绵阳•模拟预测）已知各项均为正数的等差数列｛见｝的前〃项和为3，4是4,生的等比中

项，且56-3邑=12.

（1）求｛/｝的通项公式；

1

（2）求数列的前〃项和为

S„+n

【解析】（1）设正项等差数列｛4｝的公差为d®＞。），

因为4是％,生的等比中项，所以％03=42,即q（q+2d）=16,

又&-3$3=12,即6q+151—3（34+31）=12,即2d=q+4,

%=2^%=—4

解得d=3或（舍去）,

d=0

所以为=2+3(“-1)=3"—1；

131

(2)由(1)可得S"=2〃+耳〃(〃—1)x3=+万〃,

2n

3(〃+1).

40.（2024•黑龙江吉林•二模）已知S”是数列｛4｝的前,项和，6=2,是公差为1的等差数列.

(1)求数列｛见｝的通项公式；

1111

(2)证明：——+——+---+-----<-.

的2a2a3anan+\4

【解析】（1）因是公差为1的等差数列，而4=2,则｝=2,

因止匕一^=2+(〃-1)x1=〃+1,gpSn=几(〃+1),

n

当应2时，an=Sn-Sn_x=,

经检验，％=2满足上式，

所以也｝的通项公式是%=2".

1_1_1乂11(1__1

(2)证明：由(1)知:

anan+i2〃(2〃+2)4+n+1

1111