2025年新高考数学阿波罗尼斯圆与蒙日圆七大题型（学生版）

阿波罗尼斯圆与蒙曰圆七大题型汇总

题型ik氏国与轨迹

题型2阿氏圄与圆雉曲线

题？WJ

题2

35阿氏圄与立体几何

题型6楠圄中的蒙曰国

题型7双离,与检物线中的拿日国

题型1阿氏圄与轨迹

即上塾重点

阿波罗尼斯圆的定义

在平面上给定两点A,B,设P点在同一平面上且满足篝=4当4>0且时，P点的轨迹是个圆,称

之为阿波罗尼斯圆.（4=1时P点的轨迹是线段4B的中垂线

题工（2021下.陕西宝鸡.高三统考阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发

现:“平面内到两个定点A,B的距离之比为定值M4W1）的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的

名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系。。夕中，4（—2,0）,B（4,0）,点P满足借

\PB\

=y.则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（）

A.4兀B.8兀C.12兀D.16兀

变或他1级

［题目|1［（2023上•浙江金华•高三阶段练习）已知圆C的直径AB=6,点M满足\MA\=21MBi.记点M的轨

迹为W,设W与。交于P,Q两点，则|PQ|=.

颔目团（江苏省海高三模拟考试数学试题）在平面直角坐标以为中，已知点4（1,0）出（4,0）,若直线2-夕

+m=0上存在点P使得\PA\=-j-|FB|,则实数m的取值范围是.

〔题目0（2021•湖南衡阳•校联考一模）阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题:平面内到

两定点距离之比为常数后伏>0#片1）的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆.若平面内两定点A、口间

的距离为4,动点P满足段=V3,则动点P的轨迹所围成的图形的面积为；PA-PB最大值是

题目④（2019上•浙江杭州•高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知AB是平面上两个定点,平面上

I8

的动点满足兽=兽=M，若对于任意的馆23,不等式13VM瓶卜恒成立，则实数k的最小

\CB\\DB\

值为.

〔题目可（2023上•山东•高三沂源县第一中学校联考开学考试）我们都知道:平面内到两定点距离之比等于定

值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点A（-L,0）和

B（2,1）,且该平面内的点P满足|24|=2\PB\，若点P的轨迹关于直线mx+ny-2=0（m,n>0）对称，

则2+互的最小值是（）

mn

A.10B.20C.30D.40

1题目⑤（多选）（2023上•贵州贵阳•高三清华中学校考阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里

得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现:平面内到两个定点的距离之比为定

值"4>0,且4W1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系2。沙中，4（—2,0）,

口（4,0）,点P满足*=］.设点P的轨迹为曲线C,则下列说法正确的是（）

A.。的方程为（rc+4）2+方=16

B.点AB都在曲线。内部

C.当三点不共线时，则=

D.若。（2,2）,则|PB|+2\PD\的最小值为4A用

题型2阿氏画与4画锥曲线

阿波罗尼斯圆的证明

【定理1】设P（2,沙），4（—a,0）,B（a,0）.若果=4（4>0且4A1）,则点P的轨迹方程是

riD

卜一”力2+才=（竽工『，其轨迹是以（尸口O）为圆心，半径为丁=M的圆.

证明:由_B4=APB及两点间距离公式，可得（6+a）?+才=#［（力一Q）2+才］,

化简可得（1—不）力2+（1—矛）#_|_2（1+/l2）aa;+（1—矛）d=0①，

（1）当4=1时，得力=0,此时动点的轨迹是线段AB的垂直平分线；

⑵当4W1时,方程①两边都除以1—才得1+才+2a（1+褒+&2=0,化为标准形式即为：

（广含4+万（鸡）二点P的轨迹方程是以（碧Q,。）为圆心，半径为川碧颐.

图①图②图③•••

的2（2021上•北京•高三北京市八一中学校考期末）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世

界光辉的科学成果,它将圆锥曲线的性质网罗殆尽,几乎使后人没有插足的余地，他证明过这样一个命题：

平面内与两定点距离的比为常数>0且看片1）的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆,现有椭

圆「:名+*=1（a>90）,4B为椭圆「长轴的端点，C、。为椭圆「短轴的端点，动点河满足电”

a2b2\MB\

=2,△MAS的面积的最大值为8,4MCD的面积的最小值为1,则椭圆「的离心率为.

娈式的1统

［题目|11（2021.安徽黄山・统考一模）在平面上给定相异两点A,B,设点P在同一平面上且满足制~=九当

4>0且4片1时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为

阿波罗尼斯圆.现有双曲线W2=l（a>0,6>0）,厘用分别为双曲线的左、右焦点，A,B为双曲线虚

ab

轴的上、下端点，动点P满足兽■=2,△/MB面积的最大值为4.点在双曲线上，且关于原点。对

\PA\

称，Q是双曲线上一点，直线■和QN的斜率满足则双曲线方程是；过£的

直线与双曲线右支交于两点（其中。点在第一象限），设点M、N分别为瓦月、ADE用的内心，则

\MN\的范围是.

意目团（2021上.吉林通化.高三梅河口市第五中学校考期末）古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262-

190年），与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家;他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成

果,它将圆锥曲线的性质网络殆尽,几乎使后人没有插足的余地.他发现“平面内到两个定点4B的距离

之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿

氏圆.比如在平面直角坐标系中，4（0,1）、3（0,4）,则点P满足；1=/所得P点轨迹就是阿氏圆；已知点

。（—2,4）,Q为抛物线y2=8x上的动点,点Q在直线，=—2上的射影为H,M为曲线0+2）2+才=4上

的动点，则y|MC|+\QH\+\QM\的最小值为.贝+\QH\+\QM\的最小值为.

［题目0（2022下•浙江•高三校联考开学考试）公元前3世纪，阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中明确给出了

椭圆和圆的一个基本性质：如图,过椭圆（或圆）上任意一点P（不同于A,B）作长轴（或直径）的一条垂

线段，垂足为Q,则为常数k.若此图形为圆，则fc=；若k=］,则此图形的离心率为

f1

题目0（2022.湖北.荆门市龙泉中学校联考二模）历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375

年-325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥

曲线的光学性质:如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波,经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一

个焦点，其中法线，表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线,如图乙，椭圆。的中心在坐标原点,焦

点为E（—c,0）,E（c,0）（c>0）,由后发出的光经椭圆两次反射后回到E经过的路程为8c.利用椭圆的光学

性质解决以下问题：

(1)椭圆。的离心率为.

(2)点P是椭圆。上除顶点外的任意一点，椭圆在点P处的切线为I,再在I上的射影〃在圆/+才=8上,

则椭圆。的方程为______.

题型3阿氏质求菲标型最值

川一期重点

当题目给了阿氏圆和一个定点，我们可以通过下述方法快速找到另一个定点，便于计算，令圆。与直线。4

相交于M,N两点设点E为OA上一点，且满足需=九由阿氏圆定理给=脑器=九则AN=ANE

PENEME

^OA-R^A(R-OE),AAOE=(1+4)72—。4①

同理入河=4皿=7?+04="0£；+7?),.・"0£；=(1-#五+。人②

由①②消。4得：24OE=272,即=4即R=4OE,由①②消R得：。4=7OE,

Okj

因此，满足条件的点E在阿氏圆的圆心和定点力的连线上，且条=才或综=不.

网］3(2022•全国•高三专题练习)已知点P是圆O—4y+@—4)2=8上的动点，A(6,—1),。为坐标原点，则

PO+2PA的最小值为.

题目Q(2022.全国.高三专题练习)已知圆。：(z-l)2+(沙一1)2=1,定点P是圆。上的动点，B(2,0),。是

坐标原点，则V2PO+PB的最小值为.

〔题目0(2021•全国•高三专题练习)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统的研究，主

要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点

M与两定点A,B的距离之比为4(4>0"21),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.下面我们来研究与

此相关的一个问题，已知圆。32+夕2=1上的动点”和定点A(-y,0),B(L1),则2\MA\+\MB\的最小

值为()

A.V6B.V7C.V10D.Vn

遒瓦区（2023下•广东东莞・高三东莞实验中学校考开学考试）对平面上两点A、B,满足篇■=4（4片1）的

点P的轨迹是一个圆,这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点A,B是此

圆的一对阿波罗点.不在圆上的任意一点都可以与关于此圆的另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波

罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数4只与阿波罗点相对于圆的位置有关.已

知A（l,0），6（4,0）,。（0,3）,若动点P满足5V=［，则2|PD|+\PB\的最小值是

\PB\2

ICE（2021.江西赣州.统考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚

历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：

已知动点”与两定点4B的距离之比为取＞0,4W1）,那么点”的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.

已知在平面直角坐标系中，圆0：/+夕2=1、点力（_1,0）和点9卷）,河为圆0上的动点,则2|苗4|

~\MB\的最大值为（）

AB巫C3

A，2B2C-万D.亨

Wt回（2022上.湖北恩施.高三恩施土家族苗族高中校联考期末）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里

得、阿基米德齐名他发现:“平面内到两个定点48的距离之比为定值4（4^1）的点的轨迹是圆”.后来，人

们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，4-2,1）,

B（—2,4）,点P是满足4=］的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为；若点Q为

抛物线E：靖=4,上的动点，Q在9轴上的射影为则方|四+四+四|的最小值为.

题型4阿氏B0与向量

幽&（2022•全国•高三专题练习）已知反7=6,47=248,点。满足力方=，^4+---N方，设

9—x+y2（2+9）

/0，夕）=|万|,若/（，,?/）＞/（羯％）恒成立,则/（，0,夕0）的最大值为.

蜃目口〕（2020下•河北石家庄•高三石家庄二中校考阶段练习）已知点力（0,1）,B（l,0）,C（t,0）,点D是直线

AC上的动点，若\AD\＜2\BD\恒成立，则最小正整数t=.

题目0（2019上•浙江•高三统考期末）已知落日是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量3满足厄-4

制，则向+日—目+2仁—用最小值为.

题目3（2019•浙江宁波・浙江省宁波市邺州中学校考模拟预测）已知向量区旗满足同="=同=1,。

日=1,则卜+荆+/怩一日的取值范围是.

颖目Q（2018•江苏扬州•校考三模）已知等边AAB。的边长为2,点P在线段AC上，若满足就•国—24+

1=0的点P恰有两个,则实数4的取值范围是

MB5〕（2019•重庆渝中•高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）在^ABC中，A=120°,AB=2AC=6,点。满

足助=肝丁4方，则I助।的最小值为

+x+y।।------

题型5阿氏HI与立体几何

题5（2019•浙江•校联考一模）如图，48是平面a的斜线段,A为斜足，点。满足sinZCAB=AsinZCBA（A>

0）,且在平面a内运动，则（）

A.当4=1时，点。的轨迹是抛物线B.当4=1时，点。的轨迹是一条直线

C.当4=2时，点。的轨迹是椭圆D.当4=2时，点。的轨迹是双曲线抛物线

变费他1’级

频目工（2022•全国•高三专题练习）如图，在长方体ABGD-45CQ1中，AB=2AO=244i=6,点E在

棱上，BE=2AE,动点P满足8?=遮_?区若点P在平面ABCD内运动，则点P所形成的阿氏圆的

半径为;若点P在长方体ABCD-ABG2内部运动，F为棱CA的中点，M为CP的中点,则三

棱锥M-BCF的体积的最小值为.

题目0（2021上.山东荷泽.高三统考期末）古希腊数学家阿波罗尼斯发现:平面上到两定点人、8距离之比

1）是常数的点的轨迹是■个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息,解决下

面的问题:在棱长为2的正方体ABCD-中，点P是正方体的表面AD。4"包括边界）上的动

点,若动点P满足24=2PD,则点P所形成的阿氏圆的半径为；若后是CD的中点，且满足AAPB

=/EP。,则三棱锥P—ACD体积的最大值是

阿波罗尼奥斯

题目区（2020下.河北石家庄.高三石家庄二中校考开学考试）棱长为36的正四面体ABCD的外接球与内

切球的半径之和为，内切球球面上有一动点则上阳十得阳。的最小值为

O

题目⑷（2022•全国•高三专题练习）已知正方体ABCD—4BQQ1的棱长为1,点P为侧面BBQQ内的动

点，且R4=2PB,则点P所形成的轨迹图形长度为.

题豆回（2021.贵州贵阳.统考模拟预测）在平面内，已知动点P与两定点A,B的距离之比为4（4>0/片1）,

那么点P的轨迹是圆,此圆称为阿波罗尼斯圆.在空间中，也可得到类似结论.如图,三棱柱ABC-A^C,

中，4A，平面ABC,AB=BC=2,BBi=值,AABC=90°,点M为48的中点，点P在三棱柱内部或

表面上运动，且|E4|=2|PM|,动点P形成的曲面将三棱柱分成两个部分，体积分别为%,%（％<%）,

题型6椭圜中的蒙日国

在椭圆上,任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴

短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1.

如图1,设椭圆的方程为t+£=l（a>b>0）,则椭圆两条互相垂直的切线24,P8交点P的轨迹是蒙日

ab

圆：/+才=口2+/.

证明:证法一（解析法+韦达定理）:①当题设中的两条互相垂直的切线PA,PB斜率均存在且不为0时，可

设P（g,y0）（zo片土a且沙0片土b），过P的椭圆的切线方程为y-y0=k（2-3）（%片0）,由

（y-yo=k（x-xo）,

《22y2得（/取+的为2—2ko2（kg—为）0+Q2（kg—泱）2-Q2b2=o,

［薪+至=1，

由其判别式值为。得（舄一。2）昭一2g%k+需一/=0（/一。2。0）,

2_»2

・・,kPA,kPB是这个关于k的一元二次方程的两个根，・•・kPA・kPB=当,

x（）—a

2_72

2

由已知PA^PB,：.kPA-kPB=-l,：.晋一-=-1,.•.域+加=a?+d，.•.点p的坐标满足方程/+y

x0—a

^a2+b2.

②当题设中的两条互相垂直的切线上4,有斜率不存在或斜率为0时,可得点P的坐标为（土a,b）或

（a,土6）,此时点P也在圆/+/=/+&2上.

综上所述:椭圆W+W=l（a>b>0）两条互相垂直的切线必，PB交点P的轨迹是蒙日圆：/+娟=&2

ab

+b2.

证法二（椭圆的切线方程+切点弦方程+点在公共曲线上）：

①当题设中的两条互相垂直的切线Q4,PB斜率均存在且不为。时，设P（g,加）（g片±&且为。土6）,切

点力⑶，%）‘吟纺）（硒网例‘°）,则切线PA等+*=1'PB；”.

・••P（W在切线出,上,••・普+爷=】,管+黄=1,由两点确定一条直线得直线，的

方程为苦+券=1.

azb

kPAkPB==乎的，kOAkOB=­­—={kPAkPB)(kOAkOB)=当,

\ayi八ay?)a%例电力住2a

;,%)(i=1,2)即在圆的方程为号+4=1,又在直线AB:=1上，+普—

ababab

等+誓）1可得点若―“）（巧Iza?%；。%（2）+/（舄—a”。，

,,_沙曲_/（舄一a2）_/（>一£）,,谈一廿_力

“。外。8―_一/（若_冷—若_冷，•不/—

\,yj（JA,yjO13J4•,EPA'pPb22'

aXQ-a

22

由已知PA_LPB,：.kPA-kpB=-l,：.%=—1,.•.舄+*=a?+/,.•.点p的坐标满足方程x+y

Xo-a~

=a2+b2.

②当题设中的两条互相垂直的切线Q4,PB有斜率不存在或斜率为0时,可得点P的坐标为（土a,6）或

（a,±6）,此时点P也在圆，2+才=口2+/上.

综上所述:椭圆5+4=l（a>b>0）两条互相垂直的切线P4,PB交点P的轨迹是蒙日圆：/+娟=口2

ab~

+b2.

先给出几个引理，然后给出证法三--蒙日圆的几何证法.

吼色（2020•山东•高三专题练习）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理,该定理的内容为:椭圆上两条互相

垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆.若椭圆C：+式=1（a

a+1a

>0）的离心率为则椭圆。的蒙日圆方程为（）

A./+才=9B.x2-\-y2=7C.x2-\-y2=5D.rr2+?/2=4

变质他13因

题目Q（2022.全国•高三专题练习）已知椭圆C：^-+y2=l,M是圆/+/=3上的任意一点,MA,MB济

别与椭圆切于4求△AOB面积的取值范围.

【题目区（2022•全国•高三专题练习）设椭圆（+¥=1的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C,曲线。的

54

两条切线P4、PB交于点P,且与。分别切于A、B两点，求才•屈的最小值.

［题目叵〕（2020下•江西景德镇•高三统考阶段练习）蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容

为:椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C:

—+幺=l（a>0）的蒙日圆为/+/=6,则a=（）

CLI/CL

A.1B.2C.3D.4

题目（2022.全国.高三专题练习）给定椭圆C：鼻■+与=l（a>6>0）,称圆心在原点。、半径是，

ab

的圆为椭圆。的“准圆”.已知椭圆。的一个焦点为F（V2,0），其短轴的一个端点到点F的距离为遍.

（1）求椭圆。及其“准圆”的方程；

⑵若点A是椭圆。的“准圆”与，轴正半轴的交点，B,。是椭圆。上的相异两点，且C轴，求施•

说的取值范围；

（3）在椭圆。的“准圆”上任取一点P（s,t）,过点P作两条直线。，如使得。与椭圆。都只有一个公共点,

且七Z2分别与椭圆的“准圆”交于“，N两点.证明:直线AW过原点O.

1题目回（2019.安徽滁州.安徽省定远中学校考一模）已知椭圆C：g+£■=l（a>6>0）的长半轴长为V2,

ab

点（l,e）（e为椭圆。的离心率）在椭圆。上.

（1）求椭圆。的标准方程；

（2）如图，P为直线①=2上任一点,过点P椭圆。上点处的切线为24,,切点分别A,B,直线劣=a与

直线_R4,分别交于Al,N两点，点、M,N的纵坐标分别为?71,n，求nm的值.

22

题目回（2019•河南•校联考模拟预测）已知椭圆O：%+4=l（a>b>0）的左、右顶点分别为4B,点P在

ab

椭圆。上运动，若△248面积的最大值为2通，椭圆。的离心率为十.

（1）求椭圆。的标准方程；

（2）过B点作圆E：x2+（,一2）2=产，（0<r<2）的两条切线，分别与椭圆。交于两点C,。（异于点⑻，当

r变化时,直线CD是否恒过某定点?若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.

题型7双曲线与抛物线中的蒙日圜

塾量点

蒙日圆在双曲线、抛物线中的推广

22

【定理1】双曲线1―9=l(a>b>0)的两条互相垂直的切线Q4,交点P的轨迹是蒙日圆：/+娟=

ab

【定理2】抛物线娟=2p2(p>0)的两条互相垂直的切线以，PB交点P的轨迹是该抛物线的准线：x=-^

(如图4,可以看作半径无穷大的圆).

注意:双曲线中只有当a>b时才有蒙日圆,此时离心率e满足1<e<0；抛物线的蒙日圆恰好为其准线

(直线可以看作半径为无穷大的圆).总结可得如下的蒙日圆定理：

【定理3】过圆锥曲线外一点作两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是一个圆,这个圆被称为蒙日圆，又

叫外准圆.

-ABD-

证明:设圆锥曲线「的方程为A/+2B致+32+2。/+2坳+F=0,其中系数矩阵BCE满秩(即

.DEF.

系数行列式力0).

设平面内有一点P(，。，加)，P不在「上.过P作「的切线，当切线斜率存在时，设切线斜率为％，则切线方

程可设为夕=k(，—g)+%.联立曲线方程，消去沙得

(A+2Bk+C7c2)ic2+2[(Uo—kg)(B+Ck)~\~D~\~Ek\x+C(y°—kxO)"+2E(y。—kxQ)+F=0,

为书写方便，令G=y。-kg,由切线与圆锥曲线只有一个交点可得△=0,即：

{AC-B2)G2+2(BE—CD)Gk+(CF-E2^+2(AE—BD)G+2(BF-DE)k+AF-D2=Q,

观察上式，当把G=u。-A:,。代入之后可知前三项都含有k2,可写出二次项系数为(AC-B2)赤+

2

2(CD-BE)x0+CF-E.同理，第一、四、六项含有常数项，可以写出常数项为(AC—&)瑞十

2

2(AE—BD)y0+AF-D.1・两条切线互相垂直，斜率之积为-1,因此由韦达定理得

22(

^AC-B^+2(CD-BE)X0+CF-E-

22

(AC—d)舄+(AC-B)yl+2(CD-BE)x0+2(AE-BD)y0+CF-E+AF-lf=Q.

当切线斜率不存在时，很明显两条切线分别为，=应，y=y0.联立c=与「的方程，得到Q/+

2(Bx/E)y+Axl+2Dx0+F=0,由A=0得(AC—+2(CD-BE)x0+CF—E?=0,同理，

2

(AC-BP)*+2(AE-BD)yo+AF-D^O,

两个方程相加，恰好得到此时P的坐标满足方程

2222

(AC-B)xl+(AC-B)^+2(CD-BE)Xo+2(AE-BD)y0+CF-E+AF-D^0,

••・无论切线斜率是否存在，P的轨迹方程均为

222

(AC-B)^+(AC—停)筑+2(CD—BE)我+2(AE-BD)y0+CF-E+AF-D=0(**).

习惯上用工，沙表示动点坐标,上式的g,为均改为，，外得到P的轨迹方程

(AC-B2)x+(AC-B2)y+2(CD—BE)缶+2(AE—BD)y+CF-E2+AF-D2=0(**).

•••/和y2的系数相同，且缺少含xy的项，方程(**)表示一个圆,即P的轨迹是一个圆(实圆、点圆、虚圆均

可).证毕.

说明：(1)令A=&2,B=0,C=a2,D=E=0,F=—代入(**)可得椭圆片,+4

ab

的蒙日圆方程：会+才=a2+R定理1得证.

22

(2)令人=*,6=0,C^-a2,D=E=。，F=—代入(**)可得双曲线与—*=l(a>0,6>0)

ab

的蒙日圆方程：/+”=a2—牝当时，a?—川>0,双曲线的蒙日圆存在.但当a=b时，a?—r=0,

方程退化为一个点(0,0).此时易证过(o,0)的直线要么和双曲线有两个交点,要么没有交点(•••双曲线

关于中心对称)，,过(0,0)无法作双曲线的切线，自然也不存在两条互相垂直的切线.而当aVb时，a?-

/V0,于是方程表示一个虚圆(无法在坐标平面上表示)，平面内不存在双曲线的两条互相垂直的切线.

综上,只有当a>6时(或离心率1<eV6时),双曲线才有蒙日圆.定理2得证.

(3)令A=B=0,C=l,D=—p,E=F=0,代入(**)可得抛物线*=2pc(p>0)的蒙日圆方程：c=

-f.这恰好是抛物线的准线方程，因此抛物线的蒙日圆是其准线.这也可以从蒙日圆的一般方程中看出，

因抛物线满足AC-呼=0,.••蒙日圆方程的二次项系数为。，方程退化为一条直线.定理3得证.由此还能

得出一个推论:过抛物线准线上的一点作抛物线的两条切线,这两条切线互相垂直.

吼工(2023.陕西西安・统考一模)数学家加斯帕尔・蒙日创立的《画法几何学》对世界各国科学技术的发展影响

深远.在双曲线C:考~—4=l(a>0,6>0)中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,它的圆

ab

心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆.已知双

曲线。的实轴长为2函，其蒙日圆方程为小+才=4.

(1)求双曲线。的标准方程；

(2)设点P(3,l)关于坐标原点的对称点为Q,不过点P且斜率为g的直线与双曲线。相交于M,N两点,

O

直线PM与QN交于点，求直线OD的斜率值.

要亮他1,级

题目工(2020上.陕西西安.高三校联考阶段练习)定义椭圆C:冬+鸟=l(a>6>0)的“蒙日圆”方程为

ab’

/+“=4+也己知抛物线"=4y的焦点是椭圆。的一个短轴端点,且椭圆。的离心率为答.

(1)求椭圆。的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程；

⑵若斜率为1的直线，与“蒙日圆”E相交于AB两点，且与椭圆。相切，。为坐标原点，求△O4B的面

积.•M

题目区（2023上•广东清远•高三统考期末）法国数学家加斯帕尔・蒙日创立的《画法几何学》对世界各国科学

技术的发展影响深远.在双曲线宅-q=l（a>b>0）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个

圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日

圆.已知双曲线。：告一卷■=l（a>6>0）的实轴长为6,其蒙日圆方程为x2+y2=1.

ab~

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）设。为双曲线。的左顶点，直线Z与双曲线。交于不同于。的两点，若以EF为直径的圆经过点

。，且DGLEF于G,证明:存在定点使为定值.

：题目⑶（2020下•山西•高三统考阶段练习）已知抛物线E：/=2如过点（1,0,过抛物线E上一点P（g,y。）

作两直线PM,PN与圆。：/+⑨—2）2=1相切,且分别交抛物线E于M、N两点.

（1）求抛物线E的方程,并求其焦点坐标和准线方程；

（2）若直线的斜率为一心,求点P的坐标.

题目⑷（2019・河北石家庄•校联考一模）已知抛物线。:d=2p,（p>0）上一点P（g,2）到焦点F的距离

|PF|=2x0.

（1）求抛物线。的方程；

（2）过点P引圆M:（c—3丫+才=产（0<「<蓼）的两条切线Q4、PB,切线与抛物线。的另一交点

分别为A、线段AB中点的横坐标记为力，求力的取值范围.

题目Q（多选）（2023•全国•模拟预测）已知P是定圆C（。为圆心）上的一个动点，人是不在圆。上的一个定

点.若点加满足户必=疟苕（4CR）,且（后+砺）•化N—存）=0,则点河的轨迹是（）

A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线（单支）

题目0（2022•河南关B州•统考模拟预测）在圆（,—3）2+（夕—4）2=/（r>0）上总存在点p,使得过点p能作

椭圆《+才=1的两条相互垂直的切线，则『的取值范围是（）

A.（3,7）B.[3,7]C.（1,9）D.[1,9]

W1回（2022•江苏•模拟预测）在平面直角坐标系①。?/中，若直线。+ay+3=0上存在动点P,使得过点

P的椭圆的两条切线相互垂直，则实数a的取值范围是（）

O

题目⑷（2021.上海虹口.统考二模）己知椭圆。的方程为曰+才=1.

•M

（）设是椭圆。上的点,证明:直线等+“谣/=与椭圆。有且只有一个公共点；

1M{XM,VM）1

（2）过点NQ,2）作两条与椭圆只有一个公共点的直线，公共点分别记为A、B,点N在直线上的射影

为点Q,求点Q的坐标；

（3）互相垂直的两条直线k与L相交于点P，且"/2都与椭圆。只有一个公共点，求点P的轨迹方程.

题目可（2020.全国.校联考三模）法国数学家加斯帕尔・蒙日发现:与椭圆1+g=l（a>b>0）相切的两

ab

条垂直切线的交点轨迹为/+才=（?+/,这个圆亦被称为蒙日圆,现将质点P随机投入椭圆C："+“=

1所对应的蒙日圆内，则质点落在椭圆外部的概率为？（附:椭圆W+£=1的面积公式为S=a版）

ab

（）

A.*B.卓C.1-噜D.1-容

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