2025年新高考数学复习突破讲义：指数与指数函数

专题09指数与指数函数

【考点预测】

1、指数及指数运算

(1)根式的定义：

一般地，如果x"=°，那么x叫做。的“次方根，其中(〃>1,〃eN*)，记为后，"称为根指数，。称

为根底数.

(2)根式的性质：

当〃为奇数时，正数的“次方根是一个正数，负数的〃次方根是一个负数.

当〃为偶数时，正数的〃次方根有两个，它们互为相反数.

(3)指数的概念：指数是幕运算.”(〃片0)中的一个参数，a为底数，〃为指数，指数位于底数的右上

角，幕运算表示指数个底数相乘.

(4)有理数指数幕的分类

〃个

①正整数指数幕“一-~•,“*、；②零指数幕。。=1("0)；

③负整数指数幕底”=-1伍#0，ne"④0的正分数指数塞等于0，0的负分数指数越没有意义.

a11

(5)有理数指数基的性质

①aS"=a"'+"(a>0，机，〃e。)；②(屋‘)"=a"'"(a>0，m,〃e。)；

③(46)"'=a'"6'"(a>0，b>0，m&Q);'n&Q^-

2、指数函数

y=ax

0<〃<1a>\

V

JfL

图

17o\1X

象

①定义域R,值域(0,+oo)

②/=],即时x=0，y=l,图象都经过(0,1)点

性

③优=°，即x=l时，J等于底数。

质

④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数

x

⑤x<0时，4*>1；x>0时，0<优<1x<0时，0</<1；x>0时，a>1

⑥既不是奇函数，也不是偶函数

【方法技巧与总结】

1、指数函数常用技巧

(I)当底数大小不定时，必须分“0>1”和“0<a<l"两种情形讨论.

(2)当0<°<1时，x—+00,>->0；。的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快.

当0>1时xf+8，夕—0；。的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快.

(3)指数函数歹=优与>的图象关于〉轴对称.

a

【典例例题】

例1.(2024•内蒙古包头一模)已知/("=1天仅>0)是奇函数，则6=()

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【解析】因为b>0,则函数［卜)=:|三伍>0)的定义域为区，

即/(x)是定义在R上的奇函数，则〃0)=0,

A-1

则〃0)===0,所以6=1.

经检验，当6=1时，/(无)为奇函数，满足题意.

故选：D.

例2.(2024・高三•重庆长寿・期末)已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，/'(x)=2,-2尤，

则〃-3)=()

4749

A.--B.-2C.0D

O-T

【答案】B

【解析】因为函数/("是定义在R上的奇函数，

所以〃-3)=-〃3)=-Q3-2x3)=-2,

故选：B.

例3.(2024・高三・黑龙江哈尔滨期末)已知〃尤)为奇函数，g(x)为偶函数，且满足/(x)+g(x)=ex+x,

则g(x)=()

,ex-e~x「e*+e~xCe*-e-x-2x「e*-e~x+2x

A.---B.---C.----------------D.----------------

2222

【答案】B

【解析】由题意知，/⑴为奇函数，g(x)为偶函数，

贝(I/(-X)=g(-x)=g(x),

所以!"x)+g(x)=e*+x即j/(x)+g(无)=e*+x

所以[/(f)+g(f)=e-~'®[_/(x)+g(x)=eT-x'

XI—x

解得g(x)=T^，

故选：B

例4.(2024・高一•吉林长春•期中)函数了=(/一5。+7)优+6-2〃是指数函数，则有()

A.Q=2或。=3B.a=3

C.a=2D.Q>2,且QW3

【答案】B

【解析】由指数函数的概念，得力-50+7=1且6-2a=0,解得“=3.

故选：B

【解析】/(-x)=-H^=-/(x),且函数定义域为{xlxwO},关于原点对称，所以/(x)为奇函数，排除

2—2

CD.

当x>0时，2<2-、>0，所以/(%)>0，排除B,经检验A选项符合题意.

故选：A.

a》-u『

例6.（2024高三山东济南•开学考试）函数/（尤”丁丁的图象大致为（）

X—1

【解析】由函数〃到=姜F,==,令/T0,解得*±1,

则其定义域为{x1xw±l},关于原点对称,

3°+3°

所以函数在定义内为偶函数，排除c,D选项，因为40）=2?=_2,观察选项可知，选A.

—1

故选：A

例7.（2024・高三•安徽合肥期中）将甲桶中的〃升水缓慢注入空桶乙中，/min后甲桶剩余的水量符合指数

衰减曲线了=洲"假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等,若再等mmin甲桶中的水只有总升，则机的值为

O

（）

A.5B.6C,8D.10

【答案】D

ae5n=-

【解析】由题意可得：,

8

e5n=—.5n=In—,H=--ln2;

225

（5+加）.仪ln2）1晋15+机5+m

ln2

e—J=_e=；；，2一亍—2—3，^^=3,解得加=10.

882-25

故选：D.

例8.（2024・高一四川成都•期中）函数=的定义域为（）

A.（-°°,2]B.（-<»,5）U（5,+<»）

C.[2,+s]D.[2,5）U（5,+®）

【答案】D

lr.x_（2X-4>0

【解析】函数〃x）=卫二A^的定义域满足[二，解得X22且XW5.

故答案为：D

例9.（2024・高三•江苏连云港•阶段练习）已知函数/（x）=22I-1-2-'-6.

⑴当xe[0,4]时，求/（x）的最大值和最小值；

⑵若七W0,4],使/'3+12-珪0成立，求实数”的取值范围.

【解析】（1）令2'=问1,均,

故/'卜）=22'—|.2田-6=忒。=r-5/-61/—^,

54Q

当"5时，g"）取得最小值，最小值为一彳,

又g⑴=-10,g（16）=256-86=170,

49

故■/■（》）的最大值为170,最小值为；

（2）22x-1-2x+1-6+12-a-2x>0,即2?工一（。+5）•2工+620,

令2-e[1,16],故/-（。+5）/+6"在闫1,16]上有解，

1

a+5<-^-=t+-,RBa+5-f?+y>）,

ttkt/max

其中y=t+,在上单调递减，在上单调递增，

又当"1时，V=l+6=7,当"16时，J=16+-^=1f1,

10o

13191

故a+5V丁,解得找工,

OO

(91

故实数。的取值范围为I-°°，y

]\ax2-4x4-3

例10.(2024・高一河北保定期中)已知函数/(x)3j

⑴若a=-l,求/(无)的单调区间

⑵若f(x)有最大值3,求“的值

(3)若的值域是(0,+功，求。的值

/<、_X2_4x+3

【解析】(1)当。=-1时，/("=4

令g(x)=_/_4x+3,由g(x)在(ro,-2)上单调递增，在(-2,+00)上单调递减,

而y=在R上单调递减，

所以f(x)在(-*-2)上单调递减，在(-2,+oo)上单调递增，

即/'(x)的单调递增区间是(-2,+oo),单调递减区间是(-叫-2).

(2)令g(x)=af-4x+3,=,

由于f(x)有最大值3,所以g(x)应有最小值-1,

a>0

因此必有〈,23a-4।.解得。=1,即/(x)有最大值3时，a为1.

g㈠=-----=-1

Iaa

(i、g(x)

(3)由指数函数的性质知，要使了=['的值域为(0，+“)，

应使g(无)=渥-4尤+3的值域为R,

因此只能。=0(因为若"0,则g(x)为二次函数，其值域不可能为R),

故”的值为0.

【过关测试】

一、单选题

2、+2、43

1.（2024•江苏南通•二模）已知函数〃x）H/0,x>3，则川唯小（）

10

AB.—cTDT

-3399

【答案】B

2x+2-\x<3

【解析】因为/（可=<呜卜>3

由于10g29>3,则/（1幅9）=/（；皿29）=/（现23）=2晦3+/=3+；=¥.

故选：B

2.（2024•内蒙古包头一模）已知〃x）=H9>0）是奇函数，则6=（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【解析】由函数f（x）=W（b>0）是奇函数，可得/（0）=U=E=。，

解得6=1,即函数/卜）=V篇-1,

V_1丁X-1"1-3X

又由函数/（X六IT三的定义域为R，且/㈠六三二二^二^^一/1），

''3+13+1J_+]3+1

31

所以函数/（x）为奇函数，所以6=1符合题意.

故选：D.

3.（2024•辽宁葫芦岛•一模）标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标

准对数视力表各行“E”字视标约为正方形，每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的余，若视力4.0的视

标边长约为10cm,则视力4.9的视标边长约为（）

标准对数远视力表

sni°

EUJ

山Em42

mEUJ43

mm山E4/

mmE山4.5

smEUJs4.6

mUiEsmE4.7

IDmsmEms4.8

EmsuiEmBUj5.0

maEiumuiBE5.1

amEuiauiEm5.2

"ean>maeii5.3

1]

A.顺B.师c-WoD-W

【答案】A

【解析】由题意可得，视力4.9的视标边长约为：

故选：A.

4.（2024•江苏•一模）德国天文学家约翰尼斯・开普勒根据丹麦天文学家第谷•布拉赫等人的观测资料和星表,

通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律一绕以太阳为焦点的

2兀-

椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长〃与公转周期7有如下关系：7=需方y2,其中“为

太阳质量，G为引力常量.已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星

的（）

A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍

【答案】B

【解析】设火星的公转周期为T,长半轴长为外,火星的公转周期为4,长半轴长为七,

■得：/卢和=8,

②T2az

所以'竟=4,即：4=4%.

故选：B.

5.（2024・高三・北京顺义・阶段练习）20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使

用地震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的

里氏震级M，其计算公式为M=lg/-1g4，其中A是被测地震的最大振幅，4是标准地震的振幅.某地发

生了地震，速报震级为里氏7.2级，修订后的震级为里氏7.6级，则修订后的震级与速报震级的最大振幅之

比为（）

40

A.10­°4B.10°2C.IO04D.—

【答案】C

/A

【解析】由M=lg/-lg4,可得M=lg7,即7=10",N=4xl0",

A）Ao

当M=7.6时，地震的最大振幅为4=4x10*,

当M=7.2时，地震的最大振幅为4=4xlO7-2,

所以修订后的震级与速报震级的最大振幅之比是1=期会=10,1?TO。"

故选：C.

x

6.（2024牌三•山西运城•期末）已知=^e是奇函数，贝心=（）

1-e

A.-2B.-1C.2D.1

【答案】c

【解析】由题意得/（r）=-/（x）,即5^=一三,

1-e1-e

所以办_X=X,解得a=2.

故选：C

r2.y

7.（2024黑龙江二模）已知〃>0且"1,若函数/（叼=亍匕为偶函数，则实数”（）

11

A.3B.9C.-D.一

39

【答案】B

2qx

【解析】已知"0且g1,若函数〃力=胃为偶函数,则有/（-可=/（%）,

即（[*：=亨，化简得！=3,，所以。=9.

Q+1优+13

故选：B

2

8.（2024・高三・广东广州•阶段练习）若/（同=3。-三不为奇函数，则。=（）

A.1B.0C.1D.1

【答案】D

【解析】由解析式知：函数定义域为R,又为奇函数，

/21

所以/⑼=3。-^7^=3。-1=0=。=§,

\।23X-1

故〃x）=l-至口=笆力"

由/（T）=t44=E=-"x），为奇函数，满足题设・

'/3X+11+3

所以

故选：D

9.（2024・高三•云南昆明•阶段练习）若命题“Vx<2,2、<a”为真命题，则实数a的取值范围为（）

A.（-co,4]B.（^o,4）C.[4,+oo）D.（4,+co）

【答案】c

【解析】函数尸2,在R上单调递增，当x<2时，2飞22=4,

“Vx<2,22a”为真命题，则，即实数。的取值范围为巴+oo）.

故选：C.

10.（2024・高三・浙江丽水・开学考试）函数/■（幻=1-3工的值域是（）

A.(-8,1)B.(-00,1]C.[0,1)D.[0,1]

【答案】A

【解析】由指数函数的性质，可得3工＞0,所以1-3工＜1,即/(x)的值域是(-8,1).

故选：A.

11.(2024高三•湖南衡阳•阶段练习)集合/=卜eN11V＜4),则集合=log,b,a,be/}的元素个

数为()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】^={xeN|l＜2^＜4{={l,2,3},

贝[]m=log2l=log31=0或以=log22=log33=1或加=log32或加=log23,

所以8={0,l』o&2』og23},元素个数为4.

故选：B.

12.(2024辽宁一模)若函数〃X)=3-2F+3在区间(1,4)内单调递减，贝心的取值范围是()

A.(-ao,4]B,[4,16]C.(16,+oo)D.[16,+oo)

【答案】A

【解析】设〃")=3",u=-^+ax,贝旷(〃)=3"在(-叫+8)上单调递增.

因为〃"=3口能在区间(1,4)内单调递减，所以函数"=-2/+ax在区间(L4)内单调递减，

结合二次函数的图象和性质，可得：,解得aV4.

故选：A

13.(2024高三・北京•阶段练习)若函数/(x)=f⑷有最小值，贝心的取值范围是()

A/DB-[°4]

【答案】A

【解析】设切=21则机＞0,/(力=8(加)=八/+(%-1＞加，(加＞0)有最小值

当好0时，二次函数g(〃?)开口向下，无最小值；

当Z=0时，g(加)=-加无最小值；

2/_ii

当"0时，若g（M在（0,+e）上有最小值，则对称轴-〒>0,解得0</<].

故选：A

14.（2024・高二河北学业考试）已知函数〃幻=2-工-+。.若函数/⑴的最大值为1,则实数。=（）

779

A.-cD,8

8B-i-4

【答案】B

2

【解析】/（x）=2*-2（2-）+a，令"2一%（0,+8）,

17

Xnax=$+Q=l,角牟得〃二--

OO

故选：B

15.（2024・高三湖南常德•阶段练习）设函数小）=：一；"：2）（。>。，且叱1）的值域是[4,+8）,

[3+log.x,（尤>2）

则实数”的取值可以是（）

A.（1，HB.（2,+e）C.（1,2]D.（蚯

【答案】D

【解析】由题，当x42时,0<2x<4,4<8-2,<8,

当x>2时，

若。<.<1,k3+■小单调递减，所以昨（-00,3+108«2）,

不满足/（X）的值域是[4+00）；

若”1,产3+bg,x单调递增，所以yc（3+log.2,+8）,

要使/（X）的值域是[4,+oo）,则有4V3+log02<8,解得正<.V2.

故选:D.

16.（2024・高三•广东中山•阶段练习）若函数〃x）=e，-小工，则下述正确的有（）

A./（%）在R上单调递增B./«的值域为（0,+QO）

C.V=〃x）的图象关于点（g,0）对称D.>=〃幻的图象关于直线苫=；对称

【答案】AC

【解析】因为y=e，是定义在R上的增函数，y=ej是定义在R上的减函数,

所以“X）="-在R上单调递增，故A正确；

因为/（O）=e°-e=l-e<0，故B错误；

i11l-l-x1-X1-1«1-x1-X

因为/（/+尤）+/（1—》）=e?-e2+e2-e2=e2-e2+e2-e2=0,

所以了=〃尤）的图象关于点（；,0）对称，故C正确，D错误.

故选：AC.

17.（2024・高三•湖南衡阳•阶段练习）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函

数关系尸产"（e=2.718…为自然对数的底数，左，6为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在

14℃的保鲜时间是48小时，则下列说法正确的是（）

参考数据:2.85~172,2.7'。387

A.be（5,6）

B.若该食品储藏温度是21℃，则它的保鲜时间是16小时

C.k<0

D.若该食品保鲜时间超过96小时，则它的储藏温度不高于7℃

【答案】ACD

【解析】在函数歹=*+〃中，当x=0时，eb=192,由2g。172,2.76。387知，北（5,6）,故A正确;

当x=14时，/例=48，所以/*=哉=；,贝,

当x=21时，e21M=（ew）3-廿=g]乂192=24,故B不正确；

由，得—，故C正确；

X

由>296，得964*.筋=1921£|7,所以xV7,故D正确.

故选:ACD.

三、填空题

18.（2024・广东•模拟预测）若孙=3,贝Uxj?+J-=

【答案】±2A/3

【解析】当尤＞。/＞。时,

当x＜0,y＜0时，=-1xyH—&y=_2-\/3.

故答案为：±26

19.（2024•高三•内蒙古鄂尔多斯•期末）德国大数学家高斯被誉为数学界的王子.在其年幼时，对

1+2+3+…+99+100的求和运算中,提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现

X

一定的规律生成，此方法也称为高斯算法.现有函数/■（》）=/4，，则

■4点+//卜//＞一+/黑卜避］——■

4Xdx4X4

【解析】由函数=，可得/(x)+/(l-x)=^—+—=—+—-—=1,

7V)4Y+2VV'4x+241-x+24'+24+2x4*

1

令S=f

2024

篌2卷a篇卜.

2023

两式相加，可得2s=2023,所以S=一二.

2023

故答案为

2

20.（2024・高三•上海浦东新•期中）已知了=/（尤）是奇函数，当x»0时，〃x）=¥，则《目的值

____________•

4

【答案】--/-0.16

【解析】因为y=〃x）是奇函数，所以,

4

故答案为：

21.（2024•高三・北京顺义・期末）已知函数＞=在R上是奇函数，当xVO时，f（x）=2x-l,则

【答案】—/0.5

【解析】••・函数尸/⑴在R上是奇函数，・•・/（'）=-/（T）,

故答案为：］

22.（2024・高三•河北张家口•开学考试）若函数y=（2、-7〃•2T）x5是R上的偶函数，则实数冽=.

【答案】1

【解析】设〃x）=（2,-“2-，卜5,则该函数为R上的偶函数，

则对任意的xeR,/（-x）=-/（x）,即（2一工-"2）（r）5=（2、-"2一）x5,

整理可得2-x+2A-m（2A+2-x）=（l-m）（2x+2-x）=0,

所以，1-机=0,解得m=1.

故答案为：L

23.（2024・高一•全国•课时练习）函数①了=4,;@y=x4;®y=-4x;④昨（-4）、；@y=nx;@y=4x2;

⑦了二/；⑧了=（0-1）%。＞［）中，是指数函数的是_________.

【答案】①⑤

【解析】因为指数函数为了=优（。＞0且。21），故①⑤正确；

由幕函数定义知，＞=/是幕函数，故②不正确；

由指数函数的定义知，③④⑥⑦均不是指数函数；

对于⑧，当。=2时，y=（“-1）'=1，，不是指数函数.

故答案为：①⑤.

24.（2024・高三・北京・开学考试）函数〃x）=x的值域为.

2x-l,x＜0

【答案】（-L0］U（L+8）

【解析】当x>0时，/（x）=：+l>l,

当x40时，贝（］-l<2，一lV2°-l,SP-l<2r-l<0,

综上/（X）的值域为（T,0］”L+8）,

故答案为：（-1,0］口。,+8）.

25.（2024•高三•全国专题练习）由命题“存在xeR，使―-旌0”是假命题狷冽的取值范围是（f，。）厕实

数0的值是__________.

【答案】1

【解析】命题“3xeR，使力-L机40”是假命题，

可知它的否定形式“VxeR,eM-m>0”是真命题，

则VxeR""<』T,

因为卜-1性0,

所以计一">1,

可得m的取值范围是（-8」），

而（-8,°）与（-8,1）为同一区间，

所以。=1.

故答案为工

26.（2024・高三•上海浦东新•期中）已知/'（x）=2r尤，则不等式/（白-3|）<3的解集为.

【答案】（L2）

【解析】函数"21y=x都是R上的增函数，则函数/（x）=T+x是R上的增函数，

不等式/（|2x-3|）（3o/（|2x-3|）〈/⑴=|2x-3|<l,贝［］-1<2工一3<1,解得l<x<2,

所以不等式/（|2x-3|）<3的解集为（1,2）.

故答案为：（12）

27.（2024・高三河南信阳•阶段练习）设函数/（x）=J"、。>o且。*1）在区间（0,1）单调递减，则a的取值

范围是______.

【答案】［2,+30）

【解析】若,y=罐在（0,+s）单调递增,

要满足题意，贝叮=尤2-办+1要在（0,1）单调递减，故,即。22;

若0<"1,>=优在（0,+8）单调递减，

要满足题意，则y=Y-办+1要在（0,1）单调递增，故|《0,即.40,不满足0<。<1,故舍去；

综上所述：。的取值范围是［2,+oo）.

故答案为：［2,+8）.

28.（2024・高一•江苏宿迁期末）若命题，2"加<0"是假命题，则机的取值范围为.

【答案】m<V2

【解析】因为g,+oo）,2。加<0”是假命题，

所以“Vxe；,+co）,2「冽20”是真命题，即机V2*在；,+，］上恒成立，

因为了=2、在