2025年人教版七年级数学寒假预习：相交线

第01讲相交线

T模块导航—素养目标。

模块一思维导图串知识L理解相交线的相关概念；

模块二基础知识全梳理（吃透教材）2.利用邻补角，对顶角的性质进行计算;

模块三核心考点举一反三3.识别三线八角.

模块四小试牛刀过关测

模块一思维导图串知识

6模块二基础知识全梳理-----------------------------

一、相交线

直线的位置关系：在同一平面内不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行.

1.垂线

定义：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做

另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.

示例：如图所示，直线AB,CD互相重直，记作：“ABLCD"（或“CDLAB”），读作“AB垂直于CD"（或“CD

垂直于AB”）.如果垂是是0,记作“AB_LCD,乘足为0”.

1

c

垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

【注意】

1）已知直线的垂线有无数条，但在同一平面内，过一点画已知直线的垂线只能画一条.

2）必须强调在同一平面内，若是在空间中，则经过一点与已知直线垂直的直线有无数条.

垂线段的定义：如图，点P为直线外一点,PO，m,垂足为0,称P0为点P到直线m的垂线段.

垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.如图，点P

与直线m上的各点连线中，线段P0最短.

点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

【注意】

1）垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，容易出现概念混淆的错误;

2）过直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条是垂线段，且垂线段是最短的.

二、相交线中的角

1.对顶角与邻补角

种类图形顶点边的关系大小关系

对顶角有公共一个角的两边分别是另一角的Z1=Z2,Z3=Z4

顶点两边的反向延长线

Xd

邻补角X有公共两个角有一条公共边，且它们Zl+Z3=180°,Z2+Z3=180°

顶点的另一边互为反向延长线.Zl+Z4=180°,Z2+Z4=180°

【补充说明】

1）对顶角的特征：1）有公共顶点；2）两个角的两边互为反向延长线.

2）若两个角互为对顶角，则它们一定相等，但两个角相等，则它们不一定为对顶角.

2

2.同位角、内错角、同旁内角

角的名称位置特征基本图形图形结构特征

同位角在截线的同侧，在被截两形如字母“F”

条直线同侧

内错角在截线的两侧，且夹在两形如字母“Z”

条被截直线之间

同旁内角在截线的同侧，在被截两△形如字母“U”

条直线之间

【补充】如图，两条直线a、b被第三条直线c所截，构成8个角，简称为“三多之八角”，其中共有4对同

位角，2对内错角，2对同旁内角.

O＞模块三核心考点举一反三------------------------------

考点一：相交线的相关概念

1.（23-24七年级下.湖南郴州•期末）下列说法不E理的是（）

A.两点之间，线段最短

B.两条直线相交，只有一个交点

C.两直线平行，同旁内角相等

D.过直线外一点与直线上的点所连接的线段中，垂线段最短

2.（2024七年级上.全国・专题练习）如图，已知ONj_a，OM1所以OM与ON在同一条直线上的理由是

（）

A.两点确定一条直线

B.经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线“

■N

C.过一点只能作一条垂线

D.垂线段最短Oa

3.（23-24七年级下•广东东莞•期中）如图，与乙2是对顶角的为（）

3

2

4.（2024七年级上.全国•专题练习）下列说法正确的有（）

①对顶角相等；

②互补的两个角是邻补角；

③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；

④若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等.

A.I个B.2个C.3个D.4个

5.（22-23七年级下•广西南宁•期中）下列各图中，乙1与乙2互为邻补角的是（）

LV.\、

考点二：指出现实问题后的数学依据

6.（24-25九年级上•贵州贵阳・期中）如图，A,B,C,D四点在直线1上，点M在直线1外,MC1L若MA=5cm,

MB=4cm,MC=2cm,MD=3cm,则点M到直线1的距离是（）

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

7.（24-25七年级上•黑龙江哈尔滨•期中）如图，欲在河岸AB上某处P点修建一水泵站，将水引到村庄C

处，可在图中画出CP垂直AB,垂足为P,然后沿CP铺设，则能使铺设的管道长最短，这种设计的依据

是：•

C

Z尸In8

8.（22-23七年级下•新疆博尔塔拉•期中）如图是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是

线段BN的长度，这样测量的依据是.

4

9.(22-23七年级下•北京西城・期末)如图，在三角形ABC中，47=90S点B到直线AC的距离是线段的

10.(23-24七年级下•北京•期末)如图，若ABL】，BCLbB为垂足，那么A,B,C三点在同一直线上,

其理由是.

C

A''

1B

考点三：画垂线

11.(24-25七年级上•全国•课后作业)利用网格画图：

⑴过点C画AB的垂线，垂足为E；

(2)线段CE的长度是点C到直线的距离；

(3)连接CA,CB,在线段CA,CB,CE中，线段最短.

12.(22-23七年级下•辽宁沈阳•阶段练习)如图，点P是010B的边OB上的一点.

(1)过点P画OB的垂线，交OA于点C；

(2)过点P画OA的垂线段，垂足为H；

5

⑶点P到直线0A的距离为,线段的长度是点C到直线0B的距离；

13.（24-25七年级上•全国•课后作业）如图，已知锐角”0B，画射线0C104射线0DJ.OB，并直接写

出乙408与乙COD的关系•

备用图备用图备用图

考点四：判断已知图形中邻补角的个数

14.（23-24七年级上•全国・单元测试）如图,直线AB与CD相交于点0,0E是以0为顶点的一条射

线，图中的对顶角和邻补角各有（）

C.2对、6对D.3对、8对

15.（23-24七年级下•天津河北•期中）如图,直线AB,CD,EF相交于点。则“0D的邻补角是（）

A.^BOD^LAOCB.LBOE^LAOF

c./0F和“OFD.LBOC

16.（22-23八年级上•黑龙江哈尔滨倜测）如图，点。是直线AB上一点，自点。引射线0C、00,0E、0广，

图中共有一对邻补角.

17.（22-23七年级下•河北沧州•阶段练习）如图，直线48、CD相交于点。，U0广=Z.DOE.

B

D

F

6

(1)图中的对顶角有对；

(2)乙的邻补角是；

(3)如果"oc=70c-乙EOD=32°-那么乙B0E=.

考点五：交叉图形中的角度计算

18.(24-25七年级上•吉林长春•阶段练习)如图，直线AB,CD相交于点0,0A平分zEOC

(1)若乙EOC=70'，求乙BOD的度数；

(2)若鉴契OC：鉴契OD=2：3,求乙BOE的度数.

19.(24-25七年级上•吉林长春•阶段练习)如图，直线AB,CD相交于点0,0"1

M

(1)若zl=42,贝上2的余角有.

(2)若41=；XBOC,

20.(23-24七年级上.吉林四平.期末)如图，射线OA的方向是北偏东2(T，射线OB的方向是北偏西35、射

线OD是OB的反向延长线，且射线OA平分乙B。。解答下列各题：

(1)射线OC的方向是；

(2)求乙COD的度数；

(3)若射线OE的方向是东南方向，请直接写出乙COE的度数.

21.(24-25七年级上•全国•课后作业)如图，。是直线AB上一点，过点。作OC、OD、0E三条射线，0D平

分"OC，LAOE=^BOD.

7

C

DE

(1)若UOC=60'，贝上BOE的度数为；

(2)若乙COE=3U0C，求乙BOE的度数；

⑶在(2)的条件下，若过点。作射线OF使得乙EOF=90,求”OF的度数.

22.(24-25七年级上•全国•课后作业)如图，直线AB.CD交于点0,0E.OF分另U在乙B0C"0D内部，

且OD平分乙BOR

⑴乙40c的对顶角是；

⑵若"OF=40°,LCOE=100'，贝"BOE的度数为；

⑶若OB平分乙EOF,乙4OC：UOF=1：3,求“。E的度数；

(4)若U0E=ZLEOF,4BOE=60'，判断OB是否平分乙EOF，并说明理由.

23.(23-24七年级上.贵州黔东南•期末)已知：点0为直线AB上一点，过点0作射线OC,LBOC=110°.

⑴如图1,求乙40c的度数；

(2)如图2,过点0作射线OD,使乙COD=90',作zJOC的平分线0M,求乙MOD的度数；

(3)如图3,在(2)的条件下，作射线OP,若乙BOP与U0M互余，求4cop的度数.

考点六：三线八角的识别

24.(23-24七年级下•甘肃陇南•阶段练习)如图，BF,DE相交于点A,BG交BF于点B,交AC于点C.

(1)指出DE,8C被BF所截形成的同位角、内错角、同旁内角;

(2)指出DE,BC被AC所截形成的内错角；

8

（3）指出FB,BC被AC所截形成的同旁内角.

25.（23-24七年级上•全国・单元测试）找出图中与乙1是同位角、内错角、同旁内角的所有角.

26.（23-24七年级下•全国•课后作业）如图，指出图中直线AC,BC被直线DE所截形成的同位角、内错角、

同旁内角.（仅指用数字标出的角）

27.（21-22七年级下.河北石家庄•阶段练习）如图，AB,AC射线与直线EF分别相交于点X,G.按要求

（1）图中共有一对对顶角，一对内错角；

（2）①的同旁内角是_；

GC和饕契HB是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是具有什么位置关系的角？

（3）过点G画射线AB的垂线，交AB于点并指出哪条线段的长度表示点G至IjAB的距离.

28.（23-24七年级下•全国•课后作业）如图，一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终

点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从跳到终点位置乙6的

路径1：乙1一内错角乙7T同旁内角乙6；

9

路径2：乙1一同旁内角饕？3一内错角柴？OT同位角48一同旁内角45一同旁内角乙

（1）写出任意一条从起始位置一终点位置43的路径；

（2）从起始位置41依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置/2?并写出路径.

3模块四小试牛刀过关测-------------------------------

1.（2024七年级上•全国・专题练习）如图，直线AB、CD相交于点0,饕烫0D=90掳.下列说法不正确的

是（）

A.LAOD=NBOCB.〃0C=LAOE

C.鉴端0E+饕燃OD=90掳D.鉴煨0D+鉴燃0D=180掳

2.（2024七年级上•全国・专题练习）2024年香洲区举办了第六届风筝节.如图所示的风筝骨架中，与乙3构

3.（24-25七年级上•黑龙江绥化•阶段练习）下面四个图形中，£1与〃是对顶角的为（）

4.（2024七年级上•全国・专题练习）点P为直线MN外一点，点A、B、C为直线MN上三点，PA=4cm,PB=

5cm,PC=2cm,则点P到直线MN的距离为（）

A.4cmB.2cmC.小于2cmD.不大于2cm团

5.（24-25九年级上•吉林长春•阶段练习）如图在金目坎BC中饕艰CB=90掳，CD黜B,D为垂足，则下列

说法中，错误的是（）

10

A

D

A.点B到AC的距离是线段BC的长B.线段CD是AB边上的高

C.线段AC是BC边上的高D.点C到AB的距离是线段AC的长

6.（24-25七年级上•河南鹤壁•阶段练习）如图,在所标识的角中，下列说法不正确的是（

A.乙1与乙5是内错角B.匕3与乙5是对顶角

C.乙1与乙4是同位角D.21与42是同旁内角

7.（2024七年级上•全国・专题练习）如图,利用工具测量角，则乙1的大小为（）

C.120掳D.150掳

8.（20-25七年级上•河南南阳•阶段练习）如图，E是直线CA上一点，饕尴EA=40掳，射线EB平分饕煲EF,

A.1OCB.20cC.30cD.40°

9.（24-25七年级上•云南文山•期中）下列各图中，乙1与乙2是内错角的是（）

11

38.（24-25七年级上•河北衡水•期中）如图，点。在直线AB上，乙40D=225，柴端0C=45掳，0E平

分柴煨0C,则饕契0C的补角是（）

B.饕蜘0E或鉴减0B

C.鉴斓0E或鉴颊0B或U0C+/D0ED.以上都不对

!?1

二、填空题

11.（22-23七年级上•陕西咸阳・期末）已知0A剑C,乙40B:U0C等于4:5,则饕燃0C的度数为

12.（2024七年级上•全国・专题练习）如图，若=30°,Z2=110c-则£3的同位角的大小是，d的

内错角的大小是，z3的同旁内角的大小是.

13.（2024七年级上.全国・专题练习）如图，已知点。是直线AB上一点，柴斓OC=50掳，OD平分柴斓OC,

OE=90掳，请写出下列正确结论的序号.

①乙80c=130°；②柴斓OD=25掳；③乙B0D=155°；④柴煲。£=45掳-

14.（2024七年级上•全国・专题练习）如图，直线AB、CD相交于点0.已知饕燃OD=75掳，OE把饕端OC分

成两个角，且乙40E=，E0C,将射线OE绕点0逆时针旋转角a（0°<a<360°：到OF,若UOF=120,时，伪

的度数是掳.

三、解答题

15.（23-24七年级下.全国•假期作业）古城黄冈旅游资源十分丰富，“桃林春色，柏子秋荫”便是其八景之

12

.为了实地测量“柏子塔”外墙底部的底角（图中鉴端BC）的大小，张扬同学设计了两种测量方案:

cD,

\//

^

\

NE

方案1：作AB的延长线，量出鉴煲BD的度数，便知鉴煨BC的度数；

方案2：作AB的延长线，CB的延长线，量出鉴颊BE的度数，便知鉴斓BC的度数.

同学们，你能解释他这样做的道理吗？

16.（2024七年级上•全国・专题练习）如图，直线AB,CD被直线EF所截，如果乙1与乙2互补，且夔？=120掳,

那么乙3,乙4的度数各是多少？

17.（21-22七年级上•浙江丽水•期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O,OE黜D且0E平分爨端0F.

⑴若鉴燃0D比柴燃0E大10。，求柴煲OF的度数.

（2）证明：0C是饕端OF的平分线.团

18.（23-24七年级上•浙江杭州•期末）直线AB,CD相交于点。，过点。作0E黜D.

图1图2

（1）如图1,若4BOD=27°44'，求柴斓0E的度数.

（2）如图2,作射线0F使乙EOF=U0E，贝UOD是饕斓OF的平分线.请说明理由.

13

0

(3)在图1上作0G黜B,写出柴煲0G与饕燃0E的数量关系，并说明理由.

19.(24-25七年级上•吉林长春•阶段练习)如图，O为直线AB上一点，??0C=50?,OD平分饕端0C,攀臻0E=

90掳.

(1)请你数一数，图中有一个小于平角的角；

(2)鉴煲0D的余角有二

⑶求出柴端0D的度数.团

20.(23-24七年级下.河南濮阳.期末)如图，直线4B、CD相交于点。，E0黜B,垂足为0.

(1)若鉴iftOE=30掳，则鉴斓0D=°；

(2)若鉴煲OE=60掳，则柴斓0D=°；

(3)猜想饕州0D和饕煲0E的关系是,并证明关系式成立.

14

第01讲相交线

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模块一思维导图串知识1.理解相交线的相关概念；

模块二基础知识全梳理（吃透教材）2.利用邻补角，对顶角的性质进行计算;

模块三核心考点举一反三3.识别三线八角.

模块四小试牛刀过关测

6模块二基础知识全梳理-----------------------------

一、相交线

直线的位置关系：在同一平面内不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行.

1.垂线

定义：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做

另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.

示例：如图所示，直线AB,CD互相重直，记作：“ABLCD"（或“CDLAB”），读作“AB垂直于CD"（或“CD

垂直于AB"）.如果垂是是0,记作“AB_LCD,乘足为0”.

15

c

垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

【注意】

1）已知直线的垂线有无数条，但在同一平面内，过一点画已知直线的垂线只能画一条.

2）必须强调在同一平面内，若是在空间中，则经过一点与已知直线垂直的直线有无数条.

垂线段的定义：如图，点P为直线外一点,PO，m,垂足为0,称P0为点P到直线m的垂线段.

垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.如图，点P

与直线m上的各点连线中，线段P0最短.

点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

【注意】

1）垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，容易出现概念混淆的错误;

2）过直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条是垂线段，且垂线段是最短的.

二、相交线中的角

1.对顶角与邻补角

种类图形顶点边的关系大小关系

对顶角有公共一个角的两边分别是另一角的Z1=Z2,Z3=Z4

顶点两边的反向延长线

Xd

邻补角X有公共两个角有一条公共边，且它们Zl+Z3=180°,Z2+Z3=180°

顶点的另一边互为反向延长线.Zl+Z4=180°,Z2+Z4=180°

【补充说明】

1）对顶角的特征：1）有公共顶点；2）两个角的两边互为反向延长线.

2）若两个角互为对顶角，则它们一定相等，但两个角相等，则它们不一定为对顶角.

16

2.同位角、内错角、同旁内角

角的名称位置特征基本图形图形结构特征

同位角在截线的同侧，在被截两形如字母“F”

条直线同侧

内错角在截线的两侧，且夹在两形如字母“Z”

条被截直线之间

同旁内角在截线的同侧，在被截两形如字母“U”

条直线之间△

【补充】如图，两条直线a、b被第三条直线c所截，构成8个角，简称为“三多之八角”，其中共有4对同

位角，2对内错角，2对同旁内角.

O＞模块三核心考点举一反三------------------------------

考点一：相交线的相关概念

1.（23-24七年级下.湖南郴州•期末）下列说法不E理的是（）

A.两点之间，线段最短

B.两条直线相交，只有一个交点

C.两直线平行，同旁内角相等

D.过直线外一点与直线上的点所连接的线段中，垂线段最短

【答案】C

【分析】本题考查线段公理，平行线的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.根据

线段公理，平行线的性质，垂线段最短等知识一一判断即可.

【详解】解：A、两点之间，线段最短，正确，故本选项不符合题意；

B、两条直线相交，只有一个交点，正确，故本选项不符合题意；

C、两直线平行，同旁内角互补，原说法错误，故本选项符合题意；

D、过直线外一点与直线上的点所连接的线段中，垂线段最短，正确，故本选项不符合题意；

故选：C.

17

2.（2024七年级上•全国•专题练习）如图，已知ONla，0M1a，所以OM与ON在同一条直线上的理由是

（）

A.两点确定一条直线

B.经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线曾

■N

C.过一点只能作一条垂线

D.垂线段最短O

【答案】B

【分析】本题考查了垂线的基本事实，根据垂线的基本事实结合图形得出结论是解题关键.利用同一平面

内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案即可.

【详解】解：因为°N创，0MM,

所以直线ON与0M重合，

其理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，

故选：B.

3.（23-24七年级下•广东东莞•期中）如图，乙1与z2是对顶角的为（）

【答案】C

【分析】根据对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两

个角叫做对顶角，由此对各选项作出判断即可.

本题考查对顶角的定义，解题的关键是理解对顶角的定义.

【详解】解：根据对顶角的定义可知：只有选项C是对顶角，其它都不是.

故选C.

4.（2024七年级上.全国・专题练习）下列说法正确的有（）

①对顶角相等；

②互补的两个角是邻补角；

③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；

④若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等.

18

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题考查的是对顶角、邻补角的概念，熟记它们的概念和性质是解题的关键.

根据对顶角的概念、邻补角的概念判断即可.

【详解】解:①对顶角相等，说法正确；

②互补的两个角不一定是邻补角，本小题说法错误；

③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角，说法正确；

④两个角不是对顶角，这两个角也可能相等，本小题说法错误；

故选:B.

5.（22-23七年级下•广西南宁•期中）下列各图中，乙1与乙2互为邻补角的是（）

【答案】D

【分析】本题主要考查了对顶角.根据对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个

角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，进行判定即可得出答案.

【详解】解：选项A和C中的图形都没有公共顶点，选项B中虽然有公共顶点，但一个角的两边不是另一

个角的两边的反向延长线，故选项A、B和C中的/I与/2不互为邻补角；

根据对顶角的定义即可判断D选项中，Z1与N2互为邻补角.

故选：D.

考点二：指出现实问题后的数学依据

6.（24-25九年级上•贵州贵阳•期中）如图,儿B,C,D四点在直线［上，点M在直线矽卜,MC11，若M4=5cm.

MB-4cmMC-2cm,MD-3cm,则点M到直线［的距离是（）

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

【答案】A

【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线段最短，结合

条件进行解答即可，解题关键是熟练掌握点到直线的距离的定义和垂线的性质.

【详解】如图所示：

19

.•.点M到直线I的距离是垂线段MC的长度，为2cm,

故选：A.

7.（24-25七年级上•黑龙江哈尔滨•期中）如图，欲在河岸AB上某处P点修建一水泵站，将水引到村庄C

处，可在图中画出CF垂直48,垂足为P,然后沿CF铺设，则能使铺设的管道长最短，这种设计的依据

是：.

C

【答案】垂线段最短

【分析】本题考查点到直线距离的知识，根据两点之间垂线段最短即可得出答案.

【详解】解：解：已知在河岸4B上某处P点修建一水泵站，将水引到村庄C处，又知直线外一点到该直线

的最短距离是其垂线段，这种设计的依据是：垂线段最短，

故答案为：垂线段最短

8.（22-23七年级下•新疆博尔塔拉•期中）如图是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是

线段BN的长度，这样测量的依据是.

【分析】本题考查了垂线段最短，理解相关含义是解题关键.

【详解】解：测量的依据是垂线段最短，

故答案为：垂线段最短.

9.（22-23七年级下•北京西城・期末）如图，在三角形4BC中，“=90',点8到直线4c的距离是线段的

长，BC<B4的依据是.

20

A

C°-----------------

【答案】BC垂线段最短

【分析】根据点到直线的距离的定义即可说明B到直线AC的距离是线段是BC；在根据两点之间垂线段最短

即可证明B4

【详解】V4C=90:.

：.AC1BC，

二点B到直线AC的距离是线段为BC；

♦.■两点之间垂线段最短，

...BC<BA,

故答案为：BC,垂线段最短.

【点睛】本题考查了点到直线的距离定义及两点之间垂线段最短，熟记知识点是解题的关键.

10.（23-24七年级下•北京•期末）如图，若AB1I，BCLb8为垂足，那么4B,C三点在同一直线上，

其理由是.

C

A''

1B

【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

【分析】本题考查的是垂线的性质，利用在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得答

案.

【详解】解：:4B制，BCSH,B为垂足，

・•.4B,C三点在同一直线上，

理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

考点三：画垂线

11.（24-25七年级上•全国•课后作业）利用网格画图：

（1）过点C画的垂线，垂足为E；

21

⑵线段CE的长度是点c到直线的距离；

⑶连接C4CB,在线段C4CB,CE中，线段最短.

【答案】(1)见详解

(2)/15

⑶CE

【分析】本题主要垂线及其做图，点到直线的距离概念，垂线段最短，注意作图的准确性.

(1)根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与4B垂直的格点；

(2)根据点到直线的距离概念回答；

(3)根据垂线段最短直接回答即可.

(2)解：线段CE的长度是点C到直线AB的距离，

故答案为：AB.

(3)解：连接C4CB,在线段中，线段CE最短,

故答案为：CE.

12.(22-23七年级下•辽宁沈阳•阶段练习)如图，点尸是—0B的边。8上的一点.

⑴过点P画。8的垂线，交04于点C；

(2)过点P画。/的垂线段，垂足为H；

(3)点P到直线。幺的距离为,线段的长度是点C到直线08的距离;

【答案】(1)见解析

22

(2)见解析

⑶PH,PC

【分析】本题主题考查了垂线的作法、点到直线距离的定义等知识点，掌握垂线和垂线段的区别与联系成

为解题的关键.

(1)如图取格点2连接交。4于点C,直线即为所求；

(2)直接根据方格作图即可；

(2)根据点到直线距离解答即可.

【详解】(1)解：如图：直线PD即为所求；

(2)解：如图：线段PH即为所求.

(3)解：点P到直线。4的距离为P",线段PC的长度是点C到直线。8的距离.

故答案为：PH,PC.

13.(24-25七年级上•全国•课后作业)如图，已知锐角UOB，画射线OC_L。4射线。D_L0B，并直接写

出“0B与乙COD的关系.

备用图备用图备用图

【答案】画图见解析；LAOB=LCOD^LAOB+LCOD=180:

【分析】本题考查了垂线的定义，角的计算，同角的余角相等的性质，难点在于分情况讨论.

分。C、0D在边”的同侧和异侧分别作出图形，然后分别进行计算即可得解.

【详解】解：画图如图①〜④.LAOB="0D或"。8+MOD=180°.

理由如下：如图1,

23

A

■-LAOB+LBOC=90°，乙COD+LBOC=90。，

■'-LAOB=乙COD；

如图2,"OCLOA,OD1OB,

②

-tAOC=zBOD=90：，

-LAOB+LBOC=LAOB+"OD=90*.

-LAOB+£BOC+U0B+U0D=180°，

又•zBOC+LAOB+LAOC="OD，

■-LAOB+LCOD=180°；

360掳―鎏炳OC-卷嫩）D=360掳―90掳—90掳=180我;

③

如图4,.-OC1OA,OD1OB.

24

・MW+“》=90:ZCOD+ZAOD=90S

•••—OB=乙COD；

综上所述，—OB="OD或dOB+zCOD=180°.

考点四：判断已知图形中邻补角的个数

14.（23-24七年级上•全国・单元测试）如图，直线AB与CD相交于点O,OE是以。为顶点的一条射

)

4对C.2对、6对D.3对、8对

【答案】C

【分析】本题考查了邻补角与对顶角的定义，根据邻补角与对顶角的定义找出邻补角和对顶角即可求解.掌

握定义是解题的关键.

【详解】解：图中对顶角有：塞帔明塞懈C,塞怫C与签蜘D,共2对,

邻补角有：饕烟QD与饕怫C,饕炳OD与饕懈D,签烟1OE与集煨OE,箜烫OE与攀烫OE,缓微）C与善颁兀,

塞懈）C与塞蜘D,共6对，

故选：C.

15.（23-24七年级下•天津河北•期中）如图，直线4B,CD,EF相交于点。.则UOD的邻补角是（）

A.乙BOD和UOCB.乙80E和4OF

c.LDOF^LCOFD./_BOC

【答案】A

【分析】本题考查了邻补角的概念：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两

25

个角，互为邻补角，根据邻补角的概念解答是解决问题的关键.

【详解】解：根据邻补角的定义可知，谷柳D的邻补角是第触口和筌嬲9C,

故选：A.

16.（22-23八年级上•黑龙江哈尔滨・周测）如图，点。是直线4B上一点，自点。引射线OC、0D.0E、0F，

图中共有一对邻补角.

【答案】4

【分析】此题考查了邻补角定义：和为180度的两个有公共顶点且有公共边的角是邻补角，根据定义直接

解答.

【详解】解：根据图形可知，

LAOC+ZB0C=180'，LAOD+LBOD=180'，LAOE+LBOE=180'，LAOF+LBOF=180'-

故答案为4.

17.（22-23七年级下•河北沧州•阶段练习）如图，直线AB、CD相交于点。，LAOF=z:DOE.

（2）zT0B的邻补角是；

（3）如果乙40c=70,LEOD=32°-那么乙80E=.

【答案】2饕敷A、鎏㈱D38°/38度

【分析】根据对顶角的定义及性质、邻补角的定义及性质分析解答即可.

【详解】解：（1）图中的对顶角有翦物C和数翎D；然狱（0和蜜钝C；共2对,

故答案为：2；

（2）蜜烫。8的邻补角是赛为“4、箜烟OD,

故答案为：攀烫04、野嫩D；

⑶-.LAOC=70s-

■-LBOD=LAOC=70!-

-LEOD=32。，

■-LBOE=zBOD-LEOD=38。，

故答案为：38c.

26

【点睛】本题考查了对顶角的定义及性质、邻补角的定义，熟练掌握数学基础知识是解题的关键.

考点五：交叉图形中的角度计算

18.(24-25七年级上•吉林长春•阶段练习)如图，直线4B.CD相交于点0.04平分々EOC.

(1)若4E0C=70'，求乙80D的度数；

⑵若攀烫0C:零烫0D=2:3,求乙BOE的度数.

【答案】(1)35’

(2)144掳

【分析】本题考查角平分线的定义，对顶角相等，以及邻补角的定义.

(1)由角平分线的定义可求出440C=：M0C=35',再根据对顶角相等即可求解；

(2)设4E0C=2a贝LE0D=3»根据乙E0C+4E0D=180'，可列出关于x的方程，解出x的值，即

可求出•如C的大小，进而可求出卷斓加的大小.

【详解】(1)解：攀,平分券.整。C,

LADC=-^£OC=a*70*=353

,"BOD=乙40c=35。；

⑵解：•zEOCzEOD=2:3,

设4E0C=2A则乙EOD=3N

••・根据题意得2%+3x=180掳,

解得：x=36掳,

LEOC=2x=72s-贝以EOA=36'，

:*4BOE=180°-36°=144'.

19.(24-25七年级上•吉林长春•阶段练习)如图，直线4B.CD相交于点0,0"J.

二MB

N

D

27

(1)若41=42,贝化2的余角有.

(2)若N1=三乙BOC，求々BOD和d0D的度数.

【答案】(1)缪颁签熠0D

⑵&。D=120'，4BOD=60°.

【分析】此题主要考查了垂直的定义，对顶角的性质和邻补角的定义计算，要注意领会由垂直得直角这一

要点.

(1)由垂线的性质求得“OM=.OM=90°，然后根据等量代换及余角的定义解答；

(2)根据垂直的定义求得UOM=zBOM=90=>再由=；/BOC求得乙B0C=120'，然后根据邻补角

定义和对顶角的性质即可求解.

【详解】⑴解：TO,WJMB，zl=z2>

zl+LAOC=Z2+LAOC=90'，即乙CON=90。，

-LAOC=Z.BOD-

券挣趣2的余角有：级颁)C,卷斓)D；

故答案为：甥触C,攀螂)D；

(2)解：■；OM143,

LAOM=LBOM=90'，

•••Zl=；zBOC,LBOC=LBOM+zl-

••.z.1==30',

LBOC=£AOD=120!-

••乙BOD=180a-zJOC=60*.

20.(23-24七年级上.吉林四平•期末)如图，射线04的方向是北偏东20，，射线。石的方向是北偏西35°、射

线OD是。8的反向延长线，且射线。/平分乙B0。解答下列各题：

(1)射线OC的方向是；

(2)求zCOD的度数；

(3)若射线OE的方向是东南方向，请直接写出乙COE的度数.

【答案】(1)北偏东75。

⑵“0D=70=

28

⑶“OE=601

【分析】此题主要考查了方向角的表达，角平分线的定义，邻补角，熟练掌握知识点是解题的关键.

(1)先求出“。8=55°，再求得耨物C的度数，即可确定。。的方向；

(2)根据U0E=55)LAOC=LAOB,得出LBOC=110c,进而求出然烫°。的度数；

(3)根据乙40B=55°,LAOC="0B，射线OE平分野费。。，即可求出“0E=35,再利用U0C=55：求

出答案即可.

【详解】(1)解：如图：

•••射线。4的方向是北偏东20c，射线OB的方向是北偏西35c

•••"OB=200+35°=55：

•.•射线。4平分数船C

•AOC=LAOB=55=

■■LNOC=20:-55==75,即射线℃的方向是北偏东75。

⑵解：,z4O8=55°,LAOC=LAOB^

■■■LBOC=110e-

■-LCOD=180°-£BOC=180°-ZAAOB=70=；

(3)解：・•・射线OE的方向是东南方向，

:.£M0E=45°,

•••LNOC=75°

:.乙COM=90B-75°=15°

LCOE=15°+45°=60°

21.(24-25七年级上•全国•课后作业)如图，。是直线4B上一点，过点。作。C、0。、OE三条射线，。。平

分“0C，LAOE=£BOD-

(1)若A40c=60'，贝上BOE的度数为

(2)若zTOE=3U0G求乙BOE的度数；

29

(3)在⑵的条件下，若过点O作射线OF使得乙EOF=90°，求乙4。广的度数.

【答案】⑴沏;

⑵的激?E的度数为缈；

⑶筋帆F的度数为70。或110掳.

【分析】本题考查了角平分线的定义和角的计算，熟练掌握角平分线的定义，并能够根据题目已知条件找

到角度之间的等量关系列出等式是解题的关键.

(1)由条件。。平分套颁5c可得乙40D=30。，再由条件乙40E可得乙4。。=zBOE，通过等量代换

即可得到数物E的度数；

(2)由条件或无=3U0C，并结合⑴的结论MOD=zBOE，可得=再利用攀炳°B为

平角找出等量关系列出等式，即可求解装檄^的度数；

(3)分射线OF在赛词0E的内部及外部两种情况讨论，作出示意图并结合图形先计算续嫌^的度数，再根

据鎏怫F与馨㈱F互补的关系即可得解.

【详解】(1)旁加平分到纺C,

必吟加=3。＜

LAOE=LAOD+乙DOE，

LAOD=LAOE-乙DOE

同理，乙ROE=AB0D-LD0E，

1•"LAOE=乙BOD，

乙BOE=LAOD=30s-

(2)由题可知，LBOE=LAOD=^LAOC,

LAOC-2乙BOE.

•••"0E=3"IOC，

:.乙COE=64BOE，

由题可知翦肺B为平角，

LAOC+LCOE+乙BOE=180.

即2乙BOE+6乙BOE+乙BOE=180'-

LBOE=20。，

，80E的度数为20°.

(3)当OF在餐费OE内部时，如图