2025年人教版七年级数学寒假预习：交线与平行线热考模型（10种模型+专项训练+10种模型解析）

重难点01相交线与平行线热考模型

（10种模型汇总+专题训练+10种模型解析）

【题型汇总】

题型01三线八角的识别

己知图示结论（性质）

E1）同位角有4组，如：N1与N5、/2与/6、N3与/

直线AB、CD被直线7、/4与/8；

EF所截，且AB与CD2）内错角有2组，如：N3与/5、N6与N8；

不平行3）同旁内角有2组，如：N3与N6、N4与N5；

4）对顶角有4组，如：N1与/3、N2与/4、N5与/

7、/6与/8.

F

E1）同位角相等：/1=/5、/2=/6、/3=/7、Z4=Z8；

2）内错角相等：N3=N5、Z6=Z8；

直线AB、CD被直线

一53）同旁内角互补：Z3+Z6=180°、Z4+Z5=180°；

EF所截，且AB〃CD4）对顶角相等：/1=/3、/2=/4、/5=/7、Z6=Z

8.

F

解题方法：运用平行线的性质计算角的度数，要正确地辨认同位角、内错角、同旁内角，同时结合平行线

的性质及其他有关角的性质、定义进行计算.

1.（2024七年级上.全国.专题练习）分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角.

1

2.（23-24七年级下.全国•假期作业）如图，在用数字表示的角中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是

同旁内角？

题型02猪蹄模型

猪蹄模型猪蹄模型-进阶（又称“锯齿”模型）

条件AB〃DEa〃b

图示ABAB

一a今

*A2,^.A

上3

DE

DE

----b-

结论NB+NE=NBCEZB+ZCMN+ZE=ZBCM+ZMNE

左拐角之和=右拐角之和

辅助线作法：过拐点作平行线，有多少拐点就作多少平行线.

【补充】选、填题结论直接套用，解答题需写过程.

3.（2024七年级上•全国・专题练习）（1）如图①，ABIICD，试问-2与乙1+乙3的关系是什么？并说明理

由；

（2）如图②，ABIICD-试问乙2♦乙4与乙1+23+d的关系是什么？请直接写出结论；

（3）如图③，AB0CD＜试问“+£4+〃与£1+/3+£5+47的关系是什么？请直接写出结论.

4.（2024七年级上.全国.专题练习）如图，已知直线［,|上，直线b和直线1】、12分别交于点C和点D,P为直

线k上一点，A、B分别是直线11、I2上的定点.设ZTAP=L1，LDBP=^3.

2

A

（1）若P点在线段CD（C、D两点除外）上）运动时，问上1、Z243之间的关系是什么？说明理由.

（2）在的前提下，若P点在线段CD之外时，41、d43之间的关系又怎样？

5.（2024七年级上.全国.专题练习）综合与探究：

已知ABICD，E,F分别是AB,CD上的点，点P在AB,CD之间，连接PE，PF.

（2）如图2,"EP与vCFP的平分线交于点Q，猜想"PF与Q0F之间有何数量关系？并说明理由.

（3）如图3,UEP与tCFP的平分线交于点Q，猜想乙EPF与M0F之间有何数量关系？并说明理由.

6.（23-24七年级上•湖南衡阳・期末）【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1

的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数

量关系.

（RID（图2）（图3）

（1）如图1,48IICD，M是AB、CD之间的一点，连接BM,DM,则有西+少=乙BMP请你证明这个结论.

⑵【运用】如图2,48IICD，M、N是AB、CD之间的两点，且2乙"=3乙、'，请你利用（1）中“猪蹄模型”

的结论，找出上8、K、三者之间的数量关系，并说明理由.

（3）【延伸】如图3,UIQ,点E、F分别在AB、CD上，EN、FG分别平分和"FM，且ENIMG如

果eEMF二a，那么OfGF等于多少？（用含伪的代数式表示，请直接写出结论，无需证明）

题型03铅笔头模型

铅笔头模型铅笔头模型-进阶

条件AB/7DEAB/7DEa〃b

3

(3)观察图(3)和(4),已知A8IICD

8.(21-22七年级下•山东济宁・期中)如图,析ICD，点E为两直线之间的一点.

图1图2图3

(1)如图1,若48#E=35・，LDCE^20,-则UEC=______；

(2)如图2,试说明，乙54E+乙4EC+乙EC。=360'；

(3)如图3,若zB'E的平分线与WCE的平分线相交于点R判断乙4EC与UFC的数量关系，并说明理由.

9.(2024七年级上•全国・专题练习)⑴如图①，贝必4,十乙1=；

如图②，小，则“+认=，请你说明理由；

(2)如图③,M/JML，则认+〃+U,+3=；

(3)利用上述结论解决问题：如图④，41KD，和4M的平分线相交于点ELE-130,-求4FD

的度数.

4

10.（23-24七年级下•山西运城•期中）综合与实践

【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题.归纳模型：若uim，如图①“M”型和如图②

铅笔型.试猜想乙5AE，rDCE，dEC之间的数量关系.

【独立思考】

（1）如图①血E，zDCE，乙4EC之间的数量关系是.

（2）如图②MAE，2DCE，乙4EC之间的数量关系是.

【问题迁移】

（3）如图③，4BIICD，AN,CN分别是KBAM，乙DCM的角平分线，探索二4MC，UNC之间的数量关系是

（4）如图④，加ta）,AP、CP分别是乙5AO、2DC0的角平分线,探索乙r0C、IPC之间的数量关系是

【联想拓展】如图⑤，已知直线AB,将一个含30'的直角三角板QCP,使顶点P落在直线AB上，过点Q作直线

MN,且满足乙YQC+LBPC=90s.

（5）请你探索直线MN与AB具有怎样的位置关系，并说明理由.

7.（20-21七年级下•广东东莞•期中）（1）如图（1）4BIICD，猜想rBP。与zB、zD的关系，说出理由.

（2）观察图（2）,已知48IICD，猜想图中的与45、4。的关系，并说明理由.

（3）观察图（3）和（4）,已知二8IICD，猜想图中的LSPD与M、zD的关系，不需要说明理由.

8.（21-22七年级下•山东济宁・期中）如图，ABIICD，点E为两直线之间的一点.

5

图1图2图3

⑴如图1,若£8#E=35・，LDCE-20,)贝此4EC=______；

(2)如图2,试说明，+cAEC+^ECD=360'；

(3)如图3,若乙8/E的平分线与cDCE的平分线相交于点R判断UEC与"FC的数量关系，并说明理由.

9.(2024七年级上•全国•专题练习)⑴如图①，则一，+乙八二；

如图②，M4IIA',4a-贝kJ+一■!.，=』,二，请你说明理由；

(2)如图③，MA,INA^则+Un+〃1=

(3)利用上述结论解决问题：如图④，A8IICD，dBE和tCDE的平分线相交于点R"=130'，求乙8FD

的度数.

10.(23-24七年级下•山西运城•期中)综合与实践

【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题.归纳模型：若4MCD，如图①“M”型和如图②

铅笔型.试猜想乙B4E，乙DCE，UEC之间的数量关系.

【独立思考】

(1)如图①2DCE，乙4EC之间的数量关系是.

(2)如图②血E，£DCE，dEC之间的数量关系是.

【问题迁移】

(3)如图③，柿IICD，AN,CN分别是乙BAM，乙DCM的角平分线，探索乙4MC，d.YC之间的数量关系是

(4)如图④,.IIC。，AP、CP分别是£5£0、,DCO的角平分线，探索,A。C、dPC之间的数量关系是

6

ABAB

【联想拓展】如图⑤,已知直线AB,将一个含30'的直角三角板QCP,使顶点P落在直线AB上，过点Q作直线

MN,且满足乙Y0C+dPC=川丁.

（5）请你探索直线MN与AB具有怎样的位置关系，并说明理由.

⑴A=60°,〃，=150・，求乙r的度数；

（2）猜想力,，y.〃三者之间的关系并加以说明.

12.（2024七年级上•全国•专题练习）如图，4BIICD，cB=71，cBCE=20°，乙CEF=B0,-请判断AB与

EF的位置关系，并说明理由.

7

AB

L/EF

CD

13.（2024七年级上.全国・专题练习）如图a,-.8IICD>猜想乙8P。与上8、乙D的关系，并说明理由.

CD

b

⑴填空：

解：猜想ap。+"+A）=36<r理由：过点P作EFUAB，如图e所示，所以“+”25=180"

（①）.因为,;8IICD，EFIIAB'所以EFIICD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么

②）,所以4EPD+LD=180：（③）,所以

LB+"PE+zfPD+zD=®，即d+£BPD+ZD=360,；

（2）依照上面的解题方法，观察图b,已知4BICD，猜想图中的乙8P。与西、cD的关系，并说明理由；

⑶观察图c和图d,已知二8IICD，猜想图中的乙5PD与乙B、上。的关系，不需要说明理由.

14.（23-24七年级下•广东韶关•期中）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三

角形内角和为180掳.现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了.

（1）如图1,过3/48。的顶点A作BC的平行线ED,请你证明三角形的内角和为180掳；

E_____A_____D~、AB

,A®

【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能.

【迁移应用】（2）健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图2,其中4B1CD.

①若上匕；8=60‘，LECD40贝UdEC的度数为；

②若AEIBD，"EC=80、求U8D-eECD的度数.

⑶如图3,若.;8IIC。，点尸在AB、CD外部，请直接写出乙9、乙D、之间的关系.

15.（23-24七年级下•内蒙古巴彦淖尔•阶段练习）【感知探究】

如图①，已知A5ICD，点又在AB上，点N在CD上，求证：乙AME+乙£十4CNE=360'

8

图①

【类比迁移】

如图②，^BMF.”NF的数量关系为（不需要证明）

如图③，已知ABIIDE，/JAC=120\zD=W，则UCD=

图③

【拓展延申】

如图④，已知46NCD，AF.CF分另iJ平分ABAE和乙DCE，探究UEC,UFC之间的关系，并说明理由

9

结论ZBCD+ZD-ZB=180°ZBCD+ZB-ZD=180°

16.（2024七年级上•全国•专题练习）生活情境•山路“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山

公路连接了山里与外面的世界，数学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题：

在图2中，XBIICD-=12S'>LPQC-6S'-rC-145,-求乙BP0的度数•

17.（23-24七年级下•辽宁营口•阶段练习）如图，AB||DC,点E在直线AB,DC之间，连接DE,BE.

DC

二

4B

（1）写出UBE，rSED.乙EDC之间的数量关系，并说明理由；

⑵若z£DC=21・，LBED=求乙B的度数；

18.（22-23六年级下•山东烟台・期末）课题学习：平行线的“等角转化”功能.

（1）阅读理解：如图，已知点A是BC外一点，连接AB、AC,求48+/84。，+4:的度数.阅读并补充下面推

理过程.

解：过点A作EDIBC，所以zJ=，ZJC

又因为++d)AC=180'，

所以d+zftiC+a=180L

•一I)

B1-------------Y,

解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将MAC、zB、4C“凑”在一起,

得出角之间的关系，使问题得以解决.

10

（2）方法运用：如图1,已知ABIICD，求d4一BPD-LD的度数；

（3）深化拓展：已知直线A5IICD，点P为平面内一点，连接PA、PD.

①如图2,已知乙4=5寸，乙。=140,，请直接写出乙HPD的度数；

②如图3,请判断乙PAB、4CDP之间的数量关系，并说明理由.

B

图1图2图3

19.（21-22八年级上•黑龙江哈尔滨•期中）已知直线A8IICD，P为平面内一点，连接PA、PD.

⑴如图1,已知u=5（rJ）=is'y,求uro的度数;

（2）如图2,判断乙P4B、LCDP、4PD之间的数量关系为一.

（3）如图3,在（2）的条件下，4P1PD-DN平分“DC，若=HD，求MVD的度数.

题型06平行平分三等角

解题大招：平行平分得三等角.

20.~~（24-25七年级上•全国・期末）如图，ABICD，直线EF分别与直线AB,CD交于点E,F,点G在CD上,

EG平分LBEF.若乙EGC=58°，求乙EFD的度数.

21.（24-25八年级上•湖北宜昌•阶段练习）如图，CD是4的角平分线，DEIIBC，UED=70'，求&DC

的度数.

22.（2024七年级上•全国・专题练习）如图，£创CD，三角形EFG的顶点RG分别落在直线AB,CD上，GE交

11

AB于点”，GE平分在GD，若z£FG=90'，空=35"求ziffFB的度数.

记住三句话：①折叠前后对应角，对应边相等.

②折叠不改变原先的平行关系.

③以折线为对称轴.

23.(23-24m,rlDIIBC.AB\\CD>LADC=9O'»r2-20'.

将长方形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC交AD于点E,求上4的度数.

24.(23-24七年级下•山东荷泽・期末)已知：在图1一图6中，A8IICD，点E，点F,点G与AB,CD在同一平

面内.

(1)探究与表达请直接写出：

E图2中乙E，d，乙C的数量关系;

③图3中小,乙4,乙D的数量关系:

④图4中4，乙4，”的数量关系;

⑤图5中心E，“，上。的数量关系;

12

⑥图6中d，d，tE，乙G，4的数量关系；

（2）推导与应用如图7,将长方形纸片沿EF折叠，已知心=£6-35；求上2的度数.

图7

25.（23-24七年级下•湖北武汉•期末）数学活动课上，老师带领学生们进行了折纸的系列综合实践活动：

K活动素材X如图，长方形纸片IICD.ADHSCJ.

K活动IX如图1,将长方形纸片ABCD进行折叠，第1次EF折叠，折叠后EB与CD交于点G,在探究过程

中，同学们通过测量发现乙1与tGFE的度数总是相等的；

（活动2』如图2,在活动1的基础上，将长方形纸片ABCD进一步折叠，第2次沿MN折叠，且

同学们通过研究发现,1与〃之间也存在一定的数量关系；

K活动3》如图3,在活动2的基础上，作cGFX的平分线FR,并反向延长与d.VC的平分线交于点。，与

匕1之间是否也存在确定的数量关系呢？

K任务13求证：LGEF="FE；

K任务2D若zl=2S",求〃的度数；

（任务3可请画出点Q,并直接写出二。与之间的数量关系.

B

NMN

E

素材图图1图2图3

26.（23-24七年级下•福建三明•期中）综合与实践:

七年级下册第二章我们学习了平行线的性质与判定,今天我们继续探究：折纸中的数学一长方形纸条的折

叠与平行线

储、——人—肯f

图1图2

（1）知识初探

如图1,长方形纸条ABCD中，AB\\CD>4DIBC，LA二-3二sC二-900.将长方形纸条沿直线EF折叠,

13

点A落在A'处，点。落在D'处，A'E交CD于点G.

①若UEF=40‘，求乙TGC的度数.

②试猜想MEF和d'GC之间的数量关系，并进行说明.

(2)类比再探

如图2,在图1的基础上将LCGE对折，点C落在直线GE上的C'处.点B落在B'处，得到折痕GH,点A'、G、

E、C'在同一条直线上，则折痕EF与GH有怎样的位置关系?请说明理由.

27.(23-24七年级下•黑龙江哈尔滨•阶段练习)数学活动课上，琳琳同学将一张长方形纸条ABCD沿BE折叠,

点A落在点F处.

图3

(1)如图1,她通过测量发现：rDEF+NCSF=乙4，请你证明她的结论；

(2)如图2,点M在AD上，点N在BC上，连接MN,.”：门|EF，将四边形MDCN沿MN所在直线折叠得到MHGN,

MN交BC于R,点D的对应点落在点H处，点C的对应点落在点G处.她通过测量发现：rf.YC=46ABE＞请

你证明她的结论.

(3)如图3,在(2)的条件下，将四边形MHGN沿RN向上折叠得到四边形RPQN,点H的对应点恰好落到AD上

的点P处，点G落到点Q处，猜想“8F，&W。与4RN的数量关系，并证明你的结论.

题型08三角板拼接模型

常见的三角板与三角板(平行)拼接模型:

【提示】根据平行线的性质及三角形内角和进行角度计算，计算线段长时会用到特殊角的三角函数值.

28.(23-24七年级下•山东临沂•期中)在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角

14

板的数学思考》.已知：£ACB=z£ED=90*>4以B=60°，UBC=30°，^£CD=zffDC=45'

(1)李华将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点E落在AB上，且4BIIC。，求乙4CE的度数；

(2)如图2,张明将一个三角板ABC放在一组直线MN与PQ之间，并使顶点B在直线MN上，顶点C在直线PQ上,

现测得dGl=3S"，一"84=”’，请判断直线MN,PQ是否平行，并说明理由；

(3)现将三角板ABC按图3方式摆放，仍然使顶点2在直线MN上，顶点C在直线PQ上，若请直接

写出乙PC4与乙HBC之间的关系式•

29.(23-24七年级下•四川乐山•期末)将一副三角板按如图放置，其中点B、C、D在同一直线上，

乙ACB=乙E-90%d=30'，乙D=45'.

(1)若，3、CE相交于点F,求乙4FC的度数；

⑵将图中的二ABC绕点C以每秒5掳的速度顺时针旋转得乙孑夕。设运动时间为t秒.当t为何值时，A'B'与

CD第一次平行；

(3)乙ABC绕点C以每秒5掳的速度顺时针旋转的同时，△CDE绕点C以每秒4掳的速度逆时针旋转

a(。：<av1800)得3。。巧’，旋转过程中若射线CB'、CD'、CE'中的两条射线组成的角恰好被第三条射线平

分，设运动时间为t秒，请求出满足条件的t值.

30.(2024七年级上•全国•专题练习)将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一

起,友情提示：LA=6V，d)=30'，LE=LB=45，

⑴①若乙DCE=45’，则UC8的度数为•

②若乙4cB=140'-则4OCE的度数为.

⑵由(1)猜想与乙DCE的数量关系，并说明理由.

(3)若UCE<90•且点E在直线AC的上方，当这两块直角三角板有一组边互相平行时，请直接写出乙SCE角度

15

所有可能的值（不必说明理由）.

31.（2025七年级下•江苏扬州•专题练习）在七年级的“平行线的性质与判定”的学习中，我们常借助于三角

板来研究其相关知识，现有一副三角板如图1所示，其中乙ACS=90,乙』=30：:E=45支请同

学们结合已有的知识及活动经验，解决下列问题：

【初步感知】

（1）如图2,将上述三角板的直角顶点重合在一起.当CEII4B时，LBCF.

（2）如图3,当CA平分z£CF时，请写出图中两条平行的直线，并说明理由.

【深度探究】

（3）将上述三角板按图4所示的方式摆放，点A,B在直线G8上，点尸在直线上，直线GHILWM

保持三角板ABC不动，现将三角板。E尸绕点。以每秒3掳的速度顺时针旋转，设旋转时间为ts,且

OSt06O,则是否存在f的值，使边2C与另一块三角板。EE的一条边平行？若存在，请求出/的值；若

不存在，请说明理由.

（4）将上述三角板按图5所示的方式摆放，点C与点。重合，保持三角板A8C不动，将三角板。跖绕点

C旋转,使点歹在直线BC上方，当两块三角板的两条边互相平行时，若乙口5度数的最大值为山，最小值

为“，则m—n=.

32.（23-24七年级下•江西南昌・期中）如图1,将一副三角板按图中所示位置摆放，点F在直线AC上，且EDUG

DF与AB相交于点G,其中〃C8=90,-LABC=60・，LBAC=30、LEFD=90'，dJDEF==45'

16

E

图1图2

备用图备用图备用图

⑴求此时乙DG4的度数；

⑵若三角板DEF绕F点按顺时针方向旋转，当EDIIA8时，求此时乙DFA的度数；

(3)在⑵的前提下，三角板DEF绕F点按逆时针方向以每秒3掳的速度旋转,设旋转的时间为t秒，当0<t<65

时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板DEF的某一条边与AB平行的情况？若存在，请求出所有满足题

意的t值；若不存在，请说明理由.

题型09直尺与三角板拼接模型综合

类型一直尺与30°角的三角板拼接

解题方利用三线八角求解

法

结论Zl+Z2=90°Z1=Z2Zl+Z2=90°

类型二直尺与45。角的三角板拼接

图示工

k/A\

A

ST\/工-----\问

解题方遇拐点作平行线三线八角+三角板特殊角求解三角板特殊角求解

法

结论Zl+Z2=90°Z>Z2=75°Zl=105°

【提示】直尺本身含平行线，根据平行线性质及三角形的内角和进行角度计算.

17

33.（22-23七年级上•重庆沙坪坝•期末）如图1,一块直尺和一块含30。的直角三角板如图放置，其中直尺

和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：MN柴B,柴端AC=60掳，柴煲=90掳,

MN分别交AC、BC于点E、F、饕燃AC的角平分线AD交MN于点。，〃为线段AB上一动点（不与A、8重合），

连接FH交AD于点K.

（1）当Z5FH=:上BFN时，求鉴煨KF.

（2）H在线段AB上任意移动时，求柴斓KF,柴燃AK,柴领FH之间的关系.

⑶在（1）的条件下，将金目熠KF绕着点F以每秒5。的速度逆时针旋转，旋转时间为36），则在旋转

过程中，当金吕熠KF的其中一边与金吕精EF的某一边平行时，直接写出此时t的值.

34.（23-24七年级下•广西河池•期末）如图1,把一块含30,的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上.

（1）如图2,现把三角板绕2点逆时针旋转n掳，当。<n<90,且点C恰好落在DG边上时，请直接写出柴

?=°,柴？=。（结果用含n的代数式表示）；

（2）在（1）的条件下，若乙2恰好是41的:倍，求n的值.仔

35.（2024七年级上.全国.专题练习）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH鉴N.

（1）如图2,现将五角板ABC绕点A以每秒2掳的速度顺时针旋转，三角板DEF不动，设旋转时间为t秒，当第

一次旋转到BC饕F时，t的值是多少？

（2）若三角板ABC不动，而三角板DEF绕点D以每秒1.5掳的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，求当第一次

旋转到DE饕C时，t的值是多少？

18

(3)若三角板ABC绕点A以每秒3掳的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒5掳的速度顺时针旋转,

设时间为t秒(0<t<70),若边BC与三角板DEF的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的t的值.

36.(22-23八年级下•河南郑州•开学考试)课题学习：平行线的“等角转化”功能.

阅读理解：

如图1,已知点A是BC外一点，连接AB、AC求夔端AC+鉴燃+柴煲的度数.

解：过点A作DE柴C,

VDEBc,

=1£AB,LC=LDA

又：出IB+LBAC+LDAC=180'-

•••乙8八。+乙8十乙。=180'.

解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”功能.

方法运用：

如图2,将一副三角板和一张对边平行的纸条按如上方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30,角的直

角三角板的斜边与纸条一边重合，含45■角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，求的度数.

图1图2

37.(23-24七年级下•湖北鄂州•期末)如图1,把一块含30’的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG

的EF边上.

(1)【特例初探】如图2,现把三角板绕B点逆时针旋转n掳，当0<n<90,且点C恰好落在DG边上时，

请求:1+〃的度数•

⑵【技能提升】在(1)的条件下，若占比的一半多加・，求〃的值.

(3)【综合运用】如图2,现将射线BC绕点B以每秒5掳的转速逆时针旋转得到射线BC',同时射线QA绕点Q

以每秒4掳的转速顺时针旋转得到射线QA',当射线QA旋转至与QB重合时，则射线BC、Q4均停止转动，设

旋转时间为t(s).在旋转过程中，是否存在。君存在，求出此时f的值；若不存在，请说明理由.

38.(23-24七年级下•重庆江北・期末)如图，直线PQ饕N,一副教学三角板中饕煨BC=饕煲DE=90掳，

19

鉴端CB=30掳，鉴帽AC=60掳，鉴领CE=鉴馍EC=45掳，现按如图1放置，其中点E在直线PQ上,

点8,C均在直线MN上.

图1图2备用图

(1)如图1,当CE平分饕斓CM时，求赞罂的值；

(2)若将三角板ABC绕点8以每秒3度的速度按顺时针方向旋转(A,C的对应点分别为F,G),设旋转时间

为f秒.B

①在旋转过程中，如图2所示，当边BG饕E,求H0=t三60)的值.

②若三角板ABC绕点B旋转的同时，£角板CDE绕点E以每秒2度的速度按逆时针方向旋转(C,D的对应

点为H,K),请直接写出当边BG夔K时M0二f<120)的值.

(1)如果48、C为三个定点，点尸在直线机上移动，那么无论点尸移动到何位置，总有二与金目妖BC

的面积相等.理由是;

(2)如果点P在如图所示的位置，请写出另外两对面积相等的三角形E.

40.⑵-24八年级下•全国•课后作业)如图，在四边形ABCD中，AD>C,对角线AC,BD交于点O,若金目坎OB

的面积为8,求金吕精OD的面积.

20

D

o

41.（24-25七年级上•江苏镇江•阶段练习）如图，尸是长方形ABCD外一点，金目坎BP的面积为a.若金吕矢舟PD的

面积为从则金鬻PC的面积为.（用含a、b的代数式表示）

42.（23-24七年级上.福建福州•开学考试）如图，正方形ABCD和正方形ECGF并排放置，BF和EC相交于点H,

已知AB=6厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？

21

重难点01相交线与平行线热考模型

（10种模型汇总+专题训练+10种模型解析）

【题型汇总】

题型01三线八角的识别

已知图示结论（性质）

E1）同位角有4组，如：/I与N5、/2与/6、N3与/

直线AB、CD被直线7、N4与N8；

EF所截，且AB与CD2）内错角有2组，如：N3与/5、N6与N8；

不平行3）同旁内角有2组，如：/3与N6、/4与N5；

4）对顶角有4组，如：N1与N3、N2与/4、N5与/

7、/6与/8.

F

E1）同位角相等：Z1=Z5,N2=/6、N3=/7、Z4=Z8；

2）内错角相等：N3=N5、Z6=Z8；

直线AB、CD被直线3）同旁内角互补：Z3+Z6=180°、Z4+Z5=180°；

EF所截，且AB〃CD4）对顶角相等：/1=/3、/2=/4、/5=/7、Z6=Z

8.

F

解题方法：运用平行线的性质计算角的度数，要正确地辨认同位角、内错角、同旁内角，同时结合平行线

的性质及其他有关角的性质、定义进行计算.

1.（2024七年级上•全国•专题练习）分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角.

22

【答案】图1中同位角有：ci与d，A与”，❷与4,4与&；内错角有：u与“，”与V；同旁内

角有：4与4,4与“；

图2中同位角有：&与乙3,a与4，；同旁内角有：A与

【分析】本题考查了同位角、内错角，同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手.对

平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表

达要注意理解它们所包含的意义.

根据两直线被第三条直线所截，两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角是同

位角，可得同位角；两个角在截线的两侧，被截两直线的中间的角是内错角，可得内错角；两个角在截线

的同侧，被截两直线的中间的角是同旁内角，可得同旁内角.

【详解】解：如图b

同位角有：&与△，△与£4,❷与4,〃与4；

内错角有：△与q6,4与4；

同旁内角有：d与V，q4与

如图2,

图2

同位角有：zl与乙3，•与24；

同旁内角有：乙3与1t2.

2.（23-24七年级下.全国.假期作业）如图，在用数字表示的角中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是

同旁内角？

23

3

【答案】同位角：/1和/戛45和d；内错角：/1和/-』2和/4;同旁内角：U和£5»4和4rA和和

d

【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内

角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定.在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有

上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线

即为被截的线.同位角的边构成“尸'形，内错角的边构成“Z'形，同旁内角的边构成“cr形.同位角：两条直

线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这

样一对角叫做同位角.内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并

且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角.同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成

的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角.依

此即可得出答案.

【详解】解：同位角：”和d，d和“；

内错角：乙1和二2和小；

同旁内角：A和4,K和4,4和“，n和4

题型02猪蹄模型

猪蹄模型猪蹄模型-进阶（又称“锯齿”模型）

条件AB〃DEa//b

图示ABABaAi

上*

DE

DE

b、

•------------------------^4

结论

NB+NE=NBCENB+NCMN+NE=NBCM+NMNE+ZA^+Z/45+...+Z24n

=/4+/4+…+/4/

左拐角之和=右拐角之和

辅助线作法：过拐点作平行线，有多少拐点就作多少平行线.

【补充】选、填题结论直接套用，解答题需写过程.

3.（2024七年级上.全国.专题练习）（1）如图①，A8IICD，试问_2与乙1+上3的关系是什么？并说明理

由；

（2）如图②，ABIICD＞试问工2+上4与£1+43+45的关系是什么？请直接写出结论；

24

(3)如图③，ABIICD＞试问〃+£4+z6与A+.z3，+£5+z7的关系是什么？请直接写出结论.

【答案】(1)。=zl+4见解析；(2)42+z4=zl+z3+45；⑶d+Z4+Z,6=z.1+13+$5+z.7

【分析】此题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.

(1)过点E作E广野B,从而推出asUEF口CD，根据两直线平行，内错角相等，可知乙l=zJEF，

乙3=LCEF＞从而推出乙2与cl-乙3的关系；

(2)分别过点E,G,M,作EF缪B,GHB,MN箜B,从而推出—CZMEFIG/HMN，根据两

直线平行，内错角相等，可推出r2十乂与“+△+△的关系；

(3)分别过点E,G,M,K,P,作EF劈B,GH婪B,MN缕B,KL鎏B,PQ签B,从而知道

tficDiEFisviMiriniN^根据两直线平行，内错角相等，可推出4+〃+“与

-乙3♦工5+二7的关系.

【详解】解：(1)U=乙1+£3,理由如下：

D,

：•zl=zBFF'£3—Z£EF>

•.z2=z.1+z3；

(2)同理(1)得：^2+z.4sz.1+z3+z.5>理由如下:

B,MN攀B,

%ABNCDIIEFIIGHIIMN

25

zl=dEG=4GH，UiGM=LGMN，ZflflV-zS

=r2+z4=MEF+dEG+GN+