湖南省长沙市部分学校2024-2025学年高二下学期开学联考数学试题

学年湖南省长沙市部分学校高二下学期开学联考数学试题8小题，每小题5分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合，，则()A.B.C.D.2.在数列中，若，，则()A.B.1C.3D.43.已知，，，则()A.B.C.D.4.若球O被一个平面所截，所得截面的面积为，且球心O到该截面的距离为2，则球O的表面积是()A.B.C.D.5.已知函数是定义在R上的奇函数，在的解集为()A.B.C.D.6.函数在上的值域为()A.B.C.D.7.过点作的切线PA，PB，切点分别为A，B，则()A.B.C.D.28.已知数列满足，的前n项和为，，成等差数列，则()A.10B.11C.12D.133分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.在空间直角坐标系中，已知点，，，，则()A.B.与夹角的余弦值为C.在上的投影向量为D.点A到直线BC的距离为第13页，共13页10.已知等比数列的公比不为1，设的前n项和为，若，且，，成等差数列，则下列说法正确的是()A.B.数列为等比数列C.D.11.已知ABC是抛物线上不同的动点，F为抛物线Wl为抛物线W的准线，AB的中点为，则()A.当时，的最大值为32B.当时，的最小值为22C.当时，直线AB的斜率为D.当A，F，B三点共线时，点P到直线l的距离的最小值为14三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分。12.用0，1，2这三个数字组成一个三位数每个数字只能用一次，则这个三位数是偶数的概率为.13.已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线l经过，且与C的右支交于A，B两点，若，则C的离心率为.14ABCDEF的每条棱长均为AF与BD交于点O，M为正八面体ABCDEF内部或表面上的动点.若，则的最小值为.5明过程或演算步骤。15.本小题12分记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知求若，求的面积的最大值.第13页，共13页16.本小题12分在直三棱柱中，M是的中点，，，证明：平面求平面与平面夹角的余弦值.17.本小题12分已知正项数列的前n项和为，且满足，证明：为等差数列.求m的值和的通项公式.若数列满足，其前n项和为，证明：18.本小题12分已知椭圆的短轴长为，且离心率为求C的方程.过点作斜率不为0的直线与椭圆C交于ST作直线ST的平行线与椭圆C交于G，H不同的两点.①证明：为定值.②求面积的取值范围.19.本小题12分在数列中，若存在项之和等于中的某一项，则称是“k和数列”.第13页，共13页若，判断是否为“3和数列”，是否为“4和数列”，并说明理由.在正项数列中，，且，证明：①可能是等比数列;②若为等比数列，则不是“k和数列”.第13页，共13页答案和解析1.【答案】C【解析】解：依题意得，又，则故选：2.【答案】D【解析】解：由题意得，所以，则3.【答案】A【解析】解：，且，，故4.【答案】C【解析】解：因为球O一截面的面积为，所以该截面圆的半径为又因为球心O到该截面的距离为2，所以球O的半径，所以球O的表面积为故选5.【答案】D【解析】解：由题可知在上单调递减，又是定义在R上的奇函数，所以在上单调递减，又，所以，所以当或时，，当或时，，则不等式等价于或解得或，所以满足不等式的实数x的取值范围为第13页，共13页6.【答案】A【解析】解：，由，可得，所以7.【答案】B【解析】解：由题可知，，，则，故8.【答案】B【解析】解：因为，且，所以当时，；因为也满足，所以；因为，所以，若，，成等差数列，则，即，得9.【答案】ABD【解析】解：因为，，所以，故A正确;因为，，所以，，故B正确;因为，，所以在上的投影向量为，故C错误;因为，所以的一个单位方向向量为，第13页，共13页因为，所以点A到直线BC的距离为，故D正确.10.【答案】BCD【解析】解：设等比数列的公比为由，，成等差数列，得，整理得，则，则，，，所以，数列是等比数列.，当n为奇数时，，单调递减，所以，当n为偶数时，单调递增，所以，故11.【答案】ACD【解析】解：设，因为，所以当A，F，B三点共线时，有最大值32，故A正确;因为P在抛物线W内侧，所以的最小值为点P到直线l的距离，所以，故B错误;由得，所以，故C正确;当A，F，B三点共线时，点P到直线l的距离，第13页，共13页而，所以，故D正确;本题选：12.【答案】【解析】解：0，1，2这三个数字组成一个三位数共有4种情况，其中偶数有3种情况，故所求概率为13.【答案】【解析】解：设，则，，因为，所以，解得，即，，，，则，所以在中，，即，得，所以双曲线C的离心率为14.【答案】【解析】解：设过点H且与直线DF垂直的平面为因为，所以点M的轨迹是平面截正八面体ABCDEF的截面.如图，连接OC，以O为坐标原点，OD，OC，OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.设AD的中点为T，则，，，，，第13页，共13页设，则，，所以，得，，因为，所以，当，时，取得最小值，且最小值为15.【答案】解：因为，所以，则，即，所以，故由余弦定理可得因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立.故的面积的的最大值为【解析】详细解答和解析过程见【答案】16.【答案】证明：连接，交于点D，连接因为三棱柱为直三棱柱，第13页，共13页所以四边形为矩形，所以D为的中点.又M是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面解：如图，过点在平面内作因为三棱柱为直三棱柱，所以，，两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.又，，，则，，，，，，所以，，，设平面的法向量为，则令，得，，故为平面的一个法向量.设平面的法向量为，则解得，令，得，故为平面的一个法向量.设平面与平面的夹角为，则因为，第13页，共13页所以平面与平面夹角的余弦值为【解析】详细解答和解析过程见【答案】17.【答案】证明：由，可得，相减可得，因此，则因为为正项数列，所以，则，所以，故数列为等差数列，且公差为解：因为，，所以，当时，，解得，证明：因为，所以，，两式相减得，所以【解析】详细解答和解析过程见【答案】第13页，共13页18.【答案】解：设C的半焦距为，则因为，所以故C的方程为设直线ST的方程为，则直线GH的方程为联立得，由，得设，，则联立得设，，则①证明：因为，所以，是定值②因为的面积，且，所以，设，则因为函数在上单调递增，所以，故【解析】详细解答和解析过程见【答案】19.【答案】解：是“3和数列”，不是“4和数列”.理由如下：因为，所以第13页，共13页又，所以是“3和数列”.由题可知中的每一项均是奇数，则中的任意4项之和肯定为偶数，与中的任何一项均不相等，故不是“4和数列”.证明：①由，，得若是等比数列，则的公比，则，则，，符合，故可能是以2为公比的等比数列.②由①可得，假设是“k和数列”，则存在，，，，，使得，不妨令若，则，且，则，因为，所以为正偶数，则为大于1的正奇数