2018-2019学年高中一轮复习数学板块命题点专练（十四）复数计数原理与概率随机变量及其分布

板块命题点专练(十四)复数、计数原理与概率、随机变量及其分布命题点一复数命题指数：☆☆☆☆☆难度：低题型：选择题、填空题1.(2017·全国卷Ⅱ)eq\f(3＋i,1＋i)＝()A．1＋2i B．1－2iC．2＋i D．2－i解析：选Deq\f(3＋i,1＋i)＝eq\f(3＋i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(4－2i,2)＝2－i.2．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是()A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)C．(1＋i)2 D．i(1＋i)解析：选CA项，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数；B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数；C项，(1＋i)2＝2i,2i是纯虚数；D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选C.3．(2017·全国卷Ⅲ)设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2) D．2解析：选C因为z＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i1－i,1＋i1－i)＝i(1－i)＝1＋i，所以|z|＝eq\r(2).4．(2017·山东高考)已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋eq\r(3)i，z·eq\x\to(z)＝4，则a＝()A．1或－1 B.eq\r(7)或－eq\r(7)C．－eq\r(3) D.eq\r(3)解析：选A法一：由题意可知eq\x\to(z)＝a－eq\r(3)i，∴z·eq\x\to(z)＝(a＋eq\r(3)i)(a－eq\r(3)i)＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.法二：z·eq\x\to(z)＝|z|2＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.5．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选Cz＝i(－2＋i)＝－2i＋i2＝－1－2i，故复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于第三象限．6．(2017·北京高考)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)解析：选B因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，又此点在第二象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1＜0，,1－a＞0，))解得a＜－1.7．(2017·浙江高考)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.解析：∵(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－b2＝3，,2ab＝4，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－1，))∴a2＋b2＝5，ab＝2.答案：528．(2017·天津高考)已知a∈R，i为虚数单位，若eq\f(a－i,2＋i)为实数，则a的值为________．解析：由eq\f(a－i,2＋i)＝eq\f(a－i2－i,2＋i2－i)＝eq\f(2a－1,5)－eq\f(2＋a,5)i是实数，得－eq\f(2＋a,5)＝0，所以a＝－2.答案：－29．(2017·江苏高考)已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z的模是________．解析：法一：复数z＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i，则|z|＝eq\r(－12＋32)＝eq\r(10).法二：|z|＝|1＋i|·|1＋2i|＝eq\r(2)×eq\r(5)＝eq\r(10).答案：eq\r(10)命题点二排列、组合命题指数：☆☆☆☆难度：中题型：选择题、填空题1.(2016·全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A．24 B．18C．12 D．9解析：选B由题意可知E→F有Ceq\o\al(2,4)种走法，F→G有Ceq\o\al(1,3)种走法，由乘法计数原理知，共Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,3)＝18种走法，故选B.2．(2016·四川高考)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A．24 B．48C．60 D．72解析：选D第一步，先排个位，有Ceq\o\al(1,3)种选择；第二步，排前4位，有Aeq\o\al(4,4)种选择．由分步乘法计数原理，知有Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(4,4)＝72(个)．3．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种 B．18种C．24种 D．36种解析：选D因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2,1,1，有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))＝6种，再分配给3个人，有Aeq\o\al(3,3)＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．4．(2017·浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)解析：法一：分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有Ceq\o\al(4,8)－Ceq\o\al(4,6)＝55种不同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各1人，有Aeq\o\al(2,4)＝12种不同的选法．根据分步乘法计数原理知共有55×12＝660种不同的选法．法二：不考虑限制条件，共有Aeq\o\al(2,8)Ceq\o\al(2,6)种不同的选法，而没有女生的选法有Aeq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)种，故至少有1名女生的选法有Aeq\o\al(2,8)Ceq\o\al(2,6)－Aeq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)＝840－180＝660(种)．答案：6605．(2014·浙江高考)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．解析：分情况：一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人，种数为Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,1)Aeq\o\al(2,4)＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为Aeq\o\al(3,4)＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60(种)．答案：60命题点三二项式定理命题指数：☆☆☆☆难度：中题型：选择题、填空题1.(2016·四川高考)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为()A．－15x4 B．15x4C．－20ix4 D．20ix4解析：选A二项式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x6－rir，由6－r＝4得r＝2.故T3＝Ceq\o\al(2,6)x4i2＝－15x4.故选A.2．(2017·全国卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为()A．－80 B．－40C．40 D．80解析：选C当第一个括号内取x时，第二个括号内要取含x2y3的项，即Ceq\o\al(3,5)(2x)2(－y)3，当第一个括号内取y时，第二个括号内要取含x3y2的项，即Ceq\o\al(2,5)(2x)3(－y)2，所以x3y3的系数为Ceq\o\al(2,5)×23－Ceq\o\al(3,5)×22＝10×(8－4)＝40.3．(2014·浙江高考)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝()A．45 B．60C．120 D．210解析：选C由题意知f(3,0)＝Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(0,4)，f(2,1)＝Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,4)，f(1，2)＝Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,4)，f(0,3)＝Ceq\o\al(0,6)Ceq\o\al(3,4)，因此f(3,0)＋f(2,1)＋f(1，2)＋f(0,3)＝120，选C.4．(2017·浙江高考)已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________.解析：由题意知a4为含x的项的系数，根据二项式定理得a4＝Ceq\o\al(2,3)×12×Ceq\o\al(2,2)×22＋Ceq\o\al(3,3)×13×Ceq\o\al(1,2)×2＝16，a5是常数项，所以a5＝Ceq\o\al(3,3)×13×Ceq\o\al(2,2)×22＝4.答案：1645．(2017·山东高考)已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝________.解析：(1＋3x)n的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)(3x)r.令r＝2，得T3＝9Ceq\o\al(2,n)x2.由题意得9Ceq\o\al(2,n)＝54，解得n＝4.答案：46．(2014·全国卷Ⅰ)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)解析：(x＋y)8中，Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)x8－ryr，令r＝7，再令r＝6，得x2y7的系数为Ceq\o\al(7,8)－Ceq\o\al(6,8)＝8－28＝－20.答案：－20命题点四古典概型命题指数：☆☆☆☆难度：中题型：选择题、填空题、解答题1.(2017·天津高考)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)解析：选C从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4种，故所求概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).2．(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A.eq\f(1,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,10) D.eq\f(2,5)解析：选D记两次取得卡片上的数字依次为a，b，则一共有25个不同的数组(a，b)，其中满足a＞b的数组共有10个，分别为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，因此所求的概率P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).3．(2017·山东高考)从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()A.eq\f(5,18) B.eq\f(4,9)C.eq\f(5,9) D.eq\f(7,9)解析：选C所求概率为P＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)＋C\o\al(1,4)C\o\al(1,5),C\o\al(1,9)C\o\al(1,8))＝eq\f(5,9).4．(2017·山东高考)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．解：(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其所有可能的结果组成的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个．所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个．则所求事件的概率为P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其所有可能的结果组成的基本事件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个．包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，则所求事件的概率为P＝eq\f(2,9).命题点五概率、随机变量及其分布命题指数：☆☆☆☆难度：中、低题型：选择题、填空题、解答题1.(2017·浙江高考)已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1,2.若0<p1<p2<eq\f(1,2)，则()A．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)B．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)D．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)解析：选A根据题意得，E(ξi)＝pi，D(ξi)＝pi(1－pi)，i＝1,2，∵0<p1<p2<eq\f(1,2)，∴E(ξ1)<E(ξ2)．令f(x)＝x(1－x)，则f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上单调递增，∴f(p1)<f(p2)，即D(ξ1)<D(ξ2)．2．(2016·四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是__________．解析：法一：由题意可知每次试验不成功的概率为eq\f(1,4)，成功的概率为eq\f(3,4)，在2次试验中成功次数X的可能取值为0,1,2，则P(X＝0)＝eq\f(1,16)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,8)，P(X＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＝eq\f(9,16).所以在2次试验中成功次数X的分布列为X012Peq\f(1,16)eq\f(3,8)eq\f(9,16)则在2次试验中成功次数X的均值为E(X)＝0×eq\f(1,16)＋1×eq\f(3,8)＋2×eq\f(9,16)＝eq\f(3,2).法二：此试验满足二项分布，其中p＝eq\f(3,4)，所以在2次试验中成功次数X的均值为E(X)＝np＝2×eq\f(3,4)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)3．(2017·山东高考)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.解：(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M)＝eq\f(C\o\al(4,8),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,18).(2)由题意知X可取的值为：0,1,2,3,4，则P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(5,6),C\o\al(5,10))＝eq\f(1,42)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(4,6)C\o\al(1,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,21)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(2,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(10,21)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(3,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,21)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(4,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(1,42).因此X的分布列为X01234Peq\f(1,42)eq\f(5,21)eq\f(10,21)eq\f(5,21)eq\f(1,42)故X的数学期望是EX＝0＋1×eq\f(5,21)＋2×eq\f(10,21)＋3×eq\f(5,21)＋4×eq\f(1,42)＝2.4．(2017·天津高考)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4).(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．解：(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(1,4)，P(X＝1)＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(1,4)＝eq\f(11,24)，P(X＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(1,4)，P(X＝3)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,24).所以随机变量X的分布列为X0123Peq\f(1,4)eq\f(11,24)eq\f(1,4)eq\f(1,24)随机变量X的数学期望E(X)＝0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(11,24)＋2×eq\f(1,4)＋3×eq\f(1,24)＝eq\f(13,12).(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)＝eq\f(1,4)×eq\f(11,24)＋eq\f(11,24)×eq\f(1,4)＝eq\f(11,48).所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为eq\f(11,48).5．(2017·江苏高考)已知一个口袋中有m个白球，n个黑球(m，n∈N*，n≥2)，这些球除颜色外完全相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3，…，m＋n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k＝1,2,3，…，m＋n).123…m＋n(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X)是X的数学期望，证明：E(X)<eq\f(n,m＋nn－1).解：(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p为：p＝eq\f(C\o\al(n－1,m＋n－1),C\o\al(n,m＋