2024-2025学年北京市丰台区高一上学期期末练习数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市丰台区2024-2025学年高一上学期期末练习数学试题第一部分选择题（共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为集合，所以.故选：D.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为“”不能推出“”；“”能推出“”，所以，“”是“”的必要不充分条件，故选B.3.下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】B【解析】A选项，不妨设，满足，但，A错误；B选项，，由不等式性质得，B正确；C选项，不妨设，此时满足，但，C错误；D选项，，因为，所以，但不确定的正负，若，则，若，则，若，则，D错误.故选：B4.已知扇形圆心角为2弧度，弧长为，则该扇形的面积为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设扇形的半径为cm，则，则该扇形的面积为.故选：C5.已知，则的大小关系为（）A B. C. D.【答案】A【解析】因为单调递增，所以，又因为，所以.故选：A.6.把的图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，再把所得图象向右平移个单位长度，得到的图象，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】把的图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，可得的函数图像，再把所得图象向右平移个单位长度，可得函数，所以.故选：C.7.近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，已知臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，是自然对数的底数．按照此关系推算，当臭氧含量为初始含量的时，的值约为（）（参考数据：）A.305 B.483 C.717 D.879【答案】C【解析】因为臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，所以当臭氧含量为初始含量的时，得，计算得，化简得，所以.故选：C.8.已知定义在上的奇函数满足，且在区间上单调递减，则下列结论正确的是（）A.B.是以2为周期的周期函数C.在区间上单调递减D.若关于的方程在区间上有两个实数根，分别记为，则【答案】D【解析】对于A，由于函数是定义在上的奇函数，则.由，取可得，故A错误；对于B，因为是定义在上的奇函数，则，又因，则.用替换可得，故有.所以是以为一个周期的周期函数，故B错误；对于C，已知在上单调递减，因是奇函数，故在上也单调递减，即在上单调递减.由于的周期是，那么在上的单调性与上的单调性相同.由可知的图象关于直线对称，所以在上的单调性与上的单调性相反，即在上单调递增，所以在上单调递增，故C错误；对于D，因的图象关于直线对称，且周期可取为，故的图象关于直线对称.若关于的方程在区间上有两个实数根，，根据函数图象的对称性可知，则，故D正确.故选：D.9.已知函数，对，用表示中的最大者，记为．若恒成立，则（）A.的最大值是 B.的最小值是C.的最大值是 D.的最小值是【答案】A【解析】因为时，，故需时，恒成立，故即，所以的最大值是，故选：A.10.已知函数的部分图象如图所示，则（）A. B.-1 C.1 D.【答案】A【解析】，故，因为点是单调递增区间上一点，且，所以，设的最小正周期为，由图象可知，且，解得，，即，解得，其中为的一个零点，故，解得，又，故，解得，又，所以，故，则，所以.故选：A第二部分非选择题（共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域为______．【答案】【解析】由题意得，解得，故函数定义域为.故答案为：12.已知指数函数的图象过点，则该指数函数的解析式为______．【答案】【解析】设（且），将代入得，解得，负值舍去，故该指数函数的解析式为.故答案为：13.已知命题若为第一象限角，且，则．能说明为假命题的一个的值为______．【答案】（答案不唯一）【解析】因为在上单调递增，若，则，又为第一象限角，取，则，由为假命题，则，令，，则，满足题意.故答案为：（答案不唯一）.14.已知正数满足，则的最大值是______，的最小值是______．【答案】【解析】正数满足，由基本不等式得，即，解得，当且仅当，即时，等号成立，，故，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.15.设，函数给出下列四个结论：①当时，；②当时，存在最小值；③若在区间上单调递增，则的取值范围是；④设记两点之间的距离为，则存在负数，使得．其中所有正确结论的序号是______．【答案】①③④【解析】当时，，，故①正确；当时，时，单调递减，时，单调递增，，则，图象如上所示，所以当时，不存在最小值，故②错；当时，，解得，当时，成立，所以若在区间上单调递增，则的取值范围为，故③正确；当时，取，，，因为，所以，所以存在负数，使得，故④正确.故答案为：①③④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.设集合．（1）若，求的值；（2）在（1）的条件下，求．解：（1）依题意，可知一元二次方程的两个根分别为，2，且．由韦达定理，得，解得，故．（2）由，可得，所以．由（1）知，，所以或，故或．17.已知函数．（1）判断的奇偶性，并证明；（2）在如图所示的平面直角坐标系中，画出的图象，并写出的单调区间；（3）求不等式的解集．解：（1）是偶函数，证明如下：由已知，得的定义域为，关于原点对称．因为，都有，且，所以，故是偶函数.（2）的图象如下图所示．的单调递增区间为，单调递减区间为．（3）因为，且，所以．因为在区间上单调递增，且,所以，解得，或，故的解集为或．18.在平面直角坐标系中，角的顶点为点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点（1）求的值；（2）求的值.解：（1）因为角的终边与单位圆交于点所以解得．因为，所以．由三角函数的定义知，．（2）原式=19.设函数，其中．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，使的解析式唯一确定．（1）求的解析式及单调递增区间：（2）若在区间上的值域为，求的取值范围条件①：的最小正周期为；条件②：；条件③：的图象关于直线对称．解：（1）选条件①②：由条件①知，，所以，即．由条件②知，．因为，所以，所以令，解得，故的单调递增区间为选条件①③：由条件①知，，所以，即．由条件③知，，所以,因为，所以，以下同选条件①②，选条件②③：由条件②知，．因为，所以，即由条件③知，，所以，此时不唯一，不符合要求（2）因为，所以．因为且在区间上的值域为，所以，解得，故的取值范围是20.设函数，其中．（1）当时，求在区间上的最大值和最小值：（2）若在区间上不单调，求的取值范围；（3）若在区间内存在零点，求的取值范围．解：（1）当时，，所以的对称轴为，所以在区间上的最小值为，最大值为．（2）由已知，得的对称轴为．因为在区间上不单调，所以．由，解得，故的取值范围是（3）解法1：由已知，得．1）当即，或时，由，得，此时的零点为3，不符合题意：由，得，此时的零点为，符合题意．2）当即，或时，①若，此时的对称轴且所以区间内存在零点，符合题意②若，此时的对称轴，所以在区间内单调递减．又因为，所以在区间内存在零点只需满足，解得．综上，的取值范围是．解法2：由已知，得的对称轴为，1）当即时，，此时在区间内有零点为，符合题意．2）当即时，，此时在区间内无零点，不符合题意，3）当即，且时，由在区间内存在零点，则有以下两种情况：①，解得，或②解得．综上，的取值范围是．21.设集合其中，且．若集合同时满足下列两个条件，则称集合是集合和谐子集．条件①：；条件②：对集合中任意三个元素不存在，使得．（1）若集合，请判断集合，是否为集合的和谐子集（不需要说明理由）；（2）若集合，集合是集合的和谐子集，且集合中的最小元素是3，求集合中元素个数的最大值：（3）若集合，且集合是集合的和谐子集，求集合中元素个数的最大值．解：（1）对于集合，其中，不满足和谐子集的条件②，所以不是集合的和谐子集.对于集合，满足和谐子集的条件①，且对集合中任意三个元素，不存在，使得，满足条件②，所以是集合的和谐子集.综上所得，集合不是集合的和谐子集，集合是集合的和谐子集.（2）将集合中大于3的元素按照被3除所得的余数进行分类：被3除所得的余数为0的元素有6：被3除所得的余数为1的元素有4，7：被3除所得的余数为2的元素有5，8．因为，所以4与7，5与8不能同时属于集合，否则，或者，与已知矛盾．设为集合中元素的个数，则．构造集合，因为，所以集合是集合的和谐子集，故集合中元素个数的最大值是4.（3）不妨设集合中的最小元素是，则存在唯一非负整数数对，使得，其中．将集合中大于的元素按照被除所得的余数进行分类：被除所得的余数为1的元素有；被除所得的余数为2的元素有；…被除所得的余数为的元素有；被除所得的余数为的元素有；……被除所得的余数为的元素有；被除所得的余数为0的元素有．因为是集合中的最小元素，所以上述各行任意两个相邻元素中，至多有一个元素属于集合．设为不大于的最大整数，则在前行中，每行至多有个元素符合题意，在剩下的行中，每行至多有个元素符合题意，所以构造集合，因为，所以集合是集合的和谐子集，故集合中元素个数的最大值是1013．北京市丰台区2024-2025学年高一上学期期末练习数学试题第一部分选择题（共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为集合，所以.故选：D.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为“”不能推出“”；“”能推出“”，所以，“”是“”的必要不充分条件，故选B.3.下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】B【解析】A选项，不妨设，满足，但，A错误；B选项，，由不等式性质得，B正确；C选项，不妨设，此时满足，但，C错误；D选项，，因为，所以，但不确定的正负，若，则，若，则，若，则，D错误.故选：B4.已知扇形圆心角为2弧度，弧长为，则该扇形的面积为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设扇形的半径为cm，则，则该扇形的面积为.故选：C5.已知，则的大小关系为（）A B. C. D.【答案】A【解析】因为单调递增，所以，又因为，所以.故选：A.6.把的图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，再把所得图象向右平移个单位长度，得到的图象，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】把的图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，可得的函数图像，再把所得图象向右平移个单位长度，可得函数，所以.故选：C.7.近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，已知臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，是自然对数的底数．按照此关系推算，当臭氧含量为初始含量的时，的值约为（）（参考数据：）A.305 B.483 C.717 D.879【答案】C【解析】因为臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，所以当臭氧含量为初始含量的时，得，计算得，化简得，所以.故选：C.8.已知定义在上的奇函数满足，且在区间上单调递减，则下列结论正确的是（）A.B.是以2为周期的周期函数C.在区间上单调递减D.若关于的方程在区间上有两个实数根，分别记为，则【答案】D【解析】对于A，由于函数是定义在上的奇函数，则.由，取可得，故A错误；对于B，因为是定义在上的奇函数，则，又因，则.用替换可得，故有.所以是以为一个周期的周期函数，故B错误；对于C，已知在上单调递减，因是奇函数，故在上也单调递减，即在上单调递减.由于的周期是，那么在上的单调性与上的单调性相同.由可知的图象关于直线对称，所以在上的单调性与上的单调性相反，即在上单调递增，所以在上单调递增，故C错误；对于D，因的图象关于直线对称，且周期可取为，故的图象关于直线对称.若关于的方程在区间上有两个实数根，，根据函数图象的对称性可知，则，故D正确.故选：D.9.已知函数，对，用表示中的最大者，记为．若恒成立，则（）A.的最大值是 B.的最小值是C.的最大值是 D.的最小值是【答案】A【解析】因为时，，故需时，恒成立，故即，所以的最大值是，故选：A.10.已知函数的部分图象如图所示，则（）A. B.-1 C.1 D.【答案】A【解析】，故，因为点是单调递增区间上一点，且，所以，设的最小正周期为，由图象可知，且，解得，，即，解得，其中为的一个零点，故，解得，又，故，解得，又，所以，故，则，所以.故选：A第二部分非选择题（共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域为______．【答案】【解析】由题意得，解得，故函数定义域为.故答案为：12.已知指数函数的图象过点，则该指数函数的解析式为______．【答案】【解析】设（且），将代入得，解得，负值舍去，故该指数函数的解析式为.故答案为：13.已知命题若为第一象限角，且，则．能说明为假命题的一个的值为______．【答案】（答案不唯一）【解析】因为在上单调递增，若，则，又为第一象限角，取，则，由为假命题，则，令，，则，满足题意.故答案为：（答案不唯一）.14.已知正数满足，则的最大值是______，的最小值是______．【答案】【解析】正数满足，由基本不等式得，即，解得，当且仅当，即时，等号成立，，故，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.15.设，函数给出下列四个结论：①当时，；②当时，存在最小值；③若在区间上单调递增，则的取值范围是；④设记两点之间的距离为，则存在负数，使得．其中所有正确结论的序号是______．【答案】①③④【解析】当时，，，故①正确；当时，时，单调递减，时，单调递增，，则，图象如上所示，所以当时，不存在最小值，故②错；当时，，解得，当时，成立，所以若在区间上单调递增，则的取值范围为，故③正确；当时，取，，，因为，所以，所以存在负数，使得，故④正确.故答案为：①③④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.设集合．（1）若，求的值；（2）在（1）的条件下，求．解：（1）依题意，可知一元二次方程的两个根分别为，2，且．由韦达定理，得，解得，故．（2）由，可得，所以．由（1）知，，所以或，故或．17.已知函数．（1）判断的奇偶性，并证明；（2）在如图所示的平面直角坐标系中，画出的图象，并写出的单调区间；（3）求不等式的解集．解：（1）是偶函数，证明如下：由已知，得的定义域为，关于原点对称．因为，都有，且，所以，故是偶函数.（2）的图象如下图所示．的单调递增区间为，单调递减区间为．（3）因为，且，所以．因为在区间上单调递增，且,所以，解得，或，故的解集为或．18.在平面直角坐标系中，角的顶点为点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点（1）求的值；（2）求的值.解：（1）因为角的终边与单位圆交于点所以解得．因为，所以．由三角函数的定义知，．（2）原式=19.设函数，其中．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，使的解析式唯一确定．（1）求的解析式及单调递增区间：（2）若在区间上的值域为，求的取值范围条件①：的最小正周期为；条件②：；条件③：的图象关于直线对称．解：（1）选条件①②：由条件①知，，所以，即．由条件②知，．因为，所以，所以令，解得，故的单调递增区间为选条件①③：由条件①知，，所以，即．由条件③知，，所以,因为，所以，以下同选条件①②，选条件②③：由条件②知，．因为，所以，即由条件③知，，所以，此时不唯一，不符合要求（2）因为，所以．因为且在区间上的值域为，所以，解得，故的取值范围是20.设函数，其中．（1）当时，求在区间上的最大值和最小值：（2）若在区间上不单调，求的取值范围；（3）若在区间内存在零点，求的取值范围．解：（1）当时，，所以的对称轴为，所以在区间上的最小值为，最大值为．（2）由已知，得的对称轴为．因为在区间上不单调，所以．由，解得，故的取值范围是（3）解法1：由已知，得．1）当即，或时，由，得，此时的零点为3，不符合题意：由，得，此时的零点为，符合题意．2）当即，或时，①若，此时的对称轴且所以区间内存在零点，符合题意②若，此时的对称轴，所以在区间内单调递减．又因为，所以在区间内存在零点只需满足，解得．综上，的取值范围是．解法2：由已知，得的对称轴为，1）当即时，，此时在区间内有零点为，符合题意．2）当即时，，