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高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市丰台区2024-2025学年高一上学期期末练习数学试题第一部分选择题(共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合,则()A. B.C. D.【答案】D【解析】因为集合,所以.故选:D.2.“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为“”不能推出“”;“”能推出“”,所以,“”是“”的必要不充分条件,故选B.3.下列命题为真命题的是()A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则【答案】B【解析】A选项,不妨设,满足,但,A错误;B选项,,由不等式性质得,B正确;C选项,不妨设,此时满足,但,C错误;D选项,,因为,所以,但不确定的正负,若,则,若,则,若,则,D错误.故选:B4.已知扇形圆心角为2弧度,弧长为,则该扇形的面积为()A. B.C. D.【答案】C【解析】设扇形的半径为cm,则,则该扇形的面积为.故选:C5.已知,则的大小关系为()A B. C. D.【答案】A【解析】因为单调递增,所以,又因为,所以.故选:A.6.把的图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),再把所得图象向右平移个单位长度,得到的图象,则()A. B.C. D.【答案】C【解析】把的图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),可得的函数图像,再把所得图象向右平移个单位长度,可得函数,所以.故选:C.7.近年来,家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层,已知臭氧含量与时间(单位:年)的关系为,其中是臭氧的初始含量,是自然对数的底数.按照此关系推算,当臭氧含量为初始含量的时,的值约为()(参考数据:)A.305 B.483 C.717 D.879【答案】C【解析】因为臭氧含量与时间(单位:年)的关系为,所以当臭氧含量为初始含量的时,得,计算得,化简得,所以.故选:C.8.已知定义在上的奇函数满足,且在区间上单调递减,则下列结论正确的是()A.B.是以2为周期的周期函数C.在区间上单调递减D.若关于的方程在区间上有两个实数根,分别记为,则【答案】D【解析】对于A,由于函数是定义在上的奇函数,则.由,取可得,故A错误;对于B,因为是定义在上的奇函数,则,又因,则.用替换可得,故有.所以是以为一个周期的周期函数,故B错误;对于C,已知在上单调递减,因是奇函数,故在上也单调递减,即在上单调递减.由于的周期是,那么在上的单调性与上的单调性相同.由可知的图象关于直线对称,所以在上的单调性与上的单调性相反,即在上单调递增,所以在上单调递增,故C错误;对于D,因的图象关于直线对称,且周期可取为,故的图象关于直线对称.若关于的方程在区间上有两个实数根,,根据函数图象的对称性可知,则,故D正确.故选:D.9.已知函数,对,用表示中的最大者,记为.若恒成立,则()A.的最大值是 B.的最小值是C.的最大值是 D.的最小值是【答案】A【解析】因为时,,故需时,恒成立,故即,所以的最大值是,故选:A.10.已知函数的部分图象如图所示,则()A. B.-1 C.1 D.【答案】A【解析】,故,因为点是单调递增区间上一点,且,所以,设的最小正周期为,由图象可知,且,解得,,即,解得,其中为的一个零点,故,解得,又,故,解得,又,所以,故,则,所以.故选:A第二部分非选择题(共110分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.11.函数的定义域为______.【答案】【解析】由题意得,解得,故函数定义域为.故答案为:12.已知指数函数的图象过点,则该指数函数的解析式为______.【答案】【解析】设(且),将代入得,解得,负值舍去,故该指数函数的解析式为.故答案为:13.已知命题若为第一象限角,且,则.能说明为假命题的一个的值为______.【答案】(答案不唯一)【解析】因为在上单调递增,若,则,又为第一象限角,取,则,由为假命题,则,令,,则,满足题意.故答案为:(答案不唯一).14.已知正数满足,则的最大值是______,的最小值是______.【答案】【解析】正数满足,由基本不等式得,即,解得,当且仅当,即时,等号成立,,故,所以,当且仅当,即时,等号成立,故的最小值为.15.设,函数给出下列四个结论:①当时,;②当时,存在最小值;③若在区间上单调递增,则的取值范围是;④设记两点之间的距离为,则存在负数,使得.其中所有正确结论的序号是______.【答案】①③④【解析】当时,,,故①正确;当时,时,单调递减,时,单调递增,,则,图象如上所示,所以当时,不存在最小值,故②错;当时,,解得,当时,成立,所以若在区间上单调递增,则的取值范围为,故③正确;当时,取,,,因为,所以,所以存在负数,使得,故④正确.故答案为:①③④.三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.设集合.(1)若,求的值;(2)在(1)的条件下,求.解:(1)依题意,可知一元二次方程的两个根分别为,2,且.由韦达定理,得,解得,故.(2)由,可得,所以.由(1)知,,所以或,故或.17.已知函数.(1)判断的奇偶性,并证明;(2)在如图所示的平面直角坐标系中,画出的图象,并写出的单调区间;(3)求不等式的解集.解:(1)是偶函数,证明如下:由已知,得的定义域为,关于原点对称.因为,都有,且,所以,故是偶函数.(2)的图象如下图所示.的单调递增区间为,单调递减区间为.(3)因为,且,所以.因为在区间上单调递增,且,所以,解得,或,故的解集为或.18.在平面直角坐标系中,角的顶点为点,始边与轴非负半轴重合,终边与单位圆交于点(1)求的值;(2)求的值.解:(1)因为角的终边与单位圆交于点所以解得.因为,所以.由三角函数的定义知,.(2)原式=19.设函数,其中.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件,使的解析式唯一确定.(1)求的解析式及单调递增区间:(2)若在区间上的值域为,求的取值范围条件①:的最小正周期为;条件②:;条件③:的图象关于直线对称.解:(1)选条件①②:由条件①知,,所以,即.由条件②知,.因为,所以,所以令,解得,故的单调递增区间为选条件①③:由条件①知,,所以,即.由条件③知,,所以,因为,所以,以下同选条件①②,选条件②③:由条件②知,.因为,所以,即由条件③知,,所以,此时不唯一,不符合要求(2)因为,所以.因为且在区间上的值域为,所以,解得,故的取值范围是20.设函数,其中.(1)当时,求在区间上的最大值和最小值:(2)若在区间上不单调,求的取值范围;(3)若在区间内存在零点,求的取值范围.解:(1)当时,,所以的对称轴为,所以在区间上的最小值为,最大值为.(2)由已知,得的对称轴为.因为在区间上不单调,所以.由,解得,故的取值范围是(3)解法1:由已知,得.1)当即,或时,由,得,此时的零点为3,不符合题意:由,得,此时的零点为,符合题意.2)当即,或时,①若,此时的对称轴且所以区间内存在零点,符合题意②若,此时的对称轴,所以在区间内单调递减.又因为,所以在区间内存在零点只需满足,解得.综上,的取值范围是.解法2:由已知,得的对称轴为,1)当即时,,此时在区间内有零点为,符合题意.2)当即时,,此时在区间内无零点,不符合题意,3)当即,且时,由在区间内存在零点,则有以下两种情况:①,解得,或②解得.综上,的取值范围是.21.设集合其中,且.若集合同时满足下列两个条件,则称集合是集合和谐子集.条件①:;条件②:对集合中任意三个元素不存在,使得.(1)若集合,请判断集合,是否为集合的和谐子集(不需要说明理由);(2)若集合,集合是集合的和谐子集,且集合中的最小元素是3,求集合中元素个数的最大值:(3)若集合,且集合是集合的和谐子集,求集合中元素个数的最大值.解:(1)对于集合,其中,不满足和谐子集的条件②,所以不是集合的和谐子集.对于集合,满足和谐子集的条件①,且对集合中任意三个元素,不存在,使得,满足条件②,所以是集合的和谐子集.综上所得,集合不是集合的和谐子集,集合是集合的和谐子集.(2)将集合中大于3的元素按照被3除所得的余数进行分类:被3除所得的余数为0的元素有6:被3除所得的余数为1的元素有4,7:被3除所得的余数为2的元素有5,8.因为,所以4与7,5与8不能同时属于集合,否则,或者,与已知矛盾.设为集合中元素的个数,则.构造集合,因为,所以集合是集合的和谐子集,故集合中元素个数的最大值是4.(3)不妨设集合中的最小元素是,则存在唯一非负整数数对,使得,其中.将集合中大于的元素按照被除所得的余数进行分类:被除所得的余数为1的元素有;被除所得的余数为2的元素有;…被除所得的余数为的元素有;被除所得的余数为的元素有;……被除所得的余数为的元素有;被除所得的余数为0的元素有.因为是集合中的最小元素,所以上述各行任意两个相邻元素中,至多有一个元素属于集合.设为不大于的最大整数,则在前行中,每行至多有个元素符合题意,在剩下的行中,每行至多有个元素符合题意,所以构造集合,因为,所以集合是集合的和谐子集,故集合中元素个数的最大值是1013.北京市丰台区2024-2025学年高一上学期期末练习数学试题第一部分选择题(共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合,则()A. B.C. D.【答案】D【解析】因为集合,所以.故选:D.2.“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为“”不能推出“”;“”能推出“”,所以,“”是“”的必要不充分条件,故选B.3.下列命题为真命题的是()A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则【答案】B【解析】A选项,不妨设,满足,但,A错误;B选项,,由不等式性质得,B正确;C选项,不妨设,此时满足,但,C错误;D选项,,因为,所以,但不确定的正负,若,则,若,则,若,则,D错误.故选:B4.已知扇形圆心角为2弧度,弧长为,则该扇形的面积为()A. B.C. D.【答案】C【解析】设扇形的半径为cm,则,则该扇形的面积为.故选:C5.已知,则的大小关系为()A B. C. D.【答案】A【解析】因为单调递增,所以,又因为,所以.故选:A.6.把的图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),再把所得图象向右平移个单位长度,得到的图象,则()A. B.C. D.【答案】C【解析】把的图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),可得的函数图像,再把所得图象向右平移个单位长度,可得函数,所以.故选:C.7.近年来,家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层,已知臭氧含量与时间(单位:年)的关系为,其中是臭氧的初始含量,是自然对数的底数.按照此关系推算,当臭氧含量为初始含量的时,的值约为()(参考数据:)A.305 B.483 C.717 D.879【答案】C【解析】因为臭氧含量与时间(单位:年)的关系为,所以当臭氧含量为初始含量的时,得,计算得,化简得,所以.故选:C.8.已知定义在上的奇函数满足,且在区间上单调递减,则下列结论正确的是()A.B.是以2为周期的周期函数C.在区间上单调递减D.若关于的方程在区间上有两个实数根,分别记为,则【答案】D【解析】对于A,由于函数是定义在上的奇函数,则.由,取可得,故A错误;对于B,因为是定义在上的奇函数,则,又因,则.用替换可得,故有.所以是以为一个周期的周期函数,故B错误;对于C,已知在上单调递减,因是奇函数,故在上也单调递减,即在上单调递减.由于的周期是,那么在上的单调性与上的单调性相同.由可知的图象关于直线对称,所以在上的单调性与上的单调性相反,即在上单调递增,所以在上单调递增,故C错误;对于D,因的图象关于直线对称,且周期可取为,故的图象关于直线对称.若关于的方程在区间上有两个实数根,,根据函数图象的对称性可知,则,故D正确.故选:D.9.已知函数,对,用表示中的最大者,记为.若恒成立,则()A.的最大值是 B.的最小值是C.的最大值是 D.的最小值是【答案】A【解析】因为时,,故需时,恒成立,故即,所以的最大值是,故选:A.10.已知函数的部分图象如图所示,则()A. B.-1 C.1 D.【答案】A【解析】,故,因为点是单调递增区间上一点,且,所以,设的最小正周期为,由图象可知,且,解得,,即,解得,其中为的一个零点,故,解得,又,故,解得,又,所以,故,则,所以.故选:A第二部分非选择题(共110分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.11.函数的定义域为______.【答案】【解析】由题意得,解得,故函数定义域为.故答案为:12.已知指数函数的图象过点,则该指数函数的解析式为______.【答案】【解析】设(且),将代入得,解得,负值舍去,故该指数函数的解析式为.故答案为:13.已知命题若为第一象限角,且,则.能说明为假命题的一个的值为______.【答案】(答案不唯一)【解析】因为在上单调递增,若,则,又为第一象限角,取,则,由为假命题,则,令,,则,满足题意.故答案为:(答案不唯一).14.已知正数满足,则的最大值是______,的最小值是______.【答案】【解析】正数满足,由基本不等式得,即,解得,当且仅当,即时,等号成立,,故,所以,当且仅当,即时,等号成立,故的最小值为.15.设,函数给出下列四个结论:①当时,;②当时,存在最小值;③若在区间上单调递增,则的取值范围是;④设记两点之间的距离为,则存在负数,使得.其中所有正确结论的序号是______.【答案】①③④【解析】当时,,,故①正确;当时,时,单调递减,时,单调递增,,则,图象如上所示,所以当时,不存在最小值,故②错;当时,,解得,当时,成立,所以若在区间上单调递增,则的取值范围为,故③正确;当时,取,,,因为,所以,所以存在负数,使得,故④正确.故答案为:①③④.三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.设集合.(1)若,求的值;(2)在(1)的条件下,求.解:(1)依题意,可知一元二次方程的两个根分别为,2,且.由韦达定理,得,解得,故.(2)由,可得,所以.由(1)知,,所以或,故或.17.已知函数.(1)判断的奇偶性,并证明;(2)在如图所示的平面直角坐标系中,画出的图象,并写出的单调区间;(3)求不等式的解集.解:(1)是偶函数,证明如下:由已知,得的定义域为,关于原点对称.因为,都有,且,所以,故是偶函数.(2)的图象如下图所示.的单调递增区间为,单调递减区间为.(3)因为,且,所以.因为在区间上单调递增,且,所以,解得,或,故的解集为或.18.在平面直角坐标系中,角的顶点为点,始边与轴非负半轴重合,终边与单位圆交于点(1)求的值;(2)求的值.解:(1)因为角的终边与单位圆交于点所以解得.因为,所以.由三角函数的定义知,.(2)原式=19.设函数,其中.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件,使的解析式唯一确定.(1)求的解析式及单调递增区间:(2)若在区间上的值域为,求的取值范围条件①:的最小正周期为;条件②:;条件③:的图象关于直线对称.解:(1)选条件①②:由条件①知,,所以,即.由条件②知,.因为,所以,所以令,解得,故的单调递增区间为选条件①③:由条件①知,,所以,即.由条件③知,,所以,因为,所以,以下同选条件①②,选条件②③:由条件②知,.因为,所以,即由条件③知,,所以,此时不唯一,不符合要求(2)因为,所以.因为且在区间上的值域为,所以,解得,故的取值范围是20.设函数,其中.(1)当时,求在区间上的最大值和最小值:(2)若在区间上不单调,求的取值范围;(3)若在区间内存在零点,求的取值范围.解:(1)当时,,所以的对称轴为,所以在区间上的最小值为,最大值为.(2)由已知,得的对称轴为.因为在区间上不单调,所以.由,解得,故的取值范围是(3)解法1:由已知,得.1)当即,或时,由,得,此时的零点为3,不符合题意:由,得,此时的零点为,符合题意.2)当即,或时,①若,此时的对称轴且所以区间内存在零点,符合题意②若,此时的对称轴,所以在区间内单调递减.又因为,所以在区间内存在零点只需满足,解得.综上,的取值范围是.解法2:由已知,得的对称轴为,1)当即时,,此时在区间内有零点为,符合题意.2)当即时,,
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