湖北省云学名校联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷（含答案）

湖北省云学名校联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知limΔx→0f(3+Δx)−f(3−Δx)ΔxA．－1 B．1 C．2 D．42．已知数列{an}满足aA．20232024 B．20242023 C．202420253．已知圆O:x2+yA．12 B．45 C．14．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行恩施高中2022级数学竞赛决赛，决出第1名到第5名的名次，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗域，你没有获得冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有（）种不同的情况．A．54 B．72 C．78 D．845．如图，在“杨辉三角”中从左往右第3斜行的数构成一个数列：1,A．66 B．120 C．165 D．2206．若不等式(a−b)2+(eaA．(−∞,12] B．(−∞,27．已知函数f(x)=ax−4,x>5(5−a)x−11,x≤5，数列{A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分又不必要8．已知x=6−ln27A．z<x<y B．x<z<y C．z<y<x D．y<z<x二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知数列{an}，其前n项和记为SA．若{an}是等差数列，且B．若{an}是等差数列，且C．若{an}是等比数列，且SnD．若{an}10．关于多项式[2(x−1A．各项系数之和为1 B．存在无理项C．常数项为400 D．x311．已知函数f(x)A．函数y=f(xB．曲线y=f(x)C．若x1∈R,xD．若x>0时，f(kx三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．今天是星期四，那么4849天后是星期13．一个乒乓球从1m高的桌面上落下，每次反弹的高度都是原来高度的12，则乒乓球至少在第次着地时，它所经过的总路程会超过18914．曲线f(x)=x+lnx在点(1,1)处的切线方程为；若当x≥1时，a[f(x)+1]≤ex−1+(2a−1)x四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．编号为1,（1）现随机从某个盒子里摸2个球，则在选到2号盒子条件下，摸出的两个球都是白球的概率是多少？（2）现随机从某个盒子里摸1个球，若摸出的球是白色，则这个球来自2号盒子的概率是多少？16．已知等差数列{an}的前n项和为（1）求数列{a（2）设bn=(−1)n⋅an17．已知函数f(x)=（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若过原点可以作两条直线与函数f(x)的图象相切，求a的取值范围．18．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an−2.数列{（1）求数列{a（2）若cn=anbn，设数列{cn}19．18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（BrookTaylor）发现的泰勒公式（又称夌克劳林公式）有如下特殊形式：当f(x)在x=0处的n(n∈N*)阶导数都存在时，f(x)=f(0)+f'(0)⋅x+f″(0)2!⋅x（1）根据公式估计cos1（2）由公式可得：sinx=x−x33!+x5（3）已知n∈N*，证明：

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：因为limΔx→0f(3+Δx)−f(3−Δx)Δx故答案为：B．【分析】根据导数的定义求解即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：因为数列{an}满足a1=2，an=2−故答案为：D.【分析】根据数列的递推式，求数列的前几项式，观察即可求得a20243．【答案】C【解析】【解答】解：易知圆O的圆心为O(0,0)，半径为5，

因为2所以过P点的最短弦长为225−42故答案为：C.【分析】由直线与圆的位置关系求出最短弦长和最长弦长，再利用等差数列基本量运算求解即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：甲、乙、丙、丁、戊5名同学排名有A5甲是第一名有A44种情况；乙是最后一名有A4故答案为：C．【分析】利用间接法，结合排列计算即可.5．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可知：数列的前10项分别为C2则C2故答案为：D．【分析】由题意可知数列的前10项分别为C26．【答案】C【解析】【解答】解：(a−b)2+(ea画出y=ex与y=lnx的图象，如图所示：函数y=ex的导函数为y=ex，在且在A(0,1)切线方程为y−1=x，即函数y=lnx(x>0)的导函数为y=1x，在且在B(1,0)切线方程为y=x−1，因为y=x+1与所以y=x+1与y=x−1之间的距离为|1+1|2=2故答案为：C．【分析】问题转化为求动点(a,ea)与动点(b,7．【答案】B【解析】【解答】解：因为{an}满足an=f(n),n∈N*，且为递增数列，所以a>1故答案为：B．【分析】由{an}8．【答案】A【解析】【解答】解：x=6−ln27构造函数f(x)=lnxx定义域为0，+∞，则当f'(x)>0时，0<x<e，函数当f'(x)<0时，x>e，函数因为2<e23<e，e<3<4，结合函数f(x)=lnx再构造函数F(x)=f(x)−f(e求导可得F'所以F(x)在x∈(0,e)上单调递增，因为0<e即f(e23)−f(3)<0，所以综上：z<x<y.故答案为：A．【分析】构造函数f(x)=lnxx，利用函数单调性可得z<x且z<y；再构造函数F(x)=f(x)−f(e2x9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、等差数列{an}是常数列，且aB、等差数列{an}是常数列，且Sn=n当差数列{an}公差不为0时，SC、{an}是等比数列，当q≠1D、当q=−1时，S2=0，则故答案为：ACD．【分析】当等差数列{an}是常数列时，a1+a2=a3+a410．【答案】A,D【解析】【解答】解：多项式[2(x−1x)+1]5展开式的通项为A、令x=1，则[2(x−1B、因为展开式的通项公式中k,C、常数项中x的次数为0，则k=r=0或k=r=1或k=r=2，

则a0D、x3的系数即a3,故答案为：AD．【分析】由二项展开式的通项公式，令x=1即可判断A；因为k,r∈N，故所有项中没有无理数，即可判断B；令k=r=0或k=r=1或k=r=2，即可判断C；令k=3，r=0或11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A、函数的极值点是使函数取得极大值、极小值的x值，故A错误；B、令公切线与曲线y=f(x)相切的切点为(x0而f'(x)=ex曲线y=g(x)在(s,ln消去x0得slns−lns−s−1=0显然函数φ'(s)在则存在s0∈(1当0<s<s0时，φ'(s)<0，φφ(s)min=φ(s0)=s0lns0−ln(s1,lns1),(s则两条公切线关于直线y=x对称，与曲线y=f(x)两条切线斜率的积为lnsC、令f(x1)=g显然h'(t)=则∃t0∈(12,1)使得h从而h(D、x>0,ekx而函数y=x+ex在R上单调递增，于是kx≥lnx2对令u(x)=2lnxx，求导得u'当x>e时，u'(x)<0，u故答案为：BCD.【分析】利用极值点的定义即可判断A；设出切点坐标，求出切线方程结合已知构造函数，借助函数零点个数即可判断B；令f(x112．【答案】三【解析】【解答】解：4849=故答案为：三．【分析】将4849拆成13．【答案】7【解析】【解答】解：由题意可得：第n(Sn因为S6=188故答案为：7.【分析】计算乒乓球第n次着地时经过的总路程，根据等比数列的前n项和公式求解即可.14．【答案】y=2x−1；a≥−1【解析】【解答】解：函数f(x)=x+lnx的定义域为0，+∞，f'(x)=1+1x，则f'(1)=2，令m(x)=lnx−x+1，则m'(x)=1x−1=1−xx，

当m'(x)<0时，x>1，则m(x)在所以m(x)max=m(1)=0，即ln所以lnx≤x−1(x≥1)恒成立，原不等式可化简为alnx+x≤ex−1+a(x−1)令g(x)=ex+ax，则g(lnx)≤g(x−1)，又lnx≤x−1(x≥1)恒成立，

所以g(x)所以g'(x)=ex+a≥0在(0,+∞)故答案为：y=2x−1；a≥−1．【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，利用导数证明lnx≤x−1(x≥1)恒成立，将不等式同构为alnx+elnx≤ex−1+a(x−1)，令g(x)=ex+ax，依题意只需15．【答案】（1）解：设A=“选到2号盒子”，B=“摸到的两个球都是白球”，则P(B∣A)=C（2）解：设Ci=“先选到第i号盒子”则P(C1)=P(C2)=P(C则P(D)=P(CP(C2∣D)=【解析】【分析】（1）由题意，利用条件概率公式直接求解即可；（2）先利用全概率公式求解事件“摸出白球”的概率，再利用条件概率公式求解即可.16．【答案】（1）解：设等差数列{an}的首项为a因为S4=4S化简得d=2a1d=所以数列{an}（2）解：bn=(所以Tn整理得Tn【解析】【分析】（1）由等差数列的通项公式以及前n项和公式构成方程组即可求得{a（2）将原式变形为bn17．【答案】（1）解：函数f(x)=e2x−(2a+1)ex当a≤0时，ex所以f(x)在(−∞,−ln2)上单调递减，在当0<a<12时，f'所以f(x)在(−∞,lna)和(−ln2,当a=12时，f'(x)≥0恒成立，所以当a>12时，f'所以f(x)在(−∞,−ln2)和(lna,综上所述：当a≤0时，f(x)在(−∞,−ln2)上单调递减，在当0<a<12时，f(x)在(−∞,lna)和当a=12时，f(x)在当a>12时，f(x)在(−∞,−ln2)和（2）解：设切点为(x0代入原点可得−e整理可得(2x由题意可知方程有两个根，并且x0当x0≠1时，方程化简为：令g(x)=2x−1g'(x)>0⇒x<0或x>3所以g(x)在(−∞,0)和(32,+∞)上单调递增，在(0,由图象可知0<2a+1<1或2a+1>4e32，解得：−【解析】【分析】（1）先求函数的定义域以及函数的导函数，再对a分类讨论可求函数f(x)的单调区间即可；（2）设切点为(x0,y0)，求得切线方程y−e18．【答案】（1）解：对于数列{an}，当n=1时，S当n≥2时，Sn−1=2a所以{an}是以a对于数列{bn}，当n=1时，1n≥2时，1b与原式作差可得bn+1因为b2−b所以{bn}是以b（2）解：由（1）可知cn所以Hn所以2H两式作差可得−H所以Hn所以(n−1)⋅2n+1+2−[n−当n=2k,k∈N+时，当n=2k−1,k∈N+时，综上可得：−1【解析】【分析】（1）根据Sn与an的关系，作差结合等比数列定义即可求得an=2n，当（2）先利用错位相减法求得Hn=(n−1)⋅219．【答案】（1）解：记f(x)=cosx，则f'显然，当x=12时，关于n的函数则1−18=0（2）证明：令g(x)=sinx−(x−x36)(x>0)，则g'(x)=cosx−1+12x2,g″(x)=−sinx+