第2节-平面向量基本定理及坐标表示

第2节平面向量基本定理及坐标表示[学习目标]1.理解平面向量基本定理及其意义.2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.4.能用坐标表示平面向量共线的条件.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个

向量,那么对于这一平面内的任一向量a,

一对实数λ1,λ2,使a=

.若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个

.不共线有且只有λ1e1+λ2e2基底平面内不共线向量都可以作为基底,反之亦然.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个

的向量,叫做把向量作正交分解.3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=

,a-b=

,λa=

,|a|=.互相垂直(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(λx1,λy1)(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.(x2-x1,y2-y1)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量,无论起点在什么位置,它们的坐标都是相同的.4.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b⇔

.x1y2-x2y1=0√1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底.(

)(2)设a,b是平面内的一个基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.(

)(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可以表示成.(

)(4)平面向量不论经过怎样的平移变换其坐标不变.(

)××√2.(多选题)下列各组向量中,可以作为基底的是(

)A.e1=(0,0),e2=(1,-2)B.e1=(-1,2),e2=(5,7)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,3),e2=√√3.已知向量a=(4,2),b=(x,3),且a∥b,则x的值是(

)A.-6 B.6 C.9 D.12√解析:因为a∥b,所以4×3-2x=0,所以x=6.故选B.4.已知向量a=(1,2),b=(-1,2),则|3a-b|=

.

解析:因为向量a=(1,2),b=(-1,2),所以3a-b=3(1,2)-(-1,2)=(4,4),所以|3a-b|=5.设{e1,e2}是平面内所有向量的一个基底,则向量a=e1+λe2与b=-e1+2e2共线的充要条件是λ=

.

-2解析:依题意a与b共线,应满足a=mb(m∈R),即e1+λe2=m(-e1+2e2),又e1,e2不共线,所以解得λ=-2.02提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一平面向量基本定理的应用[例1](1)如果e1,e2是平面α内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一个基底的是(

)A.e1与e1+e2 B.e1-2e2与e1+2e2C.e1+e2与e1-e2 D.e1+3e2与6e2+2e1√√平面向量基本定理的实质及应用思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一个基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.[针对训练](1)(2024·浙江绍兴模拟)在△ABC中,D是线段BC上一点,满足BD=2DC,M是线段AD的中点,设,则(

)√考点二平面向量的坐标运算√解析:(1)建立如图所示的平面直角坐标系,则D(0,0).不妨设AB=1,则CD=AD=2,所以C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),(4,7)(1)巧借方程思想求坐标:若已知向量两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中注意方程思想的应用.(2)向量问题坐标化:向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可以用坐标来进行,实现了向量运算的代数化,将数与形结合起来,使几何问题转化为数量运算问题.[针对训练](1)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且,则顶点D的坐标为(

)A.(2,) B.(2,-)C.(3,2) D.(1,3)√(-3,2)(-6,21)考点三平面向量共线的坐标表示[例3](1)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=

.

解析:(1)由题意得2a+b=(4,2),因为c=(1,λ),c∥(2a+b),所以4λ-2=0,解得λ=.(1)向量共线的两种表示形式设a=(x1,y1),b=(x2,y2):①a∥b⇒a=λb(b≠0);②a∥b⇔x1y2-x2y1=0.至于使用哪种形式,应视题目的具体条件而定,一般情况涉及坐标的应用②.(2)两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行),可解决三点共线的问题;另外,利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组),求出未知数的值.[针对训练](1)已知向量e1=(1,1),e2=(0,1),若a=e1+λe2与b=-(2e1-3e2)共线,则实数λ=

.

解析:(1)由题意知a=e1+λe2=(1,1+λ),b=-(2e1-3e2)=(-2