河南省郑州市2023届高三三模文科数学试题（含答案解析）

河南省郑州市2023届高三三模文科数学试题

学校：.姓名:班级:考号:

一、单选题

己知集合A=卜|五4彳，B=[JlogyM2}

1.，则AB=()

A.«A0<A<—>B.xA—<A<2>

44

C.A—<X<16D.1x|0<x<2}

4

2.已知复数23+12+八+i2M（i为虚数单位），则复数Z+i在包:平面内对应的点

位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

x-y+2>0.

3.已知实数x,y满足x+y-3W0,则目标函数z=2x+4y的最大值为（）

[x-3y-3<0,

A.6B.8C.10D.11

4.在区间[6兀]上随机取一个数X,则事件“sinx+Gcosx>G”发生的概率为（

9

A-5&3D-i

5.点（4,0）到双曲线「：「一亲_=1（〃>（）力>0）的一条渐近线的距离为则双曲线

的离心率为（）

5限4

A.B.-D.5

123QI

已知函数/（"=1”奴）+（的最小值为2,则的值为（）

6.

A.e-1

C.2+-D.e+l

7.在,ABC中，满足9sin2A+6cosA=10,且"=3,BC=2限,则AC=()

A.3B.4C.5D.6

8.把函数y=/（x）图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再把所得

曲线向右平移:个单位长度，得到函数…史-青的图象，则〃"=（）

3/

15兀B.sin"总

A.sin-x+—

212

C.sinf2x+—I兀

D.sin—x-----

I12212

9.已知函数〃x)=cos2x-cosx,xe[O,27t],对于下述四个结论:

□函数y=/(x)的零点有三个；□函数y=/(x)关于尸兀对称;

二函数y=的最大值为2；□函数y=的最小值为0.

其中正确结论的个数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.如图，函数/(“二等与在区间[-2,2]上的图象大致为()

e+e

H.设5，6为椭圆£+今=1(。>/,>0)的左、右焦点，点/为椭圆的上顶点，点8

在椭圆上且满足々人=5行3,则椭圆的离心率为()

A.也B.yC.\D.是

2233

12.已知函数〃x)=?-aY+alnx,若了⑴之。在定义域内恒成立，则实数。的取值范

围为()

A.(-co,e2JB.[e2,+co)

C.~,e]D.(fl]

二、填空题

13.已知等差数列｛%｝的前〃项和为5“，且S“=/,则/=.

14.已知点O为坐标原点，。4二(11)，0打=(-3,4),点尸在线段48上，且,4=1,

则点夕的坐标为.

试卷第2页，共4页

15.已知点A(-24)I(T0),C(2,3),ZXa,2)四点共圆，则点。到坐标原点。的距离为

16.在长方体中ABC。-A4GQ］中，AB=AAy=\t月。=2,河是棱4G的中点，过点

B,M,A的平面。交棱力。于点M点，为线段RN上一动点，则三棱锥P-8曲0外

接球表面积的最小值为.

三、解答题

17.2023U.I.M.FI摩托艇世界锦标赛中国郑州大奖赛于2023年4月29口~30日在郑

东新区龙湖水域举办.这场世界瞩目的国际体育赛事在风光迤迦的龙湖上演绎了速度与

激情，全面展示了郑州现代化国家中心城市的活力与魅力.为让更多的人了解体育运动

项目和体育精神，某大学社团举办了相关项目的知识竞赛，并从中随机抽取了100名学

生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图.

(I)求频率分布直方图中成绩的平均数和中位数(同一组数据用该组区间的中点值代替);

(2)若先采用分层抽样的方法从成绩在［80,90),［90,100］的学生中共抽取6人，再从这6

人中随机抽取2人为赛事志愿者，求这2名志愿者中至少有一人的成绩在［90,100］的概

率.

如图，在四楂锥"一ABCDrfi,PD^^ABCD,ABHDC.AD3AB,PD=DC=4,

AB=AD=2.

(I)证明：平面PBC人平面P8O；

⑵求点O到平面P8c的距离.

19.己知数列｛4｝满足：4=3,

(1)求数列乩｝的通项公式;

z，

⑵令勿=%-1+(-1)log2(^f-l),求数歹lj也｝的前〃项和7；.

20.已知函数/(x)=xlnx+a-aY(aeR).

⑴若”=1,求函数/("的极值;

(2)若函数/(x)在区间［Lc］上有且只有一个零点，求实数4的范围.

21.已知抛物线。：)，2=4%上一点44,4)关于动点用(〃?,0)(〃7<12)的对称点为3,过

点8的直线/与抛物线C交于。，E两点，且B为D,石的中点.

(I)当直线/过坐标原点。时，求直线/的方程;

(2)求VADE面积的最大值.

22.在直角坐标系xQy中，曲线C的方程为X=J—)，2+2)，,曲线C2的参数方程为

x=Vicos”应sin*(程为参数).以坐标原点°为极点一轴正半轴为极轴建立极

y=cos^-sin^>

坐标系.

⑴求曲线G，G的极坐标方程;

(2)若曲线G：〃=a分别交曲线G，C2(不包括极点)于4、B两点,求空

1O|(JDI

的最大值.

23.已知正实数a,b,c.

⑴若x—,z是正实数，求证：《+眩+《2@±立；

xyzx+y+z

⑵求‘Y+产+上的最小值.

a+bb+cc+a

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.c

【分析】依次解不等式求集合4、&再求交集即可.

■r1\

【详解】由题意可得：\/^<4=>xe[0J6]jog,x<2=log,-,+cc,

224L4/

故A「B=116,即C正确：

.4_

故选：C

2.B

【分析】通过题意找出产"+产+2+i4"3+产+4=i_]_i+[=。的一般规律，再化简原式写出复

数Z+i在复平面内对应的点的坐标判断象限即可.

2

【详解】因为i4"“=i,F+2=i=_i4"3=,3=T,i4/4=i4=1>

所以i4W+，+产以内乩+3+产+4=i_]_j+1=0,

由于2023=4x505+3,所以i+i?+[3+…+]==i+i2+i3=i_]T=_].

所以z+i=-l+i，

故复数z+i在复平面内对应的点坐标为(-U),位于第二象限.

故选：B.

3.D

【分析】由约束条件作出可行域，将问题转化为求直线在)’轴上的截距的最大值

即可.

【详解】由约束条件作出可行域如图所示：

由图可知,由｛x"—-y+32=。0解得七(15]

由z=2x+4y,得y=V+(,

答案第1页，共13页

由图可知，当直线），=-]+（过A点时，

直线在y轴上的截距最大，即z有最大值为11.

故选：D

4.A

【分析】根据三角函数的性质及几何概型计算即可.

n

【详解】sinx+V3cosx>>/3<=>2sinx+—＞6解得问2呜+2履（kwZ）,

3

则在区间[（）,可上，口最满足条件,

Tt

故事件“sinx+\/5cosx>发生的概率为03L

r=­=一

n3

故选：A

5.C

【分析】由双曲线的性质计算即可.

【详解】由题意可得双曲线的一条渐近线为：ay-bx=O,

4/?16cS

所以(4,0)到世—笈=0的距离为d===

不妨设〃=>0),则c=5m,a=y]c2-b2=3m=>e=-=-

a3

故选：C

6.B

【分析】首先分析出。〉0,然后求导得/（力=可，得到/⑴=lna+l=2,解出〃值，得

X

到函数解析式，代入即可得到答案.

【详解】显然若a＜0,则x＜0,不合题意，故。＞0,则定义域为（。，+8）,

r（»=令r（x）=（）,解得％=i,

axx

当Ovxvl时，r（K）＜0,此时/（x）单调递减，

当工＞1时，/4x）＞0,此时/（X）单调递增,

故当x=l时，/（力*=〃1）=1晓+1=2,

解得〃=e,则/（x）=ln（ex）+L

答案第2页，共13页

则/口］=lnfe」］+，=e.

lejke；x

故选：B.

7.C

【分析】由同角三角函数的平方关系化简95系4+68sA=10求出8SA,再利用余弦定理

即可求解AC.

【详解】解：9sin2A+6cosA=9(l-cos2A)+6cosA=9-9cos2A+6cosA=10,

即9cos*4—6cosA+l=(3cosA—I)?=0,解得cosA=g,

AB2+AC?-BC29+AC?-24AC?-15

由余弦定理可知cos4=

2A8AC6AC6AC

则275=,，整理得，AC2-6AC-45=(34C—15)(4C+3)=0,

6AC3

解得AC=5或4c=一3(舍),

故选：C.

8.C

【分析】利用三角函数的组象变换计算即可.

【详解】由题意可设y=jf(x)=sin(5+°),则函数)，=/(x)图象上所有点的纵坐标不变,

横坐标伸长到原来的2倍，得)，=5皿(4④r+e］,再向右平移£个单位长度，得到函数

U)4

(\(n\"I.(\n、

y=sin-cox--j4-^>j=sin^―<yx--<y+^?J=cos^x--J

则L<y=l=>@=2,所以sin(4ox-巴/+e]=sin(x-717U

2\28JV1司,

故°+工=2+2kn.keZ=>(p=—+2kn,kGZ,

12212

根据选项可知攵=()时，(P=^,故C正确；

故选：C

9.B

【分析】利用倍角余弦公式得/(x)=2cos2x-cosx-l,令〃x)=o判断］根据

/(2兀-X)=/(0是否成立判断口利用二次函数、余弦函数性质求函数最值判断

【详解】由/(X)=2COS2J:-cosx-l=(2cosx+l)(cosx-l),令/(x)=0,

答案第3页，共13页

所以cosxu-^或cosx=l,Xxe[0,27t],故彳=--—=--或x=0或工=2兀，

所以)，=/("的零点有四个，口错;

f(2it-x)=cos2(2TI-x)-cos(2n-x)=cos2.r-cosx=f(x),y=/(x)关于％=兀对称，匚对:

,1,9

由/(x)=2cos2x-cosx-l=2(cosx——)2——,而cosxe[-l,l],且含cosx的二次函数开口

48

向上,

又故了二/(力的最大值：cosx=-l时有y=2,匚对;

I9

y=/(x)的最小值：cosx=a时有丁=一§,□错；

故选：B

10.A

【分析】由函数的奇偶性及信域分析即可.

【详解】由题意/(力=黑7=当+黑7=°，

即为奇函数，可排除C项,

而er+er>2正2=2,当且仅当e'=/即x=0时，取等号，

且sinxe[-l』nxe[0,2]时，04三三•<1,可排除B、D选项，

ee

故选：A

11.D

【分析】由题设及椭圆对称性，若下顶点为C，则直线F*必过下顶点C,且|为4RCEI，

进而有C6=5EB,设8(x,)，)，根据向量数量关系的坐标表示求坐标，再由点在椭圆上得

到参数关系，即可求离心率.

【详解】由6A=5月8且/为椭圆的上顶点，则£A〃EB,|丹川=5|6团，若下顶点为C,

根据椭圆对称性知：直线6B必过下顶点C,且|与ARC^I，故H不可能为下顶点,

答案第4页，共13页

所以，如上图有C玛=568,而C(0,4),鸟(c,0),若5(1,)，),

6

-C

:,即在椭圆上,

则(cg)=5(x-c,y),故,

£55

5

所以汇+与=1,可得/=£=2,而0<e<],则6=迈

25a225b2a233

故答案为：D

12.C

【分析】由/(小。在定义域内恒成立，得eT.a(x_lnx)恒成立，令/=x-lnx,则心，

求函数阳”)=：的最小值即可得到实数。的取值范围.

【详解】由/(同之()在定义域内恒成立，得m-“x+alnX2。*>。)恒成立，

x

即ev-,nv>£/(x-ln工)恒成立.

令f=x-lnx,x>0,则e'Nar,^=1--=~~~-»

XX

当Ovx<l时，f<0,函数Z=x-lnx单调递减；

当工>1时，t'>0,函数/=x-lnx单调递增.

所以当x=l时，U=l,所以问LE).

所以a4.

t

令〃?(/)=?,]w[l,+30),则加(/)=e(；1)N0,

所以〃?(，).="4)=e,

所以a的取值范围为(F,e].

故选：C.

13.15

答案第5页，共13页

【分析】利用q,S”求数列通项，进而求用.

【详解】由4“=Sn-5“_|=2〃一1,〃22,且4=SI=1满足上式,

所以%=2x8-1=15.

故答案为：15

14.（1,|）

【分析】解设48点坐标，根据已知得出3,4）,利用直线46方程，解设P点坐

标，再根据,4=1,得出答案即可.

【详解】由题知，0（0,0）,设椅（内,凶）,8（“必），

•・・OA=（1,1）,OB=（—3,4）,.,.（王一02-0）=（1,1）,（9-0,乃一。）=（一3,4）,

X1=1\x2=-3

"7i=1>1>2=4，

337

.M（l,l）,B（-3,4）,心8=—彳，则直线48方程为产一方+“

（37、

设。点坐标为即一:%+:，~3<x<I,

I44；0

•.・从尸=（七一1，—；/.[4尸]=｛（/一]『+（_；/+；）=],

1Q1Q

求解可得，x0=-,/.y0=-,即〃点坐标为（屋）.

JJJJ

故答案为：（H

JJ

15.3

【分析】待定系数法求得过A8，C的圆的方程为f+y2一分一1=0,从而可得/+”8-1=0,

解得/=5,再根据两点距离公式即可求解.

【详解】设过4>C的圆的方程为:"+籍+6+母+尸=o,D2+E2-4F>0,

4+l-2D+E+F=0[D=0

则，\-D+F=0,解得，E=-4,

4+9+2O+3E+尸=0F=-l

所以过A8,C的圆的方程为：x2+/-4y-l=0.

答案第6页，共13页

又因为点。在此圆上，所以/+4-8-1=0，解得/=5,

所以点。到坐标原点。的距离为它£=3・

故答案为：3

16.3兀

【分析】设三楂锥联网仞外接球球心为。，半径为几则点。在过直角△叫M斜边的中

31一——.

点E与平面88附垂直的直线上，建立空间直角坐标系，设球心0(于〃?，5),NP*D\,

由R=O?=OB求解参数之间的关系，结合二次函数求最值得出结果.

【详解】设三棱锥P-84M外接球球心为。，半径为R,

则。在过直角a8司M斜边的中点七与平面84M垂直的直线上，且满足QP=OB.

以力为原点，D4为x轴，QC为y轴，。。为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(2,0,0),N(l,0,0),C((U0),B(2J()),M(lJl),R(0,0,I),E(g,l,；),

设球心0(|,吟,机＞0,又八@=(-1,0,1),

设NR=KN0=—G,4、2G[0,1],MP(l-2,0,2),

由R=OP=OB,得R2=(g+/l、+〃?2+(g_2)=(《)+(]_""+(《、,

则/"=3-分，由义e[0,1],/n＞0,可得。＜〃?K5，

又代=(1_〃"+；,所以当机=；时，配取最小值，最小值为

所以三棱锥。一四M外接球表面积的最小值为4"：=3兀.

4

17.(I)平均数73,中位数73§

答案第7页，共13页

【分析】(1)由频率分布直方图的平均数及中位数计算公式计算即可；

(2)先确定在［80,90),［90,100］的学生中应分别抽取的人数，列举各种可能计算概率即可.

【详解】(1)由频率分布直方图中数据知：平均成绩

x=0.02x45+0.16x55+0.22x65+0.30x75+0.20x85+0.10x95=73.

设中位数为x,M0.002xl0+0.016xl0+0.022xl0+0.030x(x-70)=0.5,

解得X=73；.

(2)因为成绩在［80,90),［90,100］的学生人数所占比例为0.020:0.010=2:1,

所以从成绩在［80,90).［90,100］的学生中应分别抽取4人，2人，

记抽取成绩在［80,90)的4人为：a,b,c,d,抽取成绩在［90,100］的2人为：E,F,

从这6人中随机抽取2人的所有可能为：(。/),(。©,(«"),(〃,身,(4，),伽力优"/),他£：),

(仇尸F)(d,E),(4/),(£；尸)共15种,

抽取的2名学生中至少有一人的成绩在［90,100］的是(4号,(凡尸),仇E),

(6,产),(c,E),(c,尸),(d,E),(d,尸瓦尸)，只有9种,

g4

故做培训的这2名学生中至少有一人的成绩在［90,100］的概率P=R=］

18.(1)证明见解析

【分析】(1)根据已知求出8。=2四,=从而BD\BC2=DC2得出BDLBC,再

根据尸底面"CO,得出QO_L8C,从而8cl平面由此能证明平面心C_Z平面

PBD；

(2)设点D到平面P8C的距离为d,由以“肥二匕56,能求出点D到平面P8C的距离.

【详解】(1)_LAA,At3=AD=2,

答案第8页，共13页

则BD=4夕+心=6+22=2&,=

△8CO中，5C2=BD2+CD2-2DBDCcos-=8+16-2x2x/2x4x—=8»

42

®BD2+BC2=8+8=16=DC2,故3。_13c.

乂因为PO1底面48CO,BCu底面力灰?O,所以PO1AC.

又因为PDcBD=D,PD,BDu平面PBD,8。_£平面28。.

又BCu底面PBC,故平面P8C1平面PBD.

(2)设点。到平面P8C的距离为"，

根据VD_PBC=VP-BCD,即5S&PBC,"=§SdBCD.PD,

因为BC1平面尸8。，PBu平面PBD,所以8C_LP8,

-PBC中，PB=276,BC=2x/2，

所以S△.=5X2#X20=4G,

®-x4x/3J=lxlx2V2x2x/2x4,解得d=逑.

3323

即点D到平面PBC的距离为也.

3

19.⑴%=2"+1(〃€旷)

2人2一等―

且AwN.

2"+|-2+],〃=2攵

【分析】（1）由〃“-。小=2”7（〃之2）,利用累加法求数列通项公式，注意验证〃=1；

（2）由题设得d=2"+（-1）”〃，讨论〃的奇偶性分别求出对应前〃项和即可.

【详解】⑴QT=2"T（〃N2）,

•••当〃N2时=q+（%-4）+（%-。2）+…+（%-an-2）+（4-%）

=3+2+2?+…+2"“+2"T=2+二土=2"+1,检验知：当〃=1时上式也成立，

1-2

故%=2"+1（〃£Z）.

(2)•,"“=2"+(—1)”〃.

答案第9页，共13页

当〃为偶数时,7；=2+2?+4-2W+(-1)+2+(-3)4-4+-..+(-1),,H=2(I~2/，)+-=2^I-2+-；

1-222

当〃为奇数时，7；=7；1+2”+(-1)"〃=2"-2+9+2"-〃=2向一2-等且〃23,

又〃=］时7；=4=2-1=］满足上式,此时7；=2n+,-2-^；

2川一2—-,〃=21

T=-2且攵eN".

-2+3〃=2A

2

20.⑴极小值=0,无极大值

(2)〃(1或a.

e-1

【分析】(1)求导，判断函I数的单调性，即可求得函数的极小值；

(2)将“V)在区间ue上有且仅有一个零点，由/⑴=o转化为函数“工)=.痴1-办+4在

区间(Le］上没有零点，通过导数分情况讨论。的取值范围，判断函数单调性，解不等式，求

得参数范围.

【详解】(1)由题可得，函数/(X)的定义域为(。,+纥)，f(x)=\nx+\-a.

若a=l,/'(x)=lnx,

当Ovxvl,f(x)<0,f(x)在(0,1)上单调递减;

当x>l,/^x)>0,/(”在(1,内)上单调递增.

所以/(“极小色=/(l)=lnl+l-l=0,无极大值.

(2)f(x)=x\nx-ax+a,易知/(1)=0,

所求问题等价于函数/(M=#nx-G：+a在区间(10上没有零点，

因为/'(力=成+1-。，

当Ovxvef/'(力<0,所以f(x)在(0,e1)上单调递减,

当x>e“T,/^)>0,在(。1,物)上单调递增.

口当e“T«l,即时，函数g")在区间(10上单调递增，所以/(另>〃1)=0,

答案第10页，共13页

此时函数/（力在区间（I©上没有零点，满足题意.

□当Ive"-ve,即1<〃<2时，/（%）在区间（l,e1）上单调递减,在区间（eje］上单调递增,

要使/W在（1©上没有零点，只需〃e）<。，即e-&7+〃<0,解得

e-1

所以号<”2.

e-1

□当eWe“L即〃22时，函数/"）在区间（Le］上单调递减,

在〃工）区间（1目上满足/（x）v〃l）=。此时函数外”在区间（1目上没有零点，满足题意.

综上所述，实数〃的范围是或

e-1

21.（l）x+2y=0

⑵256百

【分析】（1）首先根据题意得到8（2〃L4,T）,设出直线/：、=〃（y+4）+2/〃-4,与抛物线

联立结合题意得到〃=-2,再根据直线/过坐标原点。，即可得到，〃=6,从而得到直线/方

程为x+2y=0.

（2）首先根据题意得到VAOE面积S=4届。（12-用），再利用导数求解单调性，即可得

到面积的最大值.

【详解】（1）由8为44,4）关于动点M（或0）Q〃vl2）的对称点，所8（2〃.4,-4）.

设直线/：x=〃(y+4)+2/M-4,

联立I"

整理得y2-4ny-16/?-8/n+16=0,

x=〃(y+4)+21n-4

则A=(4n)2-4(-16n-8m+16)=16(/?2+4/i+2m-4)>0.

yi+y2=4n,yy2=-16n-8〃z+16

B为D,E的中点，得乂/■=2〃=-4,故〃=-2,

由A〉。,解得4Vm<12.

当直线/过坐标原点。时，得4〃+2〃L4=0,〃?=6.

此时直线/方程为％+2y=0.

(2)如图所示：

答案第11页，共13页

由（1）可知，直线/:文+2（〉+4）—2〃7+4=0,

|DE\=Jl+（-2）2Ix-%1=4石・3-8.

A到直线/：工+2（），+4）-2m+4=0的距离为[=^^.

\/5

则V4D石面积S=g|£>E|d=4J2〃?—8112-|=4J2〃?一3（12-小）.

«，4（20—3机）,々〃砥20

s=FTV'由s=°'解得〃?=§♦

当〃zc（4,三20），S单调递增；当me（三20,12）,S单调递减.

故用二学时，VA。石面积的最大值交5叵.

39

22

22.（1）C,：p=2sin6>（0<6><-）,C2：p（l+sin6>）=4;

【分析】