重庆市缙云教育联盟2022届高三下学期2月质量检测数学试题 附解析

重庆市2021-2022学年（下）2月月度质量检测高三数学命题单位：重庆缙云教育联盟注意事项：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4.全卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式、对数不等式化简集合A，B，再利用交集的定义计算作答.【详解】解不等式得：，解不等式得：，于是得，，所以.故选：C2.已知复数z满足，复数z的共轭复数为，则的最大值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根据表示圆心为，半径为1的圆上点，再表示圆上点到原点距离，即可确定最大值.【详解】令，，则表示与距离为1的点集，即，此时，表示圆上点到原点距离，所以的最大值，即为圆上点到原点的最大距离，而圆心到原点距离为1，且半径为1，所以圆上点到原点的最大为2.故选：B.3.王老师在课堂上与学生探究直线时，有四位同学分别给出了一个结论.甲：直线经过点.乙：直线经过点.丙：直线经过点.丁：直线的斜率为整数.如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】B【解析】【分析】设，，，求出三条直线的斜率即得解.【详解】设，，，则，，，易知，，三点不共线，所以甲乙丙不可能都正确，至少有一个是错误的，由于只有一位同学的结论是错误的，所以丁同学的结论是正确的；而，，，丁同学的结论是正确的，所以只有可能是在这条直线上，不在这条直线上.故乙同学的结论是错误的.故选：B4.已知，，则a，b，c的大小关系为（）A.a>b>c B.c>b>a C.b>a>c D.【答案】D【解析】【分析】先让与“1”比较大小，再确定的范围，然后根据之间的关系，作差法比较之间的大小即可【详解】由题意可得：，，故有：，故，又又，可得：则有：故有：综上可得：故选：D5.2019年在阿塞拜疆举行的联合国教科文组织第43届世界遗产大会上，随着木槌落定，良渚古城遗址成功列人《世界遗产名录》，这座见证了中华五千多年文明史的古城迎来了在世界文明舞台上的“高光时刻”，标志着良渚是实证中华五千多年文明史的圣地，得到了世界的广泛认同.2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检查测出碳14的残留量约为初始值的55.2%，已知死亡生物体内碳14的含量y与生物死亡年数x之间符合，其中k为死亡生物碳14的初始量.据此推断，此水坝大约是距2010年之前（）年建造的.参考数据∶A.4912 B.4930 C.4954 D.4966【答案】D【解析】【分析】由解方程，求得，由此求得正确选项.【详解】依题意，两边乘以得，两边取以为底的对数得，，，，.故选：D6.已知平面向量，满足，，点D满足，E为的外心，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的数量积求得，以O为原点，建立平面直角坐标系，再利用向量的坐标运算可得解.【详解】，，，，以O为原点，OA，垂直于OA所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，设又，知，解得，又E为的外心，，，为等边三角形，，∴，∴．故选：A7.已知三棱锥的顶点在底面的射影为的垂心，若的面积为的面积为的面积为，满足，当的面积之和的最大值为8时，则三棱锥外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三角新的垂心，利用线线垂直与线面垂直的关系，证明两两垂直，从而可以将三棱锥的外接球问题，转变为一个长方体的外接球问题求解.【详解】连接交于点，连接,因为为的垂心，所以，因为平面，所以，而,所以平面，所以，可得，因为，即，所以，所以，所以,又平面，平面，故，而,所以平面，平面，所以，同理可知，且，所以平面，所以，因此两两垂直，设，则，当且仅当时，等号成立，所以，设三棱锥外接球的半径为，所以，解得，所以三棱锥外接球的体积为,故选:D.8.已知双曲线，的左右焦点记为，，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，记与双曲线的交点为P，若所得的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件探求出的内切圆圆心坐标，再借助点到直线距离公式计算作答.【详解】令双曲线的半焦距为c，则，由对称性不妨令与平行的渐近线为，直线方程为：，即，令的内切圆与三边相切的切点分别为A，B，C，令点，如图，由切线长定理及双曲线定义得：，即，而轴，圆半径为，则有，点到直线的距离：，整理得，即，而，解得，所以双曲线的离心率为2.故选：A【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②根据给定条件得到关于a，b，c的齐次式，再转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分．9.一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件M为“第一次向下的数字为3或4”，事件N为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（）A.事件M发生的概率为 B.事件M与事件N互斥C.事件M与事件N相互独立 D.事件发生的概率为【答案】AC【解析】【分析】A应用互斥事件加法求概率；B由互斥事件的定义，结合题设描述判断；C判断是否成立即可；D应用对立事件的概率求法求发生的概率即可判断.【详解】由题设知：，A正确；由：“第一次向下的数字为3或4”与：“两次向下的数字之和为偶数”，而发生同时也有可能发生，故不是互斥事件，B错误；因为，而，故，即事件M与事件N相互独立，C正确；，表示“第一次向下的数字为1或2”且“两次向下的数字之和为奇数”，故，所以，D错误.故选：AC.10.已知圆，直线，则（）A.圆心M坐标为（2，1） B.圆M的半径为3C.直线l与圆M相交 D.圆M上的点到直线l的距离最大值为【答案】BCD【解析】【分析】将圆的方程化为标准方程，即可判断A,B的正误，求出圆心到直线l的距离即可判断C,D的正误.【详解】将化为标准方程：，故圆心为,半径，故A错，B对；圆心为到直线的距离为：，故直线和圆相交，故C正确；由圆心为到直线的距离为：知，圆M上的点到直线l的距离最大值为，故D正确，故选：BCD11.已知两个正四棱锥，它们的所有棱长均为2，下列说法中正确的是（）A.若将这两个正四棱锥的底面完全重合，得到的几何体的顶点都在半径为的球面上B.若将这两个正四棱锥的底面完全重合，得到的几何体中有6对棱互相平行C.若将这两个正四棱锥的一个侧面完全重合，则两个棱锥的底面互相垂直D.若将这两个正四棱锥的一个侧面完全重合，得到的几何体的表面积为【答案】ABD【解析】【分析】根据图形求出个顶点到O距离可判断A，由平面直线平行的判断可确定B，根据二面角的平面角的大小可判断C，由多面体的表面积计算可判断D.【详解】对于A，如图所示，由于，故几何体的顶点都在半径为的球面上正确；对于B，由上图易知，，可得，故，同理：，故B正确；对于C，如图所示，对于C：在中，由于，所以，所以，同理，所以；由于、，所以为平面和平面所成的二面角的平面角，故两个四棱锥的底面不互相垂直，故C错误；对于D，由图可知，故D正确.故选：ABD12.已知函数，令，则（）A.当，恒成立 B.函数在区间上单调递增C.a，b，c中最大的是c D.a，b，c中最小的是a【答案】AC【解析】【分析】由，判断A；利用导数判断B；利用函数的单调性得出大小关系判断CD.【详解】当时，，，所以恒成立，故A正确；，令，，则函数在区间上单调递增，所以，即，则函数在区间上单调递减，故B错误；因为，所以，且，所以，所以，因为函数在区间上单调递减，所以，而，所以，故C正确，D错误.故选：AC【点睛】方法点睛：比较大小问题一般是借助函数的单调性得出大小关系.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若数列满足，令，则__________.【答案】【解析】【分析】由递推公式，列举出n从1到19的代数式，整体累加分别表示出S、T，即可求出.【详解】列举法，，，，，，，，即，又，，，，，，，故答案为：【点睛】数列中，常见的处理方法：①列举后找规律；②通项公式法；③等差、等比利用基本量代换.14.若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】根据含绝对值不等式的解法，求解不等式的解集，结合充分条件，列出关系式，即可求解.【详解】由不等式，当时，不等式的解集为空集，显然不成立；当时，不等式，可得，要使得不等式的一个充分条件为，则满足，所以，即∴实数a的取值范围是.故答案为：.15.我们知道：相当于从两个不同的角度考察组合数：①从n个不同的元素中选出m个元素并成一组的选法种数是；②对n个元素中的某个元素A，若A必选，有种选法，若A不选，有种选法，两者结果相同，从而得到上述等式.根据这个思想考察从n个不同的元素中选出m个元素并成一组的选法种数，若对其中的某（，且）个元素分别选或不选，你能得到的等式是___________.【答案】，（，且）【解析】【分析】根据题意，分某（，且）个元素中选取的个数为讨论求解即可得答案.【详解】解：根据题意，从n个不同的元素中选出m个元素并成一组的选法种数是，若对其中的某（，且）个元素分别选或不选，则某（，且）个元素一个都没有选，有种选法；有一元素被选取，有种选法；有两个元素被选取，有种选法；有三个元素被选取，有种选法；……有个元素被选取，有种选法；所以有，（，且）故答案为：，（，且）16.已知点为抛物线的焦点，，点为抛物线上一动点，当最小时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为___________.【答案】【解析】【分析】设点，根据抛物线的定义表示出，将用表示，并逐步转化为一个基本不等式形式，从而求出取最小值时的点的坐标，再根据双曲线的定义及离心率的公式求值.【详解】由题意可得，，，抛物线的准线为，设点，根据对称性，不妨设，由抛物线的定义可知，又，所以，当且仅当时，等号成立，此时，设以为焦点的双曲线方程为，则，即，又，，所以离心率.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键是将的坐标表达式逐渐转化为一个可以用基本不等式求最值的式子，从而找出取最小值时的点的坐标.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在①成等比数列，且；②且这两个条件中任选一个填入下面的横线上并解答.已知数列是公差不为0的等差数列，，其前n项和为，数列的前n项和为，若_______.注.如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.（1）求数列的前n项和.（2）设等比数列的首项为2，公比为，其前n项和为，若存在正整数m，使得，求q的值.【答案】（1）选①②结果相同，（2）选①②结果相同，q的值为或【解析】【分析】（1）选①：利用等比数列通项公式基本量计算求出公差，求出通项公式，利用与的关系求出再使用错位相减法求和，选②：利用等比数列求和公式基本量计算求出通项公式，利用与的关系求出再使用错位相减法求和；（2）由（1）知，选①②结果相同，利用得到，利用得到，结合为正整数，得到或，从而求出q的值为或.【小问1详解】选①：成等比数列，且设等差数列公差为d，由成等比数列，则，解得：或0（舍去）；则当时，，解得：，因为①，当时，②，两式相减，，其中经检验，，所以是首项为1，公比为的等比数列，故则，则①，②，两式相减得：，所以；选②：且因为，所以，解得：或0（舍去），则当得：，当时，，经检验，符合，综上：的通项公式为：则，则①，②，两式相减得：，所以；【小问2详解】由（1）可得，选①②结果一样，已知，由，得，所以，因为，所以，即由于，所以或，当时，解得：（舍负），当时，，解得：（舍负），所以q的值为或.18.已知对任意，，都有：，若的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.，且.（1）求c；（2）若，过点C作，垂足为H，若，求的面积S.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据题给恒等式和正弦定理，即可顺利解得三角形边长c；（2）数形结合列方程解得边长a后，即可求得的面积S.【小问1详解】由对任意，，都有：，可得，设的外接圆半径为R，根据正弦定理，有：，故：，所以：由，故，则，所以，，即【小问2详解】如图所示：，，，由，，得，又所以，，则，解得，故有：所以的面积故的面积为3.19.如图在三棱锥中，，且．（1）求证：平面平面（2）若为中点，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先通过等腰三角形的性质和勾股定理证明线线垂直，进而证明平面，然后再通过线面垂直证明平面与平面垂直；（2）先建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，进而写出相关向量，然后求出两个平面的法向量，进而利用向量的数量积公式求得二面角的余弦值【小问1详解】

证明：如图所示，取AC中点D，连接OD、BD，因为，所以，又，所以，因为，所以．又因为，又，所以，所以，所以．又，、BD平面ABC，所以平面，又因为平面，所以平面平面；【小问2详解】

由（1）可得DO、DA、DB两两垂直，以D为原点，分别以DA、DB、DO为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．可得：，，，，则有：，设为平面的法向量，则．令，则，所以是平面EAB的一个法向量由（1）知为平面ABC的一个法向量，设平面ABC与平面EAB所成角为，且易知，则故平面ABC与平面EAB夹角余弦值为.20.已知曲线C的极坐标方程为，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，其中点为曲线C上的一点.（1）设曲线C上的点与点A连线的斜率为k，求曲线C（除去点A）的参数方程（k为参数）；（2）若直线与曲线C交于异于点A的两个点、，且，求实数a的值.【答案】（1）(k参数)（2）【解析】【分析】(1)设曲线上除去A点的任意点为P，则直线PA斜率为k，联立PA方程与曲线C的方程，求出P点坐标即可；(2)联立直线l与曲线C的方程，根据韦达定理求取两根之和和两根之积，代入由得到的关系式即可求出a的取值.【小问1详解】将曲线C的极坐标方程中的替换为，替换为x，即可得曲线C的直角坐标方程：，设A为，即＝(1,0)，设曲线C上去掉A点后的任意点为，则直线PA的方程为，代入曲线C的直角坐标方程化简整理得：，则，，∴曲线C(除去点A)的参数方程为(k为参数)；小问2详解】∵∴∴即即①又时，，此时代入①得：化简得：，则或a＝－1，a＝－1时，直线l过A点，故舍去，∴.21.缙云媒体公司为了解重庆市观众对年北京冬奥会系列体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查，其中女性有名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该系列体育节目时间的频率分布直方图，将日均收看该系列体育节目时间不低于分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有名女性．（1）根据已知条件完成下面的列联表，据此资料你是否有理由认为“体育迷”与性别有关?请说明理由；非体育迷体育迷合计男女合计（2）将日均收看该系列体育节目不低于分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有名女性.若从“超级体育迷”中任意选取人，求至少有名女性观众的概率．附：，其中．【答案】（1）列联表见解析，没有理由认为“体育迷”与性别有关，理由见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据题意求出体育迷的总人数，从而可填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2