2025年九年级中考数学压轴题专练：菱形存在性问题（含答案）

专题09菱形存在性问题

3

1.如图，抛物线y=-/+6x+c与x轴交于点/(-1,0),3(5,0)两点，直线y=-1X+3与了轴

交于点C,与x轴交于点。.点尸是第一象限内抛物线上一动点，过点P作尸轴于点

F,交直线CD于点£设点P的横坐标为

(1)求抛物线的解析式；

(2)写出线段CE的长(用含有加的代数式表示)；

(3)若PE=5EF,求加的值；

(4)在歹轴正半轴上是否存在点G,使C、E、P、G为顶点的四边形为菱形？若存在，请求

出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

(2024秋•吉林月考)

2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数＞=-/+6x+c的图象与x轴交于/、3两点，与

y轴交于点C(0,3),点3的坐标为(3,0),点尸是抛物线上一个动点，且在直线的上方.

(1)求该二次函数的解析式；

(2)求点A的坐标；

⑶连接。尸、5P,当点尸运动到什么位置时，ABPC的面积最大？请求出点P的坐标和ABPC

面积的最大值；

试卷第1页，共8页

（4）连接P。，并把△POC沿C。翻折，得到四边形POPC,那么是否存在点P,使四边形

POPC为菱形？若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

（2024•深圳三模）

3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A,B点,与了轴

交于点C（0,3）,点3的坐标为（3,0）,点p是抛物线上一个动点.

（1）求二次函数解析式；

⑵连接PO,PC,并把△尸OC沿C。翻折，那么是否存在点尸，使四边形尸OPC为菱形;

若不存在，请说明理由.

（2024•吐鲁番市二模）

4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数丁=/+瓜+。的图象与x轴交于8两点,

/点在原点的左侧，2点的坐标为（3,0）,与y轴交于点。（0,-3）,点P是直线下方的抛

物线上一动点.

（1）求这个二次函数的表达式；

⑵连接P。，PC,并把△POC沿CO翻折，得到四边形尸OPC,那么是否存在点尸，使四边形

POPC为菱形？若存在，请求出此时点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

（2024秋•牡丹江月考）

试卷第2页，共8页

5.如图，二次函数y=-/+6x+c的图象与x轴交于n,B两点,与了轴交于点C,点A的

坐标为(-4,0),且O/=OC,E是线段。/上的一个动点，过点£作直线斯垂直于x轴交直

线NC和抛物线分别于点。、F.

(1)求抛物线的解析式；

(2)设点£的横坐标为加，当〃?为何值时，线段。尸有最大值？并写出最大值为多少；

(3)若尸是直线/C上的一动点，在坐标平面内是否存在0,使以尸，Q,B,C为顶点的四

边形是菱形？若存在，直接写出符合条件的菱形的个数并请直接写出其中2个点。的坐标;

若不存在，请说明理由.

(2024•明水县校级二模)

6.如图在平面直角坐标系中，一次函数了=(无-2的图象与x轴交于点B,与了轴交于点

C,二次函数了=:/+乐+。的图象经过8,C两点，且与x轴的负半轴交于点A,动点。

图1图2

⑴求二次函数的表达式；

(2)如图1,连接DC,DB,设ASC。的面积为S,求S的最大值及此时点。坐标；

(3)点P在抛物线的对称轴上，平面内是否存在一点。，使以8、C、P、0为顶点的四边形

是菱形？若存在，直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由：

试卷第3页，共8页

(4)如图2,过点。作。于点M,是否存在点。，使得ACZW中的某个角恰好等于

NABC的2倍？若存在，直接写出点。的横坐标；若不存在，请说明理由.

(2024•建华区二模)

7.如图，直线＞=r+3与x轴交于点瓦与y轴交于点C,抛物线y=f2+6x+c经过夙

C两点，与x轴交于另一点/,点尸在线段8c上，不与8、C重合.

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M,再过点M作夕轴的垂线与该二次

PM1

函数的图象相交于另一点N,当£*=:时，求点P的横坐标：

MN2

⑶在平面内找到点0,使得以点/、C、P、。为顶点的四边形为菱形，请直接写出点P的

坐标；

(4)点C关于x轴的对称点为点。，连接4P,取/P的中点G,连接DG,4P+2DG的最小

值是一

(2024•宜兴市二模)

8.如图，二次函数了="2+云-4的图像与x轴交于点/(-2,0)和点2(8,0),与〉轴交于点

图1图2

(1)直接写出。、6的值；

(2)如图1,连接8C,。在线段BC上，过。作。尸J_x轴于点/，交二次函数图像于点E,

试卷第4页，共8页

4

连接CE、0D,当A。。的面积是ACDE的面积的§时，求点。的坐标.

⑶如图2,点G的坐标（4,-3）,作直线OG,点〃在y轴的负半轴上，连接交直线OG

于点N在该平面内运动，当以。、〃、M.N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点

H的坐标.

（2024•徐州二模）

9.如图，在平面直角坐标系中，二次函数V=-x2-2x+3的图像与x轴分别交于点/、C

（1）点A坐标为_，点D坐标为_；

（2）尸为之间抛物线上一点，直线8P交4D于E,交x轴于尸，若SA°BE=S△.，求尸

点坐标.

⑶M为抛物线对称轴上一动点，若平面内存在点N,使得以3、C、M,N为顶点的四边形

为菱形，则这样的点N共有_个.

（2024•姑苏区一模）

10.如图，二次函数丁=-/+（加-1卜+加（其中切＞1）的图象与X轴交于43两点（点/

在点8左侧），与丁轴交于点C,连接NC、BC,点。为△48C的外心.

⑴填空：点/的坐标为一，乙4BC=_。；

（2）记A/CD的面积为H，△/5D的面积为S2，试探究E-S2是否为定值？如果是，求出这

试卷第5页，共8页

个定值；

(3)若在第一象限内的抛物线上存在一点E,使得以夙D、C、E为顶点的四边形是菱形，

则加=_.

(2024•丰县一模)

11.如图，在平面直角坐标系中，二次函数丁="+云-3的图象交x轴于/(-1，0)、8(3,0)

两点，交＞轴于点C,点尸在线段。8上，过点P作尸轴，交抛物线于点。，交直线8c

(1)a=_,6=_;

(2)在点尸运动过程中，若ACDE是直角三角形，求点P的坐标；

(3)在y轴上是否存在点R使得以点C、D、E、尸为顶点的四边形为菱形？若存在，请直

接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

(2024秋•阳信县月考)

12.如图，二次函数y=-/+bx+c的图像与x轴交于N,8两点，与y轴交于点C,点/

的坐标为(-4,0),且O/=OC,£是线段CM上的一个动点，过点E作直线所垂直于x轴

交直线AC和抛物线分别于点D、F.

试卷第6页，共8页

⑵设点£的横坐标为加.当加为何值时，线段。尸有最大值，并写出最大值为多少；

(3)若点P是直线/C上的一个动点，在坐标平面内是否存在点。，使以点尸、Q、B、C为

顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

(2024•玉泉区三模)

13.如图，一次函数的图象与坐标轴交于B,二次函数、=玄/+法+。的

(2)求二次函数的解析式；

(3)点8关于抛物线对称轴的对称点为点C,点尸是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点

。，使得以5,C,P,。为顶点且以为一边的四边形是菱形？若存在，求出点。的坐

标；若不存在，请说明理由.

(2024•凉州区校级模拟)

14.如图，二次函数y=x2+6x+c的图象交x轴于点48,交》轴于点C,点8的坐标为(1,0),

对称轴是直线尤=-1,点P是x轴上一动点，轴，交直线NC于点交抛物线于

点N.

试卷第7页，共8页

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)若点尸在线段4。上运动(点尸与点A、点。不重合)，求四边形N2CN面积的最大值，

并求出此时点尸的坐标；

(3)若点尸在x轴上运动，则在丁轴上是否存在点。，使以M、N、C、。为顶点的四边形是

菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点。的坐标；若不存在，请说明理由.

(2024•蓬江区校级模拟)

15.如图，二次函数y=x?+bx+c的图象交X轴于点/(-3,0),3(1,0),交y轴于点c.点尸(私0)

是x轴上的一动点，PMJLx轴，交直线/C于点M,交抛物线于点N.

(1)求这个二次函数的表达式;

(2)①若点P仅在线段/。上运动，如图1.求线段的最大值；

②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q,使以M,N,C,Q为顶点的四边形为

菱形.若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

试卷第8页，共8页

1.(l)y=—x1+4x+5

(2)：加(0<加<5)

(3)2或］+病

2

(4)存在点G,此时相应的点尸的坐标为(4,5)

【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识,

熟练掌握二次函数的性质是解题关键.

(1)利用待定系数法求解即可得；

(2)根据二次函数和一次函数的解析式分别求出点P,C,E的坐标，再利用两点之间的距离

公式求解即可得；

(3)先利用两点之间的距离公式求出PE,即，再根据尸£=5所建立方程，解方程即可得；

(4)分两种情况：①当尸C为对角线时，②当尸C为菱形的边时，根据菱形的邻边相等建

立方程，解方程即可得.

—1—b+c=0

【详解】(1)解：将点，(TO),8(5,0)代入抛物线了=*+乐+。得:

—25+5b+c=0

b=4

解得

c=5

所以抛物线的解析式为>=+4x+5.

3

⑵解：对于直线y=-：x+3,

4

当x=0时，y=3,即C(0,3),

•・•点P是第一象限内抛物线上一动点，点P的横坐标为加，

/.0<m<5,

・・・尸x轴于点尸，交直线于点

：.E\m,--m+3|,

I4)

二CE=—Op+(一：加+3-31==^m>

所以线段的长为:加(0<加<5).

(3)解：•・•点尸是第一象限内抛物线上一动点，点尸的横坐标为加，P尸，x轴于点尸，交

答案第1页，共43页

直线于点E,

+3

・•・P（加，一加2+4加+5）,产（加,0）,£m,-|OT](°<m<5),

<31193

PE=-m7+4m+5-——m+3=-m?Hm+2,EF=——m+3

I4J44

•・•PE=5EF,

19cv3r

—m2H----加+2=5—m+3,

44

]9/3）13

当—加2++2=5一+3时，解得加=2或机=工>5（不符合题意，舍去），

4I472

当一次2+：加+2=—5（—：加+31时，加=1+或加=]_"三<o（不符合题意，舍去），

414）22

综上，m的值为2或1+屈.

2

（4）解：存在，求解过程如下：

设点G的坐标为G（0,〃）（〃〉0且〃。3）,

①当尸C为对角线时，〃〉3,

1aS1

则尸E=CE,即-加2+一机+2=—加，解得机=4或机=—<0（不符合题意，舍去）,

442

,19

•••PE=-4"+—x4+2=5,-2+4m+5=-42+4x4+5=5,

4m

•.・四边形CEPG是菱形，

.■.CG=PE,即〃-3=5,解得〃=8,符合题设，

所以此时点尸的坐标为（4,5）；

②当尸C为菱形的边时，0<〃<3,

“加一0）。（

贝i]PC=PE,即一加之+4加+5—3）=一机m+2,

整理得：m（24m2-89m-48）=0,

解得加=89+&2529>5或加=89-J12竺<0或加=0（均不符合题意，舍去）,

4848

综上，存在点G,此时相应的点P的坐标为（4,5）.

2.（1）y=~x2+2x+3

⑵（TO）

（、

（3）当点P的坐标为3尸15时，'Ba有最大值，且最大值为2年7；

答案第2页，共43页

//---\

（4）存在点P,使四边形POPC为菱形；点尸的坐标为|

【分析】（1）将。（0,3）、3（3,0）代入〉=一/+云+£：即可求解；

（2）解一元二次方程0=-犬+2%+3即可；

（3）过点P作尸。〃了轴，求出直线BC的解析式，设点尸（加，-加2+2机+3）,则

。（加，-加+3），根据S'BW=gx（无B-尤c）x（力-%）即可建立函数关系式求解；

（4）设点尸（x,--+2x+3）,pp交了轴于点£,若四边形POPC为菱形，贝IJ

13

PC=PO,PEVCO,可推出。£=]。。=5，据此即可求解；

【详解】（1）解:将C（0,3）、3（3,0）代入尸*+6x+c得:

J3=c

[0=-32+3b+c，

[b=2

解得：「

[c=3

**•y——工？+2x+3

（2）解：令0=-/+2]+3,解得再=T,%=3,

.,.点A的坐标（-L0）

（3）解：设直线8c的解析式为：y^kx+3,

将3（3,0）代入y=b+3得:0=3上+3,

解得：左=-1；

・•・直线BC的解析式为：y=-x+3,

过点尸作PD〃了轴，如图所示：

设点尸（私-m2+2机+3）,则。（加，一加+3）（0＜加＜3）

答案第3页，共43页

S&BCP=gx(XB-Xc)x(»f)

1

=­X(3—0)x[一加之+2m+3-(一加+3)]

2

尸有最大值，且最大值为2?7;

O

,尸尸'交x轴于点£,如图所示:

若四边形尸OPC为菱形，则尸C=P。，尸ELCO,

13

：.OE=-OC=-

22

3

即：-X2+2X+3=-,

2

解得：W=小普,马="普(舍)

"2+V103、

二点P的坐标为

【点睛】本题考查了二次函数综合问题，涉及了待定系数法，二次函数与坐标轴的交点问题,

二次函数与面积问题，二次函数与特殊四边形问题，掌握函数的性质是解题关键.

3.(1)二次函数的解析式为＞=--+2为+3；

,|或"2-V103、

(2)存在，P(尸

【分析】(1)将点C(0,3),点3(3,0),代入了=-/+乐+~然后求解即可;

(2)设点尸(x,*+2x+3),PP交CO于点、E,然后根据菱形的性质得尸ELOC,

3-，

OE=CE=~,取后解方程即可；

此题考查了待定系数法，二次函数与特殊四边形等知识，掌握知识点的应用及数形结合是解

题的关键.

答案第4页，共43页

【详解】⑴解：将点3(3,0),点C(0,3),代入y=*+6x+c,

一9+3b+c=0

得

c=3

6=2

解得

6=3

.•・二次函数的解析式为y=-/+2x+3,

(2)解：存在，如图，设点尸(x,--+2x+3),PP交CO于点、E,

,3

:.—x+2x+3=—

2

解得网=2±巫2-厢

2-2-

(2+V103)j2-ViO3)

一--或一--

4.(1)抛物线的表达式为：y=^2—2x—3

’2+亚上、

⑵存在,

-2-2

【分析】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数动点与菱形的存在性的问题.

(1)把从C点坐标代入二次函数解析式即可解出.

3

(2)若四边形尸OPC是菱形，尸P和。。相互垂直，尸点纵坐标是-'，代入二次函数表达

式即可解得.

【详解】(1)解：将点5、。的坐标代入＞=/+乐+。中，得:

9+3b+。=0

c=-3

答案第5页，共43页

解得：b=-2,c=-3;

二抛物线：y=x2-2x-3.

(2)解：存在.理由如下：

作0c的垂直平分线交直线5c下方的抛物线于点尸，垂足为点E,如图2,

图2

则PO=PC.

•・•△P0C沿C。翻折，得到四边形尸OPC,

;.OP'=OP,CP'=CP,

：.OP'=0P=CP=CP,

.•.四边形尸OPC为菱形.

二点E的坐标为］0,-5),

3

•••点尸的纵坐标为-；，

2

把了=一|代入＞=/一2x-3得x?—2%—3=—1,解得x=

•・•点P在直线BC下方的抛物线上，

.•・满足条件的点P的坐标为(空匝，-:

5.(1)二次函数解析式为y=*-3x+4

(2)当机=-2时，。尸有最大值，且最大值为4

(3)存在点。使得以点尸、Q、&C为顶点的四边形是菱形，共有4个，点。的坐标为

答案第6页，共43页

【分析】(1)根据/(-4,0),OA=OC,运用待定系数法即可求解；

(2)根据4-4,0),C(0,4),求出直线/C的解析式，根据点£的横坐标为机，可用含加的

式子表示点。，尸的坐标，由此可得。尸的长关于加的二次函数，根据最值的计算方法即可求

解；

(3)根据题意可求出8c的长，根据菱形的性质，分类讨论：第一种情况：如图所述，点。

在直线/C下方；第二种情况：如图所示，点。在直线/C上方；图形结合，即可求解，

第三种情况，8c为菱形的对角线时.

【详解】(1)解：••・二次函数V=-x2+6x+c的图象与x轴交于/,8两点，与了轴交于点C,

点A的坐标为(-4,0),

OA-4,

-OA=OC,

...OC=4,则。(0,4),

把Z(-4,0),。(0,4)代入二次函数解析式歹=—/+及+。得,

一16-46+。=0b=-3

解得,

c=4c=4

二二次函数解析式为歹=-/-3x+4；

(2)解:由(1)可知，二次函数解析式为了=-♦-次+4,且止40),C(0,4),

・•・设直线AC所在直线的解析式为y=kx+b(k^0),

[-4左+6=0\k=\

11A,解得，1,.)

[6=4[6=4

・•・直线NC的解析式为y=x+4,

•••点£的横坐标为机，直线Eb垂直于x轴交直线/C和抛物线分别于点£＞、F,

:点D、尸的横坐标为加，

.-.D(m,m+4),F(m,—m2—3m+4),

DF=—m2-3m+4—(m+4)=—m2-4m=—(m+2)2+4,

.,.当枕=-2时，。尸有最大值，且最大值为4；

答案第7页，共43页

(3)解：•••二次函数y=-/-3x+4的图象与x轴交于4,B两点,且4-4,0),

.".令y=0时，x~+3x—4—0>则无i=-4,x2=1,

・•・8(1,0),且C(0,4)

在RM80C中，08=1,OC=4,

•••BC=slOB2+OC2=Vl2+42=V17，

四边形尸C8。是菱形，则PC〃8。，BQ=BC=A/T7,

且直线AC的解析式为v=X+4,

・•・设直线20所在直线的解析为＞=x+c,把点8(1,0)代入得，0=l+c,

解得，c=-l,

二直线20的解析式为y=xT,

设0(见4-1),过点。作轴于点H,

BH=l—q,QH=q—1,

•••BQ=^BH2+QH2=7(l-^)2+(^-l)2=V17,

整理得,2g2_4g_15=0,

4±2A/342±V34

・•・当g=M时，恒一「叵，即/T，半］;

222(22)

当好手时，”「手一」孚，即《手,-孚)

答案第8页，共43页

第二种情况：如图所示，点。在直线NC上方,

四边形尸是菱形，。尸〃BC,BP=BC=^n,

且3(1,0),C(0,4),

•・・直线BC的解析式为y=-4x+4,

设尸(p,p+4),

•••BP=J"？)?+5+4)2=后,

整理得，p2+3p=0,

解得，小=0(与点C重合，不符合题意，舍去)，p2=~3,即P(-3,l),

・••设尸。所在直线的解析式为V=-4x+〃,

把点P(-3,l)代入得，〃

•・・直线PQ的解析式为y=-4x-ll,

根据题意，设。&，-4—11),

•••PQ=7(-3-r)2+(l+4r+ll)2=历，

整理得,17r2+102r+136=0,

-102±34on、〃

r=--------,gprt=-2,r2--4,

—2>—3,不合题意，

.••2(-4,5)；

第三种情况，8c为菱形的对角线时，如图所示：

答案第9页，共43页

作8C的垂直平分线PN,交4c于P,交BC于N,

在直线PN上截取CQ=PC,连接尸8、8。得菱形8PC。,

•••5(1,0),C(0,4),

•••NBOC=NBNM=90°,ZCBO=ZMBN,

.FBOCSABNM,

BOBC

w)

1V17

V17BM，

~T

设直线PN为y=冽x+〃,

答案第10页，共43页

1

m=—

4

解得

15

n=一

8

115

y=-xH----,

48

与＞=x+4联立,

115

,y——xH-----

得彳48,

y=x+4

17

x=-----

解得f,

dm

二将点P向右平移个单位再向上平移个单位得到点C,

将点5(1,0)也做相同的平移得到点011+^,0+£),即

综上所述，存在点。使得以点20、B、C为顶点的四边形是菱形，共有4个，点。的坐标

【点睛】本题主要考查二次函数与特殊四边形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式,

二次函数图象的性质，菱形的判定和性质等知识是解题的关键.

13

6.⑴y=]X9-贮一?

(2)4,。(2,-3)

g,o).(写出其中3个即可)

(4)2或詈29

【分析】(1)根据题意得到8、C两点的坐标，利用待定系数法可求解析式；

(2)过点。作DF_Lx轴，交BC与点、F,设。(。,］。2-•1。-2}0＜。＜4),则

?-2.然后列出S与。的关系式，最后利用配方法求得其最大值及坐标即可；

(3)先求解抛物线的对称轴为直线：x=1,设尸(；,e),再分三种情况讨论：2c为对角线

时，P3为对角线时，CP为对角线时，再结合菱形的性质与平移的性质可得答案.

答案第11页，共43页

(4)根据勾股定理的逆定理得到A4BC是以N/C3为直角的直角三角形，取A8的中点E,

EA=EC=EB=g过。作了轴的垂线，垂足为R,交/C的延线于G,设

1313

D(x,—x2——x—2),则DR=x,CR=——x2+—x,最后,分为/DCM=2NBAC和

ZMDC=2ZBAC两种情况列方程求解即可.

【详解】(1)解：・•・一次函数N=；x-2的图象与x轴交于点8,与7轴交于点C,

.•.点8(4,0),点C(0,-2),

••,二次函数y=gx2+Zw+c的图象经过8,C两点，

c=-2

0=8+46-2

c=-2,

解得：,3

b=——

I2

1Q

「•抛物线的解析式片/-芸-2；

(2)解：如图所示：过点。作。尸，x轴，交BC与点F.

图1

Dfa,,”2_]Q—2卜0<a<4),

则F\a,—a—2

2

：.S=^FD-OB=-a2+4a=-(a-2)2+4

v-1<0

.•・〃=2时，S最大，最大值为4.

此时，点。坐标为(2,-3).

121Q75

(3)存在，理由如下：,.,歹=3-—不％-2=3(%-3)2—■-,

2222o

，抛物线的对称轴为直线：%=|3,

答案第12页，共43页

3

设尸(/)，

以5C为对角线时，

/.PC=PB,

222

1+(e+2)=(|-4)+e,

3

解得:e=0,即尸(于0),

当5P为对角线时，

PC=CB,

Q222

.\^+(e+2)=4+2f

解得：,=一2+^^,%=-2-3点尸坐标为2+g^］或

22\ZZJJ\zzJ

当CP为对角线时，

PB=CB,

(|-4)2+^2=42+22,

解得：e=，e4=，点P坐标为］3V55Vf3卮)

3了亍J或［于一三)

综上：尸的坐标为:■|,-2+日口或

-〒产G亍J或［于一三)或〔2刀

(4)如图所示：过点。作。H_Ly垂足为我,DR交BC与点、G,连接NC,

斗

\Eg乙

8(4,0),C(0,-2),

图2

:.AC=4s,BC=245,AB=5,

AC2+BC2=AB2,

.•.&8C为直角三角形.

取N8的中点E,连接CE,则CE=3E,

答案第13页，共43页

:"0EC=2/ABC.

tanZO£,C=—=-.

OE3

当AMCD=2/ABC时,则tanZCDR=tanZABC=1.

i3i3

设。（x,'——'X—2）,则=x,C7?=—5/+5X.

123

…22j，

x2

解得：x=0（舍去）或x=2.

.••点。的横坐标为2.

当NCZ）河=2NZBC时，设MD=3k,CM=4k,CD=5k.

•••tanZMGD=~,

2

GM=6k,GD=3限,

GC=MG-CM=2k,

.e_4囱「R_2书

..GR=------k9CR=------k•

55

RD=3限一逑左=应5左.

55

"326

「nXHX-----K

.CR22_5_

"DRx-11式’

-------k

5

29

角毕得：x=0(舍去)或％=五.

点。的横坐标为7柒Q

综上所述，当点。的横坐标为2或条

【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数的

解析式，解直角三角形，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

7.(l)y=-/+2x+3

⑵1+收或2-6

⑶(6,3-6),(2,1)0,J

(4)2届

答案第14页，共43页

【分析】（1）先求出8（3,0）,C（0,3）,然后代入了=-炉+云+。求解即可；

（2）设河（〃?,-〃/+2〃?+3）,则尸（加,-加+3）,PM=-m2+3m.然后分点M在对称轴的右

边和点M在对称轴的左边两种情况求解；

（3）分三种情况求解：①当NP为对角线时，②当/C为对角线时，③当PC为对角线时；

（4）由点G是4尸的中点，可得/P+2OG=2（/G+OG）,取中点E,连接EG并延长

交NC于点尸，可证点G在斯上运动，作点N关于斯的对称点H,则H在8c上，连接

A'E,则可知当4,G,。共线时，NG+OG取得最小值，即4P+2DG取得最

小值.求出4（1,2）即可求解.

【详解】（1）对于y=-x+3,

当x=0时，歹=3,

当歹=0时，0=一1+3,x=3,

.*.^（3,0）,C（0,3）,代入＞=一%2+瓜+。，

]-9+3b+c=0

\c=3'

:.y——+2x+3；

(2)设/(加+2加+3),则尸(加，一加+3),

PM=-m2+2m+3-1—m+3)=-m2+3m.

yy=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

・•・对称轴是直线x=l.

如图，当点〃在对称轴的右边时，N(2-m,-m2+2m+3'),

答案第15页，共43页

；.MN=m-12_m）=2m-2,

PM1

「前一/，

.-m2+3m1

2m-2~29

.，.mx=\+-\[2fm2=1—V2（舍去）.

如图，当点M在对称轴的左边时，N（2-加,-/+2%+3）,

：.MN=[2-m^-m=2-2m,

PM1

:就一I，

.—m2+3m1

2-2m-2,

m3=2—V3,加4=2+VJ（舍去）.

，点p的横坐标为1+收或2-6；

（3）设P（〃,f+3）,

答案第16页，共43页

①当/尸为对角线时，则/C=PC,

.­.n2+（-«+3-3）2=l2+32,

n=A/5（负值舍去），

...P（V5,3-V5）.

②当NC为对角线时，则/尸=PC,

•••n2+（-“+3-3）2=（〃+i）2+（一〃+3）2,

5

：.n=—,

2

③当尸C为对角线时，则NP=/C,

.­,12+32=（7?+1）2+（-«+3）2,

«i=2,几2=0（舍去）,

.•.尸（2,1）.

综上可知，点尸的坐标为（次,3）,（2,1）II）；

（4）,:点G是4P的中点,

•;AP=2AG,

...AP+2DG=2AG+2DG=2（/G+DG）.

取42中点£,连接EG并延长交/C于点尸,

EF//BC,

答案第17页，共43页

-A-F=AE=1,,

ACEB

.•.E尸是ZUBC的中位线，

•••点G在斯上运动，

作点/关于所的对称点H,则H在8C上，连接，HE则44UE尸，

AAA'B=90°,AG=A'G,

：.AG+DG=A'G+DG,

.,.当H,G,。共线时，NG+DG取得最小值，即/尸+2DG取得最小值.

•；OB=OC=3,NBOC=90°,

ZOBC=ZOCB=45°,

ZA'AB=ZOCB=45°,

A'A=A'B,

.-.A'E=AE=BE=-AB=2,

2

,-.OE=2-1=1,

■.A'(1,2),

A'D=+(2+3『=V26,

■■AG+DG=A'G+DG=y/26,

•••AP+2DG=2AG+2DG=2726,BPAP+2DG的最小值为2而.

故答案为：2A/^.

【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，轴对称的性质,

等腰直角三角形的性质，勾股定理，以及二次函数与几何综合，难度较大，属中考压轴题.

8.(1)-,--

一42

⑵。(2,-3)或(6,-1)

(3)(0,-4),(0,-6),^0,

【分析】本题主要考查了求二次函数的性质、二次函数与面积的综合、二次函数与特殊四边

形的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键，

(1)分别将点4(-2,0)和点8(8,0)代入表达式进行求解即可；

答案第18页，共43页

(2)先求出直线8C的解析式，然后设出点。、点E坐标，表示出然后再根据AOCD

4

的面积是的面积的］求出。E,从而得到方法求解，进而完成解答；

(3)先求出直线OG、的解析式，然后联立求得即

卜。一66-tz)

;再分三种情况解答即可.

【详解】(1)解：将4(—2,0)和5(8,0)代入歹=以2十法一4,

J4"26-4=0

*|64^z+8Z?-4=0，

解得：.

b=--

l2

(2)解：设直线的解析式为〉=区+力,

解得：,2,

b=-4

:.y=-x-4,

设。点坐标为。,Eyd,—d2--17-4

DE=-d-4-\-d2--d-4\=--d2+2d,

2U2J4

•・,DF_Lx,

.MOCD、的边上的高相等，

4

•・•AOCD的面积是△CD£的面积的］,

3

：.DE=-OC=3,

:.—d?+2d-3,

4

解得：d=2或6,

・•.D点的坐标为。(2,-3)或(6,-1).

答案第19页，共43页

（3）»：（-2,0）,5（8,0）,C（0,-4）

设直线OG的解析式为y=履，则有：-3=4左,

3

解得：k=--,

4

设7/（0,〃乂a<0）,IJJl]OH=—a,

设直线BH的解析式为y=mx+b,

b=a

解得：<1

m=——b

18

y=——ax+a

8

联立

3

y=——x

4

得：-ax+8a=-6x,

38a6a

••・V=—x-------=--------

4a-66-a

、/Sa6a

——，

（a-66-a）

100a210a

"\（6-a）26-a!

①当OH,OM均为边时,OH=OM,则OH-=OM2,

化简得：/一120-64=0,

解得：a=-4或16（正值舍去）;

.•皿0,-4）；

答案第20页，共43页

②当为边时，oa为对角线时，由对角线相互垂直平分可得：小.|=；必|,

解得：。=-6或18(正值舍去),

.•・"（0,-6）；

③当为对角线，为边时，OH=MH,

I64a21（a2）"

■■HM=［（a一6『+（6-a）2

.6石।(叫2

(q-6『(6-q)~

整理得：-12a=28,

7

解得：a=--.

综上，〃(0,-4)或(0,-6)或，

9.(1)(-3,0),(-1,4)

」1336、

⑵尸「二子J

(3)4

【分析】(1)在V=—f-2x+3中，令y=。可得/(一3,0),由歹二一12一2x+3=—(％+1)2+4,得

抛物线顶点。为(T,4)；

(2)连接D。，由/(TO),C(l,0),£>(-1,4),5(0,3),求出“边彩a=L“,

根据SWBE=S2AEF，可得S四边形408。=S^BOF，故可求出。尸=5,尸(-5,0),得直线3尸

.3

3y=­x+3

函数表达式为y=1X+3,联立/5,求解，即可得出点P坐标；

y=—x2-2x+3

(3)分三种情况：①若以8C,为邻边，则以8为圆心，8c为半径作圆与对称轴直线

》=-1有交点M],M2,②若以C2,CW为邻边，则以C为圆心，CB为半径作圆与对称

轴直线x=-l有交点M，M4,③若以MB,MC为邻边，则作BC的垂直平分线与对称轴

直线x=-l有交点“5,分别画出图形可得答案.

【详解】(1)解：在y=---2x+3中，令>=。得0=-x2-2x+3,

答案第21页，共43页

解得X=1或％=-3,

4—3,0),

*.*y———2x+3=—(x+1)?+4,

抛物线顶点。为(T，4),

故答案为:(-3,0),(-1,4)；

(2)解：连接。0,如图：

由(1)知，力(—3,0),C(l,0),。(―1,4),

在-2x+3中，令％=0得》=3,

・•・8(0,3),

S四边形4080=S“OD+S4BOD=5、3*4+5*3><1=

,SgBE=^AAEF，

=

-S^DBE+S四边形"osS“EF+S四边形,

OF=5,

・・•尸(-5,0),

设直线5/函数表达式为〉=而+6,

仿=3

把5(0,3),尸(-5,0)代入，得

[-5左+6=0

\=1

解得：,5,

b=3

答案第22页，共43页

3

・•・直线BF函数表达式为歹=Mx+3,

[3、

联立，5,

y=-x2-2x+3

13

\x=0T

解得,或

6，

5

(3