2025年高考数学复习大题模拟卷一（新高考）

；题型必刷•大题仿真卷

大题仿真卷01（A组+B组+C组）

0----------------A组•巩固提升-----------♦>

（模式：5题满分：77分限时：70分钟）

一、解答题

1.（24-25高三上•广东•模拟预测）在△4BC中，a,b,c分别是内角/,B,C的对边，>^+£2=5.

（1）若收sin8=6sinC,且A/BC的面积为1,求/；

【答案】（1）/=9或/=兰

66

⑵-1

2

【分析】（1）运用正弦定理边角互化，再结合面积公式计算即可.

（2）运用余弦定理，结合解方程组和数量积定义计算即可.

【详解】（1）因为后sin5=VJsinC,所以收6=百0,

又〃+02=5,所以b=c=也，

所以△48。的面积S=-bcsmA=^-s\nA=^-,

贝(Jsin/=1,因为/€(0,兀)，所以/=凸或/=§.

266

(2)因为b+c=3,/+/=5,所以3+。)2=/+。2+2儿=5+26。=9,

22

所以A=2.由余弦定理得a=y/b+c-2bccosA=2，

因为b+c=3,bc=2,所以b=l,c=2或6=2,c=l,

又sinB〉sinC,所以b>c,所以b=2,c=l,

~__.-.—.?2+22-I27

所以NCC5=—C4C8=-"cosC=—2x2x--------------=——.

2x2x22

2.(2024・湖北•一*模)已知/(x)=(ax2+x+l)e".

⑴当0=1时，求曲线y=/(x)在点(OJ(O))处的切线方程；

⑵若/(x)在区间(-3,-1)内存在极小值点，求。的取值范围.

【答案】(i)y=2x+i

-GO,]

【分析】(1)当。=1时，/(x)=(x2+x+l)e\求导可得1(0)=2,又〃0)=1,可求切线方程；

(2)求导得/''(x)=(x+2)(ax+l)e，，分a=0,a>0,“<。三种情况讨论函数的单调性，判断极小值点

在(-3,-1)内可求得。的取值范围.

【详解】(1)当”=1时，/(x)=(x2+x+l)e\可得/'(x)=，+x+l+2x+l)e，

所以广(0)=2,又/(0)=(02+0+1k°=1,

所以切线方程:y-l=2-x,即2x-y+l=0.

(2)由已知得=(^2+x+\+2ax+\^Qx=(x+2)(aix+l)e*

1.若a=0,/,(x)=(x+2)eY,

当x«-8,-2)时,r(x)<0,〃x)在(-叱-2)上单调递减，

当xe(-2,+⑹时，r(x)>0,〃龙)在(-2,+⑹上单调递增，

所以>=/(x)在x=-2取得最小值，符合题意.

2.若a>0,

i)若」>-2即a>L

a2

当xe12,-J/(x)<0,所以/(x)在1-2,-£|上单调递减，

当xeJ'(x)>0,所以在上单调递增，

所以>=/(X)在x=」取得最小值，：」<-1,。<1,：.!<a<1

aa2

ii)当—=-2,r(x)=(x+2)2eJ>0,所以>=/(尤)无极值，不符合题意，

iii)当—-<-2即

当所以在］:，-上单调递减，

当xe(-2,+s)/(x)>0,所以〃x)在(-2,+⑹上单调递增，

所以/(x)在x=-2取得极小值符合.

3.若。<0,—>0,

a

当xe(-s,-2)时，r(x)<0,所以在(-*-2)上单调递减，

当xe1-2,-j时，/(x)>0,所以在卜2,-小上单调递增，

.•.>=/（力在》=-2取得极小值，符合题意；

综上所述：0的取值范围为,叫jug,1；

3.（2024•河南新乡•一模）如图，在△4BC中，/C=90。,4B=24C=4,ADa4C,4E,将△4D£

24

沿DE折起得到四棱锥A-BCDE,且平面A'DE，平面BCDE.

（1）证明：四棱锥/'-BCDE的高为g.

（2）求直线A'E与平面A'BC所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵①

37

【分析】（1）易得和AHOE都是边长为1的正三角形，取。E的中点连接根据面面垂直

的性质可得■平面8cpE,则HAf，平面2CDE,求出4”即可得证；

（2）以点C为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可

AT1

【详解】（1）依题意COSN8/C=*=7,则4/C=60。，

AB2

因为==所以4O=2E=1,

24

所以△/£>£和“DE都是边长为1的正三角形，

取。£的中点M,连接贝UHMLDE,AM=@,

2

因为平面A'DE1平面BCDE,平面A'DEQ平面BCDE=DE,HEu平面ZDE,

所以4'M_L平面2C0E,

所以AM即为四棱锥/-BCDE的高，

所以四棱锥/-2CDE的高为心;

2

（2）如图所示，以点。为原点建立空间直角坐标系，

则。（。,。,0）,8（2百,0,0）,£-^-，―,0,Ar,

故而=(2"0,0)百明近=倍,;

设平面A'BC的法向量为万=(x,y,z),

心。=2瓜=0

则有，可取为=(0,—2百,5),

"•^=VXV+TZ=O

所以直线A'E与平面A'BC所成角的正弦值为豆叵.

37

4.(2024・山西吕梁•二模)如图所示，在研究某种粒子的实验装置中，有42,C三个腔室，粒子只能从A室

出发经8室到达C室.粒子在A室不旋转，在3室、C室都旋转，且只有上旋和下旋两种状态，粒子间的旋转

状态相互独立.粒子从A室经过1号门进入3室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从3室经过2号门

进入C室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为现有两个粒子从A室出发，先后经过1号门，2

号门进入。室，记C室两个粒子中，上旋状态粒子的个数为X.

一工8LC

1号门2号门

Ii

(1)已知两个粒子通过1号门后，恰有1个上旋状态1个下旋状态.若这两个粒子通过2号门后仍然恰有1个

上旋状态1个下旋状态的概率为：，求?；

O

(2)若。=；,求两个粒子经过2号门后都为上旋状态的概率；

(3)求X的分布列和数学期望.

13

【答案】(l)p=;或;.

(3)分布列见解析，1

【分析】(1)根据已知条件列方程，从而求得p.

(2)根据全概率公式以及条件概率计算公式求得正确答案.

(3)根据独立事件概率计算求得X的分布列，并求得数学期望.

【详解】(1)设/="两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态”.

事件A发生即通过2号门时，两个粒子都不改变或都改变旋转状态，

故尸(/)=p2+(l-0)2=[,解得p=或=.

o44

(2)设4="两个粒子通过1号门后处于上旋状态粒子个数为7.个"，:0,1,2,

2="两个粒子通过2号门后处于上旋状态的粒子个数为2个”，

则尸⑷=尸(4)=出2=：,P(4)=CC：,P(面4)=/(面4)=：,P(剧4)=：,

21119141

贝！I尸(刃=1P(4)尸(曲=“

(3)由题知X=0,L2,

X=2时分3类情形，

①两个粒子通过1号门后均处上旋状态，通过2号门后均不改变状态；

②两个粒子通过1号门后一个上旋状态一个下旋状态，通过2号门后上旋状态粒子不改变状态，下旋状态

粒子改变状态；

③两个粒子通过1号门后两个均为下旋状态，通过2号门后均改变状态，

所以尸(X=2)=；p2+gp(l_p)+；(l_p)2=；,

同理尸(X=l)=；C；〃(l_p)+；[p2+(l—2y]+；C；p(l_,)=g,

尸(X=0)=l一尸(X=l)_p(X=2)=；

所以所求的分布列为

所以所求数学期望£(X)=0x：+lxg+2x(=l.

5.(24-25高三上•河北保定•期中)已知数列｛%｝,其前"项和为S,,对任意正整数","=2%-〃恒成立,

且％+〃2=12.

(1)证明：数列｛%｝为等比数列，并求实数〃的值；

(2)若"=1二，数列(幻前"项和为小求证：北>111手；

iog2tz„2

⑶当〃21时，设集合B,=｛《+”3•2向<q+%<3•2-2｝,1Wi<J,i"eN*.集合纥中元素的个数记为cn,

求数列｛6｝的通项公式.

【答案】(1)证明见解析，〃=4

(2)证明见解析

(3)c„=«(«>1)

【分析】(1)根据。”的关系，结合等比数列定义，即可证明结论；进而结合已知求出实数〃的值；

(2)结合(1)可求出a=丁二的表达式，进而可得1表达式，继而推出只需证明一构造

函数，利用导数判断函数单调性，即可证明结论；

(3)由题意可知纥中元素个数等价于满足3.2"<2,+2,<32”的不同解伍力的个数，利用反正思想推出

j=n+2,从而推出不等式共〃个不同解(，")，即可得答案.

［邑=2g-u

【详解】(1)由题意得J

两式相减可得％=2%-2an_l9:.an=2%,

令〃=1可得E=2%—//,即q=〃,

令〃=2可得邑=2%-〃，即可+电=2出一〃，所以〃2=2〃

又4+%=12,「.〃=4.

，数列｛%｝为首项为4,公比为2的等比数列.

(2)由(1)可知与=4X2“T=2向，所以

log2tzn〃+1

乜T2<万1”1『〃+2叫[3[+4+可=n+卒2(币2+'2

〃+2

・•・要证(>111行-成立,

只需证」即：•Ain」一+1

〃+1〃+1n+1n+1

1y

令f(x)=x-ln(x+l),/r(x)=1--------=----->0,xe(0,+动,

・•・当XE(O,+8)时，/(X)单调递增，

故/'(无)=xTn(x+l)>/(0)=0,;./(^j)>0,

1.(1八.「।"+2

..----->In--------F1...7?>In------；

n+1(〃+1)2

(3)"21时，集合瓦,={。,+。/3-2田<生+与<3-2"+2},

即3-2"<2'+2,<3-2"i,14i<j,z,jeN*,

B„中元素个数等价于满足3.2"<2,+2,<3.2向的不同解亿j)的个数，

如果/<〃+2,则2"+|<2"+2用=3.2",矛盾；

如果/>〃+2,则2'+2，»2'+2*+3>3.2"%矛盾

j=n+2,

又•.•Qi+2"+2)—3-2"=2+4-20-3-2'=2+20>0,

:.3-2"<2l+2"+2<22+2"+2<---<2"+2"+2<2',+1+2"+2=3-2"+,

即』,2,3,…,明共/个不同解(3),所以%=」(〃21).

【点睛】难点点睛：本题为数列的综合应用问题，解答的难点在于第二问，要注意列用类加的方法得出

比胃=£心上!，从而要证7；>ln手成立，只需证一即工Alnl2+l］，从而构造

2仁2+12w+1n+1〃+1+1)

函数，结合导数解决问题.

♦>--------------B组•能力强化----------O

(模式：3题满分：45分限时：40分钟)

1.(24-25高三上•广东东莞•阶段练习)如图所示，已知四棱锥尸-48CD中,

BC=CD=PA=PB=PC=PD=2,NABC=ZADC=90°.

(1)求证：平面P/C；

(2)当四棱锥尸-ABCD的体积最大时，求二面角P-BC-A的正弦值.

【答案】⑴证明见解析

⑵也

2

【分析】(1)利用三角形全等及三线合一证明NC工8。，然后利用线面垂直的判定定理证明即可；

(2)先通过二面角定义作出二面角的平面角，求出四棱锥体积最大时|/同=C，从而在直角三角形中求解

即可.

【详解】(1)设/Cn8D=0,连接尸。，

因为8C=CD,NABC=NADC=90°,AC=AC,

所以RM/8C四RtA/DC,

所以=NDCQ=NBCQ,又BC=DC,CQ=CQ,

则A。8c0AQDC,点。为8。的中点，

又PB=PD,所以P0_L3Z),

又NDQC=ZBQC,且ZDQC+NBQC=180°,

所以NC18。，

又4。。？。=。，/Cu平面PNC,尸0u平面尸/C,

所以上平面P4C；

AC

(2)由(1)可知，平面尸/C,BDu平面/BCD,

所以平面/BCD工平面尸/C,

取NC的中点为O,连接PO,则尸OL/C,

平面48cz>0平面尸NC=/C,尸Ou平面P/C,

所以尸O_L平面M5CZ),

过点。作0H/3C,垂足为H,连接正以，

则尸“L8C,所以/尸打。为二面角尸的平面角，

因为四棱锥P-的体积为s=g义SABCDx|尸。|=；x|

=泰|明xJ|/W|2To圻等阈*

当且仅当量工=3-号工，即|/同=&体积最大,

此时|0叫=；网=争0尸|=J曲-V6

在RSPO〃中，tanZPHO=^--=l,所以/尸〃。=45°,

2.(2024•山东•模拟预测)已知函数/⑺二山+加.(其中e是自然对数的底，e=2.71828…eR).

⑴讨论函数的单调性；

⑵当x>1时，若/(x)<e"恒成立，求整数。的最大值

【答案】(1)答案见解析

⑵最大值为1

【分析】(1)利用导数分析函数的单调性即可；

(2)由/(x)<e*,整理得.<三”，设函数g(x)匚空(尤>1),进而利用导数分析其单调性，进而

X

求解.

一,/\1r2ax2+1八、

【详解】(1)函数〃x)=lnx+尔定义域为(0,+8),f(x)=—+lax=----------(zx>0).

xx

当.20时，/'(x)>0J(x)在(0,+8)上是增函数;

当"0时，由f<x)>0,解得0<x<

2a

由f<x)<0,解得工〉

2a、

-二,+8上是减函数.

所以函数/(X)在0,上是增函数，在

2aJ

综上所述，当〃>0时，/(X)在(0,+8)上是增函数;

〃X)在卜

当q<0时,上是增函数，在上是减函数.

(2)由题意当无>1时，/(x)<e\整理得.<匚吧

X

令函数g(x)=gF(x>l).

g,(x)=----------?----------=—?—■

、、?

^A(x)=(x-2)ex+21nr-l(x>l),则=.

当％>1时,/T(x)>0恒成立,所以九(x)在(1,+co)单调递增.

又//gj=21n]_l_ge3(0,//(2)=21n2_l)0,

所以现eg,2),使得“伍)=0,即一显。=(半一1卜'。一；.

故xe。,/)时,/z(x)<O;xe(Xo，+8)时，h(x)>0.

因此g(x)在(1,%)单调递减，在(x°,+动单调递增，

令函数夕(》)=，4卜(I，2).则夕，(上当驾口。，

所以<p(x)在||,2)单调递增，因此«|)<8(/)<夕(2).

r⑶"24.52,小121、

又。一=—e2——x------>1,67(2)=—e2——<2,

UJ3939'，48

，a<gmin(x)=g(x0)e(l,2).

因此整数。的最大值为1.

22

3.(2024•海南省直辖县级单位•模拟预测)已知椭圆C：》+%=l(a>6>0)上的点到焦点距离最短为

273-76,至憔点距离最长为26+n.

⑴求椭圆C的方程；

(2)过点作直线/与椭圆C交于A,8两点，且椭圆C的左、右焦点分别为片，F2,△耳4月，△为此

的面积分别为E，邑，求国-S2I的最大值.

【答案】⑴工+匕=1

126

⑵行

u—c=2-\/3—^6

【分析】(1)由题意可得厂厂，进而解出。，。，求得从，进而求解即可;

〃+c=2j3+J6

(2)当直线/的斜率不存在，可得Id-S2卜0,当直线/的斜率存在时，联立直线和椭圆方程，由韦达定理

以及三角形面积公式表示出I4-S2I,进而结合基本不等式求解即可.

a-c=2-\/3—V6

【详解】(1)由题意,

。+。=20+6

解得。=2A/J,C=八，贝！）〃=/一°2=6,

22

所以椭圆。的方程为二+匕=1.

126

(2)由(1)知，^(-V6,0),^(V6,0),

当直线/的斜率不存在时，耳=邑，则5―2|=0；

当直线I的斜率存在时，设直线I的方程为y=Mx+1)(左R0),

y=左（工+1）

联立My,得（1+2左2）、2+4左2、+2左2-12=0,

—+—=1

1126

4k22F-12

设A（Xi，yi）,B（X2,y2），贝!]再+々=_,X]%=

1।1+2左2

所以S[=gx2&x|R="回|,S2=1x2V6x|y2|=V6|^2|,

由于如为异号，所以|凡一期=/斯+闾=。，(々+1)+上('+1)|

4k32用

=>/6卜（无]+x?）+2后|=V6.—+2k=y/6■

1+2〃\+2k2

=2y[6■―---------<2y/6/==y/3

阿+2附2朴冏，

当且仅当]=2网，即左=±*时等号成立,

所以国-邑|的最大值为行.

综上所述，国-邑|的最大值为行.

C组•高分突破

(模式：2题满分：34分限时：30分钟)

1.(2024・贵州六盘水•模拟预测)中国凉都•六盘水，是全国唯一用气候特征命名的城市，其辖区内有群舸

江及乌蒙大草原等景区，每年暑假都有大量游客来参观旅游.为了合理配置旅游资源，文旅部门对来群舸

江景区游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中:的人选择只游览群舸江，另外，的人选择既游览群舸

江又游览乌蒙大草原.每位游客若选择只游览群舸江，则记1分；若选择既游览群阿江又游览乌蒙大草原,

则记2分.假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，视频率为概率.

(1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X,求X的分布列和数学期望；

(2)从游客中随机抽取"个人("©N*),记这〃个人的合计得分恰为〃+1分的概率为乙，求

pl+p2+p3+---+p„；

(3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为"分("《N*)的概率为为,随着抽取人数的无限增加，

““是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由.

【答案】(1)分布列见解析，y

55+3〃

⑵家丁(？

(3)%趋近于常数:.

O

【分析】(1)根据题意得到变量X的可能取值为2,3,4,结合独立事件的概率乘法公式，求得相应的概率,

列出分布列，利用期望的公式，求得期望.

(2)由这"人的合计得分为"+1分，得到£=，公(|)",结合乘公比错位相减法求和，即可求解.

3

(3)记“合计得"分”为事件A,“合计得"+1分，，为事件B,得到%+：%-=1(〃22),结合数列的递推关系

式，进而求得数列的通项公式，得到答案.

【详解】(1)依题意，随机变量X的可能取值为2,3,4,

7471?39

则尸(X=2)=(1)2=石，P(^=3)=C^x-x-=—,P(X=4)=(-)2=—

所以X的分布列如下表所示：

X234

4129

P

252525

412916

数学期望为£(X)=2x*+3x百+4x^=不

(2)由这〃人的合计得分为〃+1分，得其中只有1人既游览群阿江又游览乌蒙大草原,

于是勺=c：T.(I)-1=警1=g.".弓)"，令数列｛n.(|y｝的前"项和为S",

2

贝!]S〃=lx—+2x+3xH-----F〃x

于是卜=1x(a2+2x(守+…+(“T)x($，

±[1-(—)«]

两式相减得]s'='+6+(|)3+…+(1)B-nX(|r=^—f—―nX(|)"+1

仔”詈x(§",因此s“=+"詈.守，

所以PE+A+…+0“=N=I一等.(!)”.

(3)在随机抽取的若干人的合计得分为n-1分的基础上再抽取1人,则这些人的合计得分可能为“分或〃+1

分，

记“合计得〃分”为事件A,“合计得〃+1分，，为事件5,A与5是对立事件，

则尸⑷=4,P(B)=",%=1(〃22),即22),

JJO□O

由q=2[,得一59小，则数列口-5a是首项为一9《，公比为一3