2025年河北省中考数学摸底考试试卷（含答案）

2025年河北中考数学摸底考试试卷

(时间：120分钟满分：120分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的)

1.(如图，在AABC中，/A是钝角，若AB=1,AC=3,则BC的长度可能是............()

A.H-1B.3

C.考D.国

2.若则m+n=.....................................................()

A.3B.4C.5D.6

3.小明与小亮要到科技馆参观.小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示,则科技馆位于小亮

4.如图，点A,B对应的数分别为a,b.对于结论:①ab〈0,②b-a〈0,③a+b〈0,下列说法正确的是

BA

1111.1*

b0a

A.①②对B.①③对

C.仅②对D.①②③都对

5.利用因式分解计算2023X2024-2023?=..................................()

A.1B.2023C.2024D.20232

6.下列运算正确的是.....................................................()

A.x3+x3=x6

B.3X2+2X=5X8

C.(x2)3=x6

D.(x-y)2=x2-y2

7.由下列尺规作图可得AABC为等腰三角形，且AB=BC的是...................()

A.①②B.②③C.①③D.②④

8.嘉淇准备解一元二次方程4X2+7X+D=0时,发现常数项被污染,若该方程有实数根,则被污

染的数可能是.............................................................()

A.3B.5C.6D.8

9.如图,在离地面高度为1.5米的A处放风筝,风筝线AC长5米,用测倾仪测得风筝线与水平

面的夹角为。，则风筝线一端的高度CD为)

A.(1.5+5sin。)米B.(1.5+5cos0)米

C.(1.5+善)米)(L5+备)米

10.问题:“解方程-2x243x=8-x”，嘉嘉解得XF1.5,x2-2.5,淇淇看了嘉嘉的答案，说：“你

算得不对,这个方程只有一个解.”判断下列结论正确的是.....................（）

A.嘉嘉的解是正确的

B.淇淇说得对,因为b-4ac=0

C.嘉嘉和淇淇的说法都不对,因为b2-4ac<0,该方程无解

D.由b-4ac>0可得该方程有两个解，但嘉嘉的结果是错的

11.在4ABC中，要判断/B和/C的大小关系（/B和/C均为锐角），同学们提供了许多方案,

老师选取其中两位同学的方案（如图1和图2）

对于方案I、II说法正确的是...............................................（）

A.1可行、II不可行

B.I不可行、II可行

C.I、H都可行

D.I、II都不可行

12.题目：“如图，已知NA0B=30°,点M,N在边OA上,OM=x,MN=2,P是射线OB上的点.若使点

P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有3个，求x的取值范围.”对于其答案，甲答：x=0,乙答:0

<x<2,丙答:2<x〈4,则正确的是..............................................（）

A.只有甲答得对

B.甲、丙答案合在一起才完整

C.乙、丙答案合在一起才完整

D.三人答案合在一起才完整

二、填空题（本大题共4小题,每小题3分，共12分）

13.已知正用=2,n=百,贝ljm=.

14.现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示（a〉b）.某同学分别用4

张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如图2和图3,其面积分别为SbS2.

则S1S=:

15.如图,直线a//b,线段AB和矩形CDEF在直线a,b之间,点A,E分别在a,b上,点B,C,F在

同一直线上.若Na=70。，/B=60°,则/ABC=.

16.如图，在正方形ABCD中，AB=8，点E在边上，且AD=4AE，点P为边AB上

的动点，连接PE，过点E作EF1PE，交射线BC于点F，则器=.若点M是线

段EF的中点，则当点p从点A运动到点B时，点M运动的路径长为.

三、解答题(本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤)

17.(8分)已知多项式A=(a+2)2-a(4-b)—9

⑴在化简多项式A时，小明同学的解题过程如下所示.

A=(a+2)2-a(4-b)

2

=a+Sr2*a+S-4—Sr4*a+aSb-—9

®©©

=a2—a+ab—5

在标出①②③④的几项中出现错误的是;请你写出正确的解答过程；

（2）淇淇说："若给出a与b互为相反数，即可求出多项式A的值."嘉嘉说："若给出a与b互为

倒数，即可求出多项式A的值."请你判断哪个同学说得对，并按此同学赋予的条件求A的

值.

18.（8分）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植

树活动，并准备了A,B两种食品作为午餐.这两种食品每包质量均为50g,营养成分表如

下.

理）营养成分表国）营养成分表

项目每50g项目每50g

热量700kJ热量900kJ

蛋白质10g蛋白质15g

脂肪5.3g脂肪18.2g

碳水化合物28.7g碳水化合物6.3g

钠2O5mg钠236mg

⑴若要从这两种食品中摄入4600kJ热量和蛋白质，应选用A,B两种食品各多少包？

⑵运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多.若每份午餐选用这两种食品共7包,

要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90g，且热量最低，应如何选用这两种食品？

19.（8分）如图，已知直线I

_______________b.

⑴在，".所在的平面内求作直线，使得，且与间的距离恰好等于与间的距

离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

⑵在（1）的条件下，若与间的距离为2,点L8,（.分别在上，且48C为等腰直

角三角形，求的面积.

20.（8分）根据《国家体质健康标准》规定，七年级男生、女生50米短跑时间分别不超过

7.7秒、8.3秒为优秀等次.某校在七年级学生中挑选男生、女生各5人进行集训，经多次测

试得到10名学生的平均成绩（单位：秒）记录如下：

男生成绩：7.61,7.38,7.65,7.38,7.38

女生成绩：8.23,8.27,8.16,8.26,8.32

根据以上信息，解答下列问题:

⑴男生成绩的众数为，女生成绩的中位数为:

⑵判断下列两位同学的说法是否正确.

小星:5名男生中成小红:5名女生的成

绩最好的是7.38秒.绩均为优秀等次.

⑶教练从成绩最好的3名男生（设为甲，乙，丙）中，随机抽取2名学生代表学校参加比

赛，请用画树状图或列表的方法求甲被抽中的概率.

21.（8分）下面是嘉琪同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务.

用"平移法"解答几何问题解答几何问题常常需要添辅助线，其中平移图形是重要的添辅助

线的策略.

如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，CD上的点，FGJ_AE于点Q-

求证：AE=FG-

BEC图i

小逸在分析解题思路时想到了两种平移法：

方法一：平移线段FG使点F与点B重合，构造全等三角形.

如图2，平移线段FG至BH交AE于点K，

由平移的性质得FG||BH，

BE0图2

:四边形ABCD是正方形，

.••四边形BFGH是平行四边形（依据1），

，BH=FG，

,­FG1AE，

•••ZBKE=9O°-

；WKBE+NBEK=90。，

"EK+NBAE=900，

任务:

（1）填空：材料中的依据］是指,依据2.

⑵补全材料中方法二的剩余证明过程.

⑶如图4,在正方形网格中，A，B，C,。为格点（网格线的交点），AB交CD于点。.则

tanzAOC=-

22.（10分）综合与实践

如图1,某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙,

另外三边用木栏围住，木栏总长为am.

AD

、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、

BC

【问题提出】

小组同学提出这样一个问题：若a=10,能否围出矩形地块?

【问题探究】

小颖尝试从“函数图象"的角度解决这个问题：

设AB为xm，BC为由矩形地块面积为8m2,得到xy=8,满足条件的（x,y）可看

成是反比例函数y=1的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+y=10

,满足条件的（x,y）可看成一次函数y=-2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时

满足这两个条件的（x,y）就可以看成两个函数图象交点的坐标.

如图2,反比例函数y=1（x>0）的图象与直线ky=-2x+10的交点坐标为（1,8）

和，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=lm，

BC=8m；或AB=m，BC=m.

（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空.

【类比探究】

(2)若a=6,能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明

理由.

【问题延伸】

当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y=-2x+a.发现直线y=-2x+a可以看

成是直线y=-2x通过平移得到的，在平移过程中，当过点(2,4)时，直线y=-2x+a

与反比例函数y=](x>0)的图象有唯一交点.

(3)请在图2中画出直线y=-2*+义过点(2,4)时的图象，并求出a的值.

【拓展应用】

小颖从以上探究中发现"能否围成矩形地块问题"可以转化为"y=-2x+a与y=1图象在

第一象限内交点的存在问题

(4)若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范

围.

23.（10分）如图，是小明在自家院子里晾晒衣服的示意图，他发现此时晾衣绳的形状可以

近似的看作一条抛物线.经过测量，他发现立柱AB，CD均与地面垂直，且

AB=CD=2m>AB、CD之间的水平距离BD=8m-绳子最低点与地面的距离为Inb

⑴按如图（1）建立的平面直角坐标系，求抛物线的解析式.

（2）由于晾晒的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小明用一根垂直于地面的立柱MN撑

起绳子，如图（2）MN的高度为L55m,通过调整MN的位置，使左边抛物线对应的函

数关系式为yi=a（x-2）2+k,且最低点离地面1.4米，求水平距离DN.

⑶在（2）的条件下，小明测得右边抛物线F谢应的函数关系式为

y2=0.09（x-5）+1.19,将图（2）中F］，F?两条抛物线组成的新函数图象整体向右

平移m（m>0）个单位长度，平移后的函数图象在54x46时，y的值随x值的增大而减

小，结合函数图象，直接写出m的取值范围.

24.（12分）已知00的半径为3,弦MN=2石，A.48c中，乙48c=90。,48=3,8C=3近.在

平面上，先将一8C和。。按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在。。上，点C在。。

内），随后移动"8C,使点B在弦".V上移动，点A始终在。。上随之移动，设8A'=jr.

（2）当OUT/\时，如图2,求点B至！J（〃的距离，并求此时x的值；

⑶设点。到8（、的距离为d.

①当点A在劣弧上，且过点A的切线与4C垂直时，求d的值;

②直接写出d的最小值.

答案与解析

一、选择题（本大题共12小题,每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的）

1.C2,D3.A4.D5.B6.C7.C8.A9.A10.C

11.C12.B

二、填空题（本大题共4小题,每小题3分，共12分）

13.遥或-&14.（a-b）215.140°16.416

三、解答题（本大题共8小题，共72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤）

17.（8分）

【答案】⑴①；过程见解析

（2）淇淇说得对，一S

【详解】（1）出现错误的是①，

.A=（a+2/—a（4—b）—9

=Q2+4Q+4-4。+一9

=F+帅一5

..出现错误的是①，

故答案为：①；

（2）淇淇说得对，

•当。与b互为相反数时，

々岳34=Q2+Qb—5

多项式

=a（a+b）—5

=0xa-5

=—5

当。与b互为倒数时，

士T否一4=M+Qb-5

多项式

=a24-1-5

1

..淇淇说得对.

18.(8分)

【答案】(1)选用A种食品4包，B种食品2包

(2)选用A种食品3包，B种食品4包

【详解】(1)解：设选用A种食品X包，B种食品y包,

700x+900”=4600,

根据题意，得

10x+15y=70.

解方程组，得

答：选用A种食品4包，B种食品2包.

(2)解：设选用4种食品a包，则选用B种食品(7-a)包,

根据题意，得10a+15(7-a)290.

,43•

设总热量为wkJ，贝！Jw=700a+900(7-a)=-200a+6300.

'­"-200<0，

・・.w随a的增大而减小.

・••当a=3时，W最小.

A7-a=7-3=4•

答：选用八种食品3包，B种食品4包.

19.(8分)

【答案】⑴见解析；

⑵&ABC的面积为1或9.

【详解】(1)解：如图,

2

(2)①当/84。=90。,43=4。时，

v/IIAll6,直线4与q,可的距离为2,且/与4间的距离等于/与右间的距离，根据图形的

对称性可知：BC=2,

AB=AC=42,

S^ABC=_4B-AC=1.

②当ZABC=90。,84=8C时，

分别过点4c作直线4的垂线，垂足为A1,N,

ZAMB=ZSWC=90°.

・・・///*4,直线4与右间的距离为2,且/与4间的距离等于/与乙间的距离,

:.CN=2,AM=\.

・・・NM/8+N/BM=90。，NNBC+2ABM=92,

£MAB=ZNBC,:.AAMB卫&BNC,

BM=CN=2.

在RL4BM中，由勾股定理得力攵=4”+8”，

AB=5

・•.SWC='/B・5C=9・

3

MBNli

综上所述，A/8C的面积为1或

2

20.(8分)

【答案】⑴7.38,8.26

(2)小星的说法正确，小红的说法错误

2

⑶3

【详解】(1)解：男生成绩7.38出现的次数最多，即众数为7.38,

女生成绩排列为：8.16,8.23,8.26,8.27,8.32,居于中间的数为8.26,故中位数为8.26,

故答案为：7.38,8.26；

(2)解：:•用时越少，成绩越好，

•••7.38是男生中成绩最好的，故小星的说法正确；

:女生8.3秒为优秀成绩，8.32>8.3,

有一人成绩达不到优秀，故小红的说法错误；

由表格可知共有6种等可能结果，其中抽中甲的有4种,

4

42

故甲被抽中的概率为二=,.

63

21.(8分)

【答案】⑴两组对边分别平行的四边形是平行四边形，全等三角形的对应边相等;

⑵证明见解析；

1

(3)2.

【分析】()根据推理过程即可求解;

23BCFHAEPBCHFBCWFH

()如图，平移线段至交于点，则四边形是矩形，可得，

BC=FHZF//G=90°^^APF=Z.AEB「,十、工一=BC

,,即得，又由正方形的性质可得

4力BE=90。,AB=FH乙ABE=dHG…人…一，乙BAE=cHFG

,进而得到，，利用余角性质可得，即

一十ABE4FHG(ASA)/=,AE=FG

可证明，得到

34ABFDRDCF

()如图，将线段向右平移至处，使得点与点重合，连接，可得

,AOC="DC设正方形网格的边长为0根据勾股定理可得仃=谆层a

DF=5aZ.FCD=90°

,进而由勾股定理的逆定理可得，即可得

tanz^C=tanzFDC=g=l

12

【详解】(1)解：材料中的依据是：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，依据是:

全等三角形的对应边相等，

故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，全等三角形的对应边相等；

3,BCFHAEP,BCHF

(2)如图，平移线段至交于点，则四边形是矩形,

.BC\\FHBC=FH乙FHG=90°

5

uZ.APF=z.AEB

ABCD

•・•四边形是正方形,

AB=BCz.ABE=90°

.AB=FH^ABE=Z.FHG

tFG1AE

・，FQP=90。

ZHFG+Z4PF=90°

・/B/!E+乙4EB=90°

Z-BAE=Z.HFG

一△ABE△FHG,

在和中,

ABAE=zJiFG

AB=FH

£ABE=ZLFHG

△ABE尸HG(ASA)

AE=FG

4ABFDBDCF

（3）解：如图，将线段向右平移至处，使得点与点重合，连接，则由平移的

ABnFD

性质可得

ZLAOC=zFDC

设正方形网格的边长为“,中用一口几占E-r，曰CF=花。CD=2y/5aDF=Sa

根据勾股定理可得，，

22

CD2+CF2=(2V5a)+(V5a)=25a2DF2=(5d)2=25^

CD2+CF2=DF2

Z.FCD=90°

6

tanzAOC=tanzFDC=券=黑=

故答案为:

图4

【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的性质，平行四边形的判定，矩形的性质，正方形

的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，三角函数，掌握以上

知识点是解题的关键.

22.(10分)综合与实践

(4,2)a=8

【答案】(1);4；2；(2)不能围出，理由见解析；(3)图见解析，；(4)

8<a<17

y=：(x>0)i

y=-2%+10

【详解】解:(1)•反比例函数，直线

，联立得：(y=-2x+io,

(X1=1(x2=4

解得：1乃=8,172=2

...反比例函与直线y=一"+1°的交点坐标为a⑶和az,

当木栏总长为0"时，能围出矩形地块，分别为：—ImBC=8m；或AB=4m

BC=2m

»(4,2)

故答案为：4；2.

(2)不能围出.

...木栏总长为6n\

7

2x+y=6„y=-2x4-6

・•・J，则’，

画出直线)y=-2x+6的图象，如图中Z所i示:

Z：y=；

•.•与函数图象没有交点，

8m2

・••不能围出面积为的矩形；

l\I3V=-2%+Q

（3）如图中直线所示，即为.图象,

将点⑵令代入丫=一次+a得：4=-2x2+a,

解得"=8;

8

y=-2x+a旷一；

（4）根据题意可得：若要围出满足条件的矩形地块，.与图象在第一象限

内交点的存在问题,

O

-2x4-a="(a>0)

即方程X有实数根,

上八&2x2—ax+8=0

整理得：

,A=(-a)2-4x2x8>0

解得：a~8

8

%=1y=；y=T=

把代入得：

8

...反比例函数图象经过点（L8

8.8

V=1y=71=；%=8

把.代入得:,解得：

••・反比例函数图象经过点

令4（1,8）,8（8,1）,过点的⑻B（8』）分别作直线b的平行线,

8

y=-2x+a）-；

由图可知，当.与图象在点八右边，点8左边存在交点时，满足题意;

7

6

5

4

3

2

>x

23456789

把㈤D代入-&得「=T6+a,

解得:""

.8<a<17

【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题

意得出等量关系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据.

23.（10分）

y=^X2-^X+2

【答案】⑴

5

⑵

1<m<24<7n<5

⑶或

【详解】（1）解：（1）如图所示,

9

j/mA

(B)ODx/m

由题意得，

TXBD=4

抛物线的对称轴为

(4,1)4(0,2)上C(8,2)

顶点的坐标为：，点点

y=Q(X—4)2+1

设抛物线的表达式为:

⑼上4(0,2)川》=心一铲+1a(0—铲+1=2<*=»

将点代入得：，

y=^(X-铲+1y=±x2-^X+2

xo广xo/

ek=1.4

••・抛物线J的表达式为：)'=a(X-2)2+L4,

•.•点A在抛物线尸1上，

%=0,y=2

・•.当r时，,

4Q+1.4=2

.a=0.15

=0.1(x-2)l.x=^-2)Z

F.yi52+V2+

则抛物线的表达式为:

10

y=1.55,1.55=0.15(%-2)2+1.4

当‘时，即

整理得：（、一2）2=1

=3Xj=1

（不合题意，舍去）

ON=3DN=OD-ON=8-3=5

(米).

尸1y1=静-2）2+g尸

（3）解:由（2）题可知，抛物线：,抛物线：

2

y2=0.09(x-S)+1.19

x=2x=5

的对称轴分别为和，

0<%<23<x<5

此时，当或时，y的值随x值的增大而减小，

x=2+m

将新函数图象向右平移m个单位长度，可得平移后的函数图象的对称轴分别为，

x=5+m

如图所示,

O正2+w3+zw5+^

・・•平移不改变图形形状和大小，

m<%<24-zn34-77i<x<5-l-m

・••当或时，y的值随x值的增大而减小,

5<%<6

・•・当时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，

得m的取值范围是：

45^2+m>6<m<5

①且，得，

74-m<554-7n>61<m<2

②