2025年奥数满分试题及答案

奥数满分试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题[5]分，共[20]分）

1.若一个正方体的边长为3，则其表面积为：

A.27

B.36

C.45

D.54

2.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，则BC的长度为：

A.8

B.12

C.14

D.16

3.一个等差数列的前三项分别为2、5、8，则该数列的公差为：

A.1

B.2

C.3

D.4

4.下列哪个数是质数？

A.91

B.101

C.109

D.117

5.若一个正方体的体积为64，则其边长为：

A.4

B.8

C.10

D.12

二、填空题（每题[5]分，共[20]分）

1.已知等差数列的第一项为3，公差为2，则该数列的第10项为____。

2.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，则AC的长度为____。

3.一个等比数列的前三项分别为2、6、18，则该数列的公比为____。

4.下列哪个数是合数？

A.91

B.101

C.109

D.117

5.若一个正方体的边长为4，则其表面积为____。

四、应用题（每题[10]分，共[20]分）

6.小明有若干个相同的球，将这些球排成一行，排成3行时，还剩2个球；排成4行时，还剩1个球；排成5行时，正好排完。问小明最少有多少个球？

7.小华有一块正方形的地毯，边长为12米。现在要将其裁剪成若干个相同大小的正方形地毯，使得剩余的面积最小。请问剩余的面积是多少平方米？

五、证明题（每题[10]分，共[20]分）

8.证明：在任意三角形ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C。

9.证明：在等差数列中，任意两项之和等于它们中间项的两倍。

六、综合题（每题[10]分，共[20]分）

10.小红和小明进行拔河比赛，他们的力量比为5:4。比赛过程中，小明先赢了10个回合，然后小红赢了5个回合。此时，两人力量比为7:6。请问，如果两人继续比赛，最终谁会获胜？请说明理由。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析：

1.B。正方体的表面积计算公式为6a²，其中a为边长，代入a=3，得到表面积为6*3²=54。

2.A。根据勾股定理，直角三角形的斜边平方等于两直角边的平方和，即c²=a²+b²。代入a=6，b=8，得到c²=6²+8²=36+64=100，所以c=10。

3.B。等差数列的公差是相邻两项之差，即d=a₂-a₁。代入a₁=2，a₂=5，得到d=5-2=3。

4.B。质数是只能被1和它本身整除的数，101只能被1和101整除，所以是质数。

5.B。正方体的体积计算公式为a³，其中a为边长，代入a=4，得到体积为4³=64，所以边长为8。

二、填空题答案及解析：

1.2×(10-1)+3=21。等差数列的第n项公式为a₁+(n-1)d，代入a₁=3，d=2，n=10，得到第10项为21。

2.15²-9²=225-81=144，所以AC=√144=12。

3.6/2=3。等比数列的公比是相邻两项之比，即q=a₂/a₁。代入a₁=2，a₂=6，得到公比为3。

4.A。91可以被7和13整除，所以是合数。

5.6×4²=6×16=96。正方体的表面积计算公式为6a²，代入a=4，得到表面积为96。

四、应用题答案及解析：

6.小明最少有52个球。因为球的数量必须是3、4、5的公倍数，且比3、4、5的最小公倍数少1，所以是60-1=59，但题目要求最少，所以是52。

7.剩余面积为36平方米。将地毯裁剪成边长为3米的正方形，剩余面积为12×12-3×3=144-9=135平方米。

五、证明题答案及解析：

8.证明：在三角形ABC中，由等腰三角形的性质知，AB=AC，所以∠B=∠C。

9.证明：设等差数列的第一项为a₁，公差为d，任意两项为a₁+(n-1)d和a₁+(n+1-1)d，则它们的和为2a₁+2nd，而中间项为a₁+nd，所以2a₁+2nd=2(a