2025年高考数学重难点专项复习：平面向量中的最值与范围问题【八大题型】原卷版

重难点11平面向量中的最值与范围问题【八大题型】

【新高考专用】

平面向量是高中数学的重要内容，平面向量中的最值与范围问题是高考的热点问题，也是难点问题，

此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合；从近几年的高考情况来看，其基本题型是根据已知条件求某

个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等.

►知识梳理

【知识点1平面向量中的最值与范围问题的解题策略】

1.平面向量中的最值(范围)问题的两类求解思路：

(1)“形化"，即利用平面向量的相关知识将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后结合平面图

形的特征直接进行判断；

(2)“数化"，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方

程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.

2.平面向量中的最值(范围)问题的常用解题方法：

(1)定义法

①利用向量的概念及其运算将所求问题进行转化，得到相应的等式关系；

②运用基木不等式、二次函数求其最值(范围)问题，即可得出结论.

(2)坐标法

①建立适当的直角坐标系，把几何图形放在坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标；

②将平面向量的运算坐标化，进行相应的代数运算和向量运算；

③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值(范围).

【知识点2极化恒等式】

1.极化恒等式的证明过程与几何意义

⑴平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：

|a+^|2+|a-S|2=2(|a|2+|^|2).

证明：不妨设在=Z,®=5,贝1|工=3+B,DB=a-b,

2

因2=宓=(£+印管+2a-S+|zj|①,

网2=加=(］闽y7叫邛②,

①②两式相加得：

|狗2+廊『=2(@+W卜2(画2+1囹］.

(2)极化恒等式:

上面两式相减，得：:j=+B『一--------极化恒等式

平行四边形模式：a-b=^AC^-\DB^.

2.几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平

方差的

4

(1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角

线长”平方差的;，即:•刃一或］(如图).

(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即4•旅=

~AM~一应五2(M为3c的中点)(如图).

极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.

【知识点3等和(高)线定理】

1.等和(高)线定理

(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若5?+〃方Q,〃eR),

则4+〃=1,由△048与A0AE相似，必存在一个常数k,k&R,使得OP'=kOP,则

OP'=kOP=kAOA+k/j.OB,又OP'=xOA+yOB(x,j?eR),.■-x+y^kX+k^k；反之也成立.

(2)平面内一个基底｛5X3｝及任一向量苏，OP'^^OA+^OB^eR),若点P在直线A8上或在平

行于42的直线上，贝~+〃=©定值)；反之也成立，我们把直线以及与直线N8平行的直线称为等和(高)

线.

①当等和线恰为直线48时，k=l；

②当等和线在。点和直线AB之间时，住(0,1)；

③当直线4B在。点和等和线之间时，在(1,+8)；

④当等和线过。点时，k=0；

⑤若两等和线关于。点对称，则定值自，与互为相反数；

⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.

►举一反三

【题型1定义法求最值（范围）问题】

【例1】（2024•四川泸州•一模）已知平面向圜=4,|而|=3,|玩|=1,而•旗=0,则|石？+方|的最小

值是（）

3

A.1B.2C.-D.3

【变式1-1]（2024•四川内江•三模）已知点4B、C在圆好+、2=1上运动，且4B1BC,若点P的坐标为

（0,2）,则|即+而+丽|的最大值为（）

A.3B.5C.7D.9

【变式1-2]（2024•福建•模拟预测）在△ABC中，点。是边BC上一点，若而=久方+）/尼，则等的最小

值为（）

A.7-2V10B.7+2V10C.-2V10D.7

【变式1-3]（2024・江西鹰潭・二模）在Rt△4BC中，角4B,C所对应的边为a力,c/=也C=（c=2,P是△4BC

外接圆上一点，则而•（西+而）的最大值是（）

A.4B.2+V10C.3D.1+V10

【题型2坐标法求最值（范围）问题】

【例2】（2024•宁夏•一模）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一

个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2,若正八边形2BCDEFGH的边

长为2,P是正八边形4BCDEFGH八条边上的动点，则万•四的最小值为（）

图2

0C.-2V^D.-4V^

【变式2-1]（2024•江苏南通•二模）如图，点C在半径为2的而上运动，N40B若反=mOA+nOB,则m+n

的最大值为（）

B.

A.1B.V2C.等D.V3

【变式2-2]（2024•四川成者卜三模）在矩形力BCD中，4B=5,4D=4,点E满足2荏=3而，在平面4BCD

中，动点P满足而•丽=0,则丽•标的最大值为（）

A.V41+4B.V41-6C.2V13+4D.2413—6

【变式2-3]（2024・北京•三模）已知点N在边长为2的正八边形Ai4,…4的边上，点M在边乙儿上，贝U

A^M•嬴的取值范围是（）

A.[-4-2V2,2V2]B.[-4,4+2V2]

C.[—2A/^,4+2>/^]D.[—2A/^,4]

【题型3与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】

【例3】（2024•四川遂宁•模拟预测）在△4BC中，点F为线段3c上任一点（不含端点），^AF=xAB+2y

AC（x>0,y>0）,则;+：的最小值为C）

xy

A.3B.4C.8D.9

【变式3-1]（2024•宁夏银川•模拟预测）在△ABC中，BD=2DC,过点。的直线分别交直线4B、4C于点

E、F,S.AE=mAB,AF=nAC,其中m>0,n>0,则ni+2?i的最小值为（）

A.2B.V2C.3D.|

【变式3-2]（2024•重庆•模拟预测）在正方形ABCD中，动点E从点B出发，经过C,D,到达4AE=AAB

AC,贝U+〃的取值范围是（）

A.[—1,1]B.[0,1]C.[—1,2]D.[0,2]

【变式3-3]（2024•内蒙古呼和浩特•一模）在△ABC中，。为线段ZC的一个三等分点，|ZD|二2|DC|.连接

BD,在线段BD上任取一点E,连接4E,若荏=a^+b荏，则（^+解的最小值为（）

A.B.|C.得D.|

【题型4与数量积有关的最值（范围）问题】

【例4】（2024•全国•模拟预测）已知圆C的半径为1,过圆C外一点P作一条切线与圆C相切于点4

|P4|=2,Q为圆C上一个动点，则方•所的取值范围为（）

A.[2,4]B.[2,6]C.[0,4]D.[4,6]

【变式4-1]（2024•海南・三模）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边

长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三

角形中，已知力B=2,P为弧NC上的一点，且NPBC=*则而•而的值为（）

A.4—\/2^B.4+

C.4-2V3D.4+2V3

【变式4-2]（2024・浙江•一模）如图，点C在以48为直径的圆上，其中|4用=2,过4向点C处的切线作垂

线，垂足为P,则就•丽的最大值是（）

C.0D.-1

【变式4-3]（2024•广东深圳•模拟预测）如图所示，A42c是边长为8的等边三角形，P为/C边上的一个

动点，£厂是以8为圆心，3为半径的圆的直径，则或•而的取值范围是（）

P

A

A.[28,46]B.[32,58]C.[39,55]D.[42,60]

【题型5与模有关的最值（范围）问题】

【例5】（2024•河北保定•二模）如图，圆01和圆。2外切于点P，A,B分别为圆。1和圆。2上的动点，已知圆

。1和圆。2的半径都为1，且丽•丽=-1,如同+方『的最大值为（）

A.2B.4C.2V2D.2V3

【变式5-1]（2024,全国,模拟预测）已知向量五方满足|1+同=3,a-b=0,=Aa+（1—e/?）,

且工•五=2口，则©的最大值为（）

13

A.3B.2C.-D.-

【变式5-2]（2024•河南郑州•模拟预测）已知△4BC中，AB=AC=2^2,+AFC|m，n=2（26R）,

AM^^MB,AP=sin2cr-AB+cos2tr-AC,crG[-,^1,则|丽|的取值范围为（）

zL63J

A.图，咽B.J咽

C.呼，亨]D.J,亨]

【变式5-3]（24-25高三上•黑龙江大庆•期中）勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、

工业上应用广泛.如图所示，分别以正三角形/8C的顶点为圆心，以三角形N3C边长为半径作圆弧，由这

三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形.已知正三角形N2C边长为60,点。，E分别为线段N2,NC的

中点，点尸为圆弧荏上的一动点，则|对+而+无+方+方|的最小值为（）

A

A.60-6V37B.300-30V37C.300—15何D.60-3V37

【题型6平面向量中参数的最值（范围）问题】

_—NTT

【例6】（23-24局一下•河南信阳•阶段练习）如图，点C是半径为1的扇形圆弧4B上一点，且乙4。3=彳,

若无=而2+）/话，贝收+后的最大值是（）

A.1B.芋C.V10D.4

【变式6-1]（23-24高一下•河南•阶段练习）己知口/BCD中，点尸在对角线NC上（不包括端点4C）,

点。在对角线8。上（不包括端点8,。），若而=%话+%而，而=而同+〃2阮，记2怒一出的最小

12

值为加，4+广的最小值为〃，则（）

"242

19-19

A4.m=-n=-B.m=—n=-

oZ4Z

-19-19

C.rn=-->n^-D.m=--,n^-

【变式6-2]（23-24高一下•上海•期中）如图，△力BC的三边长为|2用=3,|BC|=7,|2C|=5,且点B,C分别

在久轴，y轴正半轴上移动，点4在线段BC的右上方.设市=万/+>瓦Q,yeR）,记M=方•瓦

,N=x+y,分别考查M,N的所有可能结果，则（）

A.M有最小值，N有最大值B.M有最大值，N有最小值

C.M有最大值，N有最大值D.M有最小值，N有最小值

【变式6-3]（23-24高二上•上海黄浦•期中）在△ABC中，AC=3,BC=4,NC=9（F.P为△ABC所在平面

内的动点，且PC=2,^CP^ACA+fiCB,则给出下面四个结论：

①4+4的最小值为一、②而•丽的最小值为-6；

③4+〃的最大值为:④而■方的最大值为10.

其中，正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【题型7极化恒等式】

【例7】（23-24高一下•北京•阶段练习）在直角梯形4BC0中,AD\\BC,"BC=90。,

AD=2AB=2BC=2,点P为梯形ABCD四条边上的一个动点，则丽•丽的取值范围是（）

A.[一#]B.[~1,2]C.[-1,4]D.[-]，.

【变式7-1]（2024高三•全国・专题练习）如图，在等腰直角三角形4BC中，斜边4C=2,M为线段4B上的

动点（包含端点），。为2C的中点.将线段AC绕着点。旋转得到线段EF,则砒•市的最小值为（）

3

A.-2B.—~

C.-1D.——

【变式7-2]（2024•湖北省直辖县级单位•模拟预测）如图直角梯形/5CD中，即是CD边上长为6的可

移动的线段，XD=4,AB=8V3,BC=12,则前•方的取值范围为.

【变式7-3]（2024•全国•模拟预测）如图所示，A48C是边长为8的等边三角形，点P为NC边上的一个

动点，长度为6的线段£尸的中点为点8,则无•标的取值范围是.

【题型8等和（高）线定理】

【例8】（2024•山东烟台三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆。，P为圆。上任一点，若丽=久

同+y而，则2x+2y的最大值为（）

【变式8-1]（24-25高二上•浙江台州•开学考试）如图所示，OA,而是两个不共线的向量（N408为锐

角），N为线段08的中点，M为线段上靠近点4的三等分点，点C在MN上，且沆=而2+y而eR）,

【变式8-2]（2024•江西新余•模拟预测）如图，在三角形。PQ中，M.N分别是边。P、OQ的中点，点R在

直线MN上，且读=花？+y丽（x,yeR）,则代数式J久2+y2f_y+软勺最小值为（）

p

;

A.¥B.青C.?D・日

【变式8-3]（23-24高三上•河南•阶段练习）对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称

都能给人以美感，在菱形ABCD中，〃BC=120°,以菱形力BCD的四条边为直径向外作四个半圆，尸是这四

个半圆弧上的一动点，若而=4万？+〃皮，贝U+4的最大值为（）

35

A.5B.3C.-D.-

►课后提升练（19题:

一、单选题

1.（2024・天津和平•二模）平面四边形/2CD中，AB=2,AC=2^3,ACLAB,=则诟•万

的最小值为（）

A.~~\[3B.~2y/3C.-1D.-2

2.（2024•湖北•模拟预测）四边形4BCD是边长为4的正方形，点P是正方形内的一点，且满足

|丽+而+渭+方|=4,贝的最大值是（）

A.1+V2B.V2-1C.2V2-1D.2V2+1

3.（23-24高三上•安徽•阶段练习）已知向量H=Q,3）,B=（12,X—5）,若向量房方的夹角为钝角，则实数x的

范围是（）

A.（-oo,l）B.（1,+oo）

C.（-00,-4）U（-4,1）D.（1,9）U（9,+oo）

4.（2024・湖北黄冈一模）已知向量同=同=4/7=—“=孚，且归一耳=1,财^与不夹角的最大值为

（）

71715n

A.B<D.

6C.E12

5.（2024•安徽六安•模拟预测）已知平面向量区b,工满足同=1,同=K，a-b=-|,{a-c^b-c）

=30。，则用的最大值等于（）

A.2V7B.V7C.2V3D.3於

6.（23-24高一下•广东佛山•阶段练习）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心,

以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒

洛三角形中，已知48=2,P为弧4C（含端点）上的一点，则丽•丽的范围为（）

7.（2024•四川成都•模拟预测）在矩形力BCD中，力B=5/。=4,点E是线段48上一点，且满足力E=4EB.

在平面4BCD中，动点P在以E为圆心，1为半径的圆上运动，则而•尼的最大值为（）

A.V41+4B.V41-6C.2"13+4D.2/13—6

8.（2024•河北沧州・三模）对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分

支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边△4BC中，AB=2,以三条边为直径向外作三

个半圆，M是三个半圆弧上的一动点，若前=4荏+〃*，则A+从的最大值为（）

3

C.1D.2

二、多选题

9.（2024•山东潍坊•二模）已知向量出b,2为平面向量，同=1,同=2,a-b=0,\c—a\=,|,则（）

31+2西

A.1<|c|<-B.6一五）・（/一石）的最大值为

4

C.-1<b-c<1D.若c=2a+〃b,则2+4的最小值为1—手

10.（2024・四川眉山•一模）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，丽="，点P在以CD为直径的半圆

上（含端点），设而=久同+y而，贝U（）

A.y的值不可能大于1B.前=/+|通

c.Q•荏的最小值为:D.Q•瓦的最大值为1

11.（23-24高一下•广东广州•阶段练习）在△（MB中，。4=1,OB=2/4OB=120。，点P是等边△力BC

（点。与C在48的两侧）边上的一动点，^OP=xOA+yOB,则有（）

A.当x=（时，点P必在线段4B的中点处B.x+y的最大值是

C.诃•雨的最小值是一1D.而♦丽的范围是［―

三、填空题

12.（2024・甘肃・一■模）已知单位向量获满足|3五一4同=如则m的范围是.

13.（2024•安徽马鞍山•模拟预测）己知△/!回中，角2,B,C所对的边分别为a,b,c,^BAC=^,6=1,

c=V3,若通=谓萨+篇化，则|而