2025年高考数学重难点复习：平面向量的概念（解析版）

第01讲平面向量的概念

模块导航素养目标

模块一思维导图串知识1.通过阅读课本，查阅资料，并能结合物理中的力、位

模块二基础知识全梳理（吃透教材）移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别

模块三核心考点举一反三与联系；

模块四小试牛刀过关测2.认真阅读课本，在读书过程中学会用有向线段、字母

表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别；

3.在认真学习的基础上，理解零向量、单位向量、平行

向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识

图形中这些相关的概念.学会向量的表示方法；

模块一思维导图串知识

6模块二基础知识全梳理-----------------------------

知识点1向量的概念

（1）向量

在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量.

①我们所学的向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平移.

②向量与向量之间不能比较大小.

（2）数量

只有大小没有方向的量称为数量，如年龄、身高、长度、面积体积、质量等

（3）向量与数量的区别

①向量与数量的区别：向量有方向,而数量没有方向；数量与数量之间可以比较大小,而向量与向量之间不能

比较大小

②向量与矢量:数学中的向量是从物理中的矢量（如位移、力、加速度、速度等）中抽象出来的，但在这里我

们仅考虑它的大小及方向；而物理中的这些量,既同时具备大小和方向这两个属性,还具有其他属性（如“力”

就是由大小方向、作用点所决定的）.

知识点2（1）有向线段

具有方向的线段叫做有向线段

①有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,其方向是由起点指向终点.以A为起点、3为终点的有向线段

记作A8（如图所示），线段A3的长度也叫做有向线段的长度，记作表示有向线段时,起点一定要写

在终点的前面,上面标上箭头.

终点）

4（起点）

②有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向、长度，它的终点就唯一确定了.

（2）向量的表示

①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.

②字母表示：向量可以用字母°,…表示

（3）向量的模

向量AB的大小称为向量AB的长度（或称模），记作|].

（4）两种特殊的向量

零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作0.

单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量

①若用有向线段表示零向量,则其终点与起点重合.

②要注意0与0的区别与联系:0是一个实数，0是一个向量,且有101;书写时0表示零向量,一定不能漏掉

0上的箭头.

③单位向量有无数个,它们大小相等，但方向不一定相同.

④在平面内,将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到同一点,则它们的终点构成一个半径为1的圆.

知识点3相等向量与共线向量

（1）平行向量

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量4与b平行,记作ab.规定:零向量与任意向量平行,即对

于任意向量a,都有0a.

（2）相等向量

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

向量a与。相等,记作a=b-两个向量相等必须具备的条件是长度相等,方向相同因为向量完全由它的方向

和模确定,故任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.

（3）共线向量

任一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量也叫做共线.

共线向量所在直线平行或重合,如果两个向量所在的直线平行或重合,则这两个向量是共线向量.

❖＞模块三核心考点举一反三

考点一：向量的有关概念

1.（23-24高一下•新疆乌鲁木齐•阶段练习）给出下列物理量:

①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度;⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间.其中不是向量的有（）

A.①⑥B.⑦⑧⑨C.①⑧⑨D.①⑥⑦⑧⑨

【答案】D

【知识点】平面向量的概念与表示

【分析】根据向量的定义可得正确的选项.

【详解】速度、位移、力、加速度既有大小,又有方向，故它们为向量,

余下皆不为向量,

故选：D.

【变式1-1］（23-24高一下•黑龙江绥化•阶段练习）关于平面向量，下列说法正确的是（）

A,向量可以比较大小B.向量的模可以比较大小

C.速度是向量，位移是数量D.零向量是没有方向的

【答案】B

【知识点】平面向量的概念与表示、零向量与单位向量、向量的模

【分析】根据向量的相关概念直接判断即可.

【详解】向量不可以比较大小，但向量的模是数量，可以比较大小，A错误，B正确；

速度和位移都有方向和大小，是向量，C错误；

零向量方向任意，D错误.

故选:B

【变式1-2］（多选）（24-25高一下•全国•课后作业）（多选）下列说法正确的是（）

A.加速度是向量B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同

C.零向量的方向是任意的D.向量就是有向线段

【答案】AC

【知识点】平面向量的概念与表示、零向量与单位向量、相等向量

【分析】根据向量的有关定义即可判断选项正误.

【详解】A.由向量的定义知，加速度是向量，故正确；

B.两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故错误；

C.由零向量的定义知，零向量的方向是任意的，故正确；

D.向量可以用有向线段表示，但两者不同，故错误.

故选：AC.

⑴找出与EE相等的向量；

⑵找出几组相反向量.

【答案】⑴BC=FE

（2）04与FE，0A与8C,0C与DE

【知识点】相等向量、相反向量

【分析】（1）根据相等向量定义判断选择即可；

（2）根据相反向量定义判断选择即可.

【详解】（D8C与EE方向相同且长度相等，故BC=FE.

（2）OA与FE，。4与8C,0C与QE方向相反且长度相等分别互为相反向量.

考点二：向量的表示

例2.（23-24高一•全国•随堂练习）画图表示小船的下列位移（用1:500000的比例尺）：

⑴由A地向东北方向航行15km到达B地；

⑵由A地向北偏西30。方向航行20km到达C地；

⑶由C地向正南方向航行20km到达。地.

【答案】(1)答案见详解

(2)答案见详解

(3)答案见详解

【知识点】平面向量的概念与表示

【分析】先画出以点A为顶点，北偏东45。的角，并取出相应的长度确定5点；接下来再以点4为顶点画

出北偏西30。的角，并取出相应的长度确定C点，再以点C为顶点正南方向，并取出相应的长度确定。点

即可.

【详解】(1)根据1：500000的比例尺，15km即图上3cm,作图如下，

(2)根据1:500000的比例尺，20km即图上4cm,作图如下,

(3)根据1:500000的比例尺，20km即图上4cm,作图如下,

【变式2-1](23-24高一•上海•课堂例题)在平面直角坐标系中，作出表示下列向量的有向线段:

⑴向量a的起点在坐标原点，与x轴正方向的夹角为120。且|«|=3；

⑵向量6的模为4,方向与y轴的正方向反向;

（3）向量c的方向与y轴的正方向同向，模为2.

【答案】（1）答案见解析

（2）答案见解析

（3）答案见解析

【知识点】平面向量的概念与表示

【分析】（D由向量的相关定义作图即可;

（2）由向量的相关定义作图即可;

（3）由向量的相关定义作图即可.

由题意与=3cos12。=-1^=3sml20=孚故04即为所求，其中“一却；

(2)

Ox

4~b

(0,-4)'为

由题意XB=4cos(-90)=0,%=4sin(-90)=-4,故⑪即为所求，其中*0,7);

(3)

斗

yo,2)

-c2

---------------------->

OX

由题意.%=2COS90=0,Jc=2sin90=2,故OC即为所求，其中C(0,2).

【变式2-2］（24-25高一下•全国•课后作业）在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量.

(1)|OA|=2,点A在点0的正东方向；

⑵口q=2近，点8在点。的北偏东45。方向；

(3)求出,目的值.

【答案】⑴答案见解析

(2)答案见解析

(3)网=2.

【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模

【分析】(1)根据要求画出点A的位置即可；

(2)根据要求画出点8的位置即可；

(3)向量钻由点A指向点B,画出图形即可求出卜百

【详解】(1)所求向量如图所示：

东

(2)所求。8向量如图所示:

东

(3)由图知，VA03是等腰直角三角形，所以网=2.

【变式2-3](23-24高一下•安徽淮北•阶段练习)在如图的方格纸中，画出下列向量.

(1)|OA|=3,点A在点0的正西方向；

(2)|<9B|=3A/2,点B在点0的北偏西45方向；

⑶求出网的值.

【答案】⑴答案见解析；

(2)答案见解析；

(3)3

【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模

【分析】(1)根据向量的大小和方向，作向量0A，

(2)根据向量的大小和方向，作向量08,

(3)根据向量的模的定义求网.

【详解】(1)因为|。小=3,点A在点。的正西方向,故向量的图示如下:

(2)因为|。q=3&,点B在点。的北偏西45方向,故向量08的图示如下:

一►东

(3)

东

考点三：向量的模

'例3.（23-24高二下•全国•课后作业）如图所示，以长方体ABC。-A瓦CQ的八个顶点的两点为起点

和终点的向量中，

⑴试写出与AC模长相等的所有向量；

UUU

（2）若4B=AD=2,A4,=l.求向量AC1的模.

【答案】⑴AG，CA,C^,BD,DB,BR,D£

（2）3

【知识点】相等向量、向量的模

【分析】（1）根据向量模长相等判断求解；

（2）应用立体图形结合定义求出模长.

【详解】（1）在长方体ABCO-A4G2中，与AC相等的所有向量（除本身外）有

A,Cl,CA,ClAi,BD,DB,BlDl,DlBl,共3个.

（2）在长方体ABCD-A再G2中，连接AC,AG，如图,

AB2+BC2,AC；=AC2+CC：,

uuuuuir।--------------------------------------

所以向量的模IAG|=^AB-+BC1+CC1=^22+22+l2=3.

【变式3-1］（23-24高一下•北京•期中）已知向量“力共线，且同=小|=2,贝电+*

【答案】1或3

【知识点】向量数乘的有关计算、平行向量（共线向量）、向量的模

【分析】借助向量共线，分向量同向与反向计算即可得.

【详解】由向量a,。共线，故向量6可能同向、可能反向，

当向量。力同向时，由同=2忖=2,则卜+6卜忸+可=3,

当向量a,6反向时，由闷=2网=2,贝（］卜+6卜卜26+.=1.

即卜+,可能为1或3.

故答案为：1或3.

【变式3-2］（24-25高一上•上海•课后作业）（1）如图，在2x4的矩形中，起点和终点都在小方格顶点且

模与|A8|相等的向量共有多少个？（除AB夕卜）

（2）如果扩展到3义4的矩形呢？（除钻外）

【知识点】向量的模

【分析】数出与|AB|所占同样大小的矩形个数，再根据向量和向量模的定义求解即可.

【详解】（1）每个1x2的矩形中有4个符合要求的向量，这样的矩形共有10个，则共有40个向量的模与|A8|

相等，但|AB|本身除外，故共有39个;

（2）每个1x3的矩形中有4个符合要求的向量，这样的矩形共有10个，则共有40个向量的模与|AB|相等,

但|AB|本身除外，故共有39个.

【变式3-3］（23-24高一下•福建泉州•期中）已知边长为3的等边三角形ABC,求8C边上的中线向量短的

模|叫

【答案】史瑟

22

【知识点】向量的模

【详解】根据正三角形的性质，求得BC边上的中线长，即可求解.

【解答】如图所示，因为VABC是正三角形，所以BC边上的中线向量仞的模就是三角形的高,

考点四：零向量与单位向量

“、例4.（多选）（23-24高一下•吉林四平•阶段练习）下列说法中正确的是（）

A.零向量与任一向量平行B.方向相反的两个非零向量不一定共线

C.单位向量是模为1的向量D.方向相反的两个非零向量必不相等

【答案】ACD

【知识点】相等向量、平行向量（共线向量）、零向量与单位向量

【分析】根据零向量的定义与性质，判断出A项的正误；根据共线向量与相等向量的定义，判断出B、D

两项的正误；根据单位向量的定义，判断出C项的正误.

【详解】解：对于A,零向量的方向是任意的，零向量与任一向量平行，故A项正确；

对于B,根据共线向量的定义，可知方向相反的两个非零向量一定共线，故B项错误；

对于C,根据单位向量的定义，可知C项正确；

对于D,方向相同且模相等的两个向量相等，因此方向相反的两个非零向量一定不相等，D项正确.

故选：ACD.

【变式4-1］（2024高三•北京•专题练习）给出下列命题：①任一非零向量都可以平行移动，零向量的长度

为零，方向是任意的；②若“，匕都是单位向量，贝。=6;③向量与朋相等.其中正确命题的序号为（）

A.①B.③C.①③D.①②

【答案】A

【知识点】零向量与单位向量、平行向量（共线向量）、相等向量

【分析】由向量的有关概念逐项判断即可.

【详解】因为同方向且模相等的向量相等，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，

且零向量的长度为零，方向是任意的，故①正确；

根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，

故两个单位向量不一定相等，故②错误；

向量AB与区4互为相反向量，故③错误.

故选：A.

【变式4-2］（23-24高一下•湖北•期中）下列结论错误的是（）

A.零向量与任一向量共线

B.零向量与任一向量的数量积为0

C.方向相反的两个向量是相反向量

D.模长等于1个单位长度的向量称为单位向量

【答案】C

【知识点】向量的模、数量积的运算律、零向量与单位向量、相反向量

【分析】根据零向量的概念、向量的数量积、相反向量的概念和单位向量的概念依次判断选项即可.

【详解】A：零向量与任意向量共线，故A正确；

B：零向量与任意向量的数量积都等于0,故B正确；

C：相反向量的概念是方向相反且长度相等的两个向量，故C错误；

D：单位向量的概念是模为1个单位长度的向量，故D正确.

故选：C

【变式4-31（多选）（23-24高一下•辽宁抚顺•开学考试）设a#0,则与其平行的单位向量有（）.

【答案】AB

【知识点】平行向量（共线向量）、零向量与单位向量

【分析】

由向量平行的定义以及单位向量的定义直接判断即可.

【详解】解：显然ABCD四个选项都与向量a平行，

百。=1为单位向量，且与向量°平行，故A正确；

1

一时。模长也为1,且与向量a平行，故B正确；

CD选项与向量°平行，但模长不一定为1,故CD不正确.

故选：AB

考点五：相等向量

|'j例5.（2024高三•全国•专题练习）如图，在正ABC中，D,E,歹均为所在边的中点，则以下向

量和FC相等的是（）

C.DFD.ED

【答案】D

【知识点】相等向量

【分析】由相等向量的定义求解即可.

【详解】,•,EP，FB，。产与PC方向不同，

EF>FB>。尸与PC均不相等；

•••西与尸c方向相同，长度相等，••.a）=■7.

故选：D.

【变式5-1］（23-24高一下•江苏连云港•阶段练习）下列说法错误的是（）

A.\CD\=\DC\B.%、e?是单位向量，则同=闻

C.两个相同的向量的模相等D.单位向量均相等

【答案】D

【知识点】零向量与单位向量、相等向量、向量的模

【分析】根据相等向量、单位向量的定义判断即可.

【详解】对于A：因为CL>=-DC，又互为相反向量的两个向量的模相等，所以故A正确；

对于B：因为6、e?是单位向量，所以囿=同=1,故B正确；

对于C：两个相同的向量的模相等，故C正确；

对于D：单位向量的模相等均为1,由于无法确定方向是否相同，故单位向量不一定相等，故D错误.

故选：D

【变式5-21（多选）（24-25高一下•全国•课后作业）如图，在菱形ASCD中，/B4D=120。，则以下说法

正确的是（）

H

A.与AB相等的向量只有1个（不含AS）

B.与AB的模相等的向量有9个（不含钻）

C.8。的模恰为D4的模的招倍

D.C8与0A不相等

【答案】ABC

【知识点】相等向量、向量的模

【分析】根据相等向量以及模长定义，结合结合图形求解ABD,根据菱形的性质即可求解C.

【详解】由于A3=DC,因此与AB相等的向量只有。C，而与AB的模相等的向量有D4，DCfAC»CB，

AD，CD,CA，BC,BA,，故A,B正确；

而在RtAC©中，ZADO=30°,.-.|r）o|=^|oA|,故,q=后归小，故C正确；

由于CB=£>A,因此CB与D4是相等的，故D错误.

故选：ABC

【变式5-3］（23-24高一下•安徽六安•期末）如图，四边形是平行四边形，四边形A30E是矩形.

⑴找出与45相等的向量；

⑵找出与共线的向量.

一———UIM1UUU1

【答案】⑴DCED

LlUUUUUULIUULIUUULlUUUUU

（2）DC,ED.EC,BA.CD,DE,CE

【知识点】相等向量、平行向量（共线向量）

【分析】（D根据相等向量的定义写出即可;

（2）根据共线向量的定义直接写出.

【详解】（D由四边形45。是平行四边形，四边形A3OE是矩形知，

送，筋与AB的长度相等且方向相同，所以与AB相等的向量为DC,筋.

（2）由题干图可知，DC,ED,EC与方向相同，BA,CD,DE,CE与方向相反,

.ULIUULIU1ULU1ULIUUU1UUIUUUU

所以与AB共线的向量有DC,ED,EC,BA,CD,DE,CE.

考点六：共线向量

■'例5.（2024高三•全国•专题练习）在VABC中，AB=AC,。、E分别是A3、AC的中点，贝！|（）

A.AB与AC共线B.与C2共线

C.CD与AE相等D.仞与8。相等

【答案】B

【知识点】相等向量、平行向量（共线向量）

【分析】利用共线向量、相等向量的概念逐项判断即可.

【详解】由题意可知，与AC不共线，A错；

因为。、E分别是A3、AC的中点，所以，DE//BC,故OE与CB共线，B对；

因为CD与AE不平行，所以CD与AE不相等，C错；

因为A£）=£）3=-B。，D错.

故选:B.

【变式6-1］（23-24高一下•黑龙江大庆•阶段练习）下列命题中，正确的是（）

A.若卜卜忖，则a=bB.若W>W，则a>6

C.若a=b,则°。D.若0〃氏万〃c,则a〃c

【答案】C

【知识点】平行向量（共线向量）

【分析】根据向量的概念逐一判断.

【详解】对于A：若同=仰，则”,6只是大小相同，并不能说方向相同，A错误；

对于B：向量不能比较大小，B错误；

对于C：若a=b,贝!Ja,6方向相同，C正确;

对于D：若a〃4匕〃c，如果6为零向量，则不能推出a,c平行，D错误.

故选：C.

【变式6-2］（多选）（24-25高二上♦内蒙古呼伦贝尔•阶段练习）关于非零向量.，b,下列命题中，正确

的是（）

A.若同=网，则q=bB.若a=，则&〃b

C.若0//b,bll。,则。〃CD.若同>|“，则

【答案】BC

【知识点】向量的模、平行向量（共线向量）、平面向量的概念与表示、相等向量

【分析】根据向量的模、向量共线等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，向量的模相等，可能方向不相等，所以A选项错误.

B选项，两个向量互为相反向量，则这两个向量平行，所以B选项正确.

C选项，非零向量。，b,若allb，b//c，则a〃e成立，所以C选项正确.

D选项，向量不能比较大小，所以D选项错误.

故选：BC.

6模块四小试牛刀过关测-------------------------------

一、单选题

1.（2024高二上•黑龙江佳木斯•学业考试）下列量中是向量的为（）

A.功B.距离C.拉力D.质量

【答案】C

【知识点】平面向量的概念与表示

【分析】根据向量的定义即可判断.

【详解】功，距离，质量只有大小没有方向，不是向量；拉力既有大小又有方向，是向量.

故选：C.

2.（2024高三•全国•专题练习）下面命题中，正确的是（）

A.若=贝!|q=bB.若同>W，贝!|q>bC.若a=-b，则a//〃D.若

|4|=。，贝！la=O

【答案】C

【知识点】向量的模、平行向量（共线向量）、平面向量的概念与表示、零向量与单位向量

【分析】根据向量的概念逐一判断

【详解】对于A,若同=忖，但两向量方向不确定，则不成立，故选项A错误；

对于B,向量无法比较大小，故选项B错误；

对于C,若a=-b,则两向量反向，因此a//6,故选项C正确；

对于D,若同=。，则〃=0,故选项D错误.

故选：C

3.（24-25高二下•全国•课后作业）给出下列命题：

①若空间向量满足Ia1=1切，则

②在正方体ABCD-ABiQD,中，必有AC=AG；

③若空间向量a,6,c满足a=b,b=c,则。=心

其中假命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【知识点】空间向量的有关概念、相等向量

【分析】根据相等向量的定义易判断①为假命题；对于②借助于正方体图形推理易得；对于③由空间向量

的相等定义易得.

【详解】对于①，向量相等即模相等和方向相同，故①为假命题；

对于②，如图正方体ABC。-A4G2中，的//3瓦//"1，且441=8瓦=（70,则得ACQA,,

ULUUUULIU

故有AC//AG,AC=AG,且AC,4G方向一致，所以AC=AG，故②为真命题；

对于③，根据向量相等的定义可知成立，故③为真命题.

故选：B.

4.（23-24高一下•陕西咸阳•期中）已知四边形ABC©中，AB=DC,并且,@=卜耳，则四边形ABC。是

（）

A.菱形B.正方形C.等腰梯形D.长方形

【答案】A

【知识点】相等向量

【分析】由A3=£>C,得到四边形ABCD为平行四边形，再由网=,4，得到％=,得出四边形ABCD

为菱形.

【详解】由题意，四边形A2CD中，

因为A8=Z）C,可得|Aq=k4且AB〃CD,所以四边形ABC。为平行四边形，

又因为=可得=

所以四边形A3CD为菱形.

故选:A.

5.（24-25高二上•河南商丘•阶段练习）给出下列命题：

①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；

②在正方体ABCD-aqGR中，必有AC=AG；

③若空间向量〃也C满足a="》=c,则。=°;

④空间中任意两个单位向量必相等；

其中假命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【知识点】空间向量的有关概念、零向量与单位向量、判断命题的真假

【分析】根据空间向量的定义，逐个命题进行判断即可.

【详解】对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构

成一个球面，故①为假命题；

对于②，根据正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结合向量的方向，所以AC=AG，故②为真命

题；

对于③，根据向量相等的定义，明显成立，故③为真命题；

对于④，向量相等即模相等和方向相同，故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故④为假命题.

故选：B

6.（24-25高二上•全国•课后作业）下述四个结论中，所有正确结论的编号是（）

①零向量没有方向；②向量的线性运算结果可以是实数；

③相等向量的方向相同；④与向量。方向相反的向量，叫做"的相反向量.

A.①②B.②③C.③D.③④

【答案】C

【知识点】零向量与单位向量、向量的线性运算的几何应用、相等向量

【分析】运用向量有关概念逐项判断即可.

【详解】零向量长度为0,有方向，①错误；

②向量的线性运算结果仍然是向量，②错误；

相等向量的方向相同，模相等，③正确；

④与向量“长度相等，方向相反的向量，叫做向量”的相反向量，④错误.

故选：C.

7.（23-24高一下•福建福州•期中）下列说法正确的是（）

A.若两个非零向量A2,。共线，则必在同一直线上

B.若。与b共线，。与c共线，则。与c也共线

C.若同=忖则.=6

D.若非零向量AB与CD是共线向量，则它们的夹角是0或180

【答案】D

【知识点】平行向量（共线向量）、相等向量

【分析】根据共线向量的概念即可判断A,B,D;根据相等向量的概念可以判断C.

【详解】方向相同或相反的两个非零向量是共线向量，因此D正确；

若非零向量AB,CD是共线向量，则ABC,。未必在同一直线上，A错；

若6=0,则4与6共线，6与c共线，但是。与c未必共线，B错；

由卜卜网可以得到d6的大小相等，但方向不一定相同，C错.

故选：D.

8.（23-24高一下•吉林•期末）下列说法正确的是（）

A.平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上；

B.若卜卜W，则a与6的长度相等且方向相同或相反；

C.若M=W，且“与匕的方向相同，则a=%

D.若a〃b,则a与b方向相同或相反

【答案】C

【知识点】平行向量（共线向量）、相等向量、零向量与单位向量、向量的模

【分析】考虑向量的起点位置可判断A；利用向量相等的定义可判断BC；考虑特殊向量可判断D.

【详解】对于A,只有平面上所有单位向量的起点移到同一个点时，其终点才会在同一个圆上，故A错误:

对于B,由同=忖只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系，故B错误；

对于C,因为同=忖，且°与。同向，由两向量相等的条件，可得a=故C正确；

对于D,依据规定：。与任意向量平行，故当a=0时，a与。的方向不一定相同或相反，故D错误.

故选：C.

二、多选题

9.（24-25高二上•云南昭通•期中）如图，在菱形ABCZ）中，若ND4B=120。，则以下说法中正确的是（）

A.8。与。8不平行

B.8。的模恰为D4模的百倍

C.与筋的模相等的向量有9个（不含河）

D.与筋相等的向量只有一个（不含145）

【答案】BCD

【知识点】相等向量、平行向量（共线向量）、向量的模

【分析】根据题意结合向量的相关概念逐项分析判断.

【详解】对于选项A：向量2。与。8的方向是相反的，是平行向量，故A错误；

对于选项B：因为80=gcO,则3D==君4。，

所以8D的模恰为D4模的石倍，故B正确；

对于选项C：根据菱形的性质结合=120。，可知对角线AC与菱形的边长相等，

故与AB的模相等的向量有明，AD，DA，DC，CD,BC,CB«AC，CA,共9个向量，故C正确;

对于选项D：与钻相等的向量需要方向相同，模相等，只有。C,故D正确；

故选：BCD.

10.（24-25高一下•全国•课堂例题）（多选）下列命题中，正确的是（）

A.若a与b同向，且|a|>|b|,则

B.若|a|=|b|,贝人与b的长度相等且方向相同或相反

C.对于任意|〃|=出1,且。与。的方向相同，则a=b

D.所有的零向量都相等

【答案】CD

【知识点】零向量与单位向量、相等向量、向量的模

【分析】根据向量的概念判断A；根据向量模的概念判断B；根据向量相等的概念判断C；根据向量相等

的概念判断D.

【详解】A不正确，因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向

量不能比较大小；

B不正确，由|〃|=|加只能判断两向量长度相等，并不能判断方向；

C正确，|.|=出|,且a与b同向，由两向量相等的条件可得a=6；

D正确，符合相等向量的定义.

故选：CD.

三、填空题

11.（24-25高二上•全国•课后作业）给出下列命题：

①Ial=gI是向量a=6的必要不充分条件；

\a\=\b\

②向量〃，b相等的充要条件是।11,；

al1b

③若A,B,C,D是不共线的四点，则A3=DC是四边形A3。为平行四边形的充要条件.

其中正确的是.（填序号）

【答案】①③

【知识点】相等向量、判断命题的必要不充分条件、充要条件的证明

【分析】对每个命题分别判断即可得到答案.

【详解】对于①，由a=b|=|匕|,而显然|a|=|6a=6.

从而I。|=屹|是向量。=6的必要不充分条件，故①正确.

对于②，向量&=。,0）,6=（-1,0）不相等，但满足同=忖且；//力，故②错误.

对于③，因为AB=DC,贝！1148|=|。（7|且48//。。，

又A,民C,£>不共线，所以四边形ABCZ）是平行四边形.

反之，在平行四边形ABC。中，由于平行四边形对边平行且长度相等，故有A8=OC.

所以A8=OC是四边形为平行四边形的充要条件，故③正确.

故答案为：①③.

12.（23-24高一下•全国•课后作业）如图所示，。是正三角形A5C的中心，四边形AOC。和四边形A03E

均为平行四边形，

则：