2025年高考数学重难点复习：概率与统计答题技巧（原卷版）

解答题045类概率与统计答题模板

(分布列及期望方差、二项分布超几何分布正态分布、条件概率全概率贝叶斯公

式、独立性检验与线性回归直线方程、概率与数列及导数杂糅)

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模板01离散型随机变量的分布列及期望方差的答题模板

模板02二项分布、超几何分布、正态分布的答题模板

模板03条件概率、全概率与贝叶斯公式的答题模板

模板04独立性检验与线性回归直线方程的答题模板

模板05概率与数列及导数杂糅的答题模板

模板01■效里随机变量的分布弧期望方模板〔

离散型随机变量的分布列与数字特征是新高考卷中的高频考点，难度适中，常在解答题中出现，需要

重点复习。

@横池西建

1.离散型随机变量的分布列及性质

(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为X1，尤2，…，Xi，•••,Xn，X取每一个值Xi(i=l,2,…,

W)的概率P(X=Xi)=pi，则表

……

XX1X2XiXn

•・・…

PPiP2PiPn

称为离散型随机变量X的概率分布列.

(2)离散型随机变量的分布列的性质：

®Pi>0(z=l,2,•••,n)；②pi+p2H-----Hp"=l.

2.离散型随机变量均值

(1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为:

・・・・・・

XXIX2XiXn

・・・・・・

PPiP2PiPn

则称线&=尤01+X202+…+…+为必为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值

的平均水平.

(2)若¥=<^+匕，其中a,b为常数，则¥也是随机变量，且E(aX+b)=aE(X)+A

(3)①若X服从两点分布，则E(X)=p；

②若X〜B(mp),则£(X)=牝.

3.离散型随机变量方差

(1)设离散型随机变量X的分布列为

….・・

XX\X2Xi

…

pPiP2Pi•・・Pn

则国—戈田)2描述了属《=1,2,…，①相对于均值E(X)的偏离程度.而。(X)=£(尤LE(X))2"为这些偏离程

度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，称£>(X)为随机变量X的方差，并称其算

术平方根而后为随机变量X的标准差.

(2)Z)(oX+Z?)=a2O(X).

(3)若X服从两点分布，则£>(X)=p(l—p).

(4)若X〜3(〃,p),MD(X)=np(l~p).

4极运用

(2022・全国•高考真题)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目，每个项目胜方得10

分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.己知甲学校在三个项目中

获胜的概率分别为0.5,0,4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.

⑴求甲学校获得冠军的概率；

(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.

)支式1.(2021•全国•高考真题)某学校组织“一带一路"知识竞赛，有48两类问题，每位参加比赛

的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正

确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问

题回答正确得20分，否则得。分；8类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得。分，已知小明能正确

回答A类问题的概率为0.8,能正确回答8类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

3

＞麦K（2。24四川宜宾•一模）现有甲、乙两个靶,某射手向甲靶射击两次,每次命中的概率为了,

每命中一次得1分，没有命中得。分；向乙靶射击一次，命中的概率为:，命中得2分，没有命中得。分。

假设该射手完成以上三次射击，且每次射击的结果相互独立.

⑴求该选手恰好命中一次的概率;

⑵求该射手的总得分X的分布列及其数学期望E（X）.

01横板演炼

1.（2024•福建厦门•模拟预测）小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了24元，然后发给朋友4如

果A猜中，A将获得红包里的所有金额；如果A未猜中，A将当前的红包转发给朋友2,如果B猜中，A、B

平分红包里的金额；如果8未猜中，8将当前的红包转发给朋友C,如果C猜中，A、8和C平分红包里的

金额；如果C未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设A、B、C猜中的概率分别为g,1,且A、B、

C是否猜中互不影响.

⑴求A恰好获得8元的概率；

（2）设A获得的金额为X元，求X的分布列及X的数学期望.

2.（2024•全国•模拟预测）某中学为积极贯彻并落实教育部提出的“五育并举"措施，在军训期间成立了自动

步枪社团来促进同学们德智体美劳全面发展，在某次军训课上该自动步枪社团的某同学进行射击训练，已

知该同学每次射击成功的概率均为g.

⑴求该同学进行三次射击恰好有两次射击成功的概率；

⑵若该同学进行三次射击，第一次射击成功得2分，第二次射击成功得2分，第三次射击成功得4分，记X

为三次射击总得分，求X的分布列及数学期望.

3.（2024・山东烟台•三模）为提高学生对航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某学校组织学生参

加航天科普知识挑战赛，比赛共设置A,B,C三个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为50

分，答对问题4B,C分别加10分，20分，30分，答错任一题减10分；②每回答一题，计分器显示累

计分数，当累计分数小于40分或答完三题时累计分数不足80分，答题结束，挑战失败；当累计分数大于

或等于80分时，答题结束，挑战成功；③每位参加者按问题A,B,C顺序作答，直至挑战结束.设甲同学

431

能正确回答出问题A,B,C的概率分别为丁，且回答各题正确与否互不影响.

542

⑴求甲同学挑战成功的概率；

(2)用X表示甲同学答题结束时答对问题的个数，求X的分布列和数学期望E(X).

模板02■蟀布何知羟正秀碰的翎模板;

二项分布、超几何分布以及正态分布是新高考卷中频繁出现的考点，难度适中，通常在解答题中进行

考查，需要重点复习。

。模於我建

1.独立重复试验与二项分布

独立重复试验二项分布

在相同条件下重复做的n在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中

定义次试验称为n次独立重复事件A发生的概率为P，此时称随机变量X服从二项分布，记作X〜

试验B(n,p),并称p为成功概率

A,(z=l,2,­••,〃)表示第i

计算次试验结果，则在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X=©=C£

公式P(4A2A3…4)=p/(l-p)"F/=0,l,2,…，71)

P(AI)P(A2)-P(A„)

2.超几何分布列

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取〃件，其中恰有X件次品，则事件｛X=心发生的概率为尸(X

,,,,m,其中n},且nWN,MWN,〃,M,NGN*,称分布列为超

几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布.

X01・・・m

CMLN-MC风N—M

P・・・

C知C价

3.正态分布

正态曲线的特点

(1)曲线位于无轴上方，与无轴不相交；

(2)曲线是单峰的，它关于直线对称;

(3)曲线在尤=〃处达到峰值一7=;

八/2兀

(4)曲线与无轴之间的面积为1；

(5)当。一定时，曲线的位置由〃确定，曲线随着〃的变化而沿x轴平移；

(6)当〃一定时，曲线的形状由。确定，c越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；°越大，曲线越

“矮胖”，表示总体的分布越分散.

正态分布的三个常用数据

⑴PQLKXW〃+c)=0.6826；

(2)P(/z—2<7<XW〃+2<7)=0.9544；

(3)P(/z—3<7<X4+3(T)=0.9974.

横板运用

＞哀倒1.(2024•陕西商洛•一模)甲、乙两人进行羽毛球比赛、双方约定采用五局三胜制(有一方先

2

胜三局即赢得比赛，比赛结束)，根据双方以往的比赛情况可知每局比赛甲获胜的概率是乙获胜的概

率是g.假设每局比赛结果互不影响.

⑴求比赛进行四局且甲获胜的概率：

⑵比赛结束时、甲、乙共进行了X局比赛，求X的分布列和期望.

)支式(2024•全国•三模)甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则：每一局比赛中，胜者得1分，负者

2

得。分，且比赛中没有平局.根据以往战绩，每局比赛甲获胜的概率为I,每局比赛的结果互不影响.

⑴经过3局比赛，记甲的得分为X,求X的分布列和期望；

⑵若比赛采取3局制，试计算3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率.

(2024•河北邯郸•模拟预测)体育老师想了解高三(1)班男学生100米达标情况，首次随机

抽查了12名男学生，结果有8名学生达标，4名学生没有达标.

⑴现从这12名男学生中随机抽取3名，用X表示抽取的3名学生中没有达标的人数，求X的分布列和期望;

(2)为了提高达标率，老师经过一段时间的训练，第二次测试达标率增加了;，现从该班男学生中任意抽取2

6

人，求至多两次测试后，这两人全部达标的概率.

＞麦K(2024•广东茂名•一模)近几年，随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业进

入了加速发展的阶段，我国的新能源汽车产业，经过多年的持续努力，技术水平显著提升、产业体系日趋

完善、企业竞争力大幅增强，呈现市场规模、发展质量"双提升”的良好局面.某汽车厂为把好质量关，对送

来的某个汽车零部件进行检测.

⑴若每个汽车零部件的合格率为0.9,从中任取3个零部件进行检测，求至少有1个零部件是合格的概率;

(2)若该批零部件共有20个，其中有4个零部件不合格，现从中任取2个零部件，求不合格零部件的产品数

X的分布列及其期望值.

＞哀创3.(2024,河南•模拟预测)某大型公司进行了新员工的招聘，共有10000人参与.招聘规则为:

前两关中的每一关最多可参与两次测试，只要有一次通过，就自动进入下一关的测试，否则过关失败.若连

续通过三关且第三关一次性通过，则成功竞聘，已知各关通过与否相互独立.

543

⑴若小李在第一关、第二关及第三关通过测试的概率分别为求小李成功竞聘的概率尸；

654

(2)统计得10000名竞聘者的得分X~N(420.5,10.752),试估计得分在442分以上的竞聘者有多少人.(四舍

五人取整)

附：若随机变量X~N3b2）,则尸（〃-cr4X4〃+o■卜0.6827,尸（〃-2cr4X4;/+2o■卜0.9545

,支式(2024•湖南常德•一模)某市共有教师1000名，为了解老师们的寒假研修学习情况，评选研修先

进个人，现随机抽取了10名教师利用"学习APP"学习的时长数据(单位：小时)：35,43,90,83,50,

45,82,75,62,35.学习时长不低于80小时的教师评为"研修先进个人”.

⑴现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长，求这3名教师中恰有1名教师是研修先进个人的概率.

(2)若该市所有教师的学习时长X近似地服从正态分布其中b=10,〃为抽取的10名教师学习时

长的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题：

①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数(结果四舍五入到整数)；

②若从该市随机抽取的〃名教师中恰有忑名教师的学习时长在［50,70］内，则当J的均值不小于32时，n的

最小值为多少？

附：若随机变量X服从正态分布N出吟,贝|尸(〃—bVXV〃+。)它0.6827,

P(〃一2(TWX<〃+2<T)a0.9545,尸(〃-3bVXW〃+3o■人0.9973.

@横极演炼

1.（2024•甘肃白银•一模）某导弹试验基地对新研制的AB两种导弹进行试验，A导弹每次击中空中目标、

3213

地面目标的概率分别为=,彳，5导弹每次击中空中目标、地面目标的概率分别为不:

4324

⑴若一枚A导弹击中一个空中目标，且一枚5导弹击中一个地面目标的概率为B，一枚A导弹击中一个地

面目标，且一枚5导弹击中一个空中目标的概率为外，比较Pi，P2的大小；

（2）现有两枚A导弹，一枚8导弹，用来射击两个空中目标，一个地面目标（每枚导弹各射击一个目标），

请你设计一个射击方案，使得击中目标的个数的期望最大，并求此时击中目标的个数的分布列和期望.

2.（2024•上海长宁•二模）盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球；

（1）从盒子中随机抽取出1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的球3个，然后再从盒子随

机取出1个球，求第二次取出的球是红球的概率；

⑵从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为X,求X的分布、期望与方差；

3.（2024・海南•模拟预测）某大型公司进行了新员工的招聘，共有来自全国各地的10000人参加应聘.招聘

分为初试与复试.初试为笔试，已知应聘者的初试成绩X~N（80,32）.复试为闯关制：共有三关，前两关中的

每一关最多可闯两次，只要有一次通过，就进入下一关，否则闯关失败；第三关必须一次性通过，否则闯

关失败.若初试通过后，复试三关也都通过，则应聘成功.

⑴估计10000名应聘者中初试成绩位于区间（83,86］内的人数；

⑵若小王已通过初试，在复试时每次通过第一关、第二关及第三关的概率分别为I432且每次闯关是否

通过不受前面闯关情况的影响，求小王应聘成功的概率P.

附：若随机变量X〜N.d）,则P{jLt-a<X<//+cr）«0.6827,P（//-2a<X<//+2cr）«

0.9545,P（//-3o-<X<//+3cr）«0.9973.

在概率论与统计学中，条件概率是一个极其重要的概念，它衍生出了两个极为关键的公式一全概率

公式和贝叶斯公式，三类公式并称为概率“三剑客”，是高考的重要考点，需强化练习

1.条件概率

条件概率的定义条件概率的性质

已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B).(1)OWP(B|A)W1,

当P(8)>0时，我们有P(A|8)—'(8))•(其中，AA8也可以记成A8)(2)如果B和C是两

个互斥事件，则P(B

类似地，当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(3|A)—错1UC|A)=P(fi|A)+

P(C\A)

2.全概率公式

一般地，设Ai，A2,4是一组两两互斥的事件，AIUA2U-UA„=/2,且P(4)>0,i=l,2,n,

则对任意的事件匹。B^=B(Al+A2+-+An)^BAl+BA2+-+BAn,有尸⑻=22(4)「(刎4)

1=1

,此公式为全概率公式.

(1)计算条件概率除了应用公式P(8|A)=[")外,还可以利用缩减公式法，即P(JA尸""),其

中"(A)为事件A包含的样本点数，"(AB)为事件AB包含的样本点数.

(2)全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况

下发生的简单事件的概率的求和问题.

3.贝叶斯公式

一般地，设4，&广，4是一组两两互斥的事件，有…=。且P(4)>0"=I，2,…,"，则对

任意的事件3=。P(5)>0有

P(BIa)一："(剧a)=N4)P(@A),占2...,〃

P®a)

Z=1

、曲横极运用

►*到1.(2022•全国•高考真题)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年

龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图:

⑴估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间［20,70）的概率；

⑶已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间［40,50）的人口占该地区总人口的16%,从该

地区中任选一人，若此人的年龄位于区间［40,50）,求此人患这种疾病的概率.（以样本数据中患者的年龄

位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.

）支式（2024•黑龙江双鸭山•模拟预测）中华茶文化源远流长，博大精深，不但包含丰富的物质文化,

还包含深厚的精神文化.其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某

绿茶厂将采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为;每道工序

59

的加工都相互独立，且茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格的概率为二.三道工序加工都合格的绿茶为

60

特级绿茶，恰有两道工序加工合格的绿茶为一级绿茶，恰有一道工序加工合格的绿茶为二级绿茶，其余的

为不合格绿茶.

⑴在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，求杀青加工合格的概率；

（2）每盒绿茶（净重100g）原材料及制作成本为30元，其中特级绿茶、一级绿茶、二级绿茶的出厂价分别为

90元，60元，40元，而不合格绿茶则不进入市场.记经过三道工序制成的一盒绿茶的利润为X元，求随机

变量X的分布列及数学期望.

（2023•全国•高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人

继续投篮，若末命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮

的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

⑴求第2次投篮的人是乙的概率；

⑵求第i次投篮的人是甲的概率;

n

⑶已知：若随机变量X,服从两点分布，且P（X,=1）=1-P（X,=0）=q4=1,2,…,n,则E£x,=2%.记

Vi=lZ=1

前〃次（即从第1次到第〃次投篮）中甲投篮的次数为y,求E（y）.

,变式（2024•全国•模拟预测）设某电子元件制造厂有甲、乙、丙、丁4条生产线，现有40个该厂生产

的电子元件，其中由甲、乙、丙、丁生产线生产的电子元件分别为5个、10个、10个、15个，且甲、乙、

丙、丁生产线生产该电子元件的次品率依次为•

⑴若将这40个电子元件按生产线生产的分成4箱，现从中任取1箱，再从中任取1个电子元件，求取到的

电子元件是次品的概率.

（2）若将这40个电子元件装入同一个箱子中，再从这40个电子元件中任取1个电子元件，取到的电子元件

是次品，求该电子元件是乙生产线生产的概率.

（2024・福建厦门•模拟预测）甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球,

这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任选一个箱子，再从中随机摸出一球.

⑴求摸出的球是黑球的概率；

（2）若已知摸出的球是黑球，用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大.

,麦K（2024,安徽•模拟预测）现需要抽取甲、乙两个箱子的商品，检验其是否合格.其中甲箱中有9个

正品和1个次品；乙箱中有8个正品和2个次品.从这两个箱子中随机选择一个箱子，再从该箱中等可能抽

出一个商品，称为首次检验.将首次检验的商品放回原来的箱子，再进行二次检验，若两次检验都为正品,

则通过检验.首次检验选到甲箱或乙箱的概率均为

⑴求首次检验抽到合格产品的概率；

（2）在首次检验抽到合格产品的条件下，求首次检验选到的箱子为甲箱的概率；

⑶将首次检验抽出的合格产品放回原来的箱子，继续进行二次检验时有如下两种方案：方案一，从首次检

验选到的箱子中抽取；方案二，从另外一个箱子中抽取.比较两个方案，哪个方案检验通过的概率大.

颔横板演炼

1.（2024・山东•一模）某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前200名的顾客，均可

获得3次抽奖机会，每次中奖的概率为g,每次中奖与否相互不影响，中奖1次可获得50元奖金，中奖2

次可获得100元奖金，中奖3次可获得200元奖金.

⑴求顾客甲获得了100元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率；

(2)若该商场开业促销活动的经费为1.5万元，则该活动是否会超过预算？请说明理由.

2.(2024•黑龙江大庆•一模)2024年7月12日，国家疾控局会同教育部、国家卫生健康委和体育总局制定

并发布了《中小学生超重肥胖公共卫生综合防控技术导则》，其中一级预防干预技术的生活方式管理中就

提到了"少喝或不喝含糖饮料，足量饮水”，某中学准备发布健康饮食的倡议，提前收集了学生的体重和饮食

习惯等信息，其中学生饮用含糖饮料的统计结果如下：学校有;的学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升，

12

这些学生的肥胖率为§;而每天饮用含糖饮料低于500毫升的学生的肥胖率为§.

⑴若从该中学的学生中任意抽取一名学生，求该生肥胖的概率；

(2)现从该中学的学生中任意抽取三名学生，记X表示这三名学生中肥胖的人数，求X的分布列和数学期望.

3.(2024・湖南•二模)现有甲、乙、丙三个工厂生产某种相同的产品进入市场，已知甲、乙、丙三个工厂

生产的产品能达到优秀等级的概率分别为3，3，现有某质检部门，对该产品进行质量检测，首先从

三个工厂中等可能地随机选择一个工厂，然后从该工厂生产的产品抽取一件进行检测.

⑴若该质检部门的一次抽检中，测得的结果是该件产品为优秀等级，求该件产品是从乙工厂抽取的概率；

(2)因为三个工厂的规模大小不同，假设三个工厂进入市场的产品的比例为2回1回1,若该质检部门从已经进入

市场的产品中随机抽取10件产品进行检测，求能达到优秀等级的产品的件数J的分布列及数学期望.

厂.一11匚------■—-ZZ1............................................―—-----.一一i

模板041独立性检验与线性回归直线方程的答题模板

独立性检验与线性回归直线方程本身知识点较为简单，但通常结合统计与概率的其他知识点联合考查,

需重点强化练习

小横於的建

独立性检验解题方法：

(1)依题意完成列联表；(2)用公式求解；(3)对比观测值即可得到所求结论的可能性

独立性检验计算公式：K2=-——n(ad’bc)——

线性回归分析解题方法:

(1)计算工亍,趟；，"％%的值；(2)计算回归系数°,机(3)写出回归直线方程$=队+)

Z=1Z=1

n八

E(xi--y)Z玉弘一旃

线性回归直线方程为：y=bx+a5=上匕------------=咛----------a=y-bx

寸£玉2_戒2

i=lZ=1

其中与，可为样本中心，回归直线必过该点

(4)线性相关系数(衡量两个变量之间线性相关关系的强弱)

r>0,正相关；r<0,负相关

卜归1,且卜|越接近于1,线性相关性越强；

上越接近于0,线性相关性越弱，71乎不存在线性相关性

❹梗也三用

>哀创1.(2024•全国•高考真题)某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙

两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下:

优级品合格品不合格品总计

甲车间2624050

乙车间70282100

总计96522150

⑴填写如下列联表:

优级品非优级品

甲车间

乙车间

能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品

的优级品率存在差异？

⑵已知升级改造前该工厂产品的优级品率。=。5,设万为升级改造后抽取的〃件产品的优级品率.如果

p>p+1.65,则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生

产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（丽”12.247）

附：K2=Md-bc)]

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k]0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

）支式（2023•全国•高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将

其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小

白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.

⑴设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和数学期望;

（2）实验结果如下：

对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

（i）求40只小鼠体重的增加量的中位数相，再分别统计两样本中小于相与不小于的数据的个数，完成如下

列联表：

<m>m

对照组

实验组

（ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量

有差异.

n(ad-bc)2

附：K2=

(a+Z?)(c+d)(〃+c)(Z?+d)，

0.1000.0500.010

2

P(K>k0)2.7063.8416.635

,龚俐（2022•全国•高考真题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一

林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：n?）和材积量

（单位：n?）,得到如下数据:

样本号i12345678910总和

根部横截面积占0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材积量为0.250.400.220.540.510340.360.460.420.403.9

101010

并计算得》=0.038,=1.6158,，尤*=0.2474.

i=li=li=l

⑴估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；

⑶现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2.已

知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.

£（%一君（乂一了）

附：相关系数r="，”颉1.377.

应王一君吃（乂一寸

Vi=li=l

>之K（2024•山东淄博・二模）汽车尾气排放超标是导致全球变暖、海平面上升的重要因素.我国近几

年着重强调可持续发展，加大新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展.某汽车制造企

业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表:

年份r20152016201720182019

年份代码尤（x=t-2014）12345

销量y（万辆）1012172026

⑴计算销量y关于年份代码X的线性相关系数r,并判断是否可以认为y与x有较强的线性相关关系（若

|r|>0.75,则认为有较强的线性相关关系）.若是，求出y关于x的线性回归方程：若不是，说明理由；

⑵为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业又随机调查了该

地区100位购车车主的购车情况，假设一位车主只购一辆车.男性车主中购置传统燃油汽车的有40名，购

置新能源汽车的有30名：女性车主中有一半购置新能源汽车.将频率视为概率，已知一位车主购得新能源

汽车，请问这位车主是女性的概率.

附：若（再，%），（马，加），…为样本点,

n〃

Za-元）（％-》）z毛»-再

相关系数公式：产I“T]“=1“t1“；y=6x+a为回归方程，则

叵（%-x）2?•宜%（一y2）、fx；-湛,\宜资-ny

Vi=\Vi=iVz=ivz=i

nn

£（x,-元）（%-y）-；母

卜_i=l_______________i=l___________

u_n—~~n‘a=y—bx•

f（x,.-君2麻2

Z=1Z=1

@横极演炼

1.（2022•全国•高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分

为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患

该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据:

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

⑴能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件"选到的人卫生习惯不够良好"，8表示事件"选到的人患有该疾

病、然普与馈号的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标’记该指标为R-

P(A|B)P(A|B)

（回）证明:

P(才|B)P(A|豆)

（ffl）利用该调查数据，给出尸（A|3）,尸（A|乃的估计值，并利用（回）的结果给出R的估计值.

附K2=Mad-bcf

(a+Z?)(c+d){a+c)(b+d)

2

P[K>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

2.（2024・四川成都・模拟预测）已知某学校为提高学生课外锻炼的积极性，开展了丰富的课外活动，为了

解学生对开展的课外活动的满意程度，该校随机抽取了350人进行调查，整理得到如下列联表：

课外活动

性别合计

满意不满意

男150100250

女5050100

合计200150350

⑴根据小概率值。=0。5的独立性检验，能否认为该校学生对课外活动的满意情况与性别因素有关联？

（2）从这350名样本学生中任选1名学生，设事件A="选到的学生是男生"，事件8="选到的学生对课外活

动满意”,比较尸（3⑷和尸（B间的大小,并解释其意义,

附：/=_______________________

(a+6)(c+")(a+c)(Z?+d)

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

3.（2024•青海西宁•一模）某厂近几年陆续购买了几台A型机床，该型机床己投入生产的时间无（单位：年）

与当年所需要支出的维修费用y（单位：万元）有如下统计资料：

X23456

y2.23.85.56.57.0

555_____

已知»；=90,=]40.78,=112.3,月§々8.9,0r4

Z=1Z=1Z=1

⑴计算y与X的样本相关系数r（精确到0Q01）,并判断该型机床的使用年限与所支出的维修费用的相关

性强弱（若0.75VMV1，则认为＞与x相关性很强，否则不强）.

（2）该厂购入一台新的A型机床，工人们分别使用这台机床（记为X）和一台已经使用多年的A型机床（记

为Y）各制造50个零件，统计得出的数据如下表：

零件

机床合计

合格不合格

X4

Y40

合计

请将上面的2x2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为"零件合格情况是否与机床的使用情况有

关”.

模板05概率与数列及导数杂糅的答题模板

概率与数列及导数的综合是新高考卷的新命题内容，难度中等偏难，常在大题中考查，需重点复习.

。模逆辿建

用数列和导数的分块知识来证明数列、求和及证明单调性、求最值即可

、硒横板运用

1.（2023,全国•高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人

继续投篮，若末命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮

的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

⑴求第2次投篮的人是乙的概率；

⑵求第i次投篮的人是甲的概率；

则n

⑶已知：若随机变量X,服从两点分布，且P（X,=1）=1-P（X,=0）=q4=1,2,…,n,E£x,=2%.记

Vi=lZ=1

前”次（即从第1次到第〃次投篮）中甲投篮的次数为y,求E（y）.

,变式1.（2024,江苏盐城•模拟预测）某学校有A、8两个餐厅，经统计发现，学生在第一天就餐时会

随机地选择一个餐厅用餐.此后，如果某同学某天去A餐厅，那么该同学下一天还去A餐厅的概率为0.4；

如果某同学某天去8餐厅，那么该同学下一天去A餐厅的概率为0.8.

⑴记甲、乙、丙3位同学中第2天选择A餐厅的人数为X,求随机变量X的分布列和期望；

（2）甲同学第几天去A餐厅就餐的可能性最大？并说明理由.

）支式（2024•四川•模拟预测）在某月从该市大学生中随机调查了100人，并将这100人在本月的网

络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过3000元）：

消费金额（单位：百元）[0,5](5,10](10,15](15,20](20,25](25,30]

频数2035251055

⑴由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额Z（单位：元）近似地服从正态分布N（〃,</）,其

中〃近似为样本平均数x（每组数据取区间的中点值，b=660）.现从该市任取20名大学生，记其中网络

外卖消费金额恰在390元至2370元之间的人数为X,求X的数学期望；

(2)A市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值100元的

饭卡，并推出一档"勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第0格、第1格、第2格、第60

格共61个方格棋子开始在第0格,然后掷一枚均匀的硬币(已知硬币出现正、反面的概率都是g，其中耳=1),

若掷出正面，将棋子向前移动一格(从左到上+1),若挪出反面，则将棋子向前移动两格(从上到上+2).

重复多次，若这枚棋子最终停在第59格，则认为“闯关成功"，并赠送500元充值饭卡；若这枚棋子最终停

在第60格，则认为“闯关失败"，不再获得其他奖励，活动结束.

①设棋子移到第〃格的概率为8,求证：当1V〃W59时，｛匕-*｝是等比数列；

②若某大学生参与这档“闯关游戏"，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由.

参考数据：若随机变量自服从正态分布NO/,/),则尸("-b<《V〃+b)=0.6827,

尸(〃-2b<自<〃+2b)=0.9545,P("-3。<4<〃+3(T)=0.9973.

(2021•全国•高考真题)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生

物为第。代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代......，该微生物每代繁殖的个数是相互

独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X=i)=0,(i=O,l,2,3).

(1)已知Po=0.4,0]=0.3,02=。.2,03=。」，求E(X)；

(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：20+。俨+0/+。3/=X的

一个最小正实根，求证：当项X)VI时，p=l,当E(X)>1时，p<l.

(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.

＞之K1.(2024•广东汕头•三模)假设甲同学每次投篮命中的概率均为

⑴若甲同学投篮4次，求恰好投中2次的概率.

(2)甲同学现有4次投篮机会，若连续投中2次，即停止投篮，否则投篮4