2025年高考数学重难点复习：复数的概念（解析版）

第07讲复数的概念

模块导航素养目标

模块一思维导图串知识1..理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向

模块二基础知识全梳理（吃透教材）量来表示复数及它们之间的一一对应关系

模块三核心考点举一反三2.掌握实轴、虚轴、模、共甄复数等概念

模块四小试牛刀过关测3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法

模块一思维导图串知识

7.1.1复数的概念

复平面

7.1.2复数的几何意义

几何意义1:复数"a+而QbeR),-T应，上平面内的点Z(a])

几何意义

I几何意义2:复数"a+&(a0eR).――应.平面向量次=(45)

令模块二基础知识全梳理

知识点1实数系

(1)实数系的分类

正整数N*

自然数N4

0

整数Z

负整数

实数R有理数Q

〔分数

无理数

(2)实数的性质

①实数对四则运算是封闭的，即两个实数进行四则运算的结果仍是实数;

②加法与乘法满足交换律、结合律,乘法对加法满足分配律；

③实数和数轴上的点可以建立一一对应关系.

知识点2复数的概念

(1)复数的引入

为了解决式+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，设想引入一个新数，，使得x=i是方程

三+1=0的解,即使得『=—1,并且，可与实数进行四则运算,且原有的加法与乘法的运算律仍成立.

所以实数系R经过扩充后得到的新数集是C={a+bi\a,b^R].

(2)复数的概念

我们把形如a+方,a力eR的数叫做复数,其中，叫做虚数单位,满足?=-1.全体复数所构成的集合

。=伍+4|4/6尺}叫做复数集.

复数的表示:复数通常用字母z表示，即z=a+bi,a,beH,其中的。与6分别叫做复数z的实部与虚

(3)复数相等

在复数集C={a+初la/eH}中任取两个数。+初，c+di,(a,b,c,d^R),我们规定

\a=c

a+bi=c+di.

知识点3复数的分类

对于复数。+初(a,beR),当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=5=0时，它是实数0；当bwO时,

它叫做虚数；当a=0且bw0时,它叫做纯虚数.这样,

z=a+bi可以分类如下:

知识点4复数的几何意义

(1)复数的几何意义一一与点对应

复数的几何意义1：复数z=a+应(a/eR),一一对应，复平面内的点Z(a,b)

(2)复数的几何意义一一与向量对应Z:a+bi

复数的几何意义2：复数z=a+6i(a力eH);一一对应、平面向量OZ=(a,6)

知识点5复数的模

向量OZ的模叫做复数z=a+应a/eR)的模，记为|z|或|a+切

公式：\z\=\a+bi\=y/a2+b2>其中a/eR

复数模的几何意义：复数Z=。+应在复平面上对应的点z（a,b）到原点的距离；

特别的，5=0时，复数z=a+应是一个实数，它的模就等于I。1（。的绝对值）.

知识点6共轨复数

（1）定义

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共朝复数；虚部不等于0的两

个共飘复数也叫共朝虚数.

（2）表示方法

表示方法：复数z的共轲复数用工表示，即如果z=a+〃，则I=q-次.

模块三核心考点举一反三

考点一：虚单位，及其性质

41.（23-24高一下•全国•课堂例题）计算：①i2=；②若犬=-1,则工=.

【答案】-1±i

【知识点】根据相等条件求参数、虚数单位i及其性质

【分析】①根据规定i2=-l可得，②设x=a+历（a,》eR）,根据复数相等解方程即可

【详解】根据规定知i2=-l；

设x=a+6i(a,beR),

a2-b1=-1Ja=0

得（“+历『=—1=>o2—b2+2abi=-1=>

2ab=0=〔6=1

所以x=±i

故答案为：-1;±i

【变式1-1］（23-24高一下•山东枣庄•期中）i2023=.

【答案】-i

【知识点】虚数单位i及其性质

【分析】根据虚数单位的周期性求解.

【详解】i2023=i4x55+3=i3=-i,

故答案为：-i

【变式1-2］（23-24高一下•河北张家口•阶段练习）l+i+P+i3++［2。23=.

【答案】0

【知识点】虚数单位i及其性质

【分析】利用虚数单位i的性质进行计算即可.

【详解】l+i+i2+i3++i2ffi3=l+505（i+i2+i3+l）+i+i2+i3=0,

故答案为：0.

【变式1-3］（24-25高一上•上海•课堂例题）-5的平方根为.

【答案】士后

【知识点】虚数单位i及其性质

【分析】利用平方根的定义计算即可

【详解】-5的平方根为土4零=±府'=±占，

故答案为：±&i.

考点二：复数的基本概念

'例2.（2024高一•全国•专题练习）给出下列四个命题:

①两个复数不能比较大小；

②若实数。与应对应，则实数集与纯虚数集一一对应；

③纯虚数集相对复数集的补集是虚数集；

④以2为实部的复数有无数个.

其中真命题是.（填写序号）

【答案】④

【知识点】复数的基本概念

【分析】根据复数的概念一一分析即可.

【详解】①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小，故①为假命题；

②若。=0,则M不是纯虚数，故②为假命题；

③纯虚数集相对复数集的补集不是虚数集，因为复数中还包含实数，则③为假命题;

④对于复数2+ai（acR），。有无数个取值，故④为真命题.

故答案为：④.

【变式2-1］（23-24高一下•全国•课后作业）判断题

（1）判断：实数集在复数集中的补集是虚数集.（）

（2）判断：满足，=-1的数x只有i.（）

（3）判断：形如为geR）的数不一定是纯虚数.（）

（4）判断：两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等.（）

（5）判断：复数由实数、虚数、纯虚数构成.（）

【答案】正确错误正确正确错误

【知识点】虚数单位i及其性质、复数的基本概念、求复数的实部与虚部、复数的分类及辨析

【分析】对于（1）（5）：根据复数的相关概念分析判断；对于（2）：根据虚数单位的性质以及复数的乘

法分析判断；对于（3）：根据纯虚数的概念分析判断；对于（4）：根据复数相等分析判断.

【详解】对于（1）（5）：因为复数集由实数集、虚数集构成，

即复数分为实数、虚数两个部分，故（5）错误，

即实数集在复数集中的补集是虚数集，故（1）正确；

对于（2）：因为（土i）2=i2=-l,所以满足丁=-1的数》有刊，故（2）错误；

对于（3）：例如3=0,可知历=0为实数，故（3）正确；

对于（4）：因为复数相等的充要条件为：实部相等且虚部相等，

若两个复数的虚部不相等，则这两个复数不相等，

所以个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等，故（4）正确；

故答案为：正确；错误；正确；正确；错误.

【变式2-2］（24-25高一上•上海•课前预习）3+后>2+右.（）

【答案】错误

【知识点】复数的基本概念

【分析】由复数不能比较大小即可判断.

【详解】因为复数不能比较大小，所以3+6>2+6是错误的.

故答案为：错误.

【变式2-3］（24-25高一上•上海•课堂例题）若复数二i>zz，贝!］4、z?一定都是实数.（）

【答案】正确

【知识点】复数的基本概念

【分析】根据复数的概念即可判断.

【详解】两个实数可以比较大小，但是两个复数，如果不全是实数，它们之间就不能比较大小，只能说相

等或不相等.

故判断为：正确.

考点三：复数的实部与虚部

|'、例3.（23-24高一下•全国•课堂例题）分别写出下列各复数的实部与虚部.

（D-3+2i；

⑵3-5i；

⑶-7；

（4）8i；

⑸-2+；i；

（64；

⑺i-1;

1+i

⑻行

（9）2-V2Z;

(10)-；；

(ll)V2+i;

(12)i.

【答案】⑴实部为-3,虚部为2

⑵实部为3,虚部为-5

(3)实部为-7,虚部为0

(4)实部为0,虚部为8

⑸实部为-2,虚部为g

(6)实部为当，虚部为0

⑺实部为-1,虚部为1

(8)实部为《，虚部为好

(9)实部为2,虚部为一0

(10)实部为0,虚部为

(11)实部为虚部为1

(12)实部为0,虚部为1

【知识点】求复数的实部与虚部

【分析】根据复数的实部和虚部的概念进行求解.

【详解】(D-3+2i的实部为-3,虚部为2

(2)3-5i的实部为3,虚部为-5

(3)-7的实部为-7,虚部为0

(4)8i实部为0,虚部为8

(5)-2+；i的实部为—2,虚部为:

(6)也的实部为正，虚部为0

22

(7)i—l的实部为—1,虚部为1

(8)甲=坐+坐i的实部为号，虚部为g

V22222

(9)的实部为2,虚部为-近

(10)的实部为0,虚部为

(11)a+i的实部为应，虚部为1

(12)i的实部为0,虚部为1

【变式3-1](2024高一下•全国•专题练习)复数z=l-/，则()

A.z的实部为一1B.z的虚部为一立

C.z的虚部为一/D.z的虚部为1

【答案】B

【知识点】求复数的实部与虚部

【分析】利用复数的虚部与实部的定义求解.

【详解】复数z=l-"的实部为1,虚部为-0,

故选：B.

【变式3-21(23-24高三上•北京•阶段练习)已知复数2=3120+i-sin(-60),则复数z的实部为.

【答案】-3-0.5

【知识点】特殊角的三角函数值、求复数的实部与虚部

【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值将复数化简，再判断其实部即可.

【详解】解：z=cosl20+isin(-60)=cos(180—60i-sin60

=—cos60—i•sin60

所以复数Z的实部为-；；

故答案为：-万

【变式3-3](23-24高一•全国•课后作业)3+4i的实部等于3,虚部等于4i()

【答案】错误

【知识点】求复数的实部与虚部

【分析】利用复数的概念即可求解.

【详解】3+4i的虚部是4.

故答案为;错误.

考点四：复数相等

|'j例4.(23-24高一下•新疆克孜勒苏•期中)已知i为虚数单位，x,y为实数，若"2i=3+yi,则=

()

A.1B.-5C.5D.-1

【答案】C

【知识点】复数的相等

【分析】根据复数相等的充要条件可得x=3,y=-2,即可求解.

[详解]由x_2i=3+yi可得尤=3,y=—2,所以x-y=5,

故选：C

【变式4-1](23-24高一下•湖南•期末)已知无，veC,贝心尤=y=1”是“x+yi=1+i”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【知识点】复数的相等、判断命题的充分不必要条件

【分析】利用复数相等的概念，以及条件的变化为yec,再用是否推出思想来判断充分不必要条件.

【详解】当x=y=l时，x+W=l+i显然成立，所以x=y=l是x+W=l+i的充分条件；

当x=i,y=-i时，x+yi=l+i,

则x=〉=l是x+W=l+i的不必要条件；

故选：A.

【变式4-2](23-24高一下•广西南宁•期中)若实数机，〃满足〃L2i=l+〃i,则相-"=()

A.-3B.3C.-1D.1

【答案】B

【知识点】复数的相等

【分析】根据复数相等的充要条件求出加，〃的值，即可得解.

【详解】因为实数机，“满足机-2i=l+〃i,

所以｛，则机一〃=1一(-2)=3.

故选：B

【变式4-3](24-25高一上•全国•课后作业)设x,yeR,(x+2)-2xi=-3y+(y-l)i,求x,y的值.

【答案】x=l,y=-\

【知识点】复数的相等

【分析】根据相等复数的条件建立方程组，解之即可求解.

【详解】由题意知，(x+2)-2xi=-3y+(y-l)i,

由复数相等的定义，得归2=汽，解得尸=\,

[-2x=y_][y=-1

所以x=l,y=-l.

考点五：复数分类

、1例5.(23-24高二下•吉林辽源)已知复数z=a+l+(机-l)i(aeR).

(1)机取什么值时，z为实数；

(2)加取什么值时，z为纯虚数.

【答案】(1)m=l(2)m=-1

【知识点】复数的分类及辨析、已知复数的类型求参数

【分析】(1)直接由虚部为0求解，〃值;(2)由实部为0且虚部不为0求解TH值.

【详解】(D复数z=a+l+(a—l)，(》ieR),

若z为实数，则冽-1=0,HPmMl

("7+1=0

(2)若z为纯虚数，贝IJ

[〃z-1W0

解得=—1

【点睛】本题主要考查了复数的相关概念，考查了运算能力，属于容易题.

【变式5-1](多选)(23-24高一下•江苏泰州•期中)对于复数2=“+历(a,6eR),则下列结论中错误的是

()

A.若a=0,贝+历为纯虚数B.若z=3-2i,贝1]4=3,6=2

C.若人=0,贝!ja+历为实数D.若。=6=0,贝!Jz不是复数

【答案】ABD

【知识点】求复数的实部与虚部、复数的分类及辨析

【分析】A.由。=0力=。判断；B.由复数的实部和虚部判断；C.复数的分类判断；D.由复数的分类判断.

【详解】A.当。=0力=0时，为实数，故错误；

B.若z=3-2i,贝！]。=3]=一2,故错误；

C.若6=0,则。+历为实数，故正确；

D.若。=>=0,贝!Jz是实数，故错误；

故选：ABD

【变式5-2](24-25高一上•上海•随堂练习)下列各数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？

1一后，(l-73)i,-73i2,(1-V3)i2,2i-括，2i2-V3.

【答案】答案见解析

【知识点】复数的基本概念、复数的分类及辨析

【分析】根据复数的分类及复数运算分类即可.

【详解】-而,(1-V3)i2,W是实数;

1-后,(1-V3)i,2i-石是虚数；

(1-百)i是纯虚数.

【变式5-3](23-24高一下•全国•课堂例题)指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，

为什么？l+>/7,3,14,|i,0,-i,3i+4,5-20i,i(l+若)，石

【答案】实数为1+77,3.14,0；虚数为gi,-i,3i+4,5-2夜i,i(l+道)，退一仓；

纯虚数为gi「i,i(l+也)

【知识点】复数的分类及辨析

【分析】根据复数为实数、虚数和纯虚数的条件，判断出实数、虚数和纯虚数.

【详解】实数为1+77,3.14,0；

虚数为|i,-i,3i+4,5-26,i(l+君)，括一6；

纯虚数为gi「i,i(l+K).

【变式5-4](23-24高二下•四川成都•期中)实数，〃取什么数值时，复数Z=W-〃L2+(加-l)i分别是:

⑴实数？

⑵虚数？

(3)纯虚数？

【答案】⑴加=1或〃7=-1

(2)”2/1且《1/一1

(3)m=2

【知识点】复数的分类及辨析、已知复数的类型求参数

【分析】(1)复数为实数，则虚部为零，即可得出答案.

(2)复数为虚数，则虚部为不为零，即可得出答案.

(3)复数为纯虚数，则实部为零，虚部为不为零，即可得出答案.

【详解】⑴当“_i=o,即〃2=1或〃=-1时，复数z是实数；

(2)当〃/_1片0,即相片1且znw-l时，复数z是虚数；

?——2=0

2~,即机=2时，复数z是纯虚数.

m-1^0

【变式5-5](23-24高一下•安徽池州•阶段练习)已知复数2=/-1+(4+1川”尺).

⑴若复数z是虚数，求实数。的值；

⑵若复数z是纯虚数，求实数。的值.

【答案】⑴aH—1；

(2)1.

【知识点】复数的分类及辨析、已知复数的类型求参数

【分析】(1)根据虚数的概念求解即可；

(2)根据纯虚数的概念由虚部不为0,实部为0建立关系式求解即可.

【详解】(D因为z=/7+(a+l)iSeR)是虚数，

所以〃+1。0,解得aw—1,

(2)因为z=4—+£R)是纯虚数，

所以卜二1二°，解得

考点六：复数的坐标表示

|'j例6.(23-24高一下•山东青岛•期中)在复平面内，复数Z对应的点为Z](1,2),复数4对应的点为

4(2,1),则ZZ?对应的复数为()

A.3+3iB.1-iC.-1+iD.2+2i

【答案】B

【知识点】复数的坐标表示

【分析】利用向量减法法则得到Z|Z2=(1,-1)，求出z22对应的复数.

【详解】由题意得2名=(2,1)-(1,2)=(1,-1),故Z£对应的复数为l-i.

故选：B

【变式6-1](23-24高一下•山西太原•期中)在复平面内，复数z=l-i对应的点的坐标是()

A.(1,1)B.(1,-1)C.(TDD.(-L-1)

【答案】B

【知识点】复数的坐标表示

【分析】求出复数的实部、虚部可得答案.

【详解】在复平面内，复数z=l-i对应的点的坐标是

故选：B.

【变式6-2](23-24高一下•湖南株洲•期中)复数z=-2+3i在复平面直角坐标系中对应的点的坐标为()

A.(2,3)B.(-2,3)C.(3,2)D.(3,-2)

【答案】B

【知识点】复数的坐标表示

【分析】根据复数的几何意义直接得出结果.

【详解】由z=-2+3i可得其在复平面直角坐标系中对应的点的坐标为(-2,3).

故选：B

【变式6-3](24-25高一上•上海•课堂例题)已知M(l,3),N(4,-l),P(0,2),Q«0),。为复平面的原

点，试写出OAf、ON、OP，。。所表示的复数；

【答案】表示的复数为l+3i；ON表示的复数为4-i；。尸表示的复数为2i；OQ表示的复数为T.

【知识点】复数的坐标表示

【分析】由复数集与复平面内的向量所成的集合一一对应的关系直接求解.

【详解】0M=（1,3）,所以OM表示的复数为l+3i；

同理可得：0N表示的复数为4-i；0P表示的复数为2i；。。表示的复数为T.

考点七：复数的点对应的象限，坐标轴

j':例7.（23-24高一下•全国•单元测试）若复数（储-9）+（炉-1）i所对应的点在第二象限，则％的取

值范围为.

【答案】-3<%<-1,或1<左<3.

【知识点】在各象限内点对应复数的特征

【分析】

根据复数所对应的点在第二象限，则得到实部小于零，虚部大于零，解不等式得出结果.

【详解】

因为复数（〃-9）+（然一1）i所对应的点在第二象限，

上2一9<0,且左2_1>0,

解得：-3<左<-1或1<%<3.

故答案为：-3（左<—1或1<々<3.

【变式7-1］（23-24高一下•浙江•阶段练习）若复数z=〃?+l+（机-l）i（〃zeZ）对应的点在第四象限，则山的

值为（）

A.-1B.0C.1D.±1

【答案】B

【知识点】在各象限内点对应复数的特征、根据复数对应坐标的特点求参数

【分析】由复数表示的点在第四象限，可得实部为正且虚部为负即得.

fm+1>0

【详解】由］八，可得又相为整数，所以m=0.

故选：B.

【变式7-2］（23-24高二下•青海•期末）复数（3-i）根-（1+i）对应的点在第三象限内，则实数机的取值范围

是（）

A.m<iB.m<-lC.D.无解

【答案】C

【知识点】在各象限内点对应复数的特征

【分析】根据复数对应的点在第三象限，让实部虚部均小于0,计算得解.

【详解】解：化简可得：复数（3—i）m—（l+i）=（3帆—l）—（m+l）i,

3m-l<0i

因为其对应的点在第三象限内，所以_（机+1）<0，解得

故选：C.

【变式7-3］（多选）（23-24高一下•浙江湖州•阶段练习）若，e（兀,2兀），则复数cos，+isin，在复平面内对

应的点可能在（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】CD

【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、判断复数对应的点所在的象限、在各象限内点对应

复数的特征

【分析】分。［埒］与9若2《两种情况下得到余弦和正弦值的正负，得到答案.

【详解】当6c卜g）时，cos8<0,sine<0,故复数cos，+isin〃在复平面内对应的点在第三象限，

当时，cos0>0,sind<0,故复数cosO+isin。在复平面内对应的点在第四象限.

故选：CD

考点八：复数的模

A.2B./C.5D.75

【答案】D

【知识点】求复数的模

【分析】根据复数模长公式求出答案.

【详解】|-l+2i|=7（-l）2+22=75.

故选：D

【变式8-1］（23-24高二下•云南•期末）已知i为虚数单位，复数z=3-4i,贝!||z|=（）

A.1B.3C.5D.7

【答案】C

【知识点】求复数的模

【分析】根据复数的模公式计算即可.

【详解】由z=3-4i,则以=收+（-=5.

故选：C.

【变式8-2］（24-25高三上•上海•期中）记i是虚数单位，设复数z=l+bi（b>0）且忖=2,则复数2的虚部

为.

【答案】W

【知识点】求复数的实部与虚部、由复数模求参数

【分析】根据条件，利用复数模长的计算公式，即可求解.

【详解】因为z=l+历，忖=2,则，1+匕2=2,得到加=3,

又6>0,所以6=则复数z的虚部为拓，

故答案为：瓜

【变式8-3](23-24高一•上海•课堂例题)已知|1-4衍|=5,其中左eR.求左的值.

【答案】k=七忌

2

【知识点】由复数模求参数

【分析】由已知利用复数模的计算公式列方程求解.

【详解】由|1一4同=J1+16/=5,

得1+16公=25,

即左2=[,解得/=±逅.

考点九：根据复数对应的坐标特点求参数

|'j例9.(23-24高一•上海•课堂例题)求实数机的值或取值范围，使得复数

z=(m2-8根+15)+(苏-5〃I4)i在复平面上所对应的点Z分别位于

⑴实轴上；

⑵虚轴上；

(3)第四象限.

【答案】(1)m=7或〃z=-2

(2)=3或m—5

(3)(-2,3)。(5,7)

【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数

【分析】(1)根据题意可得川一5〃L14=0,运算求解即可；

(2)由加-8加+15=0求，"，代入z验证，即可得结果；

(3)由｛2U.xc求出m的氾围即可.

[m—5??1-14<0

【详解】(1)由题意可得：14=0,解得〃z=7或%=-2.

(2)由题设，〃/-8〃z+15=(“2-3)(m-5)=0,可得〃z=3或〃？=5,

当力=3时，z=-20i对应点在虚轴上;

当机=5时，z=-14i对应点在虚轴上;

综上，机=3或〃?=5.

m2-8m+15=(m—3)(m—5)>0

(3)由题设可得加e(-2,3)u(5,7).

nr—5m-14=(m—l)(m+2)<0>

【变式9-1](2024•四川成都•模拟预测)在复平面内，复数z=(a-2)+(l+2a)i对应的点位于第二象限,

则实数a的取值范围为().

A.BC.(2,+oo)D.卜2,；)

【答案】A

【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数

【分析】利用复数的几何意义得出对应不等式即可得结果.

【详解】复数z=(a-2)+(l+2a)i,其对应的点(。-2,1+2。)在第二象限,

Q—2<01

则l+2a>0'解得一5<“<2-

故选：A

【变式9-2](23-24高一下•江苏苏州•期中)复数平面内表示复数z=m2—8〃Z+15)+(M—5〃z—14)i的点分

别满足下列条件:

(1)位于第四象限;

⑵位于第一象限或第三象限;

(3)位于直线y=x上.求实数机的取值范围.

【答案】(1)—2<机<3或5<7〃<7

(2)加<-2或3<<5或加>7

(3)m=y

【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数、在各象限内点对应复数的特征

【分析】(1)结合复数的几何意义与第四象限的点的特点计算即可得；

(2)结合复数的几何意义与第一象限或第三象限的点的特点计算即可得；

(3)由题意可得病—8«1+15=+2—5万—14,计算即可得.

【详解】⑴由题意，复数z在复平面内对应的点为(，/-8加+15,相2-5加-14).

-8m+15>0m>5或根<3

当点位于第四象限时，则

-5m-14<0-2<m<7

故—2〈根<3或5vmv7；

(2)当点位于第一象限或第三象限时,

则(苏—8m+15^m2—5m—14)>0,

即(加_3)(根-5乂机_7)(m+2)〉0,

故＜-2或3＜机＜5或＞7.

29

（3）当点位于直线＞上，贝!|根2-8相+15=7〃2-5〃2一14,解得《?=彳.

【变式9-3］（23-24高一下•上海•期末）当实数"?为何值时，复数z=（3疗-4机-4）+（2疗-3"-2》为:

⑴实数；

⑵纯虚数；

⑶对应点在第二象限？

【答案】（1）%=一;或加=2；

2

（2）/w=--；

21

（3）——＜m＜——.

32

【知识点】已知复数的类型求参数、根据复数对应坐标的特点求参数

【分析】（1）结合实数的概念，即可求解；

（2）结合纯虚数的概念，即可求解；

（3）结合复数的几何意义，即可求解.

【详解】（1）复数z=（3〃，一4加一4）+（2二一3m-2）i为实数，则2--3〃?一2=0,

所以根=-：或根=2.

3〃产-4〃?-4=0

（2）复数z=（3，*一4机一4）+（2机2—3”2-2》为纯虚数，贝！］

2m2—0'

2

所以根=-§.

f3m2—4/7?—4＜091

（3）复数z对应点在第二象限，贝！］2-,解得-（＜加＜-：,

\2m-3m-2＞032

所以实数加的取值范围是-2;＜加＜-;1.

6模块四小试牛刀过关测-------------------------------

一、单选题

1.（23-24高二下•云南・期末）已知i为虚数单位，则复数z=l+i在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【知识点】判断复数对应的点所在的象限

【分析】根据复数的几何意义求解即可.

【详解】复数z=l+i在复平面内对应的点为（1,1）,位于第一象限.

故选：A.

2.（23-24高一下•四川遂宁•阶段练习）复数二=2+3i,下列说法不正确的是（）

A.z的实部为2B.z的虚部为3i

C.z=2-3iD.\z\=y/13

【答案】B

【知识点】求复数的实部与虚部、求复数的模、共朝复数的概念及计算

【分析】根据复数的实部、虚部、共朝复数、模等知识确定正确答案

【详解】因为z=2+3i,所以实部为2,虚部为3,z=2-3i，|Z|=713.

故选：B

3.（23-24高二下•四川达州•期中）已知复数z=2-i,则复数z在复平面内所对应的点Z位于第（）象

限

A.-B.二C.三D.四

【答案】D

【知识点】复数的坐标表示、判断复数对应的点所在的象限

【分析】由复数的几何意义得复数对应的点的坐标，可求所在象限.

【详解】复数z=2-i在复平面内所对应的点Z（2,-l）,位于第四象限.

故选：D.

4.（23-24高一下•北京丰台•期末）设复数z=l+i,则以=（）

A.1B.72C.2D.4

【答案】B

【知识点】求复数的模

【分析】利用复数模的定义计算即得.

【详解】复数z=i+i,贝J|Z|=JFTF=0.

故选：B

5.（24-25高二上•广西南宁•阶段练习）设z=3-2i,则在复平面内N对应点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【知识点】共物复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限

【分析】由共物复数，及复数几何意义可得答案.

【详解】因z=3-2i,则］=3+2i,其在复平面内对应的点为（3,2）,在第一象限.

故选：A

6.（2024高三•全国•专题练习）在复平面内，O为坐标原点，复数4i对应的向量为OZ,将OZ绕点。按

逆时针方向旋转60。后，再将模变为原来的石倍，得到向量则OZ1对应的复数的实部是（）

A.6B.-6C.273D.-2由

【答案】B

【知识点】求复数的实部与虚部、复数的向量表示

【分析】根据复数的向量表示形式，结合复数的几何意义、复数实部定义进行求解即可.

【详解】因为复数4i对应的向量为OZ,

所以应=（0,4）,

OZ绕点。逆时针方向旋转60°后变为oz2=14cos怎+94sin「+n=（-273,2）,

再将模变为原来的6倍，得。乙4-6,26），对应的复数的实部是-6,

故选：B

7.（24-25高三上•广东•阶段练习）在复平面内，复数Z绕原点逆时针旋转g得1+Gi,则复数Z的虚部为

（）

A.V3B./C.-1D.-i

【答案】C

【知识点】求复数的实部与虚部

【分析】利用复数的几何意义求解即可

【详解】1+后对应的点的坐标为（L君），顺时针旋转5后坐标为（A-1）,对应的虚数为A/3-L虚部为-1.

故选：C.

8.（2024高二下•云南•学业考试）已知i为虚数单位，则复数z=-2-6i在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【知识点】判断复数对应的点所在的象限

【分析】由复数的几何意义求解.

【详解】复数z=-2-6i在复平面内对应的点为（-2,-6）,它在第三象限，

故选：C

二、多选题

9.（24-25高三上•广东肇庆•阶段练习）已知复数z=6T+（a+l）i,aeR,则下列结论正确的是（）

A.若z为纯虚数，则。=±1

B.若z在复平面内对应的点位于第二象限，则ae(-1,1)

C.若。=0,贝！lz=-1-i

D.若a=0,贝!|忖=1

【答案】BC

【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数、共轨复数的概念及计算、求复数的模、已知复数的类型求参

数

【分析】对于A,若z为纯虚数，贝!]z的实部为0,虚部不为0,列出方程求解即可；对于B,若z在复平

面内对应的点位于第二象限，则实部小于0且虚部大于0,列出不等式求解即可；对于C,若。=0,求出z,

进而求其共轨复数；对于D,若。=0,求出z,咋求模即可.

【详解】对于A,若z为纯虚数，即/一i=o且。+1片0,贝!).=1,故A错误；

对于B,若z在复平面内对应的点位于第二象限，贝?二0'解得-即故B正确；

对于C,若〃=0,贝！)z=—l+i,贝匹=_故C正确；

对于D,若a=。，则忖=0,故D错误.

故选：BC.

10.(23-24高一下•河南商丘•期中)已知复数z=7〃2-l+(〃z+l)i(wieR),则下列命题正确的是()

A.若z为纯虚数，则根=1

B.若z为实数，则z=0

C.若z在复平面内对应的点在直线y=2x上，则加=]

D.z在复平面内对应的点可能在第三象限

【答案】AB

【知识点】判断复数对应的点所在的象限、已知复数的类型求参数

【分析】根据复数的分类，即可列出方程或不等式，进而判断A,B;根据复数的几何意义，即可列出方程或

不等式，进而可以判断C,D.

ffTJ^—1—Q

【详解】对于A,若z为纯虚数，贝!|一,解得加=1,A正确；

[m+1^0

对于B,若z为实数，则根+1=0,所以根=-1,此时z=0,B正确；

对于C,z在复平面内对应的点为(加2一1,根+1),

3

所以根+1=2(/-1),BP2m2-m-3=0,解得m=一1或机=/,C错误；

加2—1<0

对于D,若z在复平面内对应的点在第三象限，贝！)无解，

m+l<0

所以Z在复平面内对应的点不可能在第三象限，D错误.

故选：AB.

三、填空题

11.(2024•甘肃白银•一模)复数|石-2i|+2i的实部与虚部之和为.

【答案】5

【知识点】求复数的模、求复数的实部与虚部

【分析】根据复数模长可得|斯-4=3,即可根据虚部和实部定义求解.

【详解】由题意得|6-2i|+2i=3+2i,所以复数|逐-2i|+2i的实部与虚部之和为5.

故答案为：5

12.(2024•福建泉州•模拟预测)已知事函数y=/(x)的图象过点(2,0),则复数z=f(2)+/(5>i(其中i

为虚数单位)的模的大小=.

【答案】不

【知识点】求复数的模、求幕函数的解析式、求幕函数的值

【分析】设出/(尤)=/,代入(2,a),求出解析式，计算出/(2)=0,〃5)=6，求出z=0+6.i,计

算出模长.

【详解】设基函数/(x)=x〃，因为函数图象过点(2,0),

L11

所以2"=也，解得所以/5)=户，

所以7(2)=25=后,/(5)=5?=石，

.-.z=/(2)+/(5)-i=V2+>/5-i,

:.\z\=y/l.

故答案为：币.

四、解答题

13.(23-24高一•上海•课堂例题)当复数z满足下列条件时，分别指出z在复平面上所对应的点Z的位置:

(l)z是正实数；

(2)z是负实数；

(3)z是实部小于零、虚部大于零的虚数；

(4)z是虚部小于零的纯虚数.

[a>0/、

【答案】(1),八，此时z对应的点z(a,o)在实轴的正半轴上

(a<Q,、

(2)匕八，此时z对应的点Z(a,O)在实轴的负半轴上

\b=\j

\a<0/、

（3）b>0,此时z对应的点Z（o,》）在第二象限

（4）t<0，此时z对应的点Z（q,O）在虚轴的负半轴上

【知识点】判断复数对应的点所在的象限、求复数的实部与虚部

【分析】根据复数的分类、几何意义求出实部、虚部满足的条件可得答案.

【详解】（1）设2=。+历（a,be