2025年高考数学第二次模拟考试（新高考Ⅱ卷3）（全解全析）

2025年高考数学第二次模拟考试（新高考II卷03）

全解全析

注意事项：

i.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合/=卜|=Jl-x?卜B=[yy=^则/口2=()

A.B.卜-"Ml1

C.{x|0<x<l}D.

【答案】B

【分析】求函数的定义域和值域求集合，再由集合的交运算求集合.

【详解】由1-工220,得-1W1,故/=卜|一1WXW1}.

由P=x2_g,得故

贝I]=WxW11.

故选：B

2.若复数z满足（z-l）i+z=0,贝丘的虚部为（）

11

A.-B.——C.1D.-1

22

【答案】B

【分析】首先求出z进而得出三，再根据虚部的概念即可得出答案.

【详解】由(Z-l)i+Z=O,得Z(l+i)=i,得2=上=正0=匕1,所以故［的虚部为

1+i22222

故选：B

3.一组数据1812,10,11,9,7,4,6,1,3的25%分位数是()

A.10B.12C.4D.3

【答案】c

【分析】应用百分位数定义求25%分位数.

【详解】将这组数据按从小到大的顺序排列为L3,4,6,7,9,10,11,12,18,共10个数,

所以10义25%=2.5,则这组数据的25%分位数为4.

故选：C

4.若非零向量获满足2同=3囚=卜-2可,则向量&在B上的投影向量为()

【答案】A

【分析】令2同=3问=归-24=左，利用向量数量积的运算律可得cos.%-*,进而求投影向量.

［详解］令2同=3间=口一2同=左,且归-2可=a-^a-b+^b=k2,

所以勺-2产・cosG，―+±后2=甘，可得cos(a［)=一二,

43\/9'/24

所以向量&在B上的投影向量为|a|cos(a,——金~

''\b\22416

故选：A

5.己知函数“x)=asin，x(a>0),若存在实数t,使得对任意xwR,恒有〃力+/(一力=3,则"司的

最小正周期为()

3兀

C.—D.

3~2

【答案】B

【分析】利用二倍角余弦化简函数解析式，根据/(x)+/«-x)=3、余弦函数的对称中心求出”的值，利

用三角函数的最小正周期公式求出结果.

【详解】由/(尤)=asin2ax=~~—cos2ax

22

由存在实数t,使得对任意xeR,恒有/(x)+/(f-x)=3,

所以〃X）的图象关于点对称,

aQ27rTT

所以?=：，得0=3,故/'（x）的最小正周期为三=g.

222a3

故选：B

22

6.已知双曲线4=1伍〉0,6>0）的左焦点为尸，过尸的直线/与双曲线C的一条渐近线交于点〃,

ab

与双曲线C的右支交于点P,若（。为坐标原点），2\FM\=\MP\,则双曲线C的离心率为（）

人屈口而「Mn而

•-----D.-----L•-----J-）•---

2222

【答案】D

【分析】用应仇。表示相关线段长，根据已知及点线距离公式、双曲线定义得到6的关系，利用双曲线的

离心率公式求出结果.

:【详解】如图，不妨令尸在第一象限，

因为（W，/,所以直线OM的方程为

a

\-bc\

又Fi,。），所以点尸到直线四的距离为号==b

•

因为=所以|MP|=2b,故|尸盟=36.

设双曲线C的右焦点为连接尸尸，

由双曲线的定义知|尸尸|=36-2a,易得cosZPFF'=cosZMFO=-,

3

在APFF'中，由余弦定理得-=（36）+（2c）―（3._2a）,解得6=2。.

c2x3bx2c

故双曲线C的离心率e=f=F^=浮.

故选：D

7.已知连续函数〃x)的定义域为R,若/(x+A=/(x)+〃#+2中-2,且/(1)=4,则函数＞=/(x)+x

的图象的对称轴为直线()

A.x—B.x—C.x—1D.x——1

22

【答案】D

【分析】令g(x)=/(x)+x得g(x+y)=g(x)+g(y)+2xy-2,应用特殊值及排除法确定正确选项.

【详解】由题设〃x+y)+(x+y)=〃x)+x+小)+歹+2中-2,

令g(x)=/(%)+无，贝l]g(x+y)=g(x)+gO)+2^-2,且g⑴=5,

若x=y=O,则g(0)=2g(0)-2ng(0)=2,显然g(0)wg⑴，A排除；

^x=-y=-l,则g(0)=g(D+g(-1)-4ng(-1)=1,显然g(0)wg(-l),B排除；

若x=y=l,则g(2)=2g(l)=10,显然g(0)*g(2),C排除；

故选：D

8.斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔

2024

a

子数列”.斐波那契数列｛6｝用递推的方式有如下定义：％=%=1，。“+2=见+1+。”.则2i-Q2024a2025=

i=l

()

A.0B.1C.2024D.2025

【答案】A

【分析】将已知等式向所求式转化，在4+2=4+1+。〃的等号两边同时乘以〃〃+i，构造包含平方的等式，利用

累加法求解.

aa=aa

【详解】由“〃+2=。〃+1十%，得n+2n+ln+\+%%,即n+\~”〃+2%+1—，

aaaaaa

所以a；=a3a2一。2al，l=a4a3一a3a2，4=54一43，

。2024=。2025“2024—“2024“2023'

以木目力口彳等。2+〃3+,•,+%024=Q2025a2024一〃2025a2024-4，

2024

所以4-42024a2025=。2024—。2025。2024=0.

z=l

故选：A

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.若Q>6>0,c>0,则下列不等式正确的是

b2b+cb+c

A.a-b>\n-B.—<-----<----

aa2a+ca+c

C.ab>baD.efl>b

【答案】ABD

【分析】利用不等式及对数性质判断A；作差法判断B；特殊值法判断C；构造y=e'-x-1,利用导数得

到e<2x+l>x判断D.

【详解】A：因为贝lJq—b>0,0<-<l,所以ln2<0,故a-6>in?,正确.

aaa

b2b+c_b(2a+c)-a(2b+c)c(b-a).b2b+c

B：由--------=------------------<0,即an一<-----,

a2a+ca(2a+c)a(2a+c)a2a+c

2b+cb+c_(a+c)(2b+c)—(b+c)(2〃+c)c(b-a)„2b+cb+c

田=----------<0,得ZF=t-----<----

2a+ca+c(2a+c)(a+c)(2a+c)(a+c)------2a+ca+c

…、b2b+cb+c

所以一——<——，正确.

a2a+ca+c

C：令。=4,b=2,则错误.

D：y=^-x-1,则y'=e"-l,故xvO时y'<0,x>0时歹'〉0,

所以y=e'—x—1在（-叫0）上递减，在（o,+8）上递增，故y次°—0-1=0,

即e"2x+l>x,而Q>b>0,所以e">a>6,正确.

故选：ABD

/、fx+\,x<a

10.己知函数/X=八，则下列说法正确的是（）

[exlnx,x>0

A.若a=0,则/（x）>0的解集为

B.若"-1,则函数/（尤）有2个零点

C.若/卜）的值域为R,则。的取值范围为卜2,0]

【答案】ACD

【分析】分区间求出不等式〃x）>0的解集，判断A；利用导数研究函数“X）在（0,+8）上的单调性，然

后作出函数/（力在（0,+8）上的大致图象及直线y=x+l,数形结合判断B、C；利用/及函数

的单调性判断D.

【详解】A：若Q=0,当时，由x+l>0,得一1<XKO,

由exlnx>0,得％>1,故不等式解集为(-1,0］U(1,+。)，正确.

B：当x>0时，/(x)=exlnx,则/<x)=e(hu+l),

当0<%<2时，p(x)<0,当时，fz(x)>0,

ee

故〃X)在，j上单调递减，在［,+e］上单调递增，

乂/'［j=T,且当尤.CT时，/(x)f0,当xf+8时，/(x)f+8,

函数/(x)的大致图象如图所示,

数形结合知，当x>0时，/(X)只有1个零点,

若。<-1,则xWa时，/(x)没有零点,

所以。<-1,函数/(x)只有1个零点，错误.

C：根据B知，函数/(无)在(0,+8)上的值域为［-1,+8),

若f(x)的值域为R,则/⑺在(-8,可上的值域(-8,。+1］应包含(-叫-1),

贝得。2-2,又。40,故。的取值范围为［-2,0］,正确.

,―心e［1e11

D：由题意知/1=］xlnz=jlnj=/不，

\1JII乙乙\乙J

由于:<:<:，/(x)在\，+8］上单调递增，

所以/出"图,贝呜G正确•

故选：ACD

11.如图，在棱长为2的正方体/BCD-4耳。。中，点«是线段8㈤的中点，Q是底面/4GA上一动点

(异于点G),则下列结论正确的是()

D\

A.直线/q与。□所成角的正切值为乎

B.直线GQ与平面0耳。所成角的余弦值的最大值为也

3

C.若BQ=«,则动点。的轨迹长度为［兀

D.若。4+0G=4,则。的轨迹是圆的一部分

【答案】AC

【分析】由题设知即与。2所成的角，进而求其正切值判断A；分析结论，问题化为求直线

与平面。用口所成角的正切值的最小值，根据已知确定直线G0与平面所成角的平面角，进而求其正

切值最小值，即可得余弦最大值判断B；根据已知得点。轨迹以耳为圆心，血为半径的圆的;，判断c；

利用椭圆的定义判断D.

【详解】A：由题得故/4/Q即与所成的角，

B：直线GQ与平面。耳“所成角的余弦值最大时，其所成的角最小，即正切值最小,

所以原问题转化为求直线CAQ与平面C耳2所成角的正切值的最小值.

由题意知，直线G0与线段与2始终有交点,

设该交点为在平面内的射影为O,如图2,

连接OH,ACX,则ZOHQ即直线QQ与平面CBR所成的角.

根据正方体的结构特征，知人。耳。是边长为20的正三角形，且4。,G三点共线，

o为AC用9的中心且O为线段/G上靠近点G的三等分点，

所以OG=；/G=子.

因为tanNO"G=第，所以的最大时，即点打与点片（或，）重合时，直线GQ与平面。弓2所成角的

OH

正切值最小.

连接附,则。4=与，故3/°叫L=常=?，则（cos/o“GL=g，错误-

c：连接⑸。，由平面4片GA，且40U平面4月5。1，所以

2

在RM84。中，BtQ=^BQ-BB；=41，所以点。轨迹以耳为圆心，0为半径的圆的;，

故动点。的轨迹长度为工x2兀x0=Yl兀，正确.

42

D：由于a+0£=4,且4>4G=2石，所以点。轨迹以4。为焦点的椭球面的一部分，错误.

故选：AC

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知点（1,4）在抛物线。：了="2上，则抛物线C上的点到其焦点距离的最小值为.

【答案】）/0.0625

16

【分析】根据点在抛物线上求出抛物线的标准方程，利用抛物线的定义及性质求出结果.

【详解】因为点（1,4）在抛物线。:了=加上，所以。=4,故抛物线C的标准方程为/=3,

由抛物线的定义知，抛物线C上的点到其焦点的距离等于到其准线的距离，

因为抛物线准线方程为无=-1,所以抛物线上点（x,力到焦点距离等于x+J,

1616

因为x20，所以％+之0，

1616

故抛物线C上的点到其焦点距离的最小值为

16

故答案为：—

16

13.一个大型电子设备制造厂有A和8两条生产线负责生产电子元件.已知生产线A的产品合格率为95%,

生产线8的产品合格率为90%,且该工厂生产的电子元件中60%来自生产线A,40%来自生产线瓦现从该

工厂生产的电子元件中随机抽取一个进行检测，则该电子元件在检测不合格的条件下来自生产线A的概率

是.

【答案】|

【分析】根据给定条件，利用全概率公式及贝叶斯公式求解作答.

【详解】随机抽取一个电子元件，设。="抽取的电子元件不合格”，E="抽取的电子元件来自生产线A”,

尸="抽取的电子元件来自生产线夕'，则尸（£）=0.6,P仍）=0.4,

P(D|E)=0.05,尸(0尸)=01.

由全概率公式得尸（D）=P（E）P（D|E）+尸仍）尸（。伊）=0.6x0.05+0.4x0.1=0.07

P(E)P(D|E)0.6x0.05_3

故P(E|0=

-P(D)-0.07"7,

3

故答案为：

14.若不等式lnx+e'+』2ax+lna恒成立，则实数。的取值范围是.

x

【答案】（0,e]

【分析】应用特殊值x=l结合不等式恒成立得。的取值范围为（0,e],再证明0<a«e时不等式

liu+e*+Lzax+lna恒成立，即可得答案.

X

【详解】由题，当x=l时e+lNa+lna恒成立，即a+lna—e—lV0恒成立，

函数”（x）=x+lnx-e-l在定义域上为增函数且4e）=0,故”的取值范围为（0,e].

下面证明：当0<aWe时不等式lnx+e*+L2ax+lna恒成立.

令/（a）=ax+lna-lnr-ex--（0<a<e）,只需证/（〃）4。恒成立，

因为/'所以/（。）在（0,e]上单调递增，

a

故/（e）=ex+l-lnx-e%,

4^g（x）=ex+l-lwc-ex--（x>0）,则只需证g（x）40,

易知g'(x)=e------ex+—=——+(^e-e令g'(x)=O，得x=l,

当0<x<l时，g'（x）>0,g（x）单调递增；当x>l时，g'（x）<0,g（x）单调递减.

故g（x）Wg（l）=0,得证.所以实数。的取值范围是（0,e].

故答案为：（0,日

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.(13分)

--1jsinC=sin(J+2C).

在锐角三角形/3C中，。，4c分别为内角4氏。所对的边，且

（1）求角3；

（2）若a=2,求ZUBC周长的取值范围.

【解析】1）由题意得（a-c）sinC=csin（3_C）,（1分）

则由正弦定理得(siiL4—sinC)sinC=sinCsin(B—C),（2分）

由于sinCwO,所以siM-sinC=sin(3—C),

所以sin(B+C)—sinC=sin(fi-C),所以cos5sinC—sinC=-cos^sinC....................................................（4分）

由于sinCwO,所以2cosB=l,得cos5=；.

又5.0,"故5=三兀

(6分)

3

/c、Qbc,曰7asinB2sinBasinC_2sinC

（7分）

SIIL4sinnsinCSIIL4SIIL4sin4si*

2

贝！Jf\A.BC的周Q+Z)+C=2H-------(sin5+sinC)=

sirU

6+2sinlZ+^省(1+cos/)73

_0+siM+geos/_3+-----------------=3H---------

cV3+2sinCcsinA（9分）

2+--------------=2+=2H--------------------------tad'

sirUsirUsiiL42

Q<A<-

2

由△/5C为锐角三角形，得〈；,所以Ze(10分)

0<C=--A<-

32

7171A

则力,tan—G(11分)

12542

所以3+百<a+6+c<6+26,（12分）

故△N8C周长的取值范围是（3+后,6+2石）...............................................................................................(13分)

16.（15分）

某商场为了吸引顾客，举办了一场抽奖活动，抽奖箱中有大小相同的红、黄、蓝、绿四种颜色的球各5个,

规定顾客每次消费满500元即可获得一次抽奖机会，每次抽奖从抽奖箱中随机摸出3个球，然后根据摸出

的球的颜色获得相应的奖金（单位：元）：若摸出的3个球颜色完全相同，则获得一等奖，奖金100元；若

摸出的3个球颜色均不相同，则获得二等奖，奖金50元；若摸出的3个球中有2个球的颜色相同，则获得

三等奖，奖金20元.

（1）记随机变量X为顾客抽奖一次获得的奖金金额，求X的分布列及数学期望（数学期望精确到0.01）;

（2）假设每位顾客最多只抽奖一次，现从所有参与抽奖的顾客中随机抽取3人，求3人中恰有2人的奖金金

额为20元的概率.

【解析】（1）由题意可知随机变量X的所有可能取值为100,50,20.

C32

产(X=100)=4xT=

。2057

Cc；c；c；25

p(X=50)=

57

P(X=20)=2C,C；J

C2019

故随机变量X的分布列为

X1005020

22510

P

575719

.........................................................................................................................................（6分）

7751070S0

随机变量X的数学期望E（X）=100x5+50x豆+20、石二3-^35.96.........................................（8分）

（2）由（1）知若从所有参与抽奖的顾客中随机抽取1人，则这个人的奖金金额为20元的概率为:，奖金

19

9

金额为50元或100元的概率为历，...................................................（11分）

故若从所有参与抽奖的顾客中随机抽取3人，这3人中恰有2人的奖金金额为20元的概率为

<10?：；92700

119JX19-6859...................................................................................................................................（15分）

17.(15分)

如图1,直角梯形N8CO中，AD//BC,BCLCD,/。=3,CD=2,BC=4,E为/O上靠近A的三等

分点，将ADEC沿EC翻折至APEC,且平面PECJ■平面A8CE,3PF=2PB，如图2.

⑴求证：CPLEF；

(2)求二面角A-EF-C的余弦值.

【解析】(1)在题图1中，取5c的中点连接则的l/=CN=2,

因为GW7/ED,CM=DE=DC,EDVDC,

所以四边形皮＞CW为正方形，则ENLBC.

在题图2中，连接5E,贝IU2CE是以3c为底边的等腰三角形,

由题知CE=2应，贝l]BE=20,所以BE。+EC2=BC?,所以BE_LEC,................................................（2分）

因为平面尸EC_L平面/3CE,平面MCA平面/3CE=EC,3Eu平面/BCE,

所以BE,平面PEC,又CPu平面尸EC,所以BELCP.............................................................................（4分）

又CP1PE,aPEcBE=E,PE,BEu平面APE,所以CP1平面APE..........................................（6分）

由于EFu平面APE,所以CP_LEE(7分)

(2)如图，以E为坐标原点，M,£C所在直线分别为x,y轴，过点E与平面/8CE垂直的直线为z轴建立

空间直角坐标系,

P

A

则E（0,0,0）,C（0,272,0）,P（Q,0吟,8（2后,0,0）,Ag一学,0,..........................................（8分）

£C=（0,272,0）,£4=1^,-^,ol

故丽=（2后，一衣一⑹,

J2亚'―►46V2叵

由于3丽=2万，所以尸彳-,*,则斯=（9分）

33）

40V272

m•EF=0-----x+y+z=0n

设平面也C的法向量为丽=（XJ,2）,贝1|，一，即；3------33

m-EC=02。=0

令x=l,则z=-4,所以丽=（1,0,-4）（11分）

4近^^272

-------QH------nd------c=0

n-EF=0333

设平面FEA的法向量为n=（…则亢忘=。’即

近凡n

----a-------b=0

I22

令a=l,贝玲=l,c=-5,所以方=（1,1,一5）（13分）

,,一一m-n217病

故cos加,〃=KE

\m\-\n\717x727-51

易知二面角4-M-C为钝二面角，所以二面角4-M-C的余弦值为-撞1......................................（15分）

51

18.（17分）

22

已知椭圆E:云+%=l（a>6>0）,直线尤=。与了=-6交于点A,过椭圆E上一点P（非顶点）作E的切

线与直线x=a和了=-6分别交于点民C.

⑴若尸（-2,1）,求处取得最小值时椭圆E的标准方程；

（2）若椭圆E的右顶点为直线与了轴交于点N,直线8N与直线>=-6交于点。，直线CN,DN,

,111

ZN的斜率分别为左，h，%,求证：晨成等差数列.

/\41

【解析】⑴由于尸（一2,1）在椭圆£上，所以......................................（1分）

4121

i1=-+-y>2-—­—,得...........................................................（3分）

abab

2i

当且仅当一=7，即a=2逝,6=逝时，而取得最小值........................................（4分）

ab

故而取得最小值时椭圆E的标准方程为工+匕=1........................................（5分）

82

（2）根据尸不是椭圆的顶点可知直线8c的斜率存在且不为0,

-b-m7

所以5（〃,左〃+加），C丁T（6分）

y=kx+m

22,得仅2Q左2b2+2/届XQ(加2一〃)=0,(*)

由<■xy+2+2

V+F=1'

由于直线8。与椭圆E相切，所以A=0,

BP4a4k2^-4a2(b2+a2k2)(m2-b2)=O,得病=a*+廿,................(8分)

所以（*）式可化为病/+2/而x+a72=o,gp（mx+a2k）=0,得尤=-巴幺，故尸［----,一|....（9分）

\7m\mm）

Q

由题，得M（a,0）,所以心^=7-=-^~一:，

ak@ayak+m）

m

故直线PM的方程为夕=一-J——T（x一"），

ayak+m）

令x=0,得"故N0,^^

ak+m[ak+m

b2

ka+m-ak+m_(""+加)-b

所以=2左'（11分）

aa^ak+m)

所以直线5N的方程为歹=2左（工一。）+左〃+加,

人7,口-b-ka-mka-m-b

令y=-6,得%二---------+a=------------

2k2k

所以。个”『，-“.易知A(a,-b),

|丁c-b-mka-m-b./八、

由于猫+%-2%=。+--------------=0,所以/+%=2亏.............................(13分)

7t+b7t+b7t+b

设N(0j),故左1=,左2=，々3=，(14分)

~XC~XD~XA

故J_+____%f._-2xp__2%D_Q

+....(16分)

k1左3k2t+bt+bt+bt+b

111

故厂，厂，1成等差数列(17分)

队左2左3

19.(17分)

已矢口函数/(%)=2、2-xlnx+(2a-1)x+1.

(1)若。=；，求函数/(x)的单调区间.

⑵若/(尤)有两个零点七,无2(王<龙2).

Ci)求实数。的取值范围；

(ii)求证：xt+x2<■

【解析】(1)当。=；时/(工)=2工2-工111^+1且xe(0,+co),贝lj/<x)=4x-lnx-l.................(1分)

令〃z(x)=4x-lnx-1,贝[]/(X)=4_L=M-,

当时，m,(x)<0,加(x)单调递减，

当xe]；,+oo1时，m(x)>0,5(x)单调递增.................................................(2分)

故加(x)2加(：j=ln4>0,即/(x)>0,则〃x)在(0,+的上单调递增，.........................(3分)

故“X)的单调递增区间是(0,+纥)，无单调递减区间...........................................(4分)

(2)(i)由题意知/'(x)=x(2x—lnx+L+2a-l],

令g(x)=2x-lnx+』+2a-l(x>0),则g(x)有两个零点项,工2(占<々).........................(5分)

月(上2二二户二尸1=(1)宁+1),令/⑴为，得》=1,

XXXX

当xe(O,l)时，g,(x)<0,g(x)单调递减,

当xe(l,+oo)时，g,(x)>0,g(x)单调递增，

故g(x)1nln=g⑴=2。+2,...............................(6分)

要使g(x)有两个零点，则2a+2<0,BPa<-1................................................(7分)

因为g(e2")=2e2"+4;-l>0,g(-2a)=-2a-ln(-2a)+---l>-2(?-(-2a-l)+---1=—>0,且

e—2Q—2Q—2。