2025年寒假几何思考试题及答案

寒假几何思考试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题5分，共20分）

1.在直角坐标系中，点A（2，3）关于原点的对称点是：

A.（-2，-3）B.（2，-3）C.（-2，3）D.（3，-2）

2.下列命题中，正确的是：

A.对顶角相等B.相邻角互补C.对角相等D.对角互补

3.在等腰三角形ABC中，AB=AC，若∠BAC=50°，则∠B=：

A.60°B.70°C.80°D.90°

4.在平面直角坐标系中，点P（-1，2）到直线y=x的距离是：

A.1B.2C.3D.4

5.已知等边三角形ABC的边长为a，则其面积S=：

A.(a^2)/2B.(a^2)/3C.(a^2)/4D.(a^2)/6

二、填空题（每题5分，共20分）

1.若一个等腰三角形的底边长为6cm，腰长为8cm，则这个等腰三角形的周长为______cm。

2.在直角坐标系中，点M（3，-2）关于y轴的对称点是______。

3.若直角三角形ABC的直角边长分别为3cm和4cm，则斜边长为______cm。

4.在平面直角坐标系中，点P（-2，3）到原点的距离是______。

5.已知等边三角形ABC的边长为10cm，则其面积S=______cm^2。

三、解答题（每题10分，共20分）

1.已知等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=70°，求∠B和∠C的度数。

2.在平面直角坐标系中，已知点A（2，3）和B（-3，4），求线段AB的中点坐标。

四、解答题（每题10分，共20分）

3.已知正方形ABCD的边长为8cm，点E是BC边的中点，求三角形ABE的面积。

4.在平面直角坐标系中，点P的坐标为（-4，5），点Q的坐标为（6，-2）。若点R在第二象限，且PR=4，QR=5，求点R的坐标。

五、证明题（每题10分，共20分）

5.证明：在等腰三角形ABC中，若AB=AC，且∠BAC=45°，则BC=AC√2。

6.已知直角三角形ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，AB=6cm，求BC和AC的长度。

六、综合题（每题20分，共40分）

7.在平面直角坐标系中，已知点A（2，-3），点B（-1，4），点C（-3，1）。求直线AB和直线BC的交点坐标。

8.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8cm，AC=6cm。若点D在AC上，且AD=3cm，求CD的长度。同时，若点E在AB上，且AE=2cm，求BE的长度。

试卷答案如下：

一、选择题（每题5分，共20分）

1.A

解析思路：点A关于原点的对称点，其坐标为原点坐标的相反数，即（-2，-3）。

2.A

解析思路：对顶角相等是几何中的基本性质，而相邻角互补、对角相等和对角互补则不一定成立。

3.A

解析思路：在等腰三角形中，底角相等，所以∠B=∠C，由于∠BAC=50°，所以∠B=∠C=（180°-50°）/2=65°。

4.A

解析思路：点到直线的距离公式为d=|Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2)，其中（x0，y0）为点的坐标，Ax+By+C=0为直线方程。代入点P的坐标和直线y=x，得到d=|(-1)+2+0|/√(1^2+1^2)=1。

5.B

解析思路：等边三角形的面积公式为S=(a^2√3)/4，其中a为边长。

二、填空题（每题5分，共20分）

1.22

解析思路：等腰三角形的周长为底边长加上两倍的腰长，即6+8+8=22cm。

2.（-3，-2）

解析思路：点M关于y轴的对称点，其x坐标取相反数，y坐标不变。

3.5

解析思路：根据勾股定理，斜边长为√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5cm。

4.5

解析思路：点到原点的距离公式为d=√(x^2+y^2)，代入点P的坐标得到d=√((-2)^2+3^2)=√(4+9)=√13。

5.50

解析思路：等边三角形的面积公式为S=(a^2√3)/4，代入边长a=10cm得到S=(10^2√3)/4=50√3/4=50cm^2。

三、解答题（每题10分，共20分）

1.∠B=∠C=65°

解析思路：在等腰三角形中，底角相等，所以∠B=∠C，由于∠BAC=45°，所以∠B=∠C=（180°-45°）/2=65°。

2.（-1，3.5）

解析思路：线段AB的中点坐标为两点坐标的平均值，即((-1+2)/2,(4+3)/2)=(-1/2,3.5)。

四、解答题（每题10分，共20分）

3.32cm^2

解析思路：三角形ABE的面积为正方形ABCD面积的一半，即S=(8cm*8cm)/2=32cm^2。

4.（-8，7）

解析思路：利用两点间的距离公式和勾股定理，设点R的坐标为（x，y），则有x^2+(y-5)^2=16和(x+6)^2+(y+2)^2=25，解得点R的坐标为（-8，7）。

五、证明题（每题10分，共20分）

5.证明：在等腰三角形ABC中，若AB=AC，且∠BAC=45°，则BC=AC√2。

解析思路：作BC边上的高AD，则AD垂直于BC，且∠ADB=∠ADC=90°。由于∠BAC=45°，所以∠BAD=∠CAD=45°。因此，三角形ABD和三角形ACD为等腰直角三角形，AD=BD=CD。所以BC=BD+CD=AC√2。

6.BC=10cm，AC=12cm

解析思路：在直角三角形ABC中，∠ABC=30°，所以AB=AC/2=6cm。利用勾股定理，BC=√(AB^2+AC^2)=√(6^2+12^2)=√(36+144)=√180=10cm。

六、综合题（每题20分，共40分）

7.（-5，7）

解析思路：设直线AB的方程为y=kx+b，代入点A和B的坐标得到两个方程，解得k和b，再代入第三个点的坐标验证，得到直线方程。设直线BC的方程为y=kx+b，同理解得k和b，再代入第四个点的坐标验证，得到直线方程。联立两直线方程求解交点坐标。

8.CD=5cm，BE=6cm

解析思路：在直角三角形ABC中，AB=8cm，AC=6cm，∠BAC=90°。利用勾股定理，BC=√(AB^2+AC^2)=√(8^