2025年泛函分析期中试题及答案

泛函分析期中试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题3分，共30分）

1.设X是Banach空间，f:X→X是线性算子，如果f满足条件∥f(x)∥≤k∥x∥，则称f为：

A.有界线性算子

B.可逆线性算子

C.单射线性算子

D.双射线性算子

2.设X是Hilbert空间，f:X→X是线性算子，如果f满足条件∥f(x)∥≤k∥x∥，则称f为：

A.有界线性算子

B.可逆线性算子

C.单射线性算子

D.双射线性算子

3.设X是Banach空间，Y是Hilbert空间，如果从X到Y的线性算子T满足∥T(x)∥≤k∥x∥，则称T为：

A.有界线性算子

B.可逆线性算子

C.单射线性算子

D.双射线性算子

4.设X是Banach空间，f:X→X是线性算子，如果f满足条件∥f(x)∥≤k∥x∥，则称f为：

A.有界线性算子

B.可逆线性算子

C.单射线性算子

D.双射线性算子

5.设X是Hilbert空间，Y是Banach空间，如果从X到Y的线性算子T满足∥T(x)∥≤k∥x∥，则称T为：

A.有界线性算子

B.可逆线性算子

C.单射线性算子

D.双射线性算子

6.设X是Banach空间，f:X→X是线性算子，如果f满足条件∥f(x)∥≤k∥x∥，则称f为：

A.有界线性算子

B.可逆线性算子

C.单射线性算子

D.双射线性算子

7.设X是Hilbert空间，Y是Banach空间，如果从X到Y的线性算子T满足∥T(x)∥≤k∥x∥，则称T为：

A.有界线性算子

B.可逆线性算子

C.单射线性算子

D.双射线性算子

8.设X是Banach空间，f:X→X是线性算子，如果f满足条件∥f(x)∥≤k∥x∥，则称f为：

A.有界线性算子

B.可逆线性算子

C.单射线性算子

D.双射线性算子

9.设X是Hilbert空间，Y是Banach空间，如果从X到Y的线性算子T满足∥T(x)∥≤k∥x∥，则称T为：

A.有界线性算子

B.可逆线性算子

C.单射线性算子

D.双射线性算子

10.设X是Banach空间，f:X→X是线性算子，如果f满足条件∥f(x)∥≤k∥x∥，则称f为：

A.有界线性算子

B.可逆线性算子

C.单射线性算子

D.双射线性算子

二、填空题（每题3分，共30分）

1.设X是Banach空间，f:X→X是线性算子，如果f满足条件∥f(x)∥≤k∥x∥，则称f为__________线性算子。

2.设X是Hilbert空间，f:X→X是线性算子，如果f满足条件∥f(x)∥≤k∥x∥，则称f为__________线性算子。

3.设X是Banach空间，Y是Hilbert空间，如果从X到Y的线性算子T满足∥T(x)∥≤k∥x∥，则称T为__________线性算子。

4.设X是Banach空间，f:X→X是线性算子，如果f满足条件∥f(x)∥≤k∥x∥，则称f为__________线性算子。

5.设X是Hilbert空间，Y是Banach空间，如果从X到Y的线性算子T满足∥T(x)∥≤k∥x∥，则称T为__________线性算子。

6.设X是Banach空间，f:X→X是线性算子，如果f满足条件∥f(x)∥≤k∥x∥，则称f为__________线性算子。

7.设X是Hilbert空间，Y是Banach空间，如果从X到Y的线性算子T满足∥T(x)∥≤k∥x∥，则称T为__________线性算子。

8.设X是Banach空间，f:X→X是线性算子，如果f满足条件∥f(x)∥≤k∥x∥，则称f为__________线性算子。

9.设X是Hilbert空间，Y是Banach空间，如果从X到Y的线性算子T满足∥T(x)∥≤k∥x∥，则称T为__________线性算子。

10.设X是Banach空间，f:X→X是线性算子，如果f满足条件∥f(x)∥≤k∥x∥，则称f为__________线性算子。

三、计算题（每题10分，共40分）

1.设X是Hilbert空间，f:X→X是线性算子，如果f满足条件∥f(x)∥≤k∥x∥，求证f是有界线性算子。

2.设X是Banach空间，Y是Hilbert空间，f:X→Y是线性算子，如果f满足条件∥f(x)∥≤k∥x∥，求证f是有界线性算子。

3.设X是Hilbert空间，f:X→X是线性算子，如果f满足条件∥f(x)∥≤k∥x∥，求证f是有界线性算子。

4.设X是Banach空间，Y是Hilbert空间，f:X→Y是线性算子，如果f满足条件∥f(x)∥≤k∥x∥，求证f是有界线性算子。

5.设X是Hilbert空间，f:X→X是线性算子，如果f满足条件∥f(x)∥≤k∥x∥，求证f是有界线性算子。

6.设X是Banach空间，Y是Hilbert空间，f:X→Y是线性算子，如果f满足条件∥f(x)∥≤k∥x∥，求证f是有界线性算子。

7.设X是Hilbert空间，f:X→X是线性算子，如果f满足条件∥f(x)∥≤k∥x∥，求证f是有界线性算子。

8.设X是Banach空间，Y是Hilbert空间，f:X→Y是线性算子，如果f满足条件∥f(x)∥≤k∥x∥，求证f是有界线性算子。

9.设X是Hilbert空间，f:X→X是线性算子，如果f满足条件∥f(x)∥≤k∥x∥，求证f是有界线性算子。

10.设X是Banach空间，Y是Hilbert空间，f:X→Y是线性算子，如果f满足条件∥f(x)∥≤k∥x∥，求证f是有界线性算子。

四、证明题（每题10分，共20分）

1.证明：若X是Banach空间，f:X→X是线性算子，且f满足∥f(x)∥≤k∥x∥，则f是有界线性算子。

2.证明：若X是Hilbert空间，f:X→X是线性算子，且f满足∥f(x)∥≤k∥x∥，则f是有界线性算子。

五、应用题（每题10分，共20分）

1.设X是Banach空间，f:X→X是线性算子，且f满足∥f(x)∥≤k∥x∥，证明f的逆算子f⁻¹存在且有界。

2.设X是Hilbert空间，f:X→X是线性算子，且f满足∥f(x)∥≤k∥x∥，证明f的逆算子f⁻¹存在且有界。

六、综合题（每题20分，共40分）

1.设X是Banach空间，f:X→X是线性算子，且f满足∥f(x)∥≤k∥x∥，证明f的谱包含在闭球{λ∈C:|λ|≤k}内。

2.设X是Hilbert空间，f:X→X是线性算子，且f满足∥f(x)∥≤k∥x∥，证明f的谱包含在闭球{λ∈C:|λ|≤k}内。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析思路：

1.A.有界线性算子

解析思路：根据定义，有界线性算子是指存在常数k使得∥f(x)∥≤k∥x∥。

2.A.有界线性算子

解析思路：Hilbert空间中的有界线性算子同样满足上述定义。

3.A.有界线性算子

解析思路：从Banach空间到Hilbert空间的线性算子如果有界，则同样满足上述定义。

4.A.有界线性算子

解析思路：与第一题相同，根据定义判断。

5.A.有界线性算子

解析思路：从Hilbert空间到Banach空间的线性算子如果有界，则满足上述定义。

6.A.有界线性算子

解析思路：与第四题相同，根据定义判断。

7.A.有界线性算子

解析思路：与第三题相同，从Banach空间到Hilbert空间的线性算子如果有界，则满足上述定义。

8.A.有界线性算子

解析思路：与第五题相同，从Hilbert空间到Banach空间的线性算子如果有界，则满足上述定义。

9.A.有界线性算子

解析思路：与第一题相同，根据定义判断。

10.A.有界线性算子

解析思路：与第十题相同，根据定义判断。

二、填空题答案及解析思路：

1.有界

解析思路：根据定义，有界线性算子是指存在常数k使得∥f(x)∥≤k∥x∥。

2.有界

解析思路：Hilbert空间中的有界线性算子同样满足上述定义。

3.有界

解析思路：从Banach空间到Hilbert空间的线性算子如果有界，则满足上述定义。

4.有界

解析思路：与第一题相同，根据定义判断。

5.有界

解析思路：从Hilbert空间到Banach空间的线性算子如果有界，则满足上述定义。

6.有界

解析思路：与第四题相同，根据定义判断。

7.有界

解析思路：与第三题相同，从Banach空间到Hilbert空间的线性算子如果有界，则满足上述定义。

8.有界

解析思路：与第五题相同，从Hilbert空间到Banach空间的线性算子如果有界，则满足上述定义。

9.有界

解析思路：与第一题相同，根据定义判断。

10.有界

解析思路：与第十题相同，根据定义判断。

三、计算题答案及解析思路：

1.证明：若X是Banach空间，f:X→X是线性算子，且f满足∥f(x)∥≤k∥x∥，则f是有界线性算子。

解析思路：使用三角不等式和线性算子的性质证明。

2.证明：若X是Hilbert空间，f:X→X是线性算子，且f满足∥f(x)∥≤k∥x∥，则f是有界线性算子。

解析思路：与第一题类似，利用Hilbert空间中的内积性质进行证明。

3.证明：若X是Banach空间，f:X→X是线性算子，且f满足∥f(x)∥≤k∥x∥，则f是有界线性算子。

解析思路：与第一题相同，使用三角不等式和线性算子的性质证明。

4.证明：若X是Hilbert空间，f:X→X是线性算子，且f满足∥f(x)∥≤k∥x∥，则f是有界线性算子。

解析思路：与第二题类似，利用Hilbert空间中的内积性质进行证明。

5.证明：若X是Banach空间，f:X→X是线性算子，且f满足∥f(x)∥≤k∥x∥，则f是有界线性算子。

解析思路：与第一题相同，使用三角不等式和线性算子的性质证明。

6.证明：若X是Hilbert空间，f:X→X是线性算子，且f满足∥f(x)∥≤k∥x∥，则f是有界线性算子。

解析思路：与第二题类似，利用Hilbert空间中的内积性质进行证明。

7.证明：若X是Banach空间，f:X→X是线性算子，且f满足∥f(x)∥≤k∥x∥，则f是有界线性算子。

解析思路：与第一题相同，使用三角不等式和线性算子的性质证明。

8.证明：若X是Hilbert空间，f:X→X是线性算子，且f满足∥f(x)∥≤k∥x∥，则f是有界线性算子。

解析思路：与第二题类似，利用Hilbert空间中的内积性质进行证明。

9.证明：若X是Banach空间，f:X→X是线性算子，且f满足∥f(x)∥≤k∥x∥，则f是有界线性算子。

解析思路：与第一题相同，使用三角不等式和线性算子的性质证明。

10.证明：若X是Hilbert空间，f:X→X是线性算子，且f满足∥f(x)∥≤k∥x∥，则f是有界线性算子。

解析思路：与第二题类似，利用Hilbert空间中的内积性质进行证明。

四、证明题答案及解析思路：

1.证明：若X是Banach空间，f:X→X是线性算子，且f满足∥f(x)∥≤k∥x∥，则f是有界线性算子。

解析思路：使用三角不等式和线性算子的性质证明。

2.证明：若X是Hilbert空间，f:X→X是线性算子，且f满足∥f(x)∥≤k∥x∥，则f是有界线性算子。

解析思路：与第一题类似，利用Hilbert空间中的内积性质进行证明。

3.证明：若X是Banach空间，f:X→X是线性算子，且f满足∥f(x)∥≤k∥x∥，则f是有界线性算子。

解析思路：与第一题相同，使用三角不等式和线性算子的性质证明。

4.证明：若X是Hilbert空间，f:X→X是线性算子，且f满足∥f(x)∥≤k∥x∥，则f是有界线性算子。

解析思路：与第二题类似，利用Hilbert空间中的内积性质进行证明。

5.证明：若X是Banach空间，f:X→X是线性算子，且f满足∥f(x)∥≤k∥x∥，则f是有界线性算子。

解析思路：与第一题相同，使用三角不等式和线性算子的性质证明。

6.证明：若X是Hilbert空间，f:X→X是线性算子，且f满足∥f(x)∥≤k∥x∥，则f是有界线性算子。

解析思路：与第二题类似，利用Hilbert空间中的内积性质进行证明。

7.证明：若X是Banach空间，f:X→X是线性算子，且f满足∥f(x)∥≤k∥x∥，则f是有界线性算子。

解析思路：与第一题相同，使用三角不等式和线性算子的性质证明。

8.证明：若X是Hilbert空间，f:X→X是线性算子，且f满足∥f(x)∥≤k∥x∥，则f是有界线性算子。

解析思路：与第二题类似，利用Hilbert空间中的内积性质进行证明。

9.证明：若X是Banach空间，f:X→X是线性算子，且f满足∥f(x)∥≤k∥x∥，则f是有界线性算子。

解析思路：与第一题相同，使用三角不等式和线性算子的性质证明。

10.证明：若X是Hilbert空间，f:X→X是线性算子，且f满足∥f(x)∥≤k∥x∥，则f是有界线性算子。

解析思路：与第二题类似，利用Hilbert空间中的内积性质进行证明。

五、应用题答案及解析思路：

1.证明：若X是Banach空间，f:X→X是线性算子，且f满足∥f(x)∥≤k∥x∥，则f的逆算子f⁻¹存在且有界。

解析思路：首先证明f可逆，然后证明f⁻¹有界。

2.证明：