2025年高考数学模拟试卷3（新高考卷）及答案

2025年高考数学模拟试卷02（新高考卷）

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知随机变量贝|。（2占+1）=（）

A.15B.20C.5D.10

2.已知椭圆三+y2=l（q>l）的离心率为且，则y=a/的焦点坐标为（）

a2

3.已知｛4“｝为等差数列，5.为其前〃项和.若2%,公差d*0,S,“=0,则机的值为（）

A.4B.5C.6D.7

4.已知直线和平面则下列判断中正确的是（）

A.若a//c,6//a,则a//bB.若a//b,6〃a,则a//a

C.若a"a,bLa,则D.若a1b,bHa,贝IJa_La

5.中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的

五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（）

A.18种B.24种C.36种D.72种

6.已知圆C:（x—5）z+（y+2>=0=>0）,4（-6,0）1（0,8）,若圆C上存在点尸使得以，尸3,则♦的取值范

围为（）

A.(0,5]B.[5,15]C.[10,15]D.[15,+co)

7.已矢口sintxsin[a+=cosasin(弓一a),贝Ijtan(2a=(

)

A.gB.2C.2一后

D.2+73

22

8.设耳马是双曲线C：T-2r=l(a>0,b>0)的左、右焦点，点A是双曲线C右支上一点，若△人耳入的内

ab

切圆M的半径为a为圆心)，且皿eR,使得AM+30M=4尺£,则双曲线C的离心率为()

A.行B.75C.2D.2百

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数〃尤)=Asin(Ox+0)3>0)是偶函数，将y=〃x)的图象向左平移£个单位长度，再将图象上

各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y=g(x)的图象.若曲线y=g(x)的两个相邻对称中心之

间的距离为2兀，贝U()

A.a)=2

B.g(x)的图象关于直线x=q对称

C.g(x)的图象关于点对称

D.若/(I)=-2,则g(x)在区间［0,兀］上的最大值为6

10.设Z1,Z2，Z3为复数，下列命题正确的是()

A.区司=|21HzB.|z『=z：

C.若Zj+ZzeR,则z「z?为纯虚数D.若云=?3,且4*0,则三=亘

Z1Z1

11.已知函数/(x)的定义域为R,且VxeR,者B有/(-3+x)+/(-l-x)=0,+,

f(-5)=-2,/^=-|,当xe［T,0］时，f^x^a^+bx,则下列说法正确的是()

A.函数/(x)的图象关于点(-2,0)对称

B./(1)=2

C./(2023)+/(2024)+/(2025)=2

D.函数了。)与函数y=|ln|x||的图象有8个不同的公共点

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知集合”=｛尤卜2-2%-3<。｝W=｛尤,2一砒<0心2｝,若集合McN恰有两个元素，则实数0的取值

范围是.

13.某冰淇淋门面店将上半部是半球(半球的半径为3),下半部是倒立的圆锥(圆锥的高为6)的冰淇淋模

型放到据窗内展览，托盘是边长为12的等边三角形A8C金属片沿三边中点。，E,尸的连线向上折叠成直二

面角而成，则半球面上的最高点到平面DEF的距离为

14.已知。<%<%44,球=婷1=1,2,),则使不等式储£%42024能成立的正整数〃的最大值

\i=lJ\i=n+1)

为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.(13分)小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度不同分为A类题和8类题，小张需要通过“抽小球”

的方式决定要答的题目难度类型：一个箱子里装有质地，大小一样的5个球，3个标有字母4另外2个标

有字母2,小张从中任取3个小球，若取出的A球比8球多，则答A类题，否则答8类题.

⑴设小张抽到A球的个数为X,求X的分布列及E(X).

(2)已知A类题里有4道论述题和1道计算题，B类题里有3道论述题和2道计算题，小张确定题目的难度类

型后需要从相应题目中任选一道题回答.求小张回答论述题的概率；

16.(15分)已知函数”司=111(枇2工一26,+1)-了是定义在(—8,0)11(0,y)上的偶函数.

(1)求实数。的值；

⑵请问是否存在正数机凡使得当xe［私可时，函数的值域为［2w2〃］,若存在这样的正数姓%请求

出牡〃的值；若不存在，请说明理由.

17.(15分)正方形ABCD的边长为2,瓦尸分别为边的中点，M是线段E尸的中点，如图，把正方

形沿所折起，设/4£0=。(0＜。＜兀).

(1)求证：无论。取何值，CM与8£＞不可能垂直;

⑵设二面角。一RW—C的大小为夕，当卜皿同=履时，求sin。的值.

18.(17分)已知。为坐标原点，抛物线C:y2=2px(p＞0),过点G(1,O)的直线交抛物线于A,8两点，

OAOB=-1.

(1)求抛物线C的方程；

⑵若点。(TO),连接A。,BD,证明：|AD|•忸6=忸。|卜@；

(3)已知圆G以G为圆心，1为半径，过A作圆G的两条切线，与y轴分别交于点M,N且N位于无轴两

侧，求「AAW面积的最小值.

19.(17分)欧拉函数在密码学中有重要的应用.设w为正整数，集合X.={1,2,…，〃-1},欧拉函数以力的

值等于集合X“中与〃互质的正整数的个数；记M(x,y)表示X除以y的余数(尤和y均为正整数)，

(1)求。(6)和0(15)；

(2)现有三个素数p,q,e(p＜q＜e),n=pq,存在正整数“满足M(de,0(〃))=1；已知对素数a和xeX”，

均有M(尤＜4)=1,证明：若xeX“，则彳=”(阳(*。,")匕”)；

(3)设n为两个未知素数的乘积，4，e?为另两个更大的已知素数，且2q=3e2+l；又6="(/,〃)，

f2

c2=A/(x,n),xwX“，试用q,c?和n求出x的值.

数学.参考答案

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

12345678

DDBCCBCA

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

91011

BCDADABD

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（2,+oo）13.9+7314.13

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（13分）

x2

Cc33「31

【详解】⑴X的所有可能取值为1,2,3,则尸（乂=1）=吉=6"的=2）=吉=7产3=3）=涓=行,

所以X的分布列为

X123

331

P

io510

/、331Q

故双X)=lx而+2x《+3x历=]...........................6分

（2）记事件A为“小张回答A类题”，3为“小张回答5类题”，C为“小张回答论述题”.

317

由(1)知尸")=—+—=一,

51010尸⑻1

由题意知尸（C|A）=1,P（C|B）=|,

所以尸（C）=P（C⑷/（A）+P（C⑻尸（B）=wX而+3面=不...............13分

16.（15分）

【详解】（1）由题意可得）（尤）=In1=J。[役、+1-2],

=Infaex+4一2

因为函数"X)为偶函数，所以〃f)=/(x),即In3-2

所以誉+/-2=*+5一2,整理得(。一1)卜一：)=0,

又因为XWO,所以。=1...........................5分

(2)由⑴得〃x)=ln[e'+e-21

令g(x)=eX+4-2,设%＞占＞0,

贝Ug(%)_g(xJ=(e爸+《_2］一(e3

因为三＞三＞0,所以ef＞e*',e*e*＞O,e*+为＞1,

所以g(N)-g(%)＞。，即g®)＞g(%)，

所以函数g(x)在区间(O,+s)上单调递增，.............9分

又由对数函数的单调性，可知函数/(x)在区间(0,+。)上单调递增，

假设存在正数使得当xe[〃7,”]时，函数“X)的值域为[2皿2句,

=爪"+《-2

=2m

则卜

/(n)=ln^e"+^-2^=2n

可得方程In卜+:-2]=2x=lne2*有两个不相等的正根，整理为(e?，-e*)+〔2-=0,

可得e，(e*-1)+'二=°，

又由尤>0,可得e*-l>0,2e'-l>0,

故方程e*(eX-l)+q」=O没有两个不相等的正根，不存在满足题意的正数相〃.............15分

17.(15分)

【详解】(1)证明：假设又因为正方形ABCD的边长为2,

且加是线段反的中点，所以CF=MF=EM=DE=1,

所以。M=CM=&,又因为8=2,

有。AV+CM?=a>2,所以DMLCM,

因为BDcDM=D,BOu平面u平面

所以CM_L平面

因为u平面BOW,所以CMJ_圆"

又因为==0,所以BC=2,

这与3C<3尸+/C=2矛盾，所以假设不成立,

所以无论〃取何值，CM与3D不可能垂直。.............7分

(2)由题可得，分别以EA,E尸为羽V轴，过点E垂直平面ABBE向上为z轴,

如图建立空间直角坐标系，

所以E(0,0,0),A(l,0,0),B(1,2,0),尸(0,2,0),

M(0,1,0),D(cos0,0,sin6),C(cos0,2,sin0),

所以MB=(1,1,0),MC=(cos6,1,sin6),MZ)=(cos6),-l,sin0)

设平面BCM的一个法向量为4=a，wzj,

MB%=0X|+X=0

所以"，即

MC^=0石cose+M+4sin6=0'

取XI=sin6,可得％=(sina-sin0,l-cos(9),

设平面BUM的一个法向量为%=(x2,y2,z2),

MBn.=0%2+%=0

所以，即

MD•九2二0x2cos0-y2+z2sin0=0

取工2=sin8,可得巧=(sin3,-sin-1-cos0\

又卜所以|cos同二’、,

745

所以K°sd=丽=而号m标二FT研嬴wr而解得

sin”国15分

21

18.(17分)

【详解】(1)设直线A3的方程为*=阳+1,

y2=2px

由＜得y2_2pmy-2p=0,

x=my+1

设4(4%),5(々,%),

yl一54)2T

则%%=-2p,_2£

人1人2—c而一国『一i

2P

从而0A-07?=%%,+x%=]—2p=—1,解得/?=1,

所以抛物线C的方程为V=2x；............4分

(2)要证|AD|•忸6=忸件|47|,即证DG平分4DB,即证％m+研=。,

由(1)可知%%=-2,%+%=2p〃?=2m,

kK+k一.।%一.।%

railAD+KBD-+-2+2

则为+1w+lA+iA+1

22

r2%%(%+%)+4(%+必)_-8"2+8〃7

-.+2)(£+2)--W+2府+2)

故I仞I.忸口=忸。.仙6；.............6分

(3)记AM,AN分别与圆G切于点T,F,连接TG,MG,NG,

由题意，得|4刀=］河-晒=12

5M

由切线长定理，知|AT|=|/S|,|NO|=|NF|,\MO\^\MT\,

所以53'=曰座|义3才=1|加7],

又S^AMN=S^MAG+S/^ANG+S^MNG

1

=­X\AM\xl+^x\AN\xl+^x\MN\xl

2

=^(]MT\+\AT\+\NF\+\AF\+\MO\+\ON\)

T21Mol+2|NO|+2M)

=|W|+|AT|

=\MN\+^yf=^-\MN\,解得|初v|=/L

J；-4

所以S,N=；XE=；(y；-4)+E+8>|x(2x4+8)=8,

N%TXTJ2

当且仅当才-4=4,即％=±2血时，取等号,

【详解】(1)乂6中，与6互质的数有1和5,则0⑹=2；

XM中，与15互质的数有1、2、4、7、8、11、13和14,则。(15)=8.............3分

XX

(2)因为p和q为素数，则对尤eX“，仅当一eN+或一eN+时，x和”不互质，

pq

又x<”,则》=〃，2p,或尤=q,2«,…(p-l)q时，尤与“不互质，

则0(〃)=〃—1一(0一1)—(4—1)=初一1乂4一1),

设M(x,p)=s,M(x,q)=t,可知s,f不全为0,下证sfwO时，/卜刎,〃)=1；

由题知，M(s^,p)=M{tq-\q)=\,

pl2p2p

又x~=(kp+s)''=(仞广'+C；_](kp)’54--FC^kps~+=Nop+s^(k,N0eN+),

所以M(4,p)=Mp)=1,同理有M(/=1；

于是记尤内=切+1(左eN+),x“")=(如+1-=N/+1(MeN+),

即M[*),q)=l,同理MM(")，P)=1,记/")=乂夕+1,于是MP+1=NM+1,

则•旦，因为ZeN+，所以丛€2,所以”')=乂•四+1=乂”+1,

ppppP

即加卜加,〃)=1;

(i)WW