2025版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第5讲椭圆分层演练理含解析新人教A版

PAGEPAGE1第5讲椭圆1．已知椭圆eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,10－m)＝1的焦点在x轴上，焦距为4，则m等于()A．8 B．7C．6 D．5解析：选A.因为椭圆eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,10－m)＝1的焦点在x轴上．所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10－m>0，,m－2>0，,m－2>10－m，))解得6<m<10.因为焦距为4，所以c2＝m－2－10＋m＝4，解得m＝8.2．(2024·湖北武汉模拟)已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是eq\f(3,4)，则此椭圆的标准方程是()A.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1B.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1或eq\f(x2,7)＋eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1D.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1或eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1解析：选B.因为a＝4，e＝eq\f(3,4)，所以c＝3，所以b2＝a2－c2＝16－9＝7.因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标准方程是eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1或eq\f(x2,7)＋eq\f(y2,16)＝1.3．(2024·湖北八校联考)设F1，F2分别为椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则eq\f(|PF2|,|PF1|)的值为()A.eq\f(5,14) B.eq\f(5,13)C.eq\f(4,9) D.eq\f(5,9)解析：选B.由题意知a＝3，b＝eq\r(5)，c＝2.设线段PF1的中点为M，则有OM∥PF2，因为OM⊥F1F2，所以PF2⊥F1F2，所以|PF2|＝eq\f(b2,a)＝eq\f(5,3).又因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，所以|PF1|＝2a－|PF2|＝eq\f(13,3)，所以eq\f(|PF2|,|PF1|)＝eq\f(5,3)×eq\f(3,13)＝eq\f(5,13)，故选B.4．(2024·高考全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为()A．1－eq\f(\r(3),2)B．2－eq\r(3)C.eq\f(\r(3)－1,2)D.eq\r(3)－1解析：选D.由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝eq\r(3)c.由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即eq\r(3)c＋c＝2a，所以(eq\r(3)＋1)c＝2a，故椭圆C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)－1.故选D.5．(2024·湖南百校联盟联考)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点分别为A、B，左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线交椭圆于M、N两点．若四边形FAMN是平行四边形，则该椭圆的离心率为()A.eq\f(3,5) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：选A.因为圆O与直线BF相切，所以圆O的半径为eq\f(bc,a)，即OC＝eq\f(bc,a)，因为四边形FAMN是平行四边形，所以点M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋c,2)，\f(bc,a)))，代入椭圆方程得eq\f(（a＋c）2,4a2)＋eq\f(c2b2,a2b2)＝1，所以5e2＋2e－3＝0，又0<e<1，所以e＝eq\f(3,5).故选A.6．(2024·贵阳模拟)若椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，短轴长为4，则椭圆的标准方程为________．解析：由题意可知e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，2b＝4，得b＝2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，,a2＝b2＋c2＝4＋c2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,c＝2\r(3)，))所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1.答案：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝17．设F1，F2是椭圆eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则△PF1F2的面积为________．解析：因为|PF1|＋|PF2|＝14，又|PF1|∶|PF2|＝4∶3，所以|PF1|＝8，|PF2|＝6.因为|F1F2|＝10，所以PF1⊥PF2.所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq\f(1,2)×8×6＝24.答案：248．(2024·海南海口模拟)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－c，0)，右顶点为A，上顶点为B，现过A点作直线F1B的垂线，垂足为T，若直线OT(O为坐标原点)的斜率为－eq\f(3b,c)，则该椭圆的离心率为________．解析：因为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，A，B和F1点坐标分别为(a，0)，(0，b)，(－c，0)，所以直线BF1的方程是y＝eq\f(b,c)x＋b，OT的方程是y＝－eq\f(3b,c)x.联立解得T点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(c,4)，\f(3b,4)))，直线AT的斜率为－eq\f(3b,4a＋c).由AT⊥BF1得，－eq\f(3b,4a＋c)·eq\f(b,c)＝－1，因为a2＝b2＋c2，e＝eq\f(c,a)，所以e＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)9．分别求出满意下列条件的椭圆的标准方程．(1)与椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1有相同的离心率且经过点(2，－eq\r(3))；(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5，3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝t1或eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝t2(t1，t2＞0)，因为椭圆过点(2，－eq\r(3))，所以t1＝eq\f(22,4)＋eq\f(（－\r(3)）2,3)＝2，或t2＝eq\f(（－\r(3)）2,4)＋eq\f(22,3)＝eq\f(25,12).故所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1或eq\f(y2,\f(25,3))＋eq\f(x2,\f(25,4))＝1.(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，由已知条件得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝5＋3，,（2c）2＝52－32，))解得a＝4，c＝2，所以b2＝12.故椭圆方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1或eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1.10．(2024·兰州市诊断考试)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)经过点(eq\r(2)，1)，且离心率为eq\f(\r(2),2).(1)求椭圆C的方程；(2)设M，N是椭圆上的点，直线OM与ON(O为坐标原点)的斜率之积为－eq\f(1,2).若动点P满意eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋2eq\o(ON,\s\up6(→))，求点P的轨迹方程．解：(1)因为e＝eq\f(\r(2),2)，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，又椭圆C经过点(eq\r(2)，1)，所以eq\f(2,a2)＋eq\f(1,b2)＝1，解得a2＝4，b2＝2，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋2eq\o(ON,\s\up6(→))得x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2，因为点M，N在椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1上，所以xeq\o\al(2,1)＋2yeq\o\al(2,1)＝4，xeq\o\al(2,2)＋2yeq\o\al(2,2)＝4，故x2＋2y2＝(xeq\o\al(2,1)＋4x1x2＋4xeq\o\al(2,2))＋2(yeq\o\al(2,1)＋4y1y2＋4yeq\o\al(2,2))＝(xeq\o\al(2,1)＋2yeq\o\al(2,1))＋4(xeq\o\al(2,2)＋2yeq\o\al(2,2))＋4(x1x2＋2y1y2)＝20＋4(x1x2＋2y1y2)．设kOM，kON分别为直线OM与ON的斜率，由题意知，kOM·kON＝eq\f(y1y2,x1x2)＝－eq\f(1,2)，因此x1x2＋2y1y2＝0，所以x2＋2y2＝20，故点P的轨迹方程为eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,10)＝1.1．(2024·高考全国卷Ⅰ)设A、B是椭圆C：eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,m)＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满意∠AMB＝120°，则m的取值范围是()A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0，eq\r(3)]∪[9，＋∞)C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，eq\r(3)]∪[4，＋∞)解析：选A.依题意得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),\r(m))≥tan\f(∠AMB,2),0<m<3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(\r(m),\r(3))≥tan\f(∠AMB,2),m>3))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),\r(m))≥tan60°,0<m<3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(\r(m),\r(3))≥tan60°,m>3))，解得0<m≤1或m≥9.故选A.2．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是肯定点．则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．解析：如图所示，设椭圆右焦点为F1，则|PF|＋|PF1|＝6.所以|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6.利用－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)．所以|PA|＋|PF|≤6＋eq\r(2)，|PA|＋|PF|≥6－eq\r(2).故|PA|＋|PF|的最大值为6＋eq\r(2)，最小值为6－eq\r(2).答案：6＋eq\r(2)6－eq\r(2)3．设F1，F2分别是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为eq\f(3,4)，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.解：(1)依据c＝eq\r(a2－b2)及题设知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，eq\f(\f(b2,a),2c)＝eq\f(3,4)，2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(c,a)＝－2(舍去)．故C的离心率为eq\f(1,2).(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故eq\f(b2,a)＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（－c－x1）＝c，,－2y1＝2，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－\f(3,2)c，,y1＝－1.))代入C的方程，得eq\f(9c2,4a2)＋eq\f(1,b2)＝1.②将①及c＝eq\r(a2－b2)代入②得eq\f(9（a2－4a）,4a2)＋eq\f(1,4a)＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2eq\r(7).4．已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为(0，2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→)).(1)求椭圆的方程；(2)求m的取值范围．解：(1)由题意知椭圆的焦点在y轴上，可设椭圆方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，由题意知a＝2，b＝c，又a2＝b2＋c2，则b＝eq\r(2)，所以椭圆的方程为eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,2)＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2