2025年高考数学模拟试卷2（九省新高考新结构卷）及答案

2025年高考数学模拟试卷02【新九省卷】

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合4=｛目尤=3〃-1,〃€2｝,3=｛耳0＜无＜6｝,则408=（）

A.{1,4}B.{195}C.{2,4}D.{2,5}

2.若tan(a-：)=2,则sin2a=(

)

43°3

A.-B.——c.-D.--

5555

3.已知〃=,若。〃人贝！j加二（）

D.二

A.1B.-1c-

•33

4.(1—2x)5=%+dyX+a2%?+•,•+。5天5，贝Ijg+&=()

A.100B.110C.120D.130

5.已知等差数列｛%｝的前"项和为S”，且Sz=2,S6=9,则%=()

A.14B.16C.18D.20

6.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.

它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是

一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧。E,AC所在圆的半径分别是3和6,且

ZABC=120°,则该圆台的体积为（）

A.也叵兀B.9兀C.77rD.此叵兀

33

7.已知直线y+l=，〃(x-2)与圆(》-1)2+(>-1)2=9相交于M,N两点.则|MN|的最小值为()

A.小B.2.75C.4D.6

8.己知可导函数的定义域为R,/为奇函数，设g(x)是/⑺的导函数，若g(2x+l)为奇函数,

110

且g（0）=7,则士依（2左）=（）

2k=\

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数z,下列说法正确的是()

A.若z-2=0,贝！］z为实数B.z2+z2=0,则z=N=0

C.若则|z|的最大值为2D.若|z-i|=|z|+l,则z为纯虚数

10.已知函数"X)=cos(°x+e),>0,0<夕<］］的图象在y轴上的截距为g,巳是该函数的最小正零点,

贝IJ()

71

A4.（p=一

3

B./(x)+/'(x)W2恒成立

C.在10高上单调递减

D.将y=/(x)的图象向右平移三个单位，得到的图象关于，轴对称

11.如图，已知抛物线cy2=2p_x(p>0)的焦点为F,抛物线C的准线与X轴交于点D,过点尸的

直线/(直线/的倾斜角为锐角)与抛物线C相交于A3两点(A在x轴的上方，8在x轴的下

方)，过点A作抛物线C的准线的垂线，垂足为直线/与抛物线C的准线相交于点N,贝心)

A.当直线/的斜率为1时，|的=4pB.若|N典=|R0|,则直线/的斜率为2

C.存在直线/使得ZAOB=D.若而=3丽，则直线/的倾斜角为60°

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：①本题共3小题，每小题6

分，满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得。分;

③部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三

个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）.已知在某次新结构数学试题的考试中，小

明同学三个多选题中第一小题确定得满分，第二小题随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个

选项，则小明同学多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）的中位数为.

13.在直三棱柱ABC-A用G中，AB=AC=AAi=4,ACYAB,过AQ作该直三棱柱外接球的截面，所得

截面的面积的最小值为.

14.在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为b,c,已知c=2asinC—2ccosA,贝!!sin2A=；

若a=2,则AABC面积的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明'证明过程或演算步聚。

15.（本小题满分13分）已如曲线/（力=依2+%—2垢+6（4力©11）在》=2处的切线与直线》+2>+1=0垂直.

⑴求。的值；

（2）若"x）Z0恒成立，求人的取值范围.

16.（本小题满分15分）为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、

好读书”的号召，并开展阅读活动.开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间

（单位：分钟），得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.0075,0.0125,

后三个小矩形的高度比为3：2：1.

个频率/组距

0.0125—

0.0075—

------------------------->.

O20406080100120时间/分钟

（1）根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用该

组区间的中点值为代表）；

（2）开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学生作

为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于［80,100）的人数记为《，

求随机变量J的分布列与数学期望.

17.（本小题满分15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A3CD是边长为2的正方形，PA=PB=下,

点M在尸£>上，点N为BC的中点，且P2〃平面MAC.

BNC

(1)证明：CMV/平面PAN；

(2)若PC=3,求平面PAN与平面MAC夹角的余弦值.

22

18.(本小题满分17分)已知椭圆氏土+匕=1,直线/与椭圆E交于A、8两点，。为坐标原点，且。4,03,

84

0P1AB,垂足为点P.

(1)求点尸的轨迹方程；

(2)求面积的取值范围.

19.(本小题满分17分)置换是代数的基本模型，定义域和值域都是集合4={1,2,…,〃},〃eN+的函数称为〃

次置换.满足对任意ieAJ(i)=i的置换称作恒等置换.所有〃次置换组成的集合记作S”.对于/⑺eSn,

，、(12…n\

我们可用列表法表示此置换：=42)...”“J，记

〃，)=『(，)，/(&))=r⑺J(尸⑺)=/()…J&i⑺卜尸⑺,

⑴若/⑺小型/⑴=123143、/计算/⑺；

(2)证明：对任意〃i)eS4,存在左€z,使得产(i)为恒等置换；

(3)对编号从1到52的扑克牌进行洗牌，分成上下各26张两部分，互相交错插入，即第1张不动，第

27张变为第2张，第2张变为第3张，第28张变为第4张，……，依次类推.这样操作最少重复几次就

能恢复原来的牌型？请说明理由.

数学・参考答案

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

91011

ACACAD

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

13.1113.8n14.-2+近

43

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（本小题满分13分）

【解】（1）由于x+2y+l=0的斜率为-;，所以（（2）=2,

2?1

又/'（力=2依+1-故广（2）=4〃+1-5=2,解得a.,

/—、/.、A-rt1|ir*1%Jcf（\12+X—2（x+2）（%—l）

（2）由⑴知〃=彳，所以/=%+l——=------------=--------------

2xxx

故当％>1时,广（%）>0J（x）单调递增，

当Ov尤vl时,广（%）<0,/（力单调递减,

故当x=l时，“X）取最小值/⑴=；+1+6,

13

要使广⑺川恒成立，^/（1）=-+1+&>0,解得羟-展

3

故匕的取值范围为

16.（本小题满分15分）

【解】（1）由题知：各组频率分别为：0.15,0.25,0.3,0.2,0.1,

日均阅读时间的平均数为：

30x0.15+50x0.25+70x0.3+90x0.2+110x0.1=67(分钟)

(2)由题意，在[60,80),[80,100),[100,120]三组分别抽取3,2,1人

4的可能取值为：0,1,2

C3C01C2cl3

则PC=o)=*，%=1)=宁=

5

l2

%=2)c=c*=1

5

所以4的分布列为:

+2x-=l

5

17.（本小题满分15分）

【解】（1）连接交AC与点。，连接31,可得平面与平面MAC的交线为ON,

因为依〃平面跖1C,尸3u平面尸fiD,所以P3//（W,

又因为。为的中点，所以点/为尸。的中点，

取承的中点E,连接EM,EN,可得EM〃AD且EM=；AD,

又因为N为BC的中点，可得GV//"）且CN=

所以EM//CN且EM=CN,所以四边形应0CN为平行四边形，所以CM//EN,

又因为CM平面尸AN,且ENu平面尸4V,所以CMV/平面PAN.

（2）取AB的中点S,连结尸S,CS,

因为PA=P5=&,可得PS_LAB,且PS=NPB°-BS°=2,

又因为SC=J3c-+敏=#＞，且尸C=3，

所以尸C?ups'sc?,所以PS_LSC,

又因为ABASC=S,且AB,SCu平面ABC。，所以PS，平面A8C£）,

以S为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系S-孙z,

可得A（-1,0,0）,3（1,0,O）,C（1,2⑼,。（-1,2,0）,P（0,0,2）,

因为M为尸。的中点，N为3c的中点，可得

贝！|丽=（1,0,2）,丽=（1』,_2）,戒=[,11）冠=修』,_1）,

/、in-AP=x+2z.=0

设用=（%,%,zj是平面PAN的法向量，贝叫―y，

m•PN=%+/一2Z]=0

取1=2,可得kT,z=-1,所以戊=（2,T—1）,

3八

n-AM=-x2+y2-z2=0

设为=（々,%/2）是平面MA。的法向量，贝人

h-MC=-x2+j2+z2=0

取％=2,可得y=—2,z=l,所以而=（2,—2,1）；

设平面市与平面mC的夹角为凡贝口S"需二3=噜'

即平面PAN与平面MAC的夹角的余弦值为口叵.

18.（本小题满分17分）

【解】（1）①当直线/斜率不存在时，由椭圆的对称性，不妨设直线/在y轴右侧,

直线OA的方程为y=x,

由＜8+41,解得x=半,y=半，所以,/2^/62娓'

A------,------

33

7

所以，直线A3的方程为了=手，此时尸平,。

同理,当直线,在y轴左侧时，P-差,0.

I3J

②当直线/斜率存在时，设直线/的方程为尸质+机，4（4%）,B（x2,y2）,

y=kx+m

由小由消去y整理得,（1+2/X

+4kmx+2m2—8=0,

-----1-----=1

I84

2

・9a-4bn2m-8

9

••A=64左~—8/TI+32>0,玉+%-=l+2"k72“-l+2k2

又；OA_LOB,...瓦.赤=0即：芯％+%%=°，

所以,%/+（村+m）（Ax2+m）=0,

2

则（1+严）项X?+初7（%1+%2）+m=0,

他（1+用Q疗一84k2m2.

1+2公-1--+----2---公-T-------]-

所以3布=8仁+1）满足△＞（）,

+1

+1

综上，\OP\=^H,所以，点尸的轨迹方程为/+

33

,_8

（2）①由（1）可知，当直线/斜率不存在或斜率为0时，S,'△ABC-3

②当直线，斜率存在且不为0时,

&4左2—8加2+32

|AB|=J1+尸—X2\=J1+左2

l+2k2

4a（1+%2）（1+4%2）

=y/1+k2

1+2/3

4A/64左4+5左2+14A/6k2

1+

亍4/+4/+134-+442+1

当且仅当〃=1，即左=±巫等号成立.

22

1

•-------

…4F+

•••川诙=；|0叶恒同€[|,2拒

综上，Si三2舱.

19.（本小题满分17分）

【解】⑴①（I\2314J、

由题意可知产，（,，）、；/132434、“、n234、}

「1234、

（2）解法一：①若/（，）=J234’则/⑺为恒等置换；

「1234、

②若存在两个不同的i,使得〃/）3・，不妨设i=l,2,贝!|〃。=]243,

（1234、

所以r（。=[123J'即产⑺为恒等置换；

“234、<1234

③若存在唯一的i,使得〃。=力，不妨设i=2,贝！|〃i）=或〃，）=4,12

乙i"1/、什乙AJ

（\234、

当〃‘）=401a时，由（1）可知「⑺为恒等置换；

\^421

「1234、

同理可知，当/（i）=Q24J时，/⑺也是恒等置换；

④若对任意的，"⑺"，

则情形一」⑺,、4，12143J公或，、（124314J、或"/、”口