2025版高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1.3.2相似三角形的性质练习含解析新人教A版选修4-1

PAGEPAGE12.相像三角形的性质课时过关·实力提升基础巩固1三角形的一条中位线截该三角形所得的小三角形与原三角形的周长之比等于()A.14 B.1C.12 D.解析小三角形与原三角形相像,其周长之比等于相像比.答案C2两个相像三角形对应中线分别长6cm和18cm,若较大三角形的面积是36cm2,则较小三角形的面积是()A.6cm2 B.4cm2 C.18cm2 D.不确定解析相像比等于618=1故S小=19S大=19×36=4(cm2答案B3已知△ABC∽△A'B'C',AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线,且ADA'D'=54,则△ABCA.45 B.59 C.94解析△ABC和△A'B'C'对应角平分线的比等于它们内切圆直径的比,故选D.答案D4已知△ABC内切圆的半径r1=4,△A'B'C'内切圆的半径r2=6,且△ABC∽△A'B'C',AB=2,则A'B'等于()A.3 B.6 C.9 D.不确定解析∵△ABC∽△A'B'C',∴r1∴46=2A'答案A5如图,在△ABC中,M,N分别是AB,BC的中点,AN,CM交于点O,△MON与△AOC面积的比是.

解析∵M,N分别是AB,BC的中点,∴MN12AC∴△MON∽△COA且MNAC∴S△答案1∶46一条河的两岸是平行的,在河的这一岸每隔5m有一棵树,在河的对岸每隔50m有一根电线杆,在这岸离岸边25m处看对岸,看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有两棵树,则河的宽度为m.

解析如图,A,B是相邻两电线杆的底部,F,G中间还有两棵树,则AB=50m,FG=3×5=15(m),EC=25m,CD⊥AB,AB∥FG,则ECCD设河的宽度为xm,则2525+x=15所以河的宽度是1753m答案1757如图,已知在▱ABCD中,AE∶EB=1∶2,△AEF的面积为6,则△ADF的面积为.

解析∵AE∥DC,AE∶EB=1∶2,∴△AEF∽△CDF,且相像比EFFD又△AEF的边EF上的高与△ADF的边DF上的高相等,∴S△又S△AEF=6,∴S△ADF=18.答案188若两个相像三角形对应中线之比是3∶7,周长之和为30cm,则它们的周长分别是cm和cm.

解析设两个三角形的周长分别为xcm,ycm,则x∶y=3∶7,x+y=30,解得x=9,y=21.答案9219如图,已知D是△ABC中AB边上一点,DE∥BC且交AC于点E,EF∥AB且交BC于点F,若S△ADE=1,S△EFC=4,则四边形BFED的面积等于多少?分析由题意明显△ADE∽△EFC,由面积比能得出相像比,再由相像比转化为面积比,求出△ABC的面积,利用S四边形BFED=S△ABC-S△ADE-S△EFC,得到四边形BFED的面积.解∵AB∥EF,DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,△EFC∽△ABC,∴△ADE∽△EFC.又S△ADE∶S△EFC=1∶4,∴AE∶EC=1∶2.∴AE∶AC=1∶3.∴S△ADE∶S△ABC=1∶9.∵S△ADE=1,∴S△ABC=9.∴S四边形BFED=S△ABC-S△ADE-S△EFC=9-1-4=4.10如图,在△ABC中,AB=14cm,ADBD=59,DE∥BC,CD⊥AB,CD=12cm.求△分析先求出S△ABC,再由DE∥BC,可得△ABC∽△ADE,由S△ADES△ABC解∵CD⊥AB,∴S△ABC=12AB·CD=12×14×12=84(cm2).∵DE∥∴△ABC∽△ADE,∴S△又ADBD=59∴S△ADE84=5142,∴S实力提升1如图,已知在矩形ABCD中,AB=12,AD=10,将此矩形折叠,使点B落在AD的中点E处,则折痕FG的长为()A.13 B.63C.656 D.解析由题意得,直线FG是线段BE的中垂线.过点A作AH∥FG交CD于点H,如图.则四边形AFGH是平行四边形.所以AH=FG.因为FG⊥BE,所以AH⊥BE.所以∠ABE+∠BAH=90°.因为∠BAH+∠DAH=90°,所以∠ABE=∠DAH.因为∠BAE=∠ADH=90°,所以△ABE∽△DAH.所以BEAB因为AB=12,AD=10,AE=12AD=12×10所以BE=122+所以1312所以AH=656,即FG=65答案C2如图,D是△ABC中AB边上一点,过点D作DE∥BC交AC于点E.已知AD∶DB=1∶3,则△ADE与四边形BCED的面积比为()A.1∶3 B.1∶9 C.1∶15 D.1∶16解析因为DE∥BC,所以△ADE∽△ABC.又因为AD∶DB=1∶3,所以AD∶AB=1∶4,S△ADE∶S△ABC=1∶16,则所求的两部分面积比为1∶15.答案C★3有一块三角形铁片ABC,已知BC=12cm,高AD=8cm,要把它加工成一个矩形铁片,使矩形的一边在BC上,其余的两个顶点分别在AB,AC上,且矩形的长是宽的2倍,则加工成的铁片的面积为()A.18cm2或115249cm2 B.20cm2或18cmC.16cm2 D.15cm2解析本题有图①和图②两种状况:如图①,矩形的长EF在BC上,点G,H分别在AC,AB上,高AD交GH于点K,设矩形的宽为xcm,则长为2xcm.由HG∥BC,得△AHG∽△ABC,得AK∶AD=HG∶BC⇒(8-x)∶8=2x∶12⇒x=247⇒S矩形EFGH=2x2=115249(cm如图②,矩形的宽MN在BC上,类似地,可求得S矩形MNPQ=18cm2.答案A4在比例尺为1∶500的地图上,测得一块三角形土地的周长为12cm,面积为6cm2,则这块土地的实际周长是m,实际面积是m2.

解析这块土地的实际形态与在地图上的形态是两个相像三角形,由比例尺可知,它们的相像比为1500,则实际周长是12×500=6000(cm)=60m;实际面积是6×5002=1500000(cm2)=150m2答案601505如图,已知在△ABC中,BC=m,DE∥BC,DE分别交AB,AC于E,D两点,且S△ADE=S四边形BCDE,则DE=.

解析∵DE∥BC,∴△ADE∽△ACB.又S△ADE+S四边形BCDE=S△ABC,S△ADE=S四边形BCDE,∴S△ADE=12S△ABC∴DEBC2=1∴DE=22m答案226如图,BE,CF分别为钝角三角形ABC的两条高,已知AE=1,AB=3,CF=42,则BC边的长为.

解析在Rt△BEA中,BE=AB2-AE2=32-12=2所以△BEA∽△CFA,所以BEFC即AC=AB·FC所以EC=AE+AC=7,所以在Rt△BEC中,BC=BE2+答案577如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC,BD相交于点O,AO=2cm,AC=8cm,且S△BCD=6cm2,求S△AOD.解∵AO=2cm,AC=8cm,∴OC=6cm.∵AD∥BC,∴△AOD∽△COB.∴AD∶BC=OA∶OC=1∶3.∴AD=13BC.∴S△AOD∶S△BOC=1∶9设梯形ABCD的高为h,则S△ACD=12AD·h,S△BCD=12BC·h=6cm∴BC·h=12.∴3AD·h=12.∴AD·h=4.∴S△ACD=2cm2.设S△AOD=xcm2,S△COD=ycm2,则S△ACD=S△AOD+S△COD,即x+y=2.又S△BCD=S△BOC+S△COD,∴9x+y=6.由x解得x=12,即S△AOD=12cm★8如图,△ABC的∠BAC的平分线交BC于点P,∠BAC邻补角的平分线交BC的延长线于点Q,M为PQ的中点.求证:(1)MA2=M