2025年北师大版四川成都八年级数学下册开学摸底考试（含答案解析）

2024-2025学年八年级数学下学期开学摸底考

（四川成都专用）

全解全析

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.考试范围：北师大版八上全部内容

A卷（共100分）

第I卷（共32分）

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题

目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）.

I.（2024・山西太原•模拟预测）赵爽是我国东汉末至三国时代的一位数学家，其在为《周髀算经》作注时,

解释了《周髀算经》中的勾股定理，并给出了证明（参照如图）：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍

之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实.”这种证明方法所体现的数学思想是（）

勾

股

B1

BI弦方

U

/

/色朱寅廨

朱

弦

,・

朱弦

六/

二

及

/a十

黄

1五

朱

/及

%5黄

//

/

A.转化思想B.数形结合思想C.方程思想D.函数思想

【答案】B

【分析】本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思

想为数形结合思想.根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想.

【详解】解：题中根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，它体现的数学思想是数形结合思想，

故选：B.

2.（23-24八年级上•四川成都•期末）下列计算正确的是（）

A.74^9=72^3=V6B.后衣=2C.（75-1）'=4-275D.（-1+@（1+血）=1

【答案】D

【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的除法、二次根式的混合运算等知识点，掌握二次根

式的运算法则是解题的关键.

根据二次根式的性质、二次根式的除法、二次根式的混合运算法则逐项判断即可.

【详解】解：A.74^9-736=6,故A选项错误，不符合题意；

B.册+C=6,故B选项错误，不符合题意；

C.（V5-1）2=5-275+1=6-275,故C选项错误，不符合题意；

D.（-1+V2）（1+V2）=（V2-1）（V2+1）=2-1=1,故D选项正确，符合题意.故选：D.

3.（23-24八年级上•四川成都・期末）2023年第64届国际数学奥林匹克竞赛（简称IMO）在日本举行，中

国代表队总成绩位列世界团体总分榜首，创造了代表队连续五届夺得团体总冠军的辉煌纪录.中国代表队

近七届竞赛的金牌数（单位：枚）如下表所示.关于金牌数这组数据，下列说法正确的是（）

届数58596061626364

金牌数4454666

A.极差为1B.众数为6C.中位数为4D.平均数为5

【答案】D

【分析】本题主要考查极差，众数、中位数及平均数，解题的关键是掌握众数、中位数及平均数的定义.

根据方差、众数、中位数及平均数的定义列式计算即可.

【详解】解：将这组数据重新排列为4,4,4,5,6,6,6,...这组数据的众数是4和6,中位数是5,

平均数为4+4+4+；+6+6+6=5（枚），极差为6-4=2（枚），故答案为：D.

4.（24-25八年级上•广东深圳•期中）2024年巴黎奥运会见证了中国体育代表团创造夏奥会境外参赛最佳战

绩.如图所示是巴黎部分景点的平面示意图，每个小正方形的边长表示1个单位长度，如果将凯旋门的位置

记作（-4,4）,卢浮宫的位置记作（3,-2）,那么埃菲尔铁塔的位置是（）

A.（3,3）B.（—3,3）C.（—3,—3）D.（-4,-3）

【答案】C

【分析】本题考查了建立平面直角坐标系，坐标特点，根据卢浮宫的位置记作（3,-2）,则x轴应该为卢浮宫

的位置上2格，了轴应该为卢浮宫的位置左3格建立平面直角坐标系即可，掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解：•••卢浮宫的位置记作（3,-2）,

••.x轴应该为卢浮宫的位置上2格，了轴应该为卢浮宫的位置左3格，建立平面直角坐标系，如下图，

.•・埃菲尔铁塔的位置是（-3,-3）,故选：C.

5.（24-25八年级上•广东佛山•阶段练习）下列说法中正确的有（）

①亚和'是同类二次根式：②病的平方根是3：③位于第三象限；④（兀-3『的算术平方根是

K-3；⑤若x+y=O,则点P（xj）在第二、四象限角平分线所在直线上.

A.①②④B.①④⑤C.②③④D.①③⑤

【答案】B

【分析】根据同类二次根式，算术平方根，平方根，点的坐标逐个判断即可.

【详解】解：：炳二？。，*去，..•后和♦是同类二次根式，故①正确；

•.•丙=9,...屈的平方根是±3,故②错误；

当x=0时，点（-1,一位于x轴的负半轴上，当XHO时，点（一1,一位于第三象限，故③错误；

（加-3）2的算术平方根是%-3,故④正确；

若x+y=O,则点尸（x,力在第二、四象限角平分线上，故⑤正确；即正确的有①④⑤，故选：B.

【点睛】本题考查了同类二次根式，算术平方根，平方根，点的坐标特点等知识点，能熟记知识点的内容

是解此题的关键.

6.（2024・四川成都・二模）我国古代数学著作《九章算术》有题如下：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱

重，燕俱轻.一雀一燕交而处，衡适平；并燕、雀重一斤，问燕、雀一枚各重几何?”其大意是：现在有5只

雀和6只燕，用秤来称它们，发现雀比较重，燕比较轻.将一只雀和一只燕交换位置，重量相等；5只雀

和6只燕的重量为一斤.问每只雀和每只燕各重多少斤?设每只雀为x斤，每只燕为歹斤，则可列方程组为

5x+6y=15x+6y=l5x+6y=l5x+6y=1

A.6x-5y=00

4x+y=5y+x5x+y=4y+x4x-y=5y+x

【答案】A

【分析】本题考查了列二元一次方程组，理解题意，正确找出等量关系列出方程是解题的关键.根据题目

中的条件“将一只雀和一只燕交换位置，重量相等”和“5只雀和6只燕的重量为一斤”建立方程即可.

f5x+6y=1

【详解】解：设每只雀为x斤，每只燕为歹斤，根据题意，列出方程得：）,，故选：A.

[4x+y=5y+x

7.（23-24八年级上•四川成都・期末）如图，一次函数了=履+6的图像交y轴于点/（0,-6）,交x轴于点

8（3,0）,则下列说法正确的是（）

A.该函数的表达式为了=-2尤-6B.点。（2,-2）不在该函数图象上

C.点P（xi，y。，Q（X2，y2）在图象上，若可＞々，则必＜%D.将图象向上平移1个单位得到直线

y=2x-5

【答案】D

【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数的性质、一次函数的平移等知识点，掌握一次函数

图像的性质成为解题的关键.先运用待定系数法求得函数解析式即可判断A选项，将C（2,-2）代入解析式

即可判断B选项；根据一次函数增减性即可判断C选项；根据一次函数的平移规律可判断D选项.

[-6=左义0+6彷=一6

【详解】解：A.由题意可得：八,，入，解得，，，即函数解析式为V=2X-6,故A选项不符合

[0=3左+匕[k=2

题意；B.当x=2时，j=2x2-6=-2,即点C（2,-2）在该函数图像上，故B选项不符合题意.

C.在y=2x-6中，y随X的增大而增大，则当当＞%时，%＞力，故c选项不符合题意.

D.图像向上平移1个单位得到直线y=2x-6+l=2x-5,故D选项符合题意.故选：D.

8.（24-25八年级上•山东济宁•期中）如图，CD,分别是的高和角平分线，歹是CE上一点，过

点尸垂直于CE的直线分别交C4,CD,C5及氏4的延长线于点G,H,M,N.甲、乙、丙、丁四个同学根据

以上信息分别写出了一个结论.

甲同学的结论：/CHF=NCMG；乙同学的结论：ZACB^4ZACD；

丙同学的结论：NCAB-/B=3NN；丁同学的结论：NC4N+/B=2NCEA.

其中结论正确的是（）

【答案】D

【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，由题意可得

ZACE=ZBCE,ZADC=ZBDC=90°,ZCFN=ZCFM=90°,再结合

/。叱+/»。尸=/尸。0+/。儿值=90。即可判断甲；由=CD不是Z/CE的角平分线即可

判断乙；由三角形外角的定义及性质即可判断丙、丁，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

【详解】解：CE分别是AABC的高和角平分线，.•.4=ZADC=ZBDC=90°,

:过点尸垂直于CE的直线分别交C4,CD,C2及04的延长线于点G,H,M,N.

ZCFN=ZCFM=90°,ZCHF+ZHCF=NFCM+NCMF=90°,

'：ZHCFwZFCM,：.ZCHF*NCMG,故甲错误；

•:NACB=2NACE,CD不是//CE的角平分线，:.乙4CB乎4乙4CD,故乙错误；

,/ZCGF+ZGCF=ZMCF+ZCMF=90°,ZACE=ZBCE,ZCGF=ZCMF,

ACAB=ZN+ZAGN=ZN+ZCGM=ZN+ZCMG=ZN+ZN+ZB=2ZN+ZB,

:./CAB—NB=2NN,故丙错误；VACEA=AB+ABCE,

：.2NCEA=2NB+2NBCE=2NB+NBCA=NB+（NB+NBCA）=NB+NCAN,故丁正确；故选：D.

第II卷（共68分）

二、填空题（本大题共5个小题，每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）

9.（24-25九年级上•四川内江・期中）己知a,b,c在数轴上的位置如图：化简代数式

+4+J（c_q）2++c|的值为.

11

-------bL----------------a------0-大--c--------------->

【答案】一a

【分析】本题主要考查了数轴、绝对值的化简、整式的加减运算、二次根式的性质等知识点，根据数轴确

定相关代数式的正负是解题的关键.先由数轴确定6、。的符号，再确定相关代数式的正负，然后根据

绝对值的性质、二次根式的性质化简，最后运用整式的加减运算法则计算即可.

【详解】解：由图示可得：6<a<0<c且同<忖<|4,贝!Ja+6<0,c-a>Q,b+c<Q,

所以++0+c|(a+6)]+c_q_(6+c)=-a+a+b+c-a-b-c=-a

故答案为-a.

10.（24-25八年级上•山东烟台•期中）某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按

2:2:1:2:3对学生学习过程进行课堂评价.某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成

绩为.

【答案】8

【分析】本题考查加权平均数.根据加权平均数的计算方法即可解答本题.

8x2+7x2+1x8+6x2+3x10

【详解】解：依题意，该学生的课堂评价成绩为=8故答案为：8.

2+2+1+2+3

11.（23-24八年级上•四川成都・期末）已知Z（松乃）,双马,％）是一次函数＞=（3-2m）x+l的图象上两点,

且（士-马）（%，则m的取值范围为

3

【答案】m＞I

【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键.先判断出再与%-%异号,

再根据一次函数的增减性求解即可得.

【详解】解：•.'（（一%2乂无一为）＜0，；•再-%与乂-%异号,

对于一次函数^=（3-2机）x+l,了随x的增大而减小，，3-2切＜0,解得相＞；,故答案为：m＞|.

12.（24-25八年级上•山西晋中•期中）如图（单位：cm）,龙龙家购置了一台圆形扫地机，计划放置在屋子

角落（衣柜、书柜与地面均无缝隙，衣柜不可移动）.若要这台扫地机能从角落自由进出，则需拖动书柜,

使图中的x至少为.（结果保留根号）

【答案】3V21+60

【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，连接过点工作/。〃DE交的延长线于点C,利用勾股

定理即可求得答案，理解题意准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

【详解】连接42,过点/作/C〃。石交。B的延长线于点C,

在Rt/X/BC中，BC=ylAB2-AC2=V332-302=3721(cm),

.,•x-60=3V21,AX=3A/21+60.故答案为：3721+60.

13.(23-24八年级上•四川成都・期末)如图，在A48c中，48=45。.按以下步骤作图：①分别以点8和点

C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点。和点E;②作直线。£交边于点尸.若

BF=6,AF=3,则NC的长为.

【答案】3旧

【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的作法是关键.①作线

段8c的垂直平分线即可；②连接CF,先证明4FC=90。，利用勾股定理求出线段NC长即可.

【详解】解：①作图如图示：分别以点3、点C为圆心，大于;8C长为半径画弧，两弧相交于点。和点

E,

连接。E,则。E所在的直线是线段2C的垂直平分线，

②连接CF,•.•直线斯是线段8c的垂直平分线，

BF=CF（线段垂直平分线上的点到线段两短点的距离相等），，/台=/台3,

Z5=45°,AAFC=ZB+ZBCF=90°,是直角三角形，

--BF=FC=6,AF=3,...AC=y]AF2+CF2=732+62=3A/5.故答案为：3后

三、解答题（本大题共5小题，其中14题12分，15-16题，每题8分，17-18题，每题10分，共48分.

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

14.（24-25八年级上•四川成都・期中）解决下列问题：（1）计算：V48-V3-^1xV12^V24-V9；

⑵计算：（n-2后卜6+（2-拒『（3）解方程组：]工-了=5②.

1l[x=2

【答案】⑴）（2）2-3底（3）.

2卜=-1

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键.

（1）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答；

（2）先把二次根式进行化简，再进行乘除运算，最后算加减即可.

（3）利用加减消元法进行计算，即可解答.

【详解】（1）解：V48-V3-^1xV12^V24-V9

=V16-V6-V24-3

2

2

(2)解：心-2g)+6+(2-⑸

=(#+百-2x2'+百)+4-4拒+2

=行-4+4-4亚+2

=2-342.

4x+3y-5①

(3)解:

2x-j=5②’

②x2得：4x—2y=10(3),

①-③得：5y=-5,

解得：＞=-1，

把了=-1代入②得：2x+l=5,

解得：x=2,

x=2

原方程组的解为:

>=T

15.（24-25•山东•八年级期中）某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查.该部

门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，数据如下:

20211916271831292122

25201922353319171829

18352215181831311922

整理上面数据，得到条形统计图:

30名工人某天每人加工零件个数条形统计图

统计量平均数众数中位数

数值23m21

根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中众数m的值为

（2）为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准

的工人将获得奖励.如果想让一半左右的工人能获奖，应根据来确定奖励标准比较合适.(填“平均

数”、“众数”或“中位数”)

(3)该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手.若该部门有300名工人，试

估计该部门生产能手的人数.

【答案】(1)18；(2)中位数;(3)110名.

【分析】(1)根据条形统计图中的数据可以得到m的值；(2)根据题意可知应选择中位数比较合适；

(3)根据统计图中的数据可以计该部门生产能手的人数.

【详解】(1)由图可得，众数m的值为18,故答案为18；

(2)由题意可得，如果想让一半左右的工人能获奖，应根据中位数来确定奖励标准比较合适，

故答案为中位数；

1+1+2+3+2+2

(3)300x=1101名。

30

答：该部门生产能手有110名工人.

【点睛】本题考查了条形统计图、用样本估计总体、平均数、中位数和众数，解答本题的关键是明确题意,

利用数形结合的思想解答.

16.(24-25八年级上•四川成都•阶段练习)如图，在平面直角坐标系中.

⑴请画出a/BC关于y轴对称的△45G，并写出用、G的坐标；(2)求出△/qG的面积；

(3)在无轴上找到一点尸，使尸/+PC的值最小，请标出点尸在坐标轴上的位置，并求尸点坐标及最小值.

【答案】⑴画图见解析，4(-2,-4),q(-4,-1)(2)5

(3)点P在坐标轴上的位置见解析，尸(1，°］，最小值为5

【分析】本题主要考查了网格作图.熟练掌握轴对称性质，关于坐标轴对称的点坐标特征，待定系数法求

一次函数的解析式，一次函数与x轴交点的求法，是解题的关键.

(1)取点4(-2「4),CJ-4.-1),依次连接/吕，耳G，AC,,即得△/8G；

（2）3x4的矩形面积减去周围3个三角形的面积，即可得出答案；（3）作C关于x轴的对称点C'（4,l）,

连接/c，交x轴于点P,点尸即为所求作.根据/（0,-2），C'（4,l）求出直线/C的解析式y=：x-2,当y=0

时，x=|,得由PC=PC,PA+PC=PA+PC>AC,当点尸运动至IJ/C'上时，

PA+PC=PA+PC'=AC',取得最小值，根据/（0,-2）,C'（4,l）,即可得出尸4+PC的最小值；

【详解】（1）如图，△/4。即为ZUBC关于y轴对称的三角形，点用坐标为（-2,-4）；点£的坐标为

（-4,-1）；

（3）作点C关于x轴的对称点C',连接NC,交x轴于点P,点尸即为所求作.=PC.

（a

/\,/\[4k+b=1k=—3

设/C的解析式为〉=h+6,4（0,-2,C'（4,1代入，得，解得4,.•.y=：x-2,

'3=一2[b=-24

当y=0时，|x-2=0,解得x=g,故

•：PA+PC=PA+PC>AC,当点尸运动到/C'上时，此时尸/+PC的值最小，

PA+PC=PA+PC=AC=J（4-0）2+0+2）2=725=5.：.PA+PC的值最小值为5.

17.（23-24八年级上・银川・期末）某校准备组织七年级400名学生参加北京夏令营，己知用3辆小客车和1

辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；

（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？

（2）若学校计划租用小客车x辆，大客车了辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；

①请你设计出所有的租车方案；

②若小客车每辆需租金4000元，大客车每辆需租金7600元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金.

【答案】（1）每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生

⑵①租车方案有3种.方案1：小客车20辆，大客车0辆；方案2：小客车11辆，大客车4辆；方案3：小

客车2辆，大客车8辆；②方案3租金最少，最少租金为68800元

【分析】（1）每辆小客车能坐。名学生，每辆大客车能坐6名学生，根据用3辆小客车和1辆大客车每次

可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；列出方程组，再解即可；

（2）①设租用小客车x辆，大客车了辆，由题意得：20x小客车的数量+45x大客车的数量=400人，根据

等量关系列出方程，求出非负整数解即可；②分别计算出每种租车方案的钱数，进行比较即可.

【详解】（1）解：设每辆小客车能坐。名学生，每辆大客车能坐6名学生，

答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生.

（2）①根据题意，得20无+45>=400,.•.；；=吧卢，

9

（x=20fx=11[x=2

•••X、y均为非负整数，八，一。

[了=。"4卜=8

,租车方案有3种.方案1：小客车20辆，大客车0辆；方案2：小客车11辆，大客车4辆；方案3：小客

车2辆，大客车8辆.

②方案1租金：4000x20=80000（元）

方案2租金：4000x11+7600x4=74400（元）

方案3租金：4000x2+7600x8=68800（元）

■.■80000>74400〉68800,.,.方案3租金最少，最少租金为68800元.

【点睛】此题主要考查了二元一次方程（组）的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列

出方程.

18.（23-24八年级上•四川成都•期中）“三等分一个任意角”是数学史上的一个著名问题，今天人们已经知道

了仅用圆规和直尺是不可能作出的.某兴趣小组展开了以下探索：

春ABE

图1图2

（1）在探索中，利用如图1所示的图形进行研究，其中，四边形/8CD是长方形，AD//CB,尸是D4延长

线上一点，连接CRCF交于点£,点G是CF上一点，且/C=/G=GF.

①求证：NECB=gzACB；②若/BCD是边长为2的正方形，求出“CG的面积和师的长.

（2）如图2,在长方形N5CD中，对角线NC的延长线与/C3E的平分线交于点尸，若BF=34C,CF=4,

求价'的长.

【答案】（1）①见解析；②A/CG的面积为2后，/尸的长为26+2（2）2A/3+2

【分析】本题是四边形的综合题，主要考查了三角形的外角的性质，等边对等角，正方形的性质，平行线

的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握这些知识并能灵活运用时解题的关键.（1）①根据等边对等角及

三角形外角的性质即可证明；②过点N作4H1CG于点X,由正方形/BCD求出/C,ZACB,进而求出

AACG,由直角三角形的性质求出的长，由勾股定理、等腰三角形的性质求出CG的长，根据三角形的

面积公式进行计算A/CG的面积，根据勾股定理求Z尸即可；

（2）取/C中点。，连接2。，过点3作以/LNC于〃，利用矩形的性质和直角三角形的性质可证

2

BF=OB=AO,然后仿照（1）证明NFn§NFfiE,则可求N尸=30。，由（1）同理可得8尸=23〃，

FH=^BH,FH=OH=；OF,进而得出京b=；（2Bb+4）,求解即可.

【详解】（1）解：®VAG=GF,AC^AG,：.ZF=ZGAF,ZACG=ZAGC,

又ZAGC=NG4F+NF,；.ZACG=2ZF,

•四边形/BCD是矩形，/.AD//BC,:.NF=NFCB,

又ZACB=N4CG+NFCB,；.NACB=3ZFCB,即ZECB=^ZACB■,

②过/作NHLCG,

VZECB=-ZACB,：.ZECB=15°,ZACG=30°,

3

AHICG,：.AH=^AC=42,：.CH=yjAC2-AH1=>/6>

VAC=AG,AHLCG,:.CG=2CH=2直,晨。=；CGZH=；x2限&=2百，

CG=2CH=276,AC^AG^GF,AC=6，:.GH=屈,FG=2A/2）:,HF=2近+巫,

•*-AF=\IAH2+FH2=V2j+（2&+痛）=J16+84=,4（1+2退+3）=26+2;

（2）解：取/C中点。，连接8。，过点8作于X,

•.•四边形/BCD是矩形，；./ABC=NCBE=90°,：.OB=AO=OC=^AC,

■：BF=-AC,：.BF=OB=AO,：.ZOAB=/OBA,ZBOF=NF,

2

2

又NBOF=NOAB+NOBA,：.ZF=2AOAB,又/EBF=/F+/OAB,：.ZF=-ZFBE,

,?BF平分ZCBE,NFBE=45°,NF=30°,

由（1）可知：BF=2BH,FH=y/3BH,FH=OH=^OF,

.•.收=；（。。+/0即例"=；（28"+4）,解得BH=e+1,：.BF=2BH=2Q+2.

B卷（共50分）

一、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）

19.（23-24八年级上•四川成都・期末）估计大小关系：2匚1（填〉，＜或=）.

26

【答案】＜

【分析】本题考查了实数大小的比较，任意两个实数都可以比较大小.正实数都大于0,负实数都小

于0,正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小.

【详解】解：由题可得：片一1=3%一5=叫1,

2666

V377=V63,8=V64,377-8＜0,.・.立匚-9＜0,故答案为：＜.

26

[3x-y=5

20.（23-24八年级上•四川成都・期末）已知实数x,y满足..那么％+产____.

1-2x+2y=2

【答案】7

【分析】本题考查解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键.

利用解方程中的整体思想，进行计算即可解答；

f3x—y=5©

【详解】解：足c；m①+②得：x+y=l,故答案为：7.

[~2x+2y=2②

21.（2024・湖南岳阳•模拟预测）如图1所示，该几何体为长方体，记作长方体ABCD-A^C.D,,如图2

所示，以顶点4为原点。，分别以棱/£,4。，4/所在的直线为x轴、＞轴、z轴，建成的坐标系称

为立体坐标系（亦称三维坐标系）。-孙Z,立体空间中点的位置由三个有序的实数确定，记作（X,y,z）,称

为该点的坐标.若长方体的长宽高分别为44=3,4A=2,//=1,我们知道，在平面直角坐标系。-孙

中，点G的坐标为（3,2）,由点G竖直向上平移1个单位可得到点C，所以点c在立体坐标系中的坐标记

为C（3,2,l）,由此可知点。和点2的坐标分别记为。（0,0,0）,5（3,0,1）.照此方法，请你确定点D在立

体坐标系中的坐标为

【答案】（0,2,1）

【分析】本题考查了新定义以及坐标与图形，长方形的性质，先理解题意，得出。，=CG=i,

AD=BC=B&=2,结合点。和点8的坐标分别记为。（0,0,0）,5（3,0,1）,然后得出/（0,0,1）,最后得

0（0,2,1）,即可作答.

【详解】解：依题意，二.在平面直角坐标系。-孙中，点£的坐标为（3,2）,由点竖直向上平移1个单

位可得到点C,所以点C在立体坐标系中的坐标记为C（3,2,1）,且长方体的长宽高分别为=3,

4。1=2,4/=1,DD{=Cq=1,AD=BC=BlCl=2,

:点。和点2的坐标分别记为。（0,0,0）,5（3,0,1）,.\^（0,0,1）,•：4D=BC=BG=2,.'.D（0,2,1）

22.（24-25八年级上•广东•期中）在△4BC中，=90°,BC=4,NC=8,点。是线段AB上的动点,

连接C。，以线段。为直角边如图所示作等腰直角三角形CDE,ZDCE=90°,贝UABCE周长的最小值

【分析】取/C的中点尸，连接。尸，证明出也ADCF（SAS）,得到/，作点C关于的对称

点G,连接G尸与的交点为。，此时ABCE的周长最小，过点G作GKLNC交于点K,连接/G,然后

利用等面积法和勾股定理求解即可.

【详解】解：取NC的中点尸，连接。尸，

VAC=8,：.CF=4,•：BC=4,：.CF=BC,•:/BCA=NECD=90°,：.ZECB=ZDCF,

•.•△8£是等腰直角三角形，，。£=0.二£<方04。。尸岱人5）,

EB=DF,ABCE的周长+。尸=CZ>+。尸+4,

二当CO+DF最小时，ABCE周长最小，作点C关于的对称点G,连接G尸与的交点为。，

由对称性可得，CD=DG,:两点之间线段最短，...CD+O/=GO+OF=Gb,

此时A3CE的周长最小，过点G作GK,4c交于点K,连接/G,

•；A4是CG的垂直平分线，./G=NC=8,在RtZ\48C中，AB=A/42+82=45/5>

•e•SAABC=^AB-CH=^AC-BC,：.4小CH=8x4,：.CH=CG=竽，

22

在RM/C〃中，AH^yjAC-CH=—,在ANCG中，S^ACG=^-AC-GK=^-AH-CG,

522

.•.8GK=^^X^5,：.GK=—,...在RtaCGK中，CK=JCG2-GK?=3,：.KF=4-—=~,

555555

在RMKFG中，GF=^GK2+KF2=^~,；.ABCE的周长的最小值为4+公匣.故答案为：4+生叵.

555

【点睛】此题考查了轴对称求最短距离，勾股定理，等腰直角三角形的性质，垂直平分线的性质等知识，

解题的关键是掌握以上知识点.

23.（23-24八年级上•四川成都•期末）如图，直线y='x+5与坐标轴相交于点/,2,点C（0,3）,点p在

线段上运动，连接CP.将△ZCP沿C尸翻折，使/点落在点4处，若尸/'平行于坐标轴时，则/尸=.

【分析】分三种情况：PH平行于y轴时，由平行线的性质及等腰三角形性质、对称性质即可求解；尸H平

行于x轴时，过点C作CNJ.P4于N,设P/'交y轴于点“；设4P=a,点尸]处:^机+5），则可得W，M

的坐标，从而求得CM,AM,再由折叠性质得4P/C=NMPC,可得CN=CM；由

求得a与加的关系；再由勾股定理得尸/=/+伫机+57]=/,从而可

22112J

求得能及。的值；当尸靠近/且尸H平行于x轴时，延长4尸交y轴于点求法与上面HP平行x轴的

求法类似.

【详解】解：当P4平行于）轴时，如图，则NHPC=NPC4,

由折叠知：/PCA=/PCH,AP=A'P,AC=A'C,：.ZA'PC=ZPCA',：.A'P=A'C,：.AP=AC；

对于>=三》+5,令X=0,得>=5；令y=0,得了=一12；N(0,5),5(-12,0),

设/尸=a,点P［加，五机+5),则冽<0,a>0,则H［加+〃,历加+5］,A/［o,石冽+5),

：.CM=3--m+5=-—m-2,PM=-m；由折叠性质知：PA'=PA=a,ZAPC=ZMPC,

,/CN±PA,CM±PA',：.CN=CM=-^m-2；

•：S.=-PA-CN=-AC-PMa\--m-2\=2(-m),BPtzl—m+2I=2m；

Pr22

另一方面，PA2=m2+m+5-=a2,即Q2=(^1•机］,

因冽<0,=--m；把a=-U冽代入m+21=2加中，得：---m+2|=2m,

解得：冽=一詈，机=0（舍去），6Z=_j|x120

=10,即4尸=10；

当尸靠近4且尸H平行于X轴时，延长HP交歹轴于点此时M位于点C上方，如图，

设/尸=Q,点P（如正■加+5］，则初<0,〃〉0,则/（加—a,正加+5）,Af^0,—m+5^j,

/.CM=^m+5^-3=^m+2,PM=-m；由折叠性质知：PA=PA=a,"PCaAPC,

:・S"@c=S^pAc,即gpA、CM=^ACPM,加+2）=2（-加），即a1'加+2）=-2加；

另一方面，PA2=m2+|—m+5-5j=/,即加］,因加<0,故。=一丝机;

U2JU2)12

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，平行线的性质，等腰三角形的性质角平分线的性质，

勾股定理，等积法，利用等积法是解题的关键与难点.

二、解答题（本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分.解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤.）

24.（24-25八年级上•四川成都•阶段练习）某公司装修需用A型板材240块、5型板材360块，A型板材规

格是60cmx30cm,8型板材规格是40cmx30cm,现只能购得规格是150cmx30cm的标准板材.一张标准板

材尽可能多地裁出A型、8型板材，共有下列三种裁法：

裁法一裁法二裁法三

A型板材块数120

B型板材块数2mn

单位：cm

60

150

40

40

设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁X张、按裁法二裁了张、按裁法三裁Z张，且所裁出的A、B

两种型号的板材刚好够用.

(1)上表中，m=,n=;(2)分别求出了与x和z与x的函数关系式；

(3)若用。表示所购标准板材的张数，已知0WXV90,求。与x的函数关系式，并指出当x取何值时0最小,

此时按三种裁法各裁标准板材多少张？

12

[答案]⑴0,3；(2)y=120--x,z=120--x；

⑶0=240-,无，当x=90时，。最小，按三种裁法分别裁90张、75张、60张.

6

【分析】本题考查一次函数的图像及性质，求一次函数的值，熟练找出等量关系及掌握一次函数的性质是

解题的关键.(1)根据按裁法二裁剪时，2块A型板材块的长为120°加，用150-120=30,与3型板的规格

进行比较可得加的值，按裁法三裁剪时，3块8型板材块的长为120c加，而4块8型板材块的长为160cm,

从而求得〃的值；(2)根据按裁法一裁x张、按裁法二裁了张、按裁法三裁z张，需用A型板材240块、B

19

型板材360块，即可找出求出V与x和z与x的函数关系式；(3)根据y=120-]X,z=120x及

1?

x+y+z=0,即可得。与x的关系，进而求得当》=90时，。最小，把x=90代入夕=120-寸，z=120--x

即可求得各种裁法裁标准板材的张数.

【详解】(1)解：按裁法二裁剪时，2块A型板材块的长为120c〃z,150-120=30,所以无法裁出8型板，

按裁法三裁剪时，3块3型板材块的长为120cm,120<150,

而4块5型板材块的长为160c加>150cm,所以无法裁出4块3型板；

.•.加=0,〃=3,故答案为：0,3；

(2)解：由题意得：共需用A型板材240块、5型板材360块，

12

又,满足x+2y=240,2x+3z=360,y=120-—x,z=120--x；

(3)解：由题意，得。=x+y+z=无+120龙+120—彳x.

23

整理，得。=240-!尤，是6的整数倍，•••-[<0,随x的增大而减小，

V0<x<90,・•・当x=90时，。最小.

由(2)知，>=120-9%=120-5x90=75,z=120-1x-120-1x90=60；

故此时按三种裁法分别裁90张、75张、60张.

25.(23-24八年级上•四川成都・期末)如图1,在RtZ\48C中，44cB=90。，AC=BC,点。为△48C内

部一点，AD=AC,连接DC,将DC绕点。逆时针旋转90。得到OE,连接CE交4D于点/，连接

AE,BD.

⑴求证：△/0£丝△BCD；(2)如图2,当点E落在N2上时，求ZD3E的度数；

(3)如图3,若尸为的中点，50=2,求40的长.

【答案】(1)证明见解析(2)/D8E=30°(3)AD=26

【分析】(1)利用等腰三角形性质，结合全等三角形的判定定理，即可得证A4DE经ABCD(SAS)；

(2)过点C作于点〃，连接过