2025年中考数学总复习40微专题 尺规作图 学案（含答案）

微专题40尺规作图

1.（2024佛山模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.

（1）尺规作图：在AC上确定一点D，使点D到CB，AB的距离相等（要求保

留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）的条件下，过点D作DE⊥AB，交AB于点E，若AC＝6，AB＝10，

求△ADE的周长.

第1题图

2.如图，在矩形ABCD中，E为CB延长线上一点，连接AE，AC.

（1）实践与操作：作BF∥AE交AC于点F；（保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）应用与计算：在（1）的条件下，若AE＝3，BE＝，∠BFC＝∠ABE，求

BC的长.3

第2题图

3.（2024广东黑白卷）如图，在等边△ABC中，AD为BC边上的高.

（1）实践与操作：利用尺规，以CD为边在CD下方作等边△CDE，延长ED交

AB于点M；（保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）应用与证明：在（1）的条件下，证明CE＝BM.

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第3题图

4.（2024广州）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°.

（1）尺规作图：作AC边上的中线BO（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）所作的图中，将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO，连接

AD，CD，求证：四边形ABCD是矩形.

第4题图

5.如图，△ABC为等腰三角形.

（1）实践与操作：求作菱形AEDF，使得∠A为菱形的一个内角，点D，E，F

分别在边BC，AB，AC上；（保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）应用与计算：在（1）的条件下，若AB＝AC＝10，BC＝8，求菱形AEDF

的面积.

第5题图

6.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°.

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（1）实践与操作：在边AC上取点O，以OC为半径作☉O，使得☉O与AB相

切；（保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）应用与计算：在（1）的条件下，若AO＝BC，求的值.

𝑂

𝑂

第6题图

7.（2024香洲区二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°＋∠A，以AB为直径

的☉O交AC于D.

（1）实践与操作：过点B作EB⊥AB，交AC于点E；（保留作图痕迹，不要求

写作法）

（2）应用与计算：在（1）的条件下，当BE＝OA，BC＝10时，求DE的长度.

第7题图

8.（2024佛山一模）综合与实践

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数学活动课上，同学们用尺规作图法探究在菱形内部作一点到该菱形三个顶点的

距离相等.

【动手操作】如图，已知菱形ABCD，求作点E，使得点E到三个顶点A，D，C

的距离相等.小红同学设计如下作图步骤；

①连接BD；

②分别以点A，D为圆心，大于AD的长为半径分别在AD的上方与下方作弧；

1

AD上方两弧交于点M，下方两弧2交于点N，作直线MN交BD于点E；

③连接AE，EC，则EA＝ED＝EC.

（1）根据小红同学设计的尺规作图步骤，在图中完成作图过程.（保留作图痕迹，

不要求写作法）.

【证明结论】

（2）证明：EA＝ED＝EC.

【拓展延伸】

（3）当∠ABC＝72°时，求△EBC与△EAD的面积比.

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1.解：(1)如解图，点D即为所求；

第1题解图

(2)如解图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，

∴BC＝8，

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD＝∠ABD，

∵∠C＝90°＝∠BED，BD＝BD，

∴△BCD≌△BED(AAS)，

∴CD＝DE，BC＝BE，

∴EA＝BA－BE＝BA－CB＝2，

∴△ADE的周长＝AD＋DE＋AE＝AD＋CD＋AE＝AC＋AE＝6＋2＝8.

2.解：(1)如解图①或解图②，点F即为所求；(作法不唯一)

第2题解图

(2)∵BF∥AE，

∴∠BFC＝∠EAC，

∵∠BFC＝∠ABE，

∴∠EAC＝∠ABE，

∵∠AEC＝∠AEB，

∴△ABE∽△CAE，

∴＝，∴＝，

𝐵��33

解得��CE��＝33，��

3第5页共11页

∴BC＝CE－BE＝2.

3.(1)解：如解图①，3△CDE即为所求作的三角形；(答案不唯一)

一题多解法

如解图②，△CDE即为所求作的三角形.

第3题解图

(2)证明：∵△ABC为等边三角形，AD为BC边上的高，

∴∠B＝∠ACB＝60°，BD＝CD，

∵△CDE为等边三角形，

∴∠ECD＝60°，∴∠B＝∠ECD，

∵∠MDB＝∠EDC，

∴△BMD≌△CED(ASA)，

∴CE＝BM.

4.(1)解：如解图①，线段BO即为所求；

第4题解图①

(2)证明：如解图②，由题可得AO＝CO，由旋转可得BO＝DO，

∴四边形ABCD为平行四边形，

∵∠ABC＝90°，

∴四边形ABCD为矩形.

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第4题解图②

5.解：(1)如解图，菱形AEDF即为所求(作法不唯一，合理即可)；

第5题解图

(2)如解图，设AD与EF交于点O，

∵AD是∠BAC的平分线，

∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝4.

1

2

在Rt△ABD中，AD＝－＝－＝2，

2222

∵EF⊥AD，����10421

∴EF∥BC.

∵AO＝OD，

∴E，F分别为AB和AC的中点，

∴EF＝BC＝4，

1

2

∴S菱形AEDF＝AD·EF＝4.

1

6.解：(1)如2解图①②，☉21O即为所求；

第6题解图

(2)如解图③，连接OD，

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∵☉O与AB相切，

∴OD＝OC，OD⊥AB，

∵∠ABC＝90°，

∴OD∥BC，

∴△ADO∽△ABC，

∴＝＝.

＋

������

∵A��O＝�B�C，��OD𝑂＝OC，

∴＝＝，

＋

��𝑂��

即�A�O2＝��OC�2�＋�O�C·AO，

∴＝＋·，

22

��𝑂𝑂��

222

即�1�＝(��)2＋��，

𝑂𝑂

设＝a�，�则�1�＝a2＋a，

𝑂

整理𝑂得a2＋a－1＝0，

－

解得a＝(负值已舍去)，

51

∴＝－2.

𝑂51

𝑂2

第6题解图③

7.解：(1)如解图，BE即为所求；

第7题解图

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(2)如解图，连接DB.

∵AB⊥BE，

∴∠ABE＝90°，

∵∠ABC＝∠ABE＋∠EBC＝90°＋∠A，

∴∠A＝∠EBC，

∵∠C＝∠C，

∴△CBE∽△CAB，

∴＝＝＝＝，

����𝐵𝐵1

∵B��C＝�1�0，��2𝑂2

∴CE＝5，CA＝20，

∴AE＝AC－CE＝20－5＝15，

∵AB是☉O的直径，

∴∠ADB＝∠BDE＝90°，

∵∠A＋∠ABD＝90°，∠ABD＋∠DBE＝90°，

∴∠A＝∠DBE，

∴△ADB∽△BDE，

∴＝＝＝2，

������

∴B𝐵D＝�2�DE�，�AD＝2BD＝4DE，

∴DE＝AE＝3.

1

8.(1)解5：根据小红同学设计，完成作图过程如解图所示；

第8题解图

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(2)证明：在菱形ABCD中，∠ADE＝∠CDE，AD＝DC，

∵DE＝DE，

∴△ADE≌△CDE(SAS)，

∴AE＝EC，

∵MN垂直平分AD，

∴AE＝DE，

∴AE＝DE＝EC；

(3)解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝72°，

∴∠ABD＝∠DBC＝36°，

∵AD∥BC，

∴∠ADB＝∠DBC＝36°，∠DAB＝180°－∠ABC＝108°.

∵AE＝DE，

∴∠EAD＝∠ADB＝36°，

∴∠EAD＝∠ABD＝36°，

∵∠ADE＝∠BDA，

∴△ADE∽△BDA，

∴＝，即AD2＝BD·DE.

��𝐵

∵∠��BA�E�＝∠BAD－∠EAD＝72°，∠BEA＝∠EAD＋∠ADE＝72°，

∴∠BAE＝∠BEA，

∴BE＝AB.

设AB＝x＝BE，DE＝a(其中x，a＞0)，

则x2＝(x＋a)·a，

－

∴x2－ax－a2＝0，解得x＝a或x＝a(舍去)，

1+515

∴＝，22

��1+5

设点𝐵A到2BD距离为h，则点C到BD的距离为h，

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∴S△AED＝DE·h，