2025年中考数学一轮专题复习强化练习专项训练06 常考解直角三角形模型 （含答案）

专项训练六常考解直角三角形模型

1.(2023·日照)日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一,主要为日照近海及进出日照港的

船舶提供导航服务.数学小组的同学要测量灯塔的高度,如图所示,在点B处测得灯塔最高点A的

仰角∠ABD=45°,再沿BD方向前进至C处测得最高点A的仰角∠ACD=60°,BC=15.3m,则灯塔的

高度AD大约是(结果精确到1m,参考数据:≈1.41,≈1.73)()

23

A.31mB.36m

C.42mD.53m

2.林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面,如图所示.已知彩旗绳与地面形成

25°角(即∠BAC=25°),彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32m(即AC=32m),则彩旗绳AB的

长度为()

A.32sin25°mB.32cos25°m

C.mD.m

°°

3232

3.(s2in02253·广西)如图,焊接一个钢架,包括底角为37c°os2的5等腰三角形外框和3m高的支柱,则共需钢材

约m.(结果取整数,参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)

4.(2023·内江)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且满足a2+|c-10|+-=12a-36,则sin

B的值为.�8

5.(2024·宿迁)双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一,由九层的九龙塔和七层的七凤塔构成.

某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动,该小组制定了测量方案,在实地测量后撰写

活动报告,报告部分内容如表:

测量七凤塔高度

测角仪、

测量工具活动形式以小组为单位

皮尺等

测量示意图测量步骤及结果

如图,步骤如下:

①在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BDG=37°;

②沿着CA方向走到E处,用皮尺测得CE=24米;

③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BFG=45°.

……

已知测角仪的高度为1.2米,点C,E,A在同一水平直线上.根据以上信息,求塔AB的高度.

(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)

6.(2024·河北三模)如图,在一个建筑物两侧搭两个长度相同的滑梯(即BC=EF),设计要求左、右两

边的滑梯BC,EF的坡度分别为1∶2和1∶0.5.测得AD=3米,CD=5米.

(1)求滑梯的长.

(2)试猜想两个滑梯BC,EF的位置关系,并证明.

(3)小亮(看成点P)从点E沿滑梯EF下滑,请直接写出他与C处距离的最小值.

(2024·秦皇岛北戴河区一模)四边形不具有稳定性,工程上可利用这一性质解决问题.

如图是某篮球架的侧面示意图,BE,CD,GF为长度固定的支架,支架在A,D,G处与立柱AH连接(AH

⊥MN),在B,C处与篮板连接(BC⊥MN),EF是可以调节长度的伸缩臂(旋转点F处的螺栓改变EF

的长度,使得支架BE绕点A旋转,从而改变四边形ABCD的形状,以此调节篮板的高度).已知

AD=BC,DH=208cm;测得∠GAE=60°时,点C离地面的高度为288cm.调节伸缩臂EF,使得点C离

地面的高度升高16cm,判断∠GAE增大还是减小了?增大(或减小)了多少度?(参考数据:sin

54°≈0.8,cos54°≈0.6)

【详解答案】

基础夯实

1.B解析:在Rt△ADB中,∠ABD=45°,∴AD=BD.设AD=xm,则BD=xm,CD=(x-15.3)m.在Rt△ADC中,∠

ACD=60°,∴tan∠ACD=,∴x≈36,∴灯塔的高度AD大约是36m.故选B.

-.

𝐴�

𝐴�153

2.D解析:∵AC表示的是=地面,BC=表示3的是图书馆,∴AC⊥BC.

∴△ABC为直角三角形.∴AB=m.故选D.

°°

��32

cos25cos25

3.21解析:∵△ABC是等腰三角形,且=CD⊥AB,∴AD=BD.

∵CD=3m,∴AC=BC=≈=5(m),AD=BD=≈=4(m).

°.°.

𝐴3𝐴3

sin37060tan37075

∴共需钢材约为2AC+2AD+CD=21m.

4.解析:∵a2+|c-10|+-=12a-36,∴a2-12a+36+|c-10|+-=0.∴(a-6)2+|c-10|+-=0.∴

4

5�8�8�8

a-6=0,c-10=0,b-8=0.解得a=6,b=8,c=10.∴a2+b2=62+82=100=102=c2.∴∠C=90°.∴sinB=.

�84

�105

5.解:由题意得,DF=CE=24米,AG=EF=CD=1.2米,∠BDG=37°,∠BFG=45°,==

在Rt△BDG中,tan∠BDG=tan37°=≈0.75,

𝐵

��

∴GD=,

.

𝐵

075

在Rt△BFG中,∵∠BFG=45°,

∴FG=BG,

∵DF=24米,

∴DG-FG=-BG=24,

.

𝐵

075

解得BG=72,

∴AB=72+1.2=73.2(米),

∴塔AB的高度为73.2米.

6.解:(1)在Rt△ACD中,

∵AD=3米,CD=5米,

∴AC=--=4(米),

2222

∵滑梯B�C�的�坡�度=分别5为31∶2,

∴AB=2AC=8(米),

在Rt△ABC中,

BC==4(米),

2222

��+��=8+45

∴滑梯的长为4米.

(2)两个滑梯BC,E5F的位置关系:BC⊥EF.

证明:延长BC交EF于点G,如图1,

图1

∵左、右两边的滑梯BC,EF的坡度分别为1∶2和1∶0.5,

∴,,

.

��1��12

��2��051

∴AB=2AC,D=E=2D=F,

∵BC=EF,BC2=AB2+AC2=5AC2,EF2=DE2+DF2=5DF2,

∴AC=DF,

又∵∠BAC=∠EDF=90°,

∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL),

∴∠ABC=∠DEF,

∵∠DFE+∠DEF=90°,

∴∠DFE+∠ABC=90°,

∴∠BGF=90°,

∴BC⊥EF.

(3)他与C处距离的最小值为2米.

解析:理由:小亮(看成点P)从点E5沿滑梯EF下滑,他与C处距离的最小值就是CG的长.

延长BC交EF于点G,连接BE,如图2,

图2

由(1)(2)知AB=DE=8米,AC=DF=4米,BC=EF=4米,

∴BF=AB+AD+DF=8+3+4=15(米),5

∵S△BEF=EF·BG=BF·DE,

11

2·2

∴BG==6(米),

𝐷��15×8

��=455

∴CG=BG-BC=6-4=2(米),

∴他与C处距离的5最小5值为52米.

5能力提升

解:∠GAE减小,减小6°.

理由:如图,当∠GAE=60°时,延长BC与底面交于点K,过D作DQ⊥CK于点Q,

∵BC⊥MN,AH⊥MN,

∴BC∥AH,

∵AD=BC,

∴四边形ABCD是平行四边形,

∴AB∥CD,

∴∠QCD=∠ADC=∠GAE=60°,

∵点C离地面的高度为288cm,DH=208cm,

∴CQ=288-208=80(cm).

在Rt△CDQ中,CD==160(cm).