2025年中考数学总复习18 微专题 等腰三角形与直角三角形 学案（含答案）

微专题18等腰三角形与直角三角形

考点精讲

构建知识体系

考点梳理

1.等腰三角形与直角三角形的性质(6年7考)

等腰直角

图形名称等腰三角形等边三角形直角三角形

三角形

图形

勾股定理：若直角三

角形的两直角边分别

边两腰①三边相等两直角边相等

为a，b，斜边为c，

则有⑪

三角相等，且

两锐角相等且

性角两底角②每一个角都等两锐角之和等于⑫

都等于45°

质于⑧

等腰三角形顶

(1)斜边上的中线等1.满足“三线

角的③、

特殊满足“三线合于⑬合一”

④、⑤

性质一”(2)30°角所对的直2.斜边上的中

相互重合(简记

角边等于⑭线等于⑮

为“三线合

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一”)

等腰三角形是等边三角形是

等腰直角三角

轴对称图形，有轴对称图形，

形是轴对称图

对称⑥条对称有⑨条对

—形，有⑯

性轴，对称轴是称轴，对称轴

条对称轴，对称

⑦是⑩

轴是⑰

面积计S＝⑱

S＝ah＝⑲S＝ch＝⑳S＝ch＝㉑

算公式111

222

2.等腰三角形与直角三角形的判定(6年6考)

练考点

1.在△ABC中，AB＝AC.

(1)若△ABC的周长为12，一边长为5，则BC＝；

(2)若△ABC的一个内角为80°，则∠B＝°；

(3)如图，延长BC至点D，使得CD＝AC，CE平分∠ACD交AD于点E，若AB

＝5，AD＝8，则CE＝.

第1题图

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2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线.

第2题图

(1)若∠B＝2∠C，则∠B＝；

(2)在(1)的条件下，若AB＝4，则AD＝，∠ADB＝°；

(3)若△ABC中两边长分别为3，4，则△ABC的周长为.

3.如果△ABC的三边长a，b，c满足a∶b∶c＝1∶1∶，那么△ABC是()

A.等边三角形2

B.钝角三角形

C.锐角三角形

D.等腰直角三角形

高频考点

考点1等腰三角形的相关证明及计算(2020.20)

例1如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，F为CA的延

长线上一点，过点F作FG⊥BC于点G，交AB于点E.

(1)求证：AD∥FG；

(2)试判断△AEF的形状，并说明理由；

(3)如图②，连接CE，若CE⊥AB，AB＝13，BC＝10，求CE的长；

(4)若∠B＝60°，BC＝8，E为AB的中点，求BG的长.

图①

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图②

例1题图

考点2直角三角形的相关证明及计算(6年3考)

例2如图①，已知在△ABC中，CD是边AB上的高，∠A＝∠BCD.

(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)若∠A＝30°，BD＝，求AC的长；

(3)若AC＝，BD＝4，求3AD的长；

(4)如图②，A5E平分∠CAB交CD于点F，交CB于点E，求证：CE＝CF.

图①

图②

例2题图

真题及变式

命题点1特殊三角形的判定(6年7考，常在计算题中涉及考查)

1.(2020广东20题6分·人教七上习题改编)如图，在△ABC中，点D，E分别是

AB，AC边上的点，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于点F.求证：△

ABC是等腰三角形.

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第1题图

2.(2020广东21(2)题5分)若a＝－4，b＝12，一个三角形的一条边的长为2，

另外两条边的长是关于x的方程x2＋a3x＋b＝0的解.试判断该三角形的形状，并6

说明理由.

2.1变条件——将已知条件变为与非负性结合

已知△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋－－＋｜c－3｜＝0，则△

ABC是()2��32

A.等边三角形B.钝角三角形

C.锐角三角形D.等腰直角三角形

命题点2与特殊三角形有关的计算(6年7考，常在几何题中涉及考查)

3.(2021广东20题6分·北师八下习题改编)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°.

作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB.

(1)若AE＝1，求△ABD的周长；

(2)若AD＝BD，求tan∠ABC的值.

1

3

第3题图

新考法

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4.[综合与实践]

数学活动课上，同学们以“黄金三角形”为主题展开探究活动.

【查阅资料】在等腰三角形中，若底与腰的比是－，则这个三角形是黄金三角

51

形.2

【动手操作】如图①是老师展示的一张邮票，同学们发现邮票中五角星的五个角

都是36°，并制作了相同五角星如图②所示，∠A的度数为36°，且AD＝AB

＝1，于是猜测△ABD是黄金三角形.

【解决问题】

(1)∠CBD＝°；

(2)求证：△ABD是黄金三角形；

(3)如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝18°，BC＝1，求AB的长.

第4题图

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考点精讲

①相等②相等③平分线④底边上的高⑤底边上的中线⑥1⑦底边上

的高(或底边上的中线或顶角的平分线)所在的直线⑧60°⑨3⑩每条边上

的高(或中线或内角平分线)所在的直线⑪a2＋b2＝c2

⑫90°⑬斜边的一半⑭斜边的一半⑮斜边的一半⑯一⑰斜边上的高(或

中线或顶角的平分线)所在的直线⑱ah⑲a2⑳ab㉑a2㉒90°(直角)

1311

㉓60°㉔相等2422

练考点

1.(1)2或5；(2)50或80；(3)3

2.(1)60°；(2)4，60；(3)12或7＋

3.D7

高频考点

例1(1)证明：∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，

∴AD⊥BC，

∵FG⊥BC，

∴AD∥FG；

(2)解：△AEF等腰三角形，理由如下：

∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，

∴∠BAD＝∠CAD，

由(1)知AD∥FG，

∴∠F＝∠CAD，∠AEF＝∠BAD，

∴∠F＝∠AEF，

∴AF＝AE，

即△AEF是等腰三角形；

(3)解：∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，

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∴BD＝CD＝5，AD⊥BC，

∴在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AD＝－＝－＝12，

2222

∵CE⊥AB，����135

∴S△ABC＝BC·AD＝AB·CE，

11

即×10×212＝×132×CE，解得CE＝；

11120

(4)2解：∵∠B＝260°，AB＝AC，13

∴△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC＝8，

∵FG⊥BC，

∴∠BEG＝90°－∠B＝30°，

∵E是AB的中点，

∴BE＝AB＝4，

1

∵在Rt△2BEG中，∠BEG＝30°，

∴BG＝BE＝2.

1

例2(12)解：△ABC是直角三角形，理由如下：

∵CD是边AB上的高，

∴∠ADC＝90°，即∠A＋∠ACD＝90°.

∵∠A＝∠BCD，

∴∠ACD＋∠BCD＝90°＝∠ACB，

∴△ABC是直角三角形；

(2)解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，

∴AB＝2BC，∠B＝60°，

∵CD是斜边AB上的高，

∴∠BDC＝90°，

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∴∠DCB＝90°－∠B＝30°，

∴BC＝2BD，

∴AB＝4BD；

∴AB＝4，BC＝2，

33

∴在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝－＝6；

22

(3)解：∵CD⊥AB，����

∴∠ADC＝∠ACB＝90°，且∠CAD＝∠BAC，

∴△ACD∽△ABC，

∴＝，

����

∵A��B＝�B�D＋AD，

∴＝，

＋

����

∵A��C＝��，��BD＝4，

∴＝5，

5��

解得4+�A�D＝5－5(舍去)或AD＝1，

∴AD＝1；

(4)证明：在Rt△AEC中，∠CEA＝90°－∠1，

在Rt△AFD中，∠AFD＝90°－∠2，

∵AE平分∠CAB，

∴∠1＝∠2，

∴∠AFD＝∠CEF，

又∵∠CFE＝∠AFD，

∴∠CEF＝∠CFE，

∴CE＝CF.

真题及变式

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1.证明：在△BDF和△CEF中，

＝

＝，

∠𝐵�∠𝐵�

＝

∠�𝐵∠�𝐵

∴�△�BD�F�≌△CEF(AAS)，

∴BF＝CF，

∴∠FBC＝∠FCB，

∴∠DBF＋∠FBC＝∠ECF＋∠FCB，

即∠ABC＝∠ACB，

∴AB＝AC，

∴△ABC是等腰三角形.

2.解：该三角形是等腰直角三角形，理由如下：

∵a＝－4，b＝12，∴关于x的方程x2＋ax＋b＝0即为x2－4x＋12＝0，

解得x1＝x23＝2，3

∴该三角形是等3腰三角形，

∵(2)2＋(2)2＝(2)2，

∴该三3角形是等3腰直角6三角形.

－

变式2.1D【解析】由题意得－－，解得，∵a2＋b2＝c2，

��=0�=3

－

2��3=0�=3

且a＝b，∴△ABC是等腰直角三角�形.32=0�=32

3.解：(1)如解图，设DF交BC于点F，由题意得AB＝CE，DF垂直平分BC，

连接BD，

∴BD＝DC，

∴△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝CE＋AC＝AE＝1；

(2)设AD＝x，由AD＝BD，得BD＝3x，在Rt△ABD中，∠A＝90°，

1

31012

∴AB＝－＝2x，

22

由(1)得C�D�＝BD�＝�3x，2

∴AC＝AD＋CD＝4x，

∴tan∠ABC＝＝＝.

��4�

��22�2

第3题解图

4.(1)解：36；

【解法提示】∵∠A＝36°，AB＝AD，∴∠ADB＝(180°－∠A)＝72°，又

1

∵∠ADB＝∠C＋∠CBD，∠C＝36°，∴∠CBD＝2∠ADB－∠C＝36°.

(2)证明：∵∠A＝∠C＝∠CBD＝36°，

∴AB＝BC＝1，∴△BDC∽△ABC，∴＝.

����

设BD＝x，则AC＝1＋x，∴＝，����

�1

－－－

2