2025年中考数学一轮专题复习强化练习第16课时　二次函数的综合应用 （含答案）

第16课时二次函数的综合应用

1.(2024·石家庄模拟)已知二次函数y=2(x-k)(x-k+3)的图象与其向上平移m个单位所得的图象都

与x轴有两个交点,且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等,则m的值为()

A.2B.3

C.4D.5

2.(2024·石家庄模拟)如图,点A,B的坐标分别为(1,4)和(4,4),抛物线y=a(x-m)2+n的顶点在线段AB

上运动,与x轴交于C,D两点(C在D的左侧).

(1)n=.

(2)若点C的横坐标最小值为-3,则点D的横坐标最大值为.

3.(2024·通辽)如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+3与x轴,y轴分别交于点C,D,抛物线

3

2

y=-(x-2)2+k(k为常数)经过点D且交x轴于A,B两点.

1

(1)求4抛物线表示的函数解析式.

(2)若点P为抛物线的顶点,连接AD,DP,CP,求四边形ACPD的面积.

4.(2024·邯郸邯山区二模)如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,A(1,2),点B(4,2),∠ABC=30°,抛物线L:y=

-(x-t)2+t(t>0)的顶点为M,与y轴的交点为N.

1

(12)抛物线有可能经过点A吗?请说明理由.

(2)设点N的纵坐标为yN,直接写出yN与t的函数关系式,并求yN的最大值.

(3)在L的位置随t的值变化而变化的过程中,直接写出点M在△ABC内部所经过路线的长.

1.(2024·衡水桃城区二模)如图是某山坡的截面示意图,坡顶PA距x轴(水平)5m,与y轴交于点P,

与坡AB交于点A,且AP=2,坡AB可以近似看作双曲线y=的一部分.坡BD可以近似看作抛物线

�

�

L的一部分,且抛物线L与抛物线y=x2的形状相同,两坡的连接点B为抛物线L的顶点,且点B到

1

y轴的距离为5m.8

(1)求k的值.

(2)求抛物线L的解析式及点D的坐标.

(3)若小明站在坡顶PA的点M处,朝正前方抛出一个小球Q(看成点),小球Q刚出手时位于点N处,

小球Q在运行过程中的横坐标x、纵坐标y与小球出手后的时间t满足的关系式为

x=at+1,y=-5t2+,a是小球Q出手后水平向前的速度.

13

①若a=5,求y与2x之间的函数关系式;

②要使小球最终落在坡BD上(包括B,D两点),直接写出a的取值范围.

2.(2023·常德)如图,二次函数的图象与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点,与y轴交于点C,顶点为D.O为

坐标原点,tan∠ACO=.

1

5

备用图

(1)求二次函数的解析式.

(2)求四边形ACDB的面积.

(3)P是抛物线上的一点,且在第一象限内,若∠ACO=∠PBC,求点P的坐标.

【详解答案】

基础夯实

1.C解析:当y=0时,2(x-k)(x-k+3)=0,

解得x1=k-3,x2=k.

∴抛物线y=2(x-k)(x-k+3)与x轴的交点坐标为(k-3,0),(k,0),如图,

∴这两个交点之间的距离为k-(k-3)=3,

∵二次函数y=2(x-k)(x-k+3)的图象与其向上平移m个单位所得的图象都与x轴有两个交点,这四个交点中每相

邻两点间的距离都相等,

∴每相邻两点间的距离都为1,

∴平移后的抛物线与x轴的交点坐标为(k-2,0),(k-1,0),

∴平移后的抛物线解析式为y=2[x-(k-2)][x-(k-1)],

即y=2x2-2(2k-3)x+2k2-6k+4,

∵抛物线y=2(x-k)(x-k+3)向上平移m个单位所得的抛物线解析式为y=2x2-2(2k-3)x+2k2-6k+m,

∴m=4.故选C.

2.(1)4(2)8解析:(1)∵点A,B的坐标分别为(1,4)和(4,4),

∴线段AB所在的直线方程为y=4,

∵抛物线y=a(x-m)2+n的顶点(m,n)在线段AB上运动,

∴n=4.

(2)∵抛物线y=a(x-m)2+n的顶点在线段AB上运动,

∴当抛物线顶点为A(1,4)时,点C的横坐标为最小值-3,

此时,对称轴为直线x=1,则D点横坐标为5,CD=8,

当抛物线顶点为B(4,4)时,抛物线对称轴为直线x=4,

∵CD=8,

∴C(0,0),D(8,0),

此时D点横坐标最大,最大值为8.

3.解:(1)在y=-x+3中,令x=0,得y=3,

3

2

∴D(0,3),

∵抛物线y=-(x-2)2+k经过点D(0,3),

1

4

∴3=-×(0-2)2+k,

1

4

解得k=4,

∴y=-(x-2)2+4=-x2+x+3,

11

44

∴抛物线表示的函数解析式为y=-x2+x+3.

1

4

(2)连接OP,如图.

在y=-x+3中,令y=0,得x=2,

3

2

∴C(2,0),OC=2,

在y=-x2+x+3中,令y=0,得0=-x2+x+3,

11

44

解得x=6或x=-2,

∴A(-2,0),OA=2,

由y=-(x-2)2+4可得抛物线的顶点P的坐标为(2,4),

1

4

∴四边形△+△+△×2×3+×3×2+×2×4=3+3+4=10.

111

�=�𝐴��𝐴��𝐴�=222

∴四边形𝐴A�C�PD的面积为10.

4.解:(1)抛物线不可能经过点A,理由:

将点A(1,2)代入抛物线的关系式并整理得t2-4t+5=0,

∵Δ=16-20<0,

∴此方程无解,

故抛物线不可能经过点A.

2

(2)yN=-(t-1)+,且yN的最大值为.

111

222

(3)点M在△ABC内部所经过路线的长为.

解析:由y=-(x-t)2+t,知顶点M(t,t),则在L的6位−置随2t的值变化而变化的过程中,点M都在直线y=x上移动,设直

1

2

线y=x交AB于点R,交BC于点G,如图,则点R(2,2),

由点B(4,2)、∠ABC=30°知,直线BC的关系式为y=-(x-4)+2,

3

3

联立直线BC的关系式和y=x,得x=-(x-4)+2,

3

解得x=+1,3

则G(+31,+1),

由点R,3G的坐3标得RG=,

∴点M在△ABC内部所经6过−路2线的长为.

6−2能力提升

1.解:(1)由题意得A(2,5),

∵双曲线y=经过点A(2,5),

�

�

∴k=2×5=10.

(2)设点B的纵坐标为n,则B(5,n).

∵点B(5,n)在双曲线y=上,

10

�

∴n==2,

10

5

∴B(5,2).

∵抛物线L与抛物线y=x2的形状相同,且顶点为B(5,2),

1

8

∴抛物线L的解析式为y=-(x-5)2+2,

1

8

令y=0,得0=-(x-5)2+2,

1

8

解得x1=9,x2=1(舍去),

∴D(9,0).

(3)①当a=5时,x=5t+1,

-

∴t=,

�1

5

--

将t=代入y=-5t2+,得y=-5+,

�113�1213

5252

整理得y=-x2+x+,

1263

5510

∴y与x之间的函数关系式为y=-x2+x+.

1263

5510

②≤a≤.

4108130

解析3:∵x=at1+31,

-

∴t=,

�1

�

--

将t=代入y=-5t2+,得y=-5+,

�113�1213

�2-�2-

把B(5,2)代入y=-5+,得2=-5+,

�121351213

�2�2

解得a=±.

410

∵a是小球3Q出手后水平向前的速度,

∴a>0,

∴a=.

410

3

--

把D(9,0)代入y=-5+,得0=-5+,

�121391213

�2�2

解得a=±,

8130

∵a是小球13Q出手后水平向前的速度,

∴a>0,∴a=,

8130

13

∴a的取值范围为≤a≤.

4108130

2.解:(1)∵二次函数的3图象与13x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点,

∴设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-5).

∵AO=1,tan∠ACO=,

1

5

∴,∴OC=5,即点C的坐标为(0,5).

𝐴1

��5

将点=C(0,5)代入解析式,得5=a·(0+1)×(0-5),解得a=-1,

∴二次函数的解析式为y=-(x+1)·(x-5).

(2)∵y=-(x+1)(x-5)=-(x-2)2+9,

∴顶点D的坐标为(2,9).

如图1,过点D作DN⊥AB于点N,DM⊥OC于点M.

S四边形ACDB=S△AOC+S矩形OMDN-S△CDM+S△DNB=×1×5+2×9-×2×(9-5)+×(5-2)×9=30.

111

222

图1

(3)如图2,P是抛物线上的一点,且在第一象限,当∠ACO=∠PBC时,连接PB,过点C作CE⊥BC交BP于点E,

过点E作EF⊥OC交OC的延长线于点F.

图2

∵点B(5,0),C(0,5),∴OC=OB=5,∴△OCB为等腰直角三角形,∠OCB=45°.

由勾股定理,得CB==5.

22

∵∠ACO=∠PBC,��+��2

∴tan∠ACO=tan∠PBC,

即,

1����

5=��=5