2025年中考数学总复习43 微专题 圆的综合题 学案（含答案）

微专题43圆的综合题

类型一与锐角三角函数结合

1.如图，AB为☉O的直径，△BCD内接于☉O，连接DA并延长交BC的延长

线于点E，且∠E＝∠ABC.

（1）求证：BC＝EC；

（2）若EC＝20，tan∠BCD＝，求☉O的半径.

24

7

第1题图

2.如图，四边形ABCD内接于☉O，对角线BD为☉O的直径，对角线AC是

∠BCD的平分线，过点A作AE∥BD，交CB的延长线于点E.

（1）求证：AE是☉O的切线；

（2）若∠AEB＝60°，BD＝2，求AC的长.

2

第2题图

3.（2021广东24题10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，

∠ABC＝90°，点E，F分别在线段BC，AD上，且EF∥CD，AB＝AF，CD＝

DF.

（1）求证：CF⊥FB；

第1页共21页

（2）求证：以AD为直径的圆与BC相切；

（3）若EF＝2，∠DFE＝120°，求△ADE的面积.

第3题图

类型二与全等三角形结合

1.如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作☉O，交斜边

AC于点D，连接BD.

（1）若∠C＝30°，求的值；

𝐴

（2）过点D作☉O的切𝐴线，交BC于点E，求证：E是BC的中点.

第2页共21页

第1题图

2.（2024梅州模拟）如图，P为☉O外一点，PA，PB为☉O的切线，切点分别

为A，B，直线PO交☉O于点D，E，交AB于点C.

（1）求证：∠ADE＝∠PAE；

（2）若∠ADE＝30°，连接BD，求证：四边形ADBP是菱形.

第2题图

3.如图，BC为☉O的弦，点A为劣弧的中点，D为BC上一点，连接AD，

过点A作☉O的切线AE，连接CE，CE∥�A�D，点F为AE上一点，AF＝BD，连

接AB，AC，CF.

（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；

（2）当BD＝EF＝AB时，求证：AC＝AD.

1

22

第3页共21页

第3题图

4.（2023广东22题12分）综合探究

如图①，在矩形ABCD中（AB＞AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于

BD的对称点为A'.连接AA'交BD于点E，连接CA'.

（1）求证：AA'⊥CA'；

（2）以点O为圆心，OE为半径作圆.

①如图②，☉O与CD相切，求证：AA'＝CA'；

②如图③，☉O与CA'相切，AD＝1，求☉O3的面积.

第4题图

第4页共21页

类型三与相似三角形结合

[6年2考：2020.22（2），2019.24（3）]

1.如图，△ABC内接于☉O，AB是☉O的直径，D是☉O上一点，连接CD，

过点C作☉O的切线交DB的延长线于点E，且DE⊥CE.

（1）求证：AC＝CD；

（2）若☉O的半径为5，BC＝6，求BD的长.

第1题图

2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，

△ADE的外接☉O与BC交于点F，连接AF，AF平分∠BAC.

（1）求证：BC为☉O的切线；

（2）若AD·CE＝8，求☉O的半径.

第2题图

第5页共21页

3.（2024珠海一模）如图，AB是☉O的直径，C是半圆AB的中点，点D是☉

O上一点，连接CD交AB于E，点F是AB延长线上一点，且EF＝DF.

（1）求证：DF是☉O的切线；

（2）连接BC，BD，AD，若tan∠BCD＝，DF＝3，求☉O的半径.

1

2

第3题图

4.如图①，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，AB＝AC，且△ABC内接于

☉O.

（1）当BC为☉O直径时，求证：BC＝AB；

（2）如图②，当CD与☉O相切时，求证2：四边形ABCD是菱形；

（3）如图③，当CD与☉O相交于点E时，连接BE，交AC于点F，若EF·AB

＝CE2，求∠D的度数.

第4题图

类型一与锐角三角函数结合

第6页共21页

1.(1)证明：如解图，连接AC，

∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC，

∵∠E＝∠ABC，∴AE＝AB，∴BC＝EC；

第1题解图

(2)解：∵∠DAB＝∠BCD，

∴tan∠DAB＝tan∠BCD＝，

24

∵AB是☉O的直径，7

∴∠ADB＝90°，

∴tan∠DAB＝＝，

𝐴24

设AD＝7x，则𝐴BD＝724x，

∴AB＝＋＝25x，

22

∴由(1)知�，�AE＝𝐴AB＝25x，

∴DE＝AE＋AD＝25x＋7x＝32x，

∵CE＝20，

∴BE＝2CE＝40，

在Rt△BDE中，

∵BD2＋DE2＝BE2，

∴(24x)2＋(32x)2＝402，解得x＝1(负值已舍去)，

∴AB＝25x＝25，

∴☉O的半径为.

25

2.(1)证明：如解2图，连接OA，

∵AC是∠BCD的平分线，

第7页共21页

∴∠ACB＝∠ACD，

∴∠AOB＝∠AOD，

∵∠AOB＋∠AOD＝180°，

∴∠AOB＝∠AOD＝90°，

∵BD∥AE，

∴∠OAE＝∠AOD＝90°，

∵OA是☉O的半径，

∴AE是☉O的切线；

(2)解：如解图，过点B作BF⊥AC于点F，

∵AE∥BD，∴∠AEB＝∠CBD＝60°，

∵BD是☉O的直径，

∴∠BCD＝90°，

∴∠BDC＝30°，∴BC＝BD＝，

1

∵AC平分∠BCD，22

∴∠ACB＝∠BCD＝45°，

1

∴△BCF是2等腰直角三角形，

∴CF＝BF＝BC·sin45°＝1，

∵∠BAC＝∠BDC＝30°，在Rt△ABF中，AF＝＝，

𝐵

∴AC＝AF＋CF＝＋1.tan∠���3

3

第2题解图

3.(1)证明：∵CD＝DF，

∴设∠DCF＝∠DFC＝α，

第8页共21页

∴∠FDC＝180°－2α，

∵CD∥AB，

∴∠BAF＝180°－(180°－2α)＝2α，

又∵AB＝AF，

°－

∴∠ABF＝∠AFB＝＝90°－α，

1802�

∴∠CFB＝180°－∠D2FC－∠AFB＝180°－α－(90°－α)＝90°，

∴CF⊥FB；

(2)证明：如解图①，取AD的中点O，过点O作OM⊥BC于点M，

∵AB∥CD，∠ABC＝90°，

∴∠DCB＝90°，

又∵OM⊥BC，

∴OM∥AB，

∴点M为BC的中点，

∴OM＝(AB＋CD)，

1

又∵AF＝2AB，DF＝DC，

∴AD＝AF＋DF＝AB＋CD＝2OM，

∴OM＝AD＝OD，

1

∴OM是2以AD为直径的圆的半径，

又∵OM⊥BC，

∴以AD为直径的圆与BC相切；

(3)解：∵∠DFE＝120°，∠ABC＝90°，CD∥EF，AB∥CD，

∴EF∥AB，

∴∠CDF＝60°，∠BAF＝120°，∠AFE＝60°，∠CEF＝∠BEF＝∠EBA＝90°，

又∵DC＝DF，

∴△DCF为等边三角形，∠DFC＝60°，

第9页共21页

∴∠CFE＝60°，

由(1)得∠CFB＝90°，

∴∠EFB＝∠CFB－∠CFE＝30°，

∵EF＝2，

∴在Rt△BFE中，BE＝EF·tan30°＝，

23

在Rt△CEF中，CE＝EF·tan60°＝23，

如解图②，过点D，A分别作EF的垂线3，交直线EF于点H，N，

则四边形CEHD，四边形EBAN均为矩形，∴CE＝DH＝2，BE＝AN＝，

23

∴S△ADE＝S△EFD＋S△EFA33

＝EF·DH＋EF·AN

11

＝2EF·(DH＋2AN)

1

＝2×2×(2＋)

123

＝2.33

83

3

第3题解图

类型二与全等三角形结合

1.(1)解：∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，

∴∠A＝60°，

∵AB为☉O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠ABD＝30°，

∴AD＝BD，CD＝BD，

3

第10页共21页

33

∴＝3＝；

𝐴3𝐴1

(2)�证�明：3�如�解3图，连接OD，OE，

∵DE是☉O的切线，

∴∠ODE＝90°，

＝，

在Rt△OBE与Rt△ODE中，

＝，

𝐴��

∴Rt△OBE≌Rt△ODE(HL)，𝑂𝑂

∴DE＝BE，

∴∠BDE＝∠DBE，

∵∠DBC＋∠C＝∠BDE＋∠CDE＝90°，

∴∠CDE＝∠C，

∴DE＝CE，

∴BE＝CE，

∴E是BC的中点.

第1题解图

2.证明：(1)如解图①，连接OA，

第2题解图①

∵DE是☉O的直径，

∴∠DAE＝90°，

即∠DAO＋∠OAE＝90°，

第11页共21页

∵PA为☉O的切线，

∴∠PAO＝90°，

即∠PAE＋∠OAE＝90°，

∴∠DAO＝∠PAE，

∵AO＝DO，

∴∠DAO＝∠ADE，

∴∠ADE＝∠PAE；

(2)如解图②，连接OA，OB，

∵∠ADE＝30°，

∴∠AOE＝60°，

∵PA为☉O的切线，

∴∠PAO＝90°，

∴∠APO＝90°－∠AOE＝30°，

∴AD＝AP，

∵PA，PB为☉O的切线，

∴∠PAO＝∠PBO＝90°，

∵PO＝PO，OA＝OB，

∴Rt△APO≌Rt△BPO(HL)，

∴∠APO＝∠BPO＝30°，

∴∠ADE＝∠BPO，

∴AD∥PB，

∵PA＝PB＝AD，

∴四边形ADBP是平行四边形，

又∵AD＝AP，

∴四边形ADBP是菱形.

第12页共21页

第2题解图②

3.证明：(1)如解图，连接OA，

∵点A为劣弧的中点，AE是☉O的切线，

∴OA⊥BC，D�A�⊥AE，

∴AE∥BC，即AE∥CD，

∵CE∥AD，

∴四边形ADCE是平行四边形；

第3题解图

(2)∵BD＝AF，BD＝EF，

∴AF＝EF，∴BD＝AE，

1

∵点A为劣弧的中2点，

∴AB＝AC，∠�A�BC＝∠ACB，

∵BD＝AB，

1

∴BD＝2AC，∴AC＝AE，

1

由(1)得2AE∥CD，

∴∠ACB＝∠CAF，

∴∠ABD＝∠CAF，

∴△ABD≌△CAF(SAS)，

∴AD＝CF，

第13页共21页

由(1)知四边形ADCE为平行四边形，

∴AD＝CE，∴CF＝CE，

∴∠E＝∠EFC，

∵AC＝AE，

∴∠ACE＝∠E＝∠EFC，

∴△EFC∽△ECA，∴＝，

��𝑂

设EF＝x，则AC＝AE＝��2x，𝑂

∴＝，∴CE＝x，∴AD＝x，

�𝑂

∴��＝2�＝，∴A2C＝AD.2

��2�

4.�(�1)证2明�：∵2点A关于B2D的对称点为A'，

∴AE＝A'E，AA'⊥BD，即AA'⊥OE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴OA＝OC，

∴OE是△ACA'的中位线，

∴OE∥CA'，

∴AA'⊥CA'；(3分)

(2)①证明：如解图①，设CD与☉O相切于点F，连接FO并延长，交AB于点G，

∴FG⊥CD，

∵四边形ABCD是矩形，

∴OB＝OD＝OA＝BD，AB∥CD，FG⊥AB，

1

∴∠FDO＝∠GBO，2∠GAO＝∠GBO，

∵∠DOF＝∠BOG，

∴△DOF≌△BOG(ASA)，(5分)

∴OG＝OF＝OE，

由(1)知AA'⊥BD，

第14页共21页

∵OG⊥AB，

∴Rt△DEA≌Rt△OGA(HL)，

∴∠EAO＝∠GAO，

∴∠GBO＝∠EAO，

∵∠EAB＋∠GBO＝90°，

∴∠EAO＋∠GAO＋∠GBO＝90°，

∴3∠EAO＝90°，

∴∠EAO＝30°，

由(1)知AA'⊥CA'，

∴tan∠EAO＝＝，

��'3

∴AA'＝CA'；��'(73分)

3

第4题解图①

②解：如解图②，设CA'与☉O相切于点H，连接OH，

∵☉O与CA'相切，

∴OH⊥CA'，

由(1)知，AA'⊥CA'，AA'⊥BD，OA＝OC，

∴四边形OHA'E为矩形，

∵OE＝OH，

∴四边形OHA'E为正方形，

∴AA'＝2A'E＝2OH，CA'＝2A'H＝2OE，

∴AA'＝CA'，

∴∠A'AC＝∠A'CA＝45°，

第15页共21页

∴∠AOE＝∠ACA'＝45°，

∴AE＝OE，OD＝OA＝AE，

设AE＝DE＝x，则OD＝O2A＝x，

∴DE＝OD－OE＝(－1)x，2

在Rt△ADE中，x2＋2[(－1)x]2＝12，

∴x2＝，即AE2＝OE2＝，

2+22+2

＋

424

∴S☉O＝π·OE＝.(12分)

2π2π

4

第4题解图②

类型三与相似三角形结合

1.(1)证明：如解图，连接OC，AD，

∵CE是☉O的切线，

∴∠OCE＝90°，即OC⊥CE.

∵DE⊥CE，

∴OC∥DE，

∴∠OCB＝∠CBE.

∵OC＝OB，

∴∠OCB＝∠OBC，

∴∠CBE＝∠OBC.

∵四边形ACBD内接于☉O，

∴∠CAD＝∠CBE.

∵∠ADC＝∠ABC＝∠CBE，

∴∠CAD＝∠ADC，

第16页共21页

∴AC＝CD；

第1题解图

(2)解：∵☉O的半径为5，

∴AB＝10，

在Rt△ABC中，BC＝6，∴CD＝AC＝－＝8.

22

∵∠BAC＝∠BDC，∠ACB＝∠CED＝90�°�，��

∴△ABC∽△DCE，

∴＝＝，即＝＝，解得DE＝，CE＝.

������10863224

����𝑂8��𝑂55

在Rt△BCE中，BE＝－＝，

2218

∴BD＝DE－BE＝.��𝑂5

14

2.(1)证明：如解图5，连接OF，

∵∠BAC＝90°，∴DE是☉O的直径，

又∵AF平分∠BAC，

∴∠BAF＝∠CAF＝45°，∴∠DOF＝2∠DAF＝90°，

∵DE∥BC，∴∠OFB＝180°－∠DOF＝90°，

∵OF为☉O的半径，

∴BC为☉O的切线；

(2)解：如解图，连接DF，EF，

∵四边形ADFE是☉O的内接四边形，

∴∠ADF＋∠AEF＝180°，

又∵∠CEF＋∠AEF＝180°，

∴∠ADF＝∠CEF，

第17页共21页

∵DE∥BC，∴∠DEF＝∠EFC，

∵∠DAF＝∠DEF，

∴∠DAF＝∠EFC，

∴△DAF∽△EFC，∴＝，

����

∴EF·DF＝DA·EC＝8，����

∵∠DAF＝∠CAF＝45°，

∴EF＝DF，∴EF2＝8，

∴EF＝2，

∵OE＝OF2，

∴OE＝EF＝2，

2

∴☉O的2半径为2.

第2题解图

3.(1)证明：如解图，连接OD，OC，

∵C是半圆AB的中点，

∴∠AOC＝∠BOC＝90°，

∴∠OCE＋∠OEC＝90°.

∵∠OEC＝∠DEF，

∴∠DEF＋∠OCD＝90°.

∵EF＝DF，

∴∠DEF＝∠EDF，

∴∠EDF＋∠OCD＝90°.

∵OC＝OD，

∴∠OCD＝∠ODC，

第18页共21页

∴∠EDF＋∠ODC＝90°，

即∠ODF＝90°，

∴OD⊥DF，

∵OD为☉O的半径，

∴DF是☉O的切线；

(2)解：∵∠BCD＝∠A，tan∠BCD＝，

1

∴tanA＝tan∠BCD＝，2

1

∵AB是☉O的直径，2

∴∠ADB＝90°，

∴tanA＝＝，

𝐴1

∵∠ODF＝𝐴∠2ADB＝90°，

∴∠ODA＝∠BDF，

又∵OA＝OD，

∴∠A＝∠ODA，

∴∠BDF＝∠A，

∵∠F＝∠F，

∴△FBD∽△FDA，

∴＝＝＝，

����𝐴1

∵D��F＝�3�，��2

∴FB＝，AF＝6，

3

∴AB＝A2F－BF＝6－＝，

39

∴☉O的半径为×＝2.2

919

224