2025中考数学一轮复习第18讲 图形认识初步（含解析+考点卡片）

2025年中考数学一轮复习

第18讲图形认识初步

一．选择题（共10小题）

1．如图，∠MON的度数可能是（）

A．50°B．60°C．70°D．120°

2．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“的”字所在的面相对的面上标的汉字是（）

A．祖B．国C．厉D．害

3．一副三角板按如图所示的方式摆放，则∠1余角的度数为（）

A．45°B．55°C．65°D．75°

4．如图，电脑屏幕上，设计一个运动的光点P，点P先沿水平直线从左向右匀速运动到点A，在A点向

右转70°后，再沿直线匀速运动到B点，在B点向左转100°后，再沿直线匀速运动到C点，在C点再

向右转45°后，沿直线匀速运动到M点，此时点M在C点的（）

A．南偏东15°B．南偏西45°C．南偏东75°D．南偏东85°

5．如图，从点O处观测点A，点D的方向，下列说法中错误的是（）

A．点A在点O的北偏东30°方向上

B．点D在点O的东南方向上

C．点A在点O的北偏东60°方向上

D．点D在点O的南偏东45°方向上

6．如图，将两块三角板的直角∠AOB与∠COD的顶点O重合在一起，绕点O转动三角板AOB，使两块

三角板仍有部分重叠，且∠AOD＝3∠BOD，则∠AOC的度数为（）

A．30°B．45°C．60°D．75°

7．两个直角三角板如图摆放，其中∠BCA＝∠DGE＝90°，∠E＝45°，∠A＝30°，AC与DG交于点F．若

∠EDB＝58.1°，则∠AFD的大小为（）

A．63.1°B．73.1°C．76.9°D．58.1°

8．数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列有关实例（如图）所应用的最主要的几何知识，说法不正

确的是（）

A．图①中墙上置物架的支架做成三角形，应用了“三角形的稳定性”

B．图②中建筑工人砌墙时，在墙的两端之间拉一条线做参考，应用了“两点之间，线段最短”

C．图③中体育课上，测量立定跳远的成绩，应用了“点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度”

D．图④中车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离都相等”

9．如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧距离中

点O25cm（L1＝25cm）处挂一个重9.8N（F1＝9.8N）的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木

杆处于水平状态，弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足FL＝F1L1.

若弹簧秤的示数F不超过7N，则L的取值范围是（）

A．0＜L＜35B．L＞35C．0＜L≤35D．35≤L≤50

10．小欣同学用纸（如图）折成了个正方体的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只凭观察，

选出墨水在哪个盒子中（）

A．B．C．D．

二．填空题（共5小题）

11．一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不

透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和

最大是．

12．若∠A与∠B互为补角，并且∠B度数的一半比∠A的度数小30°，则∠B的度数为．

13．如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠

AOB＝．

14．如图，在A、B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东70°，如果A、B两地同

时开工，那么∠B为°时，才能使公路准确接通．

15．有一个正六面体骰子放在桌面上，若将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°为一次，则滚

动第2023次后，骰子朝下一面的点数是．

三．解答题（共5小题）

16．如图，将平面图形甲、乙分别绕轴l、m旋转一周，可以得到立体图形①、②，图形甲是直角边分别

为a、2a的直角三角形，图形乙是边长为a的正方形．

（1）立体图形①的名称是；

（2）请问立体图形②比立体图形①的体积大多少？（用含a和的式子表示，圆锥，圆柱

122

π�=3��ℎ�=��ℎ)

17．如图，B处在A处的南偏西45°方向上，C处在A处的南偏东30°方向，C处在B处的北偏东60°

方向，求∠ACB的度数．

18．一个无盖的长方体盒子的展开图如图所示．

（1）该盒子的底面的长为（用含a的式子表示）．

（2）若①，②，③，④四个面上分别标有整式2（x+1），x，﹣2，4，且该盒子的相对两个面上的整式

的和相等，求x的值．

（3）请在图中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖．

19．【阅读理解】如图1，小明把一副三角板直角顶点O重叠在一起．如图2固定三角板AOB，将三角板

COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当OD边与OB边重合时停止转动．

【解决问题】

（1）在旋转过程中，请填出∠AOC、∠BOD之间的数量关系；

（2）当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由；

（3）当∠AOC、∠BOD中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优线”，请直接

写出所有满足条件的t值．

20．某风景区A，B，C，D四个景点在一条直线上，图中数据为各景点之间的距离（单位：千米）．

（1）求景点C，D之间的距离．（用含m的代数式表示）

（2）若景点C到景点A的距离与景点C到景点D的距离相等，求景点B，D之间的距离．

2025年中考数学一轮复习之图形认识初步

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．如图，∠MON的度数可能是（）

A．50°B．60°C．70°D．120°

【考点】角的概念；平行线的性质．

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．

【答案】C

【分析】根据量角器的用法将量角器移至正确位置即可判定求解．

【解答】解：由量角器的位置可判断ON与70°的刻度线接近平行，

∴将量角器右移，使点O与量角器的中心点位置重合时，ON与70°刻度线接近重合，

∴∠MON是70°，

故选：C．

【点评】本题主要考查角的概念，平行线的性质，掌握量角器的用法是解题的关键．

2．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“的”字所在的面相对的面上标的汉字是（）

A．祖B．国C．厉D．害

【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．

【专题】投影与视图；空间观念．

【答案】B

【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．

【解答】解：根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，

“祖”与“厉”是相对的面，

“国”与“的”是相对的面，

“我”与“害”是相对的面，

故选：B．

【点评】本题考查正方体的展开与折叠，掌握正方体表面展开图的特征，正确判断正方体展开图中“相对

的面”是正确解答的关键．

3．一副三角板按如图所示的方式摆放，则∠1余角的度数为（）

A．45°B．55°C．65°D．75°

【考点】余角和补角．

【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．

【答案】D

【分析】由题意可得∠1＝∠BCD﹣∠ACD＝45°﹣30°＝15°，再利用余角的定义即可求解．

【解答】解：由题意知：∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，

得∠1＝∠BCD﹣∠ACD＝45°﹣30°＝15°，

所以∠1的余角为90°﹣∠1＝90°﹣15°＝75°．

故选：D．

【点评】本题主要考查余角及角的和差关系，解答的关键是由图形得到∠1的度数．

4．如图，电脑屏幕上，设计一个运动的光点P，点P先沿水平直线从左向右匀速运动到点A，在A点向

右转70°后，再沿直线匀速运动到B点，在B点向左转100°后，再沿直线匀速运动到C点，在C点再

向右转45°后，沿直线匀速运动到M点，此时点M在C点的（）

A．南偏东15°B．南偏西45°C．南偏东75°D．南偏东85°

【考点】方向角．

【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．

【答案】C

【分析】如图，根据三角形外角的性质得出∠ADB＝30°，然后再计算出∠FCM＝75°，根据方向角的定

义即可得出答案．

【解答】解：如图，

∵∠ADB＝100°﹣70°＝30°，∠CED＝90°，

∴∠DCF＝30°+90°＝120°，

∴∠FCM＝120°﹣45°＝75°，

∴此时点M在C点的南偏东75°．

故选：C．

【点评】本题考查了方向角，关键是熟练掌握三角形的外角的性质和方向角的定义．

5．如图，从点O处观测点A，点D的方向，下列说法中错误的是（）

A．点A在点O的北偏东30°方向上

B．点D在点O的东南方向上

C．点A在点O的北偏东60°方向上

D．点D在点O的南偏东45°方向上

【考点】方向角．

【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．

【答案】A

【分析】根据方向角的定义，逐一判断即可解答．

【解答】解：A、点A在点O的北偏东60°方向上，故A符合题意；

B、点D在点O的东南方向上，故B不符合题意；

C、点A在点O的北偏东60°方向上，故C不符合题意；

D、点D在点O的南偏东45°方向上，故D不符合题意；

故选：A．

【点评】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．

6．如图，将两块三角板的直角∠AOB与∠COD的顶点O重合在一起，绕点O转动三角板AOB，使两块

三角板仍有部分重叠，且∠AOD＝3∠BOD，则∠AOC的度数为（）

A．30°B．45°C．60°D．75°

【考点】角的计算．

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．

【答案】B

【分析】根据题意可得∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝180°，∠AOC＝∠BOD，再由∠AOD＝3∠BOD，

可得3∠AOC+∠BOC＝180°，即可求解．

【解答】解：根据题意得：∠AOB＝∠COD＝90°，

∴∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠BOC+∠COD＝∠AOB+∠COD＝180°，∠AOB﹣∠BOC＝∠COD﹣∠BOC，

∴∠AOC＝∠BOD，

∵∠AOD＝3∠BOD，

∴∠AOD＝3∠AOC，

∴3∠AOC+∠BOC＝180°，

∴2∠AOC+∠AOB＝180°，

∴2∠AOC+90°＝180°，

解得：∠AOC＝45°．

故选：B．

【点评】本题主要考查了角的和与差，解题的关键是正确推理．

7．两个直角三角板如图摆放，其中∠BCA＝∠DGE＝90°，∠E＝45°，∠A＝30°，AC与DG交于点F．若

∠EDB＝58.1°，则∠AFD的大小为（）

A．63.1°B．73.1°C．76.9°D．58.1°

【考点】余角和补角．

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．

【答案】B

【分析】先由三角形内角和定理得到∠EDG＝45°，再由平角的定义得到∠ADF＝76.9°，则由三角形内

角和定理可得∠AFD＝180°﹣∠A﹣∠ADF＝73.1°．

【解答】解：∵∠DGE＝90°，∠E＝45°，

∴∠EDG＝180°﹣∠G﹣∠E＝45°，

∵∠EDB＝58.1°，

∴∠ADF＝180°﹣∠EDB﹣∠EDG＝76.9°，

∴∠AFD＝180°﹣∠A﹣∠ADF＝73.1°，

故选：B．

【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．

8．数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列有关实例（如图）所应用的最主要的几何知识，说法不正

确的是（）

A．图①中墙上置物架的支架做成三角形，应用了“三角形的稳定性”

B．图②中建筑工人砌墙时，在墙的两端之间拉一条线做参考，应用了“两点之间，线段最短”

C．图③中体育课上，测量立定跳远的成绩，应用了“点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度”

D．图④中车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离都相等”

【考点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短；点到直线的距离；三角形的稳定性；线段垂直平

分线的性质．

【专题】几何图形；几何直观．

【答案】B

【分析】根据三角形的稳定性，两点确定一条直线，垂线段最短，圆的认识进行判断即可．

【解答】解：A．图①中墙上置物架的支架做成三角形，应用了“三角形的稳定性”，故本选项不合题意；

B．图②中建筑工人砌墙时，在墙的两端之间拉一条线做参考，应用了“两点确定一条直线”，故本选项

符合题意；

C．图③中体育课上，测量立定跳远的成绩，应用了“点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度”，

故本选项不符合题意；

D．图④中车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离都相等”，故本选项不合题意．

故选：B．

【点评】本题主要考查了三角形的稳定性，两点确定一条直线，垂线段最短，圆的认识等知识点，熟记相

关的性质或定理即可．

9．如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧距离中

点O25cm（L1＝25cm）处挂一个重9.8N（F1＝9.8N）的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木

杆处于水平状态，弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足FL＝F1L1.

若弹簧秤的示数F不超过7N，则L的取值范围是（）

A．0＜L＜35B．L＞35C．0＜L≤35D．35≤L≤50

【考点】两点间的距离．

【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．

【答案】D

【分析】根据弹簧秤平衡的结论FL＝F1L1，以及F≤7，解不等式即可．

【解答】解：由于弹簧秤在木杆的中点O的右侧，所以L≤50，

又∵FL＝F1L1，即F7，

�1�19.8×25

∴L≥35，=�=�≤

所以35≤L≤50．

故选：D．

【点评】本题考查两点间的距离，理解“杠杆平衡的条件”以及F不超过7N的意义，列不等式进行解答

解答即可．

10．小欣同学用纸（如图）折成了个正方体的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只凭观察，

选出墨水在哪个盒子中（）

A．B．C．D．

【考点】展开图折叠成几何体．

【专题】推理填空题；空间观念．

【答案】B

【分析】在验证立方体的展开图时，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断．

【解答】解：根据展开图中各种符号的特征和位置，可得墨水在B盒子里面．

故选：B．

【点评】本题考查正方体的表面展开图及空间想象能力．易错易混点：学生对相关图的位置想象不准确，

从而错选，解决这类问题时，不妨动手实际操作一下，即可解决问题．

二．填空题（共5小题）

11．一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不

透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和

最大是53．

【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．

【专题】展开与折叠；空间观念．

【答案】53．

【分析】分别求出最右边的正方体、最上边的正方体、左下角的正方体所能看到的数字之和最大的情况即

可．

【解答】解：要使几何体能看得到的面上数字之和最大，

最右边的那个正方体所能看到的4个数字为3，4，5，6，和为18；

最上边的那个正方体所能看到的6个数字为2，3，4，5，6，和为20；

左下角的那个正方体所能看到的3个数字为4，5，6，和为15；

所以这个几何体能看得到的面上数字之和最大为：18+20+15＝53，

故答案为：53．

【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”是解题

的关键．

12．若∠A与∠B互为补角，并且∠B度数的一半比∠A的度数小30°，则∠B的度数为100°．

【考点】余角和补角．

【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．

【答案】100°．

【分析】根据互为补角的和等于180°，然后根据题意列出关于∠A、∠B的二元一次方程组，求解即可．

【解答】解：根据题意可得：∠A+∠B＝180°①，且∠B＝∠A﹣30°②，

1

2

由①得：∠A＝180°﹣∠B③，

把③代入②得：∠B＝180°﹣∠B﹣30°，

1

解得∠B＝100°．2

故答案为：100°．

【点评】本题考查了互为补角的和等于180°的性质，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．

13．如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠

AOB＝141°．

【考点】方向角．

【答案】见试题解答内容

【分析】首先计算出∠3的度数，再计算∠AOB的度数即可．

【解答】解：由题意得：∠1＝54°，∠2＝15°，

∠3＝90°﹣54°＝36°，

∠AOB＝36°+90°+15°＝141°．

故答案为：141°．

【点评】此题主要考查了方向角，关键是根据题意找出图中角的度数．

14．如图，在A、B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东70°，如果A、B两地同

时开工，那么∠B为110°时，才能使公路准确接通．

【考点】方向角．

【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．

【答案】110．

【分析】利用平行线的性质得出∠A+∠B＝180°，进而得出答案．

【解答】解：∵使公路准确接通，

∴∠A+∠B＝180°，

∵∠A＝70°，

∴∠B＝110°．

故答案为：110．

【点评】本题主要考查方向角，灵活利用平行线的性质是解题的关键．

15．有一个正六面体骰子放在桌面上，若将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°为一次，则滚

动第2023次后，骰子朝下一面的点数是5．

【考点】专题：正方体相对两个面上的文字；规律型：数字的变化类．

【专题】展开与折叠；空间观念．

【答案】5．

【分析】根据题意可得：3和4是相对面，2和5是相对面，且朝下一面的点数依次为2，3，5，4，且4

次一循环，然后进行计算即可解答．

【解答】解：由题意得：

3和4是相对面，2和5是相对面，且朝下一面的点数依次为2，3，5，4，且4次一循环，

∵2023÷4＝505...3，

∴滚动第2023次后，骰子朝下一面的点数是5，

故答案为：5．

【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，规律型：数字的变化类，从数字找规律是解题的关键．

三．解答题（共5小题）

16．如图，将平面图形甲、乙分别绕轴l、m旋转一周，可以得到立体图形①、②，图形甲是直角边分别

为a、2a的直角三角形，图形乙是边长为a的正方形．

（1）立体图形①的名称是圆锥；

（2）请问立体图形②比立体图形①的体积大多少？（用含a和的式子表示，圆锥，圆柱

122

π�=3��ℎ�=��ℎ)

【考点】点、线、面、体；列代数式．

【专题】推理能力．

【答案】（1）圆锥；

（2）立体图形②比立体图形①的体积大．

13

��

【分析】（1）根据立体图形的定义即可解答3；

（2）设图形①、②的体积分别为V1、V2，然后分别求得图形①、②的体积，然后作差即可解答．

【解答】解：（1）以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴得到的立体图形为圆锥．

故答案为：圆锥．

（2）设图形①、②的体积分别为V1、V2，

则，，

122323

�1=��⋅2�=���2=��⋅�=��

∴33．即立体图形②比立体图形①的体积大．

3231313

�2−�1=��−��=����

【点评】本题主要考3查了圆3锥的定义、圆锥的体积、圆柱的体积等知识点3，掌握圆锥的相关知识成为解题

的关键．

17．如图，B处在A处的南偏西45°方向上，C处在A处的南偏东30°方向，C处在B处的北偏东60°

方向，求∠ACB的度数．

【考点】方向角．

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．

【答案】90°．

【分析】先根据题意得出∠BAC的度数，由AE∥DB可得出∠DBA的度数，进而可得出∠ABC的度数，

最后根据三角形内角和定理即可求出∠ACB的度数．

【解答】解：根据题意，得∠BAE＝45°，∠CAE＝30°，∠DBC＝60°，

∴∠BAC＝∠BAE+∠CAE

＝45°+30°

＝75°．

∵AE∥DB，

∴∠DBA＝∠BAE＝45°，

∴∠ABC＝∠DBC﹣∠DBA

＝60°﹣45°

＝15°，

∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC

＝180°﹣15°﹣75°

＝90°．

【点评】本题考查的是方向角的概念，即用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对

象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．

18．一个无盖的长方体盒子的展开图如图所示．

（1）该盒子的底面的长为3a（用含a的式子表示）．

（2）若①，②，③，④四个面上分别标有整式2（x+1），x，﹣2，4，且该盒子的相对两个面上的整式

的和相等，求x的值．

（3）请在图中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖．

【考点】专题：正方体相对两个面上的文字；列代数式；整式的加减．

【专题】整式；几何直观．

【答案】（1）3a；

（2）4；

（3）见解答过程．

【分析】（1）依据无盖的长方体盒子的高为a，底面的宽为2a，即可得到底面的长；

（2）根据该盒子的相对两个面上的整式的和相等，列方程求解即可；

（3）依据长方体的展开图的特征，即可在图中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖．

【解答】解：（1）由题可得，无盖的长方体盒子的高为a，底面的宽为3a﹣a＝2a，

∴底面的长为5a﹣2a＝3a，

故答案为：3a；

（2）∵①，②，③，④四个面上分别标有整式2（x+1），x，﹣2，4，且该盒子的相对两个面上的整式

的和相等，

∴2（x+1）+（﹣2）＝x+4，

解得x＝4；

（3）如图所示：（答案不唯一）

【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开

图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念是解决此类问题的关键．

19．【阅读理解】如图1，小明把一副三角板直角顶点O重叠在一起．如图2固定三角板AOB，将三角板

COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当OD边与OB边重合时停止转动．

【解决问题】

（1）在旋转过程中，请填出∠AOC、∠BOD之间的数量关系∠AOC+∠BOD＝180°；

（2）当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由；

（3）当∠AOC、∠BOD中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优线”，请直接

写出所有满足条件的t值．

【考点】角的计算；角平分线的定义．

【专题】三角形；推理能力．

【答案】（1）∠AOC+∠BOD＝180°；（2）有，OD平分∠AOB，OB平分∠COD，理由略；（3）t＝4或8．

【分析】（1）由题意，根据题目分析，然后画出图形可得结论．

（2）依据题意，画出图形，然后分别计算出角的度数可得解．

（3）依据题意，将所有可能情形梳理并分类讨论可得t的值．

【解答】解：（1））①如图，∠AOC+∠BOD＝180°．

理由如下：由题意得，∠DOA＝90°﹣∠AOC，∠COB＝90°﹣∠AOC．

∴∠AOC+∠BOD＝∠AOC+∠DOA+∠AOC+∠COB＝∠AOC+90°﹣∠AOC+∠AOC+90°﹣∠AOC＝

180°．

②如图，∠AOC+∠BOD＝180°．

理由如下：由题意得，∠DOA＝90°﹣∠DOB，∠COB＝90°﹣∠DOB．

∴∠AOC+∠BOD＝∠DOA+∠DOB+∠COB+∠BOD＝90°﹣∠DOB+∠DOB+90°﹣∠DOB+∠BOD＝

180°．

综上，∠AOC+∠BOD＝180°．

（2）由题意得：有，OD平分∠AOB，OB平分∠COD．如图所示，

理由如下：当运动时间为9秒时，∠AOC＝15°×9＝135°，

∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝135°﹣90°＝45°．

∵∠COD＝90°，

∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣45°＝45°．

∴∠BOC＝∠BOD＝45°．

∴OB平分∠COD．

又∠BOD＝45°∠AOB，

1

∴OD平分∠AOB=．2

（3）由题意得，∠AOB＝90°，∠AOC＝15t．

当∠BOD＝2∠AOC时，

又∠AOC+∠BOD＝180°，

∴∠AOC＝60°．

∴15t＝60，解得t＝4．

当2∠BOD＝∠AOC时，

又∠AOC+∠BOD＝180°，

∴∠AOC＝120°．

∴15t＝120，解得t＝8．

综上，t＝4或8．

【点评】本题主要考查角的计算，解题时需要全面考虑分析所有可能，学会分类讨论是解题的关键．

20．某风景区A，B，C，D四个景点在一条直线上，图中数据为各景点之间的距离（单位：千米）．

（1）求景点C，D之间的距离．（用含m的代数式表示）

（2）若景点C到景点A的距离与景点C到景点D的距离相等，求景点B，D之间的距离．

【考点】两点间的距离；列代数式．

【专题】整式；运算能力．

【答案】（1）（3+3m）千米；（2）13千米．

【分析】（1）景点C，D之间的距离等于B，D之间的距离减去B，C之间的距离；

（2）根据景点C到景点A的距离与景点C到景点D的距离相等建立一元一次方程，解方程即可得到答案．

【解答】解：（1）9+2m﹣（6﹣m）＝9+2m﹣6+m＝3+3m，

答：景点C，D之间的距离为（3+3m）千米；

（2）由题意得5+（6﹣m）＝3+3m，

解得m＝2，

∴BD＝9+2m＝13，

答：景点B，D之间的距离13千米．

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，掌握题意正确列出一元一次方程是解题的关键．

考点卡片

1．列代数式

（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．

（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义．列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如

“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．②分清数量关系．要正确列

代数式，只有分清数量之间的关系．③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，

先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起

来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，

数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称

什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．⑤正确进行代换．列代数式时，有时

需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．

【规律方法】列代数式应该注意的四个问题

1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．

2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或

者省略不写．

3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．

4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．

2．规律型：数字的变化类

探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识

的基础上去探究，观察思考发现规律．

（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数

量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．

（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设

出其他未知数，然后列方程．

3．整式的加减

（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．

（2）整式的加减实质上就是合并同类项．

（3）整式加减的应用：

①认真审题，弄清已知和未知的关系；

②根据题意列出算式；

③计算结果，根据结果解答实际问题．

【规律方法】整式的加减步骤及注意问题

1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．

2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，

去括号后括号内的各项都要改变符号．

4．点、线、面、体

（1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点．

（2）从运动的观点来看

点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩

的图形世界．

（3）从几何的观点来看

点是组成图形的基本元素，线、面、体都是点的集合．

（4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体．

（5）面有平面和曲面之分，如长方体由6个平面组成，球由一个曲面组成．

5．展开图折叠成几何体

通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再

从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．

6．专题：正方体相对两个面上的文字

（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象．

（2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立

空间观念，是解决此类问题的关键．

（3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．

7．线段的性质：两点之间线段最短

线段公理

两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．

简单说成：两点之间，线段最短．

8．两点间的距离

（1）两点间的距离

连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．

（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最

后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点

的距离．可以说画线段，但不能说画距离．

9．角的概念

（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线

是角的两条边．

（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中

间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表

示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠，∠，∠、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表

示．αβγ

（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线

时形成平角，当始边与终边旋转重合时，形成周角．

（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝

60″．

10．方向角

方向角是从正北或正南方向到目标方向所