2025中考数学一轮复习第22讲 锐角三角函数（含解析+考点卡片）

2025年中考数学一轮复习

第22讲锐角三角函数

一．选择题（共10小题）

1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点B，C分别在地面OP和墙面OQ上，且边AB∥OQ，若AC＝1，

∠ABC＝，则CO的长为（）

α

A．B．

𝑐𝑜𝑡𝑜

C．cos𝑡×𝑜tanD．𝑐𝑜

1

αα

2．如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存�，��但�×底𝑡部�未�受损．已知该金字塔的下底面是一个边长

为200m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（）

A．50mB．C．100mD．

3．如图，某水库堤坝横断面迎5水0坡3的�坡角为，sin，堤坝高BC＝15m，则10迎0水3坡�面AB的长度为（）

3

αα=5

A．20mB．25mC．30mD．35m

4．某校数学“综合与实践”小组的同学想要测量校园内文化长廊（如图1）的最高点到地面的高度．如图

2是其测量示意图，五边形ABDEC关于直线EF对称，EF与AB，CD分别相交于点F，G．测得AB＝3m，

CD＝5m，∠ABD＝135°，∠BDE＝92°，则文化长廊的最高点离地面的高度EF约为（）（结果保留

一位小数，参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）

A．4.2mB．4.0mC．3.7mD．3.6m

5．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanA的值是（）

A．B．C．D．2

344

6．如5图，滑雪场有一坡角205°的滑雪道，滑雪道AC3长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB

的长为（）米．

A．B．C．200cos20°D．200sin20°

200200

7．如𝑐图�2是0°某商店营业大厅自动𝑠扶�2梯0°的示意图，已知扶梯的长度为m米，坡度，则大厅两层之间的距

5

离为（）�=12

A．米B．米C．米D．米

551212

����

8．在13计算tan15°的值时，可1以2借用“数形结合”思1想3构建几何图形的方法5解决，如图，在Rt△ACB中，

∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB到D使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，设AC＝a，则AB＝DB

＝2a，，，Rt△ACD中．类比这

𝐵12−3

𝐵=3���=(2+3)�𝑡�15°====2−3

种方法，可以得到tan22.5°的值为（）��2+3(2+3)(2−3)

A．B．C．D．

1

2+12−12

9．如图，图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知游2步机手柄AB与地面DE平行，

端板CD长为1.5m，CD与地面DE的夹角∠CDE＝a，支架AC长为1m，∠CAB＝120°，则距步机手柄

AB所在直线与地面DE之间的距离为（）

A．B．

31

+1.5𝑠𝑜+1.5𝑠𝑜

C．2D．2

31

+1.5𝑐𝑜+1.5𝑐𝑜

10．2如图，在正方体中，∠BD1B1的正切值为（2）

A．B．C．1D．

23

二．填空题（共小题）2

252

11．某地为拓宽河道和提高拦水坝，进行了现有拦水坝改造．如图所示，改造前的斜坡米，

坡度为1：4；将斜坡AB的高度AE提高20米（即AC＝20米）后，斜坡AB改造成斜坡C�D�，=其80坡度17为1：

1.5．则改造后斜坡CD的长为．

12．如图，与斜坡CE垂直的太阳光线照射立柱AB（与水平地面BF垂直）形成的影子，一部分落在地面

上，另一部分落在斜坡上．若BC＝3米，CD＝8.48米，斜坡的坡角∠ECF＝32°，则立柱AB的高为

米（结果精确到0.1米）．

科学计算器按键顺序计算结果（已取近似值）

0.530

0.848

0.625

13．如图，社小山的东侧炼A处有一个热气球，由于受西风的影响，以30m/min的速度沿与地面成75°角

的方向飞行，20min后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧点B处的俯角为30°，则小山东西两

侧A，B两点间的距离为．

14．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AB＝10，，点M在边AB上，点N在边BC上，且AM＝

3

BN，连接MN，当△BMN为等腰三角形时，AM＝𝑐��=5．

15．如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为．

三．解答题（共5小题）

16．如图，在修建某条地铁时，科技人员利用探测仪在地面A、B两个探测点探测到地下C处有金属回声．已

知A、B两点相距8米，探测线AC，BC与地面的夹角分别是30°和45°，试确定有金属回声的点C的

深度是多少米？

17．广州市民昵称“小蛮腰”的广州塔，是目前中国最高的塔，它主要由塔身主体与天线桅杆两部分组成．广

州某中学数学兴趣小组几位同学，在五一假期，利用测角仪测量“小蛮腰”的“身高”，他们在离塔底A

水平距离450米的地点B，测得塔身主体的顶端C的仰角为45°，天线桅杆的顶端D的仰角为53°9′．

（1）根据题意，画出几何示意图（塔身及天线与地面垂直）；

（2）求天线棉杆的高度．（参考数据：tan53°9'，

44

≈3𝑠�53°9'≈5)

18．在郑州之林公园内有一座如意雕塑（图1），它挺拔矗立在CBD前端，展现出了郑东新区的美好蓝图

与如意和谐的愿望．综合实践小组想按如图2所示的方案测量如意雕塑的高度EF：①在如意雕塑前的空

地上确定测量点A，当测量器高度AC为3m时，测得如意雕塑最高点E的仰角∠ECD＝45°；②保持测

量器位置不变，调整测量器高度AB为4.1m时，测得点E的仰角∠EBG＝44°．已知点A，B，C，D，E，

F，G在同一竖直平面内，请根据该小组的测量数据计算如意雕塑的高度EF．（结果精确到1m．参考数据：

sin44°≈0.69，cos44°≈0.72，tan44°≈0.97）

19．如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，AB是灯杆，CD是灯管支

架，灯管支架CD与灯杆间的夹角∠BDC＝60°．综合实践小组的同学想知道灯管支架CD的长度，他们

在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得

AE＝3m，EF＝9m（A，E，F在同一条直线上）．请解答下列问题：

（1）求灯管支架底部距地面高度AD的长（结果保留根号）；

（2）求灯管支架CD的长度（结果精确到0.1m，参考数据：）．

3≈1.73

20．如图，观测点C在东西走向的海岸线CN上，观测员发现某船在北偏东12°方向的A点，该船向正东

方向行驶10小时后，到达北偏东57°方向的B点．已知该船的行驶速度为40海里/时，求这艘船与海岸

线CN之间的距离．（结果精确到1海里，参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）

2025年中考数学一轮复习之锐角三角函数

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点B，C分别在地面OP和墙面OQ上，且边AB∥OQ，若AC＝1，

∠ABC＝，则CO的长为（）

α

A．B．

𝑐𝑜𝑡𝑜

C．c𝑡os𝑜×tanD．𝑐𝑜

1

αα

【考点】解直角三角形的应用．𝑐𝑜×𝑡𝑜

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．

【答案】A

【分析】在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝，BC，在Rt△BOC中，OC＝BC•cos∠BCO，

𝐵

即可作答．α=𝑡�∠�𝐵

【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝，

α

∴BC，

𝐵𝐵

∵AB∥=O𝑡Q�，∠�𝐵=𝑡𝑜

∴∠BCO＝∠ABC＝，

在Rt△BOC中，AC＝α1，

OC＝BC•cos∠BCOcos，

𝐵𝑐𝑜

故选：A．=𝑡𝑜×α=𝑡𝑜

【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．

2．如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未受损．已知该金字塔的下底面是一个边长

为200m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（）

A．50mB．C．100mD．

【考点】解直角三角形的应用5﹣0坡3�度坡角问题．1003�

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．

【答案】D

【分析】根据已知易得BC＝100m，再根据垂直定义可得∠ACB＝90°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三

角函数的定义求出AC的长，即可解答．

【解答】解：如图：

∵该金字塔的下底面是一个边长为200m的正方形，

∴BC200＝100（m），

1

∵AC⊥=B2C×，

∴∠ACB＝90°，

在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，

∴AC＝BC•tan60°＝100（m），

∴则金字塔原来高度为1003m，

故选：D．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．

3．如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为，sin，堤坝高BC＝15m，则迎水坡面AB的长度为（）

3

αα=5

A．20mB．25mC．30mD．35m

【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．

【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．

【答案】B

【分析】根据正弦的定义计算，得到答案．

【解答】解：在Rt△ABC中，sin，

3

α=

则，5

𝐵3

=

∵�B�C＝15m，

∴AB＝25m，

故选：B．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

4．某校数学“综合与实践”小组的同学想要测量校园内文化长廊（如图1）的最高点到地面的高度．如图

2是其测量示意图，五边形ABDEC关于直线EF对称，EF与AB，CD分别相交于点F，G．测得AB＝3m，

CD＝5m，∠ABD＝135°，∠BDE＝92°，则文化长廊的最高点离地面的高度EF约为（）（结果保留

一位小数，参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）

A．4.2mB．4.0mC．3.7mD．3.6m

【考点】解直角三角形的应用；轴对称的性质．

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．

【答案】C

【分析】过点B作BH⊥CD于点H，证明四边形GFBH为矩形，得出GH＝BF＝1.5m，∠FBH＝90°，求

出∠DBH＝45°，得到BH＝DH＝GF＝1m，求出∠EDG＝47°，再解直角三角形得出EG的长，再由EF

＝EG+GF计算即可得出答案．

【解答】解：如图所示，过点B作BH⊥CD于点H，

由题意，得，，

11

∵EF垂直平�分�=AB2，��垂=足1为.5�F，E�F�垂=直2平��分=C2D.5，�与CD交于点G，BH⊥CD，

∴∠BFG＝∠FGH＝∠BHG＝90°，

∴四边形GFBH为矩形，

∴GH＝BF＝1.5m，∠FBH＝90°，

∴DH＝DG﹣GH＝1m，

∵∠ABD＝135°，

∴∠DBH＝45°，

∴BH＝DH＝GF＝1m，

∵∠BDE＝92°，

∴∠EDG＝47°，

在Rt△EDG中，∠，

𝐷

∴EG＝DGtan47°𝑡≈�2.5�×�1�.0=7≈��2.68（m），

∴EF＝EG+GF≈2.68+1≈3.7（m），

故选：C．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点

的应用是解题的关键．

5．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanA的值是（）

A．B．C．D．2

344

【考5点】解直角三角形．53

【专题】计算题；解直角三角形及其应用；应用意识．

【答案】C

【分析】如图连接格点BD、CD．在Rt△ABD中求出∠A的正切值．

【解答】解：如图，连接格点BD、CD．

在Rt△ABD中，

tanA．

𝐶4

故选=：�C�．=3

【点评】本题考查了解直角三角形，连接BD构造直角三角形是解决本题的关键．

6．如图，滑雪场有一坡角20°的滑雪道，滑雪道AC长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB

的长为（）米．

A．B．C．200cos20°D．200sin20°

200200

【考�点��】20解°直角三角形的应用�﹣��2坡0°度坡角问题．

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．

【答案】D

【分析】根据正弦的定义进行解答即可．

【解答】解：∵∠，

��

∴AB＝AC•sin∠�C��＝20�0=sin�2�0°，

故选：D．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的

定义是解题的关键．

7．如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为m米，坡度，则大厅两层之间的距

5

离为（）�=12

A．米B．米C．米D．米

551212

����

【考1点3】解直角三角形的应用1﹣2坡度坡角问题；列代1数3式．5

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．

【答案】A

【分析】设大厅两层之间的距离为5x米，根据坡度的概念用x表示出扶梯的水平宽度，再根据勾股定理列

出方程，解方程得到答案．

【解答】解：设大厅两层之间的距离为5x米，

∵扶梯的坡度i＝5：12，

∴扶梯的水平宽度为12x米，

由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝m2，

解得：x（负值舍去），

�

=13

∴大厅两层之间的距离为m米，

5

故选：A．13

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比．

8．在计算tan15°的值时，可以借用“数形结合”思想构建几何图形的方法解决，如图，在Rt△ACB中，

∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB到D使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，设AC＝a，则AB＝DB

＝2a，，，Rt△ACD中．类比这

𝐵12−3

𝐵=3���=(2+3)�𝑡�15°====2−3

种方法，可以得到tan22.5°的值为（）��2+3(2+3)(2−3)

A．B．C．D．

1

2+12−12

【考点】锐角三角函数的定义．2

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．

【答案】B

【分析】如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，延长CB至点D，使得AB＝BD，则∠BAD＝∠D．设

AC＝1，求出CD，可得结论．

【解答】解：如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，延长CB至点D，使得AB＝BD，则∠BAD＝∠D，

∵∠ABC＝45°＝∠BAD+∠D＝2∠D，

∴∠D＝22.5°，

设AC＝1，则BC＝1，ABAC，

∴CD＝CB+BD＝CB+AB＝=12，=2

∴tan22.5°＝tanD+21．

𝐵12−1

====2−

故选：B．��1+2(1+2)(2−1)

【点评】本题考查锐角三角函数的定义，解直角三角形，分母有理化，特殊直角三角形的性质，解题的关

键是学会利用特殊直角三角形解决问题．

9．如图，图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知游步机手柄AB与地面DE平行，

端板CD长为1.5m，CD与地面DE的夹角∠CDE＝a，支架AC长为1m，∠CAB＝120°，则距步机手柄

AB所在直线与地面DE之间的距离为（）

A．B．

31

+1.5𝑠𝑜+1.5𝑠𝑜

C．2D．2

31

【考点】+解1.5直𝑐角𝑜三角形的应用﹣坡度坡角问题．+1.5𝑐𝑜

22

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．

【答案】A

【分析】过点C作CG⊥AB，交BA的延长线于点G，交DE的延长线于H，根据正弦的定义分别求出CG、

CH，计算即可．

【解答】解：如图，过点C作CG⊥AB，交BA的延长线于点G，交DE的延长线于H，

∵手柄AB与地面DE平行，

∴CH⊥DE，

在Rt△CDH中，∠CDH＝，CD＝1.5m，

α

∵sin∠CDH，

��

∴CH＝CD•s=in�∠�CDH＝1.5sin，

∵∠CAB＝120°，α

∴∠CAG＝60°，

∴CG＝AC•sin60°，

3

=

∴距步机手柄AB所在2直线与地面DE之间的距离为：（1.5sin）米，

3

故选：A．α+2

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

10．如图，在正方体中，∠BD1B1的正切值为（）

A．B．C．1D．

23

【考点】锐角三角函数的定义．2

22

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．

【答案】A

【分析】由题意得BB1＝A1B1＝A1D1，∠BB1D1＝90°，设BB1＝A1B1＝A1D1＝x，则，再由正

切的定义计算即可得解．�1�1=2�

【解答】解：由题意得：BB1＝A1B1＝A1D1，∠BB1D1＝90°，

设BB1＝A1B1＝A1D1＝x，则：

B1D1x，

2222

=�1�1+�1�1=�+�=2

∴∠，

��1�2

𝑡���1�1===

故选：A．�1�12�2

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，解答本题的关键要熟练掌握锐角A的对边a与邻边b的比叫做

∠A的正切，记作tanA．即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边．

�

二．填空题（共5小题）=�

11．某地为拓宽河道和提高拦水坝，进行了现有拦水坝改造．如图所示，改造前的斜坡米，

坡度为1：4；将斜坡AB的高度AE提高20米（即AC＝20米）后，斜坡AB改造成斜坡C�D�，=其80坡度17为1：

1.5．则改造后斜坡CD的长为50米．

13

【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．

【答案】50米．

13

【分析】根据直角三角形的性质求出AE，进而求出CE，根据坡度的概念求出DE，根据勾股定理计算，

得到答案．

【解答】解：在Rt△ABE中，AB＝200米，，

��1

=

∴设AE＝x米，BE＝4x米，��4

∴ABx＝80，

22

∴x＝=80，��+��=1717

∴AE＝80米，

∴CE＝AE+AC＝100（米），

∵斜坡CD的坡度为1：1.5，

∴DE＝150米，

由勾股定理得：CD50（米），

22

答：斜坡CD的长为=50��米+．��=13

故答案为：50米．13

【点评】本题考1查3的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义

是解题的关键．

12．如图，与斜坡CE垂直的太阳光线照射立柱AB（与水平地面BF垂直）形成的影子，一部分落在地面

上，另一部分落在斜坡上．若BC＝3米，CD＝8.48米，斜坡的坡角∠ECF＝32°，则立柱AB的高为20.8

米（结果精确到0.1米）．

科学计算器按键顺序计算结果（已取近似值）

0.530

0.848

0.625

【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；平行投影．

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．

【答案】20.8．

【分析】延长AD交BF于点H，根据余弦的定义求出HC，进而求出HB，再根据正切的定义计算即可．

【解答】解：如图，延长AD交BF于点H，

在Rt△DCH中，CD＝8.48米，∠DCH＝32°，

∵cos∠DCH，

��

=

∴HC��10（米），

��8.48

∴BH＝=H𝑐C�+∠B�C�＝�1≈3（0.8米48），=

∵∠DCH+∠AHB＝90°，∠A+∠AHB＝90°，

∴∠A＝∠DCH＝32°，

在Rt△AHB中，tanA，

𝐶

=

∴AB2�0�.8（米），

𝐶13

故答案=为𝑡：��20≈.80．.625=

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，正确作出辅助线、掌握锐角三角函数的定义

是解题的关键．

13．如图，社小山的东侧炼A处有一个热气球，由于受西风的影响，以30m/min的速度沿与地面成75°角

的方向飞行，20min后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧点B处的俯角为30°，则小山东西两

侧A，B两点间的距离为600．

2

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．

【答案】600．

【分析】作AD2⊥BC于D，根据速度和时间先求得AC的长，在Rt△ACD中，求得∠ACD的度数，再求

得AD的长度，然后根据∠B＝30°求出AB的长．

【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，

在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣30°＝45°，

AC＝30×20＝600（米），

∴AD＝AC•sin45°＝300（米）．

在Rt△ABD中，2

∵∠B＝30°，

∴AB＝2AD＝600（米）．

故答案为：600．2

2

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形并解直角三

角形，难度适中．

14．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AB＝10，，点M在边AB上，点N在边BC上，且AM＝

3

𝑐��=

BN，连接MN，当△BMN为等腰三角形时，AM＝5或5或．

6050

1111

【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质；勾股定理．

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．

【答案】5或或．

6050

【分析】分三1种1情1况1结合等腰三角形的性质和解直角三角形讨论求解即可．

【解答】解：当BM＝BN时，如图1，

∵AM＝BN，

∴BM＝AM，

∴；

1

𝐴=��=5

当MB＝M2N时，如图2，作ME⊥BC，则有，

11

��=2𝐵=2𝐴

∵BM＝10﹣AM，且，

3

𝑐��=5

∴，即1，

��32𝐴3

==

解得𝐴：51；0−𝐴5

60

𝐴=

当NB＝NM时1，1如图3，作NF⊥AB，则有，

11

𝐵=2𝐴=2(10−𝐴)

∵AM＝BN，且，

3

𝑐��=5

∴，即1，

𝐵32(10−𝐴)3

==

解得𝐵：5；𝐴5

50

𝐴=

综上所述，答1案1为：5或或．

6050

【点评】本题考查等腰三1角1形1的1性质和解直角三角形，掌握解直角三角形是解题的关键．

15．如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为3．

【考点】解直角三角形．

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．

【答案】3．

【分析】连接CM，DN，根据题意可得CM∥AB，从而可得∠APD＝∠NCD，然后利用勾股定理的逆定理

证明△CND是直角三角形，最后根据锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．

【解答】解：连接CM，DN，

由题意得：

CM∥AB，

∴∠APD＝∠NCD，

由题意得：

CN2＝12+12＝2，

DN2＝32+32＝18，

CD2＝22+42＝20，

∴CN2+DN2＝CD2，

∴△CND是直角三角形，

∴tan∠NCD3，

��32

===

∴∠APD的正切��值为：23，

故答案为：3．

【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

三．解答题（共5小题）

16．如图，在修建某条地铁时，科技人员利用探测仪在地面A、B两个探测点探测到地下C处有金属回声．已

知A、B两点相距8米，探测线AC，BC与地面的夹角分别是30°和45°，试确定有金属回声的点C的

深度是多少米？

【考点】解直角三角形的应用．

【答案】见试题解答内容

【分析】过C点作AB的垂线交直线AB于点D，构建等腰Rt△BCD，在Rt△DAC中利用锐角三角函数的

定义即可求出AC＝2CD．然后在Rt△DAC中利用勾股定理来求CD的长度．

【解答】解：如图，作CD⊥AB于点D．

∴∠ADC＝90°．

∵探测线与地面的夹角分别是30°和45°，

∴∠DBC＝45°，∠DAC＝30°．

∵在Rt△DBC中，∠DCB＝45°，

∴DB＝DC．

∵在Rt△DAC中，∠DAC＝30°，

∴AC＝2CD．

∵在Rt△DAC中，∠ADC＝90°，AB＝8，

∴由勾股定理，得AD2+CD2＝AC2．

∴（8+CD）2+CD2＝（2CD）2．

∴．

∵��=4±43不合题意，舍去．

∴C��D＝=（4−43）米．

∴有金属回4声+的4点3C的深度是（）米．

4+43

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

17．广州市民昵称“小蛮腰”的广州塔，是目前中国最高的塔，它主要由塔身主体与天线桅杆两部分组成．广

州某中学数学兴趣小组几位同学，在五一假期，利用测角仪测量“小蛮腰”的“身高”，他们在离塔底A

水平距离450米的地点B，测得塔身主体的顶端C的仰角为45°，天线桅杆的顶端D的仰角为53°9′．

（1）根据题意，画出几何示意图（塔身及天线与地面垂直）；

（2）求天线棉杆的高度．（参考数据：tan53°9'，

44

≈3𝑠�53°9'≈5)

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【专题】计算题；解直角三角形及其应用；运算能力．

【答案】（1）详见解答；（2）150米．

【分析】（1）根据题意画出示意图；

（2）在Rt△ABC中，先求出AC，再在Rt△ABD中，利用直角三角形的边角间关系求出AD，最后利用线

段的和差关系得结论．

【解答】解：（1）几何示意图如图所示：

（2）在Rt△ABC中，

∵∠ABC＝45°，

∴∠ACB＝∠ABC＝45°．

∴AC＝AB＝450米．

在Rt△ABD中，

∵tan∠ABD，

𝐶

∴AD＝tan∠=AB�D�•AB

＝tan53°9′•450

450

4

＝≈630×0（米）．

∴CD＝AD﹣AC

＝600﹣450

＝150（米）．

答：天线棉杆的高度为150米．

【点评】本题考查了解直角三角形，掌握等腰直角三角形的性质与判定、直角三角形的边角间关系是解决

本题的关键．

18．在郑州之林公园内有一座如意雕塑（图1），它挺拔矗立在CBD前端，展现出了郑东新区的美好蓝图

与如意和谐的愿望．综合实践小组想按如图2所示的方案测量如意雕塑的高度EF：①在如意雕塑前的空

地上确定测量点A，当测量器高度AC为3m时，测得如意雕塑最高点E的仰角∠ECD＝45°；②保持测

量器位置不变，调整测量器高度AB为4.1m时，测得点E的仰角∠EBG＝44°．已知点A，B，C，D，E，

F，G在同一竖直平面内，请根据该小组的测量数据计算如意雕塑的高度EF．（结果精确到1m．参考数据：

sin44°≈0.69，cos44°≈0.72，tan44°≈0.97）

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．

【答案】如意雕塑的高度EF约为40米．

【分析】延长CD交EF于M，延长BG交EF于N，根据矩形的性质得到FM＝AC＝3米，FN＝AB＝4.1

米，CM＝BN，MN＝BC＝1.1米，解直角三角形即可得到结论．

【解答】解：延长CD交EF于M，延长BG交EF于N，

则FM＝AC＝3米，FN＝AB＝4.1米，CM＝BN，

∴MN＝BC＝1.1米，

设CM＝BN＝x米，

在Rt△BNE中，∠EBG＝44°，

∴EN＝BN•tan44°≈0.97x米，

在Rt△ECM中，∠ECD＝45°，

∴EM＝CM•tan45°＝x米，

∵MN＝EM﹣EN＝x﹣0.97x＝1.1米，

∴x≈36.7，

∴EM＝CM＝36.7（米），

∴EF＝EM+FM＝36.7+3≈40（米），

答：如意雕塑的高度EF约为40米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，正确地作出辅助线构造直角三角形是解题的关

键．

19．如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，AB是灯杆，CD是灯管支

架，灯管支架CD与灯杆间的夹角∠BDC＝60°．综合实践小组的同学想知道灯管支架CD的长度，他们

在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得

AE＝3m，EF＝9m（A，E，F在同一条直线上）．请解答下列问题：

（1）求灯管支架底部距地面高度AD的长（结果保留根号）；

（2）求灯管支架CD的长度（结果精确到0.1m，参考数据：）．

3≈1.73

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．

【答案】（1）；

（2）1.7m．33�

【分析】（1）在Rt△DAE中，根据特殊三角函数值的计算方法即可求解；

（2）如图所示，延长FC交AB于点G，可得△DGC是等边三角形，再计算出AF的长度，在Rt△AFG

中，根据特殊三角函数值的计算方法即可求解．

【解答】解：（1）在Rt△DAE中，∠AED＝60°，AE＝3m，

∴，

∴�灯�管=支�架�底⋅�部��距60地°=面3高度3(�AD)的长为．

33�

（2）如图所示，延长FC交AB于点G，

∵∠DAE＝90°，∠AFC＝30°，

∴∠DGC＝90°﹣∠AFC＝60°，

∵∠GDC＝60°，

∴∠DCG＝180°﹣∠GDC﹣∠DGC＝60°，

∴△DGC是等边三角形，

∴DC＝DG，

∵EF＝9m，AE＝3m，

∴AF＝AE+EF＝12m，

在Rt△AFG中，

，

3

∴𝐷=𝐵⋅𝑡�30°=12×3=43�，

∴�灯�管=支�架�=CD𝐷的−长�度�约=为413.7−m．33=3≈1.7�

【点评】本题主要考查解直角三角形的实际运用、等边三角形的判定与性质，掌握仰角俯角求直角三角形，

特殊三角函数值求边长是解题的关键．

20．如图，观测点C在东西走向的海岸线CN上，观测员发现某船在北偏东12°方向的A点，该船向正东

方向行驶10小时后，到达北偏东57°方向的B点．已知该船的行驶速度为40海里/时，求这艘船与海岸

线CN之间的距离．（结果精确到1海里，参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．

【答案】这艘船与海岸线CN之间的距离约为298海里．

【分析】作AD⊥BC于点D，BH⊥CN于点H，解直角三角形即可得到结论．

【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，BH⊥CN于点H，

∵∠MCD＝57°，∠MCA＝12°，AB∥CH，

∴∠ACB＝45°，∠BCH＝∠ABC＝33°，

∴AD＝CD＝sin∠ABC•AB＝400×sin33°，BD＝AB•cos33°＝400×cos33°，

∴BC＝CD+BD＝400×（sin33°+cos33°）≈522（海里），

则BH＝BC•sin33°≈298（海里），

答：这艘船与海岸线CN之间的距离约为298海里．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．

考点卡片

1．列代数式

（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．

（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义．列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如

“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．②分清数量关系．要正确列

代数式，只有分清数量之间的关系．③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，

先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起

来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，

数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称

什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．⑤正确进行代换．列代数式时，有时

需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．

【规律方法】列代数式应该注意的四个问题

1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．

2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或

者省略不写．

3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．

4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．

2．等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．

（2）等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】

③等