2025中考数学一轮复习第30讲 尺规作图（含解析+考点卡片）

2025年中考数学一轮复习

第30讲尺规作图

一．选择题（共10小题）

1．如图，已知线段AB＝6，小欣进行了如下操作：以线段AB的中点O为圆心，的长为半径画弧，

1

𝐴

再以点A为圆心，OA的长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则BC的2长为（）

A．1.5B．3C．D．6

2．如图，依据尺规作图痕迹，若∠ADE＝64°，∠B3AC3＝50°，则∠ACB的度数为（）

A．50°B．60°C．66°D．80°

3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝4．以点A为圆心，以AC长为半径作弧，交BC

于点D；再分别以点C和点D为圆心，以大于DC长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE交BC

1

于点F，则BF的长为（）2

A．5B．6C．7D．8

4．如图，在矩形ABCD中，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AD于点E，再分别以点C，E为圆

心，大于CE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交CD于点G．若AB＝8，BC＝10，则CG

1

长为（2）

A．5B．C．D．

106

．下列三幅图都是“作已知三角形的高”的尺规作图2过2程，其中作图正确的是（）

532

A．（1）（2）（3）B．（1）（2）C．（1）（3）D．（2）（3）

6．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于长为半径作弧，两

1

��

弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AD，∠B2＝25°，则下列结论中

错误的是（）

A．∠ACD＝65°B．∠ACB＝90°

C．∠CAD＝50°D．点D是△ABC的外心

7．综合实践课上，嘉嘉画出∠AOB，如图1，利用尺规作图作∠AOB的角平分线OP．其作图过程如下：

（1）如图2，在射线OA上取一点D（不与点O重合），作∠ADC＝∠AOB，且点C落在∠AOB内部；

（2）如图3，以点D为圆心，以DO长为半径作弧，交射线DC于点P，作射线OP，射线OP就是∠

AOB的平分线．

在嘉嘉的作法中，判断射线OP是∠AOB的平分线过程中不可能用到的依据是（）

A．同位角相等，两直线平行

B．两直线平行，内错角相等

C．等边对等角

D．到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上

8．已知直线PQ，嘉嘉和淇淇想画出PQ的平行线，他们的作法如下（图1和图2）：

嘉嘉：淇淇：

①作射线PC；

②在射线PC上任取点A，用尺规作与∠

①将直尺紧APQ相等的角，即∠CAB＝∠APQ；

贴直线PQ；③连接AB，则AB∥PQ．

②含60°角的三角板的顶点C落在直尺

上；

③使三角板斜边BC与量角器的60°刻度

线重合，则AB∥PQ．

下列说法正确的是（）

A．嘉嘉的作法正确，淇淇的作法不正确

B．嘉嘉的作法不正确，淇淇的作法正确

C．嘉嘉和淇淇的作法都正确

D．嘉嘉和淇淇的作法都不正确

9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于

点D，再分别以B、D为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于两点M、N，作直线MN分别交AB、

1

��

BC于点E、F，则线段BE的长为（2）

A．1B．C．2D．

35

10．如图，对于△ABC的已知2条件，老师按照下面步骤作图：2

（1）以A圆心，AB长为半径画弧；

（2）以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；

（3）连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．

小张等几个同学得出以下结论，其中正确的是（）

①△ABC≌△ADC；

②四边形ABCD是中心对称图形；

③AC是BD的中垂线；

④BD平分∠ABC．

A．①②B．②③C．①③D．③④

二．填空题（共5小题）

11．如图，在△ABC中，∠A＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于

1

��

M，N两点；作直线MN交AB于点E．若AB＝16，AC＝8，则BE长2为．

12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．

①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与AC，AB相交于点M1，M2；分别以M1，M2为圆心，大

于M1M2的长为半径画弧，两弧相交于点M；作射线AM．

1

②2以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与BC，AB相交于点N1，N2分别以N1，N2为圆心，大于N1N2

1

的长为半径画弧，两弧相交于点N；作射线BN，与射线AM相交于点P．2

③连接CP．

根据以上作图，若点P到直线AB的距离为1，则线段CP的长为．

13．如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数

是．

14．如图，▱ABCD的对角线交于点O．分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于E、

1

𝐴

F两点；作直线EF交AB于点G，连接OG．若AD＝5，则OG＝2．

15．如图，长方形纸片ABCD中，点E是CD的中点，连接AE．按以下步骤作图：①分别以点A和点E

为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，且直线MN刚好经过

1

𝐴

点B．若DE＝3，2则BC的长度是．

三．解答题（共5小题）

16．如图，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，点A，B位于格点处．

（1）分别在图1，图2中画出两个不全等的格点△ABC，使其内部（不含边）均有2个格点．

（2）任选一个你所画的格点△ABC，判断其是否为等腰三角形并说明理由．

17．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°．

（1）请仅用无刻度的直尺和圆规在△ABC内求作点D，使∠BCD＝∠CAD＝30°（保留作图痕迹，不

写作法）；

（2）在（1）的条件下，延长CD交AB于点H，若H为AB中点且AB＝8，求△ACD的面积．

18．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C．

（1）作∠ABF的平分线交AE于点D（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；

（2）根据（1）中作图，连接CD，求证：四边形ABCD是菱形．

19．如图，在▱ABCD中，BD是对角线．

（1）利用尺规作线段BD的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规

作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；

（2）试猜想线段BF与DE的数量关系，并加以证明．

20．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），点，，点C在线段OA上．

（1）读下面的语句，并完成作图（要求：尺规作�图(1，保3留)作图痕迹）

①过点C作CD∥OB交AB于点D，延长CD并截取CE＝OB；

②过点E作EF⊥CE，交x轴于点F．

（2）求证：△CEF≌△OBA．

2025年中考数学一轮复习

第30讲尺规作图

一．选择题（共10小题）

1．如图，已知线段AB＝6，小欣进行了如下操作：以线段AB的中点O为圆心，的长为半径画弧，

1

𝐴

再以点A为圆心，OA的长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则BC的2长为（）

A．1.5B．3C．D．6

【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．33

【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；推理能力．

【答案】C

【分析】连接OC，由作图知，AC＝OA＝OC＝OB，根据等边三角形的性质和直角三角形的判定和性质以

及勾股定理即可得到结论．

【解答】解：连接OC，

由作图知，AC＝OA＝OC＝OB，

∴△AOC是等边三角形，∠B＝∠BCO，

∴∠A＝∠AOC＝60°，

∴∠B+∠BCO＝∠AOC＝60°，

∴∠B＝30°，

∴∠ACB＝90°，

∵AB＝6，

∴ACAB6＝3，

11

∴BC=2=2×3，

22

故选：=C．𝐴−𝐵=3

【点评】本题考查了作图﹣基本作图，等边三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，正确地判断

出△ABC是直角三角形是解题的关键．

2．如图，依据尺规作图痕迹，若∠ADE＝64°，∠BAC＝50°，则∠ACB的度数为（）

A．50°B．60°C．66°D．80°

【考点】作图—基本作图．

【专题】三角形；尺规作图；几何直观．

【答案】C

【分析】由作图痕迹可知，所作为线段AB的垂直平分线和∠ABC的平分线，可得AD＝BD，∠ABD＝∠

CBD，则∠ABD＝∠BAD＝∠CBD．根据∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝64°，可得∠ABC＝64°，再结合三角

形内角和定理可得答案．

【解答】解：由作图痕迹可知，所作为线段AB的垂直平分线和∠ABC的平分线，

∴AD＝BD，∠ABD＝∠CBD，

∴∠ABD＝∠BAD＝∠CBD．

∵∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝64°，

∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝∠ABD+∠BAD＝64°，

∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝66°．

故选：C．

【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练

掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理是解答本题的关键．

3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝4．以点A为圆心，以AC长为半径作弧，交BC

于点D；再分别以点C和点D为圆心，以大于DC长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE交BC于

1

点F，则BF的长为（）2

A．5B．6C．7D．8

【考点】作图—基本作图；含30度角的直角三角形．

【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；推理能力．

【答案】B

【分析】根据直角三角形的性质和特殊角的三角函数即可得到结论．

【解答】解：由作图知，AF⊥BC，

∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝4．

∴ABAC＝4，

∵AF=⊥BC3，3

∴∠AFB＝90°，

∴，

33

故选��：=B．2𝐴=2×43=6

【点评】本题考查了作图﹣基本作图，解决本题的关键是理解作图过程．

4．如图，在矩形ABCD中，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AD于点E，再分别以点C，E为圆

心，大于CE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交CD于点G．若AB＝8，BC＝10，则CG长

1

为（）2

A．5B．C．D．

106

【考点】作图—基本作图；矩形的性质．22

32

【专题】矩形菱形正方形；尺规作图；几何直观；运算能力．

【答案】A

【分析】连接EG，由尺规作图过程可知，BE＝BC＝10，BF为∠EBC的平分线，可证明△BEG≌△BCG，

则CG＝EG，由矩形的性质及勾股定理可得AE6，DE＝4，设CG＝EG＝x，则DG＝8﹣x，

22

在Rt△DEG中，由勾股定理可列方程为x2＝42=+（�8﹣�x−）�2，�解=方程即可．

【解答】解：连接EG，

由尺规作图过程可知，BE＝BC＝10，BF为∠EBC的平分线，

∴∠EBG＝∠CBG，

∵BG＝BG，

∴△BEG≌△BCG（SAS），

∴CG＝EG，

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠A＝∠D＝90°，CD＝AB＝8，AD＝BC＝10，

∴AE6，

22

∴DE=＝A�D�﹣A−E�＝�4，=

设CG＝EG＝x，

则DG＝CD﹣CG＝8﹣x，

在Rt△DEG中，由勾股定理得，EG2＝DE2+DG2，

即x2＝42+（8﹣x）2，

解得x＝5，

∴CG长为5．

故选：A．

【点评】本题考查作图﹣基本作图、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是理

解题意，灵活运用所学知识解决问题．

5．下列三幅图都是“作已知三角形的高”的尺规作图过程，其中作图正确的是（）

A．（1）（2）（3）B．（1）（2）C．（1）（3）D．（2）（3）

【考点】作图—基本作图．

【专题】作图题；几何直观；应用意识．

【答案】A

【分析】根据作已知三角形的高的作图方法判定即可．

【解答】解：图（1）和图（2）中，由“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”可知，AJ垂直

平分GH，BC垂直平分AK，故作图正确；

图（3）中，依据“直径所对的圆周角等于90°”可知，BC所对的圆周角为直角，故作图正确；

故选：A．

【点评】本题主要考查了作图﹣基本作图，掌握利用尺规作图作高的方法是解决问题的关键．

6．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于长为半径作弧，两

1

��

弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AD，∠B＝25°，则下列结论中错

误的是（）

A．∠ACD＝65°B．∠ACB＝90°

C．∠CAD＝50°D．点D是△ABC的外心

【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；三角形的外接圆与外心．

【专题】作图题；推理能力．

【答案】C

【分析】由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，故BN＝CN，∠B＝∠C，故可得出∠CDA的度数，

根据CD＝AD可知∠DCA＝∠CAD，故可得出∠CAD的度数，进而可得出结论．

【解答】解：∵由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，

∴BD＝CD，∠B＝∠BCD，

∵∠B＝25°，

∴∠B＝∠BCD＝25°，

∴∠CDA＝25°+25°＝50°．

∵CD＝AD，

∴∠ACD＝∠CAD65°，

180°−50°

∴A正确，C错误；=2=

∵CD＝AD，BD＝CD，

∴CD＝AD＝BD，

∴点D为△ABC的外心，故D正确；

∵∠ACD＝65°，∠BCD＝25°，

∴∠ACB＝65°+25°＝90°，故B正确．

故选：C．

【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．

7．综合实践课上，嘉嘉画出∠AOB，如图1，利用尺规作图作∠AOB的角平分线OP．其作图过程如下：

（1）如图2，在射线OA上取一点D（不与点O重合），作∠ADC＝∠AOB，且点C落在∠AOB内部；

（2）如图3，以点D为圆心，以DO长为半径作弧，交射线DC于点P，作射线OP，射线OP就是∠AOB

的平分线．

在嘉嘉的作法中，判断射线OP是∠AOB的平分线过程中不可能用到的依据是（）

A．同位角相等，两直线平行

B．两直线平行，内错角相等

C．等边对等角

D．到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上

【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质．

【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．

【答案】D

【分析】观察作图步骤，写出证明过程即可得到答案．

【解答】解：观察作图步骤可知，证明射线OP是∠AOB的平分线的过程如下：

∵∠ADC＝∠AOB，

∴DC∥OB，

∴∠DPO＝∠POB，

∵DO＝DC，

∴∠DPO＝∠DOP，

∴∠POB＝∠DOP，

∴射线OP就是∠AOB的平分线，

在证明过程中，没有用到“到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上“，

故选：D．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握平行线性质和判定，等腰三角形性质等知识．

8．已知直线PQ，嘉嘉和淇淇想画出PQ的平行线，他们的作法如下（图1和图2）：

嘉嘉：淇淇：

①作射线PC；

②在射线PC上任取点A，用尺规作与∠

①将直尺紧APQ相等的角，即∠CAB＝∠APQ；

贴直线PQ；③连接AB，则AB∥PQ．

②含60°角的三角板的顶点C落在直尺

上；

③使三角板斜边BC与量角器的60°刻度

线重合，则AB∥PQ．

下列说法正确的是（）

A．嘉嘉的作法正确，淇淇的作法不正确

B．嘉嘉的作法不正确，淇淇的作法正确

C．嘉嘉和淇淇的作法都正确

D．嘉嘉和淇淇的作法都不正确

【考点】作图—基本作图；平行线的判定；平行线的性质．

【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；推理能力．

【答案】C

【分析】根据题意，嘉嘉利用同旁内角互补得出两直线平行，淇淇利用同位角相等得出两直线平行．

【解答】解：嘉嘉：斜边BC与量角器的60°刻度线重合，

∴∠BCQ＝60°

又∵直角板∠ACB＝30°，

∴∠ACQ＝90°，

∴∠A+∠ACQ＝180°，

∴AB∥PQ，

则嘉嘉的作法正确，

淇淇：∵∠CAB＝∠APQ，

∴AB∥PQ，

则淇淇的作法正确，

故选：C．

【点评】本题主要考查了作图—基本作图，平行线的判定，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识的

灵活运用．

9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于

点D，再分别以B、D为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于两点M、N，作直线MN分别交AB、

1

��

BC于点E、F，则线段BE的长为（2）

A．1B．C．2D．

35

【考点】作图—基本作图；线2段垂直平分线的性质．2

【专题】线段、角、相交线与平行线；尺规作图；几何直观．

【答案】C

【分析】先利用勾股定理求出及做法求出AB，BD，BE＝DE，即可得的答案．

【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，

∴AB10．

22

∵以点=A�为�圆+心�、�A=C长为半径画弧，交AB于点D，

∴AD＝AC＝6，BD＝AB﹣AD＝4，

∵分别以B、D为圆心、大于BD的长为半径画弧，两弧交于M，N，作直线MN，

∴MN是线段BD的垂直平分线．

∴BE＝DE＝2．

故选：C．

【点评】本题主要考查了基本作图，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的做法是解决本题的关

键．

10．如图，对于△ABC的已知条件，老师按照下面步骤作图：

（1）以A圆心，AB长为半径画弧；

（2）以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；

（3）连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．

小张等几个同学得出以下结论，其中正确的是（）

①△ABC≌△ADC；

②四边形ABCD是中心对称图形；

③AC是BD的中垂线；

④BD平分∠ABC．

A．①②B．②③C．①③D．③④

【考点】作图—复杂作图；中心对称图形；全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质．

【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；图形的全等；平移、旋转与对称；几何直观．

【答案】C

【分析】利用作法可判断AC垂直平分BD，则可对①③进行判断；利用“SSS”可对③进行判断；通过

说明∠ABD≠∠CBD可对④进行判断．

【解答】解：利用AB＝AC，CD＝CB，AC为公共边，所以△ABC≌△ADC，所以①正确；

由作法得AB＝AD，CB＝CD，则AC垂直平分BD，点B与点D关于点E对称，而点A与点C不关于E

对称，所以②错误，③正确；

由于AD与BC不平行，则∠ADB≠∠CBD，而∠ADB＝∠ABD，则∠ABD≠∠CBD，所以④错误．

所以正确的是①③．

故选：C．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，中心对称图形，垂直平分线的性质以及全等三角形的判定，掌握相

关定义是解答本题的关键．

二．填空题（共5小题）

11．如图，在△ABC中，∠A＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于

1

��

M，N两点；作直线MN交AB于点E．若AB＝16，AC＝8，则BE长为210．

【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．

【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；推理能力．

【答案】10．

【分析】连接CE，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理即可得到结论．

【解答】解：连接CE，

由作图知，直线MN是线段BC的垂直平分线，

∴CE＝BE，

设CE＝BE＝x，

∵∠A＝90°，AE＝16﹣x，AC＝8，

22

∴BE＝CE8+(16−x，�)

2222

解得x＝10=，𝐵+𝐴=8+(16−�)=

∴BE＝10，

故答案为：10．

【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是证明CE＝BE．

12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．

①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与AC，AB相交于点M1，M2；分别以M1，M2为圆心，大于

M1M2的长为半径画弧，两弧相交于点M；作射线AM．

1

②2以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与BC，AB相交于点N1，N2分别以N1，N2为圆心，大于N1N2

1

的长为半径画弧，两弧相交于点N；作射线BN，与射线AM相交于点P．2

③连接CP．

根据以上作图，若点P到直线AB的距离为1，则线段CP的长为．

2

【考点】作图—复杂作图；点到直线的距离．

【专题】作图题；几何直观；推理能力．

【答案】．

【分析】过2P点作PD⊥AB于D点，PE⊥BC于E点，如图，根据点到直线的距离得到PE＝1，利用基本

作图得到PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，则根据角平分线的性质得到PF＝PE＝1，∠PCF＝45°，从而

可判断△PCF为等腰直角三角形，所以PCPF．

【解答】解：过P点作PD⊥AB于D点，P=E⊥2BC于E点，如图，则PE＝1，

由作法得PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，

∴PF＝PE＝1，∠PCF＝45°，

∴△PCF为等腰直角三角形，

∴PCPF．

故答案=为2：=．2

2

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何

图形的性质和基本作图方法．也考查了角平分线的性质．

13．如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是

．

10

3

【考点】作图—复杂作图；数轴．

【专题】实数；线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力．

【答案】．

10

【分析】设3点P表示的数为x，根据平行线分线段成比例可得，，求出x的值，即可得答案．

�1

=

【解答】解：设点P表示的数为x，10−�2

根据平行线分线段成比例可得，，

�1

=

解得x，10−�2

10

=

经检验：3x是原方程的解且符合题意，

10

=

∴点P表示的3数是．

10

故答案为：．3

10

【点评】本题3考查数轴、平行线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

14．如图，▱ABCD的对角线交于点O．分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于E、

1

𝐴

F两点；作直线EF交AB于点G，连接OG．若AD＝5，则OG＝2．

5

2

【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质．

【专题】作图题；几何直观；推理能力．

【答案】．

5

【分析】利2用基本作图可判断EF垂直平分AB，则AG＝BG，再根据平行四边形的性质得到OB＝OD，然

后根据三角形中位线性质求解．

【解答】解：由作法得EF垂直平分AB，

∴AG＝BG，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴OB＝OD，

∴OG为△ABD的中位线，

∴OGAD．

15

==

故答案为2：．2

5

【点评】本题2考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分

线的性质和平行四边形的性质．

15．如图，长方形纸片ABCD中，点E是CD的中点，连接AE．按以下步骤作图：①分别以点A和点E

为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，且直线MN刚好经过点B．若

1

𝐴

DE＝3，则BC2的长度是3．

3

【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．

【专题】作图题；几何直观；推理能力．

【答案】见试题解答内容

【分析】先利用矩形的性质得到AB＝CD＝6，∠C＝90°，再利用基本作图得MN垂直平分AE，则根据

线段垂直平分线的性质得到BE＝BA＝6，然后利用勾股定理可计算出BC的长．

【解答】解：∵点E是CD的中点，

∴CE＝DE＝3，

∵四边形ABCD为矩形，

∴AB＝CD＝6，∠C＝90°，

由作法得MN垂直平分AE，

∴BE＝BA＝6，

在Rt△BCE中，BC3．

2222

故答案为：3．=��−��=6−3=3

3

【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分

线的性质和矩形的性质．

三．解答题（共5小题）

16．如图，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，点A，B位于格点处．

（1）分别在图1，图2中画出两个不全等的格点△ABC，使其内部（不含边）均有2个格点．

（2）任选一个你所画的格点△ABC，判断其是否为等腰三角形并说明理由．

【考点】作图—应用与设计作图；全等三角形的判定；等腰三角形的判定．

【专题】网格型；几何直观．

【答案】（1）见解析；

（2）图1，图2中的三角形ABC都为等腰三角形，理由见解析．

【分析】（1）根据全等三角形的判定结合勾股定理以及网格作出图形即可；

（2）根据勾股定理以及等腰三角形的判定即可求解．

【解答】解：（1）图1，图2中画出两个不全等的格点△ABC如图所示；

（2）图1，图2中的三角形ABC都为等腰三角形，理由如下：

如图1，∵ACBC，

22

∴三角形ABC=为等1腰+三2角=形；

如图2，∵BC，

22

∴三角形ABC=为等3腰+三1角=形�．�

【点评】本题考查了作图﹣应用设计作图，全等三角形的判定，等腰三角形的判定，熟记全等三角形的判

定，等腰三角形的判定是解题的关键．

17．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°．

（1）请仅用无刻度的直尺和圆规在△ABC内求作点D，使∠BCD＝∠CAD＝30°（保留作图痕迹，不写

作法）；

（2）在（1）的条件下，延长CD交AB于点H，若H为AB中点且AB＝8，求△ACD的面积．

【考点】作图—复杂作图；三角形的面积；直角三角形的性质；勾股定理．

【专题】作图题；三角形；解直角三角形及其应用；几何直观；推理能力．

【答案】（1）见解析；

（2）．

【分析2】（31）先作AC的垂直平分线，再以AC的中点O为圆心，AO为半径画圆，再以点C为圆心，CO

为半径画圆，交O于点D，连接AD、CD；

⊙

（2）由（1）易得∠ACH＝60°，∠ADC＝90°由直角三角形斜边中线的性质可得，

1

��=𝐶=��=𝐴=4

证明△ACH是等边三角形，可得，根据勾股定理求出AD的长度，即可计算2△ACD

1

的面积．��=��=2��=2

【解答】解：（1）如图，点D即为所求，

（2）由（1）可得∠BCD＝∠CAD＝30°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACH＝60°，∠ADC＝180°﹣∠ACD﹣∠CAD＝90°

∵H为AB中点且∠ACB＝90°，AB＝8，

∴，

1

∵C��H＝=A�H�，=∠�A�C=H＝2�60�°=，4

∴△ACH是等边三角形，AC＝CH＝4，

∵∠ADC＝90°，

∴，

1

∴��=��=2��=2，

22

𝐵−��

∴△𝐵AC=D的面积为C=D2•AD3＝2．

1

3

【点评】本题考查了2尺规作图，勾股定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，综合运

用以上知识是解题的关键．

18．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C．

（1）作∠ABF的平分线交AE于点D（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；

（2）根据（1）中作图，连接CD，求证：四边形ABCD是菱形．

【考点】作图—基本作图；菱形的判定．

【专题】作图题；几何直观；推理能力．

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）利用基本作图作∠ABF的平分线；

（2）利用角平分线和平行线的性质证明∠ACB＝∠BAC，则AB＝BC，同理可证AB＝AD，所以AD＝BC，

于是可判断四边形ABCD是平行四边形，然后利用AB＝BC可判断四边形ABCD是菱形．

【解答】（1）解：如图，射线BD为所求；

（2）证明：∵AE∥BF，

∴∠DAC＝∠ACB，

∵AC平分∠BAE，

∴∠DAC＝∠BAC．

∴∠ACB＝∠BAC，

∴AB＝BC，

同理可证AB＝AD，

∴AD＝BC．

又∵AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

又∵AB＝BC，

∴四边形ABCD是菱形．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了菱形的

性质．

19．如图，在▱ABCD中，BD是对角线．

（1）利用尺规作线段BD的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作

图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；

（2）试猜想线段BF与DE的数量关系，并加以证明．

【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质．

【专题】多边形与平行四边形；尺规作图；几何直观．

【答案】（1）见解答．

（2）BF＝DE，理由见解答．

【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可．

（2）根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质可得结论．

【解答】解：（1）如图，直线EF即为所求．

（2）BF＝DE．

理由：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，OB＝OD，

∴∠OBF＝∠ODE，∠BFO＝∠DEO，

∴△BOF≌△DOE（AAS），

∴BF＝DE．

【点评】本题考查作图—基本作图、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题

意，灵活运用所学知识解决问题．

20．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），点，，点C在线段OA上．

（1）读下面的语句，并完成作图（要求：尺规作图�，(1保留作3)图痕迹）

①过点C作CD∥OB交AB于点D，延长CD并截取CE＝OB；

②过点E作EF⊥CE，交x轴于点F．

（2）求证：△CEF≌△OBA．

【考点】作图—复杂作图；坐标与图形性质；全等三角形的判定．

【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；尺规作图；几何直观．

【答案】（1）①见解答．

②见解答．

（2）见解答．

【分析】（1）①结合平行线的判定，作∠ACD＝∠AOB，交AB于点D，则CD即为所求．以点C为圆心，

OB的长为半径画弧，交CD的延长线于点E，则CE即为所求．

②根据垂线的作图方法作图即可．

（2）过点B作BG⊥OA于点G，则OA＝4，OG＝1，BG，AG＝OA﹣OG＝3．由勾股定理及勾股定

理的逆定理可得∠ABO＝90°，则∠ABO＝∠FEC．由平行=线3的性质可得∠FCE＝∠AOB，再结合全等三

角形的判定可得结论．

【解答】（1）解：①如图，作∠ACD＝∠AOB，交AB于点D，

则CD∥OB，

则CD即为所求．

以点C为圆心，OB的长为半径画弧，交CD的延长线于点E，

则CE即为所求．

②如图，EF即为所求．

（2）证明：过点B作BG⊥OA于点G．

∵A（4，0），B（1，），

∴OA＝4，OG＝1，BG3，

∴AG＝OA﹣OG＝3．=3

在Rt△OBG中，由勾股定理得，OB2，

2222

=��+��=1+(3)=

在Rt△ABG中，由勾股定理得，AB，

2222

∴OA2＝OB2+AB2，=��+��=3+(3)=23

∴∠ABO＝90°．

∵EF⊥CE，

∴∠FEC＝90°，

∴∠ABO＝∠FEC，

∵CD∥OB，

∴∠FCE＝∠AOB，

∵CE＝OB，

∴△CEF≌△OBA（ASA）．

【点评】本题考查作图—复杂作图、勾股定理、勾股定理的逆定理、平行线的判定与性质、全等三角形的

判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

考点卡片

1．数轴

（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．

数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．

（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方

向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）

（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．

2．坐标与图形性质

1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到

y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的

符号．

2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问

题的基本方法和规律．

3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．

3．点到直线的距离

（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．

（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出

或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．

4．平行线的判定

（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，

两直线平行．

（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，

两直线平行．

（3）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角

互补，两直线平行．

（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．

（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．

5．平行线的性质

1、平行线性质定理

定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．

定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．

定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．

2、两条平行线之间的距离处处相等．

6．三角形的面积

（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高．

1

（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．=2×

7．全等三角形的判定

（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．

（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．

（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．

（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．

（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．

方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应

相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹

边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．

8．角平分线的性质

角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，

有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵

C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

9．线段垂直平分