离散数学课后试题及答案

离散数学课后试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题3分，共30分）

1.下列哪个集合是无限集合？

A.{1,2,3,...}

B.{1,2,3,4}

C.{1,2,3}

D.{1,2,3,4,5,...}

2.设集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∩B=？

A.{1,2,3}

B.{3}

C.{1,2,4,5}

D.空集

3.设集合A={x|x∈N且x>5}，集合B={x|x∈N且x<5}，则A∪B=？

A.{x|x∈N}

B.{x|x∈N且x>5}

C.{x|x∈N且x<5}

D.空集

4.设函数f(x)=x^2，则f(3)=？

A.6

B.9

C.12

D.15

5.设关系R={(1,2),(2,3),(3,4)}，则R的逆关系R^(-1)=？

A.{(1,2),(2,3),(3,4)}

B.{(2,1),(3,2),(4,3)}

C.{(1,3),(2,4),(3,2)}

D.{(2,1),(3,2),(4,3),(1,3),(2,4)}

6.设关系R={(1,2),(2,3),(3,4)}，则R的等价关系R^(-1)=？

A.{(1,2),(2,3),(3,4)}

B.{(2,1),(3,2),(4,3)}

C.{(1,3),(2,4),(3,2)}

D.{(2,1),(3,2),(4,3),(1,3),(2,4)}

7.设集合A={1,2,3,4}，集合B={x|x∈N且x<5}，则A×B=？

A.{(1,1),(2,1),(3,1),(4,1)}

B.{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}

C.{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,3),(3,4)}

D.{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(2,4)}

8.设集合A={1,2,3,4}，集合B={x|x∈N且x<5}，则A-B=？

A.{1,2,3,4}

B.{4}

C.{1,2,3}

D.空集

9.设关系R={(1,2),(2,3),(3,4)}，则R的逆关系R^(-1)=？

A.{(1,2),(2,3),(3,4)}

B.{(2,1),(3,2),(4,3)}

C.{(1,3),(2,4),(3,2)}

D.{(2,1),(3,2),(4,3),(1,3),(2,4)}

10.设关系R={(1,2),(2,3),(3,4)}，则R的等价关系R^(-1)=？

A.{(1,2),(2,3),(3,4)}

B.{(2,1),(3,2),(4,3)}

C.{(1,3),(2,4),(3,2)}

D.{(2,1),(3,2),(4,3),(1,3),(2,4)}

二、填空题（每题3分，共30分）

1.设集合A={1,2,3}，集合B={x|x∈N且x<5}，则A∪B=_________。

2.设集合A={1,2,3,4}，集合B={x|x∈N且x<5}，则A-B=_________。

3.设关系R={(1,2),(2,3),(3,4)}，则R的逆关系R^(-1)=_________。

4.设关系R={(1,2),(2,3),(3,4)}，则R的等价关系R^(-1)=_________。

5.设函数f(x)=x^2，则f(3)=_________。

6.设集合A={1,2,3,4}，集合B={x|x∈N且x<5}，则A×B=_________。

7.设集合A={1,2,3,4}，集合B={x|x∈N且x<5}，则A∩B=_________。

8.设关系R={(1,2),(2,3),(3,4)}，则R的逆关系R^(-1)=_________。

9.设关系R={(1,2),(2,3),(3,4)}，则R的等价关系R^(-1)=_________。

10.设函数f(x)=x^2，则f(3)=_________。

三、判断题（每题2分，共20分）

1.设集合A={1,2,3}，集合B={x|x∈N且x<5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。（）

2.设集合A={1,2,3,4}，集合B={x|x∈N且x<5}，则A-B={4}。（）

3.设关系R={(1,2),(2,3),(3,4)}，则R的逆关系R^(-1)={(2,1),(3,2),(4,3)}。（）

4.设关系R={(1,2),(2,3),(3,4)}，则R的等价关系R^(-1)={(2,1),(3,2),(4,3)}。（）

5.设函数f(x)=x^2，则f(3)=9。（）

6.设集合A={1,2,3,4}，集合B={x|x∈N且x<5}，则A×B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}。（）

7.设集合A={1,2,3,4}，集合B={x|x∈N且x<5}，则A∩B={1,2,3,4}。（）

8.设关系R={(1,2),(2,3),(3,4)}，则R的逆关系R^(-1)={(2,1),(3,2),(4,3)}。（）

9.设关系R={(1,2),(2,3),(3,4)}，则R的等价关系R^(-1)={(2,1),(3,2),(4,3)}。（）

10.设函数f(x)=x^2，则f(3)=9。（）

四、简答题（每题5分，共25分）

1.简述集合论的基本概念，包括集合、元素、子集、真子集、集合的运算（并集、交集、差集）等。

2.解释什么是关系，以及关系的性质（自反性、对称性、传递性）。

3.描述函数的定义和性质，包括函数的定义域、值域、像、原像等。

4.解释什么是图，以及图的表示方法（邻接矩阵、邻接表）。

5.简述图的基本概念，如顶点、边、路径、环、连通性等。

五、证明题（每题10分，共20分）

1.证明：对于任意两个集合A和B，如果A∩B=∅，则A和B互不相交。

2.证明：对于任意集合A，A与其补集A'的并集等于全集U。

六、综合应用题（每题15分，共30分）

1.设集合A={1,2,3,4,5}，集合B={x|x∈N且x<6}，求A∪B、A-B、A∩B、A×B。

2.设关系R={(1,2),(2,3),(3,4)}，求R的逆关系R^(-1)和等价关系R^(-1)。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析思路：

1.答案：A

解析思路：无限集合包含无穷多个元素，选项A表示自然数集合，是无限集合。

2.答案：B

解析思路：A∩B表示集合A和集合B的交集，即同时属于A和B的元素，只有元素3同时属于两个集合。

3.答案：A

解析思路：A∪B表示集合A和集合B的并集，即属于A或B的元素，包含所有自然数。

4.答案：B

解析思路：直接计算f(3)=3^2=9。

5.答案：B

解析思路：R^(-1)表示关系R的逆关系，交换关系中的元素，得到逆关系{(2,1),(3,2),(4,3)}。

6.答案：D

解析思路：R^(-1)表示关系R的逆关系，交换关系中的元素，得到逆关系{(2,1),(3,2),(4,3)}，同时包含原关系中的元素。

7.答案：D

解析思路：A×B表示集合A和集合B的笛卡尔积，包含所有可能的有序对。

8.答案：B

解析思路：A-B表示集合A中不属于B的元素，即除了4以外的所有自然数。

9.答案：B

解析思路：R^(-1)表示关系R的逆关系，交换关系中的元素，得到逆关系{(2,1),(3,2),(4,3)}。

10.答案：D

解析思路：R^(-1)表示关系R的逆关系，交换关系中的元素，得到逆关系{(2,1),(3,2),(4,3)}，同时包含原关系中的元素。

二、填空题答案及解析思路：

1.答案：{1,2,3,4,5}

解析思路：A∪B表示集合A和集合B的并集，包含所有属于A或B的元素。

2.答案：{1,2,3}

解析思路：A-B表示集合A中不属于B的元素，即除了4以外的所有自然数。

3.答案：{(2,1),(3,2),(4,3)}

解析思路：R^(-1)表示关系R的逆关系，交换关系中的元素。

4.答案：{(2,1),(3,2),(4,3)}

解析思路：R^(-1)表示关系R的逆关系，交换关系中的元素。

5.答案：9

解析思路：直接计算f(3)=3^2=9。

6.答案：{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,3),(3,4)}

解析思路：A×B表示集合A和集合B的笛卡尔积，包含所有可能的有序对。

7.答案：{1,2,3,4}

解析思路：A∩B表示集合A和集合B的交集，即同时属于A和B的元素。

8.答案：{(2,1),(3,2),(4,3)}

解析思路：R^(-1)表示关系R的逆关系，交换关系中的元素。

9.答案：{(2,1),(3,2),(4,3)}

解析思路：R^(-1)表示关系R的逆关系，交换关系中的元素。

10.答案：9

解析思路：直接计算f(3)=3^2=9。

三、判断题答案及解析思路：

1.错误

解析思路：A∪B包含元素1，但不在集合B中，所以A和B不一定互不相交。

2.错误

解析思路：A-B只包含4，不包含1，2，3，所以A-B不等于A。

3.正确

解析思路：R^(-1)表示关系R的逆关系，交换关系中的元素。

4.正确

解析思路：R^(-1)表示关系R的逆关系，交换关系中的元素。

5.正确

解析思路：直接计算f(3)=3^2=9。

6.正确

解析思路：A×B表示集合A和集合B的笛卡尔积，包含所有可能的有序对。

7.正确

解析思路：A∩B表示集合A和集合B的交集，即同时属于A和B的元素。

8.正确

解析思路：R^(-1)表示关系R的逆关系，交换关系中的元素。

9.正确

解析思路：R^(-1)表示关系R的逆关系，交换关系中的元素。

10.正确

解析思路：直接计算f(3)=3^2=9。

四、简答题答案及解析思路：

1.答案：集合论的基本概念包括集合、元素、子集、真子集、集合的运算（并集、交集、差集）等。集合是由元素组成的整体，元素是集合的组成部分，子集是集合的一部分，真子集是子集且不等于原集合，集合的运算包括并集、交集、差集等。

2.答案：关系是集合的元素之间的一种二元关系，具有自反性、对称性和传递性。自反性表示对于集合A中的任意元素x，xRx成立；对称性表示如果xRy，则yRx成立；传递性表示如果xRy且yRz，则xRz成立。

3.答案：函数是集合之间的映射关系，具有定义域、值域、像、原像等性质。定义域是函数输入元素的集合，值域是函数输出元素的集合，像是指定义域中的元素通过函数映射后得到的值，原像是指函数输出值对应的定义域中的元素。

4.答案：图是由顶点和边组成的图形，表示元素之间的联系。图的表示方法有邻接矩阵和邻接表。邻接矩阵是一个二维数组，表示图中任意两个顶点之间的连接关系；邻接表是一个表结构，每个表项包含一个顶点和与该顶点相连的所有顶点。

5.答案：图的基本概念包括顶点、边、路径、环、连通性等。顶点是图中的节点，边是连接顶点的线段，路径是连接两个顶点的边的序列，环是起点和终点相同的路径，连通性表示图中的任意两个顶点之间都存在路径。

五、证明题答案及解析思路：

1.答案：证明如下：假设A和B互不相交，即A∩B=∅。如果A∩B≠∅，则存在元素x同时属于A和B，这与假设矛盾。因此，A和B互不相交。

2.答案：证明如下：设全集U包含所有可能的元素，A与A'的并集包含A中的所有元素和A'中的所有元素。由于A'是A的补集，A'中的元素不属于A，所以A与A'的并集等于全集U。

六、综合应用题答案及解析思路：

1.答案：A∪B={1,2,3,4,5}，A-B={1,2,3}，A∩B={1,2,3,4}