【中考考点基础练】专题七 二次函数综合题 2025年中考数学总复习（福建）（含答案）

专题七二次函数综合题1.如图,二次函数y=12x2(1)求该二次函数的解析式.(2)P是抛物线在第四象限上的任意一点,当△BCP的面积最大时,BC边上的高PN的值为.2.(2024·泉州模拟)已知抛物线y=ax2+bx-2过点(2,-3),与x轴交于点A,B(点A在点B的左边),与y轴交于点C,且对于该二次函数图象上的任意不同两点M(x1,y1),N(x2,y2)都满足:当x1<x2<32时,(x1-x2)(y1-y2)<0;当32<x1<x2时,x1-x(1)求抛物线的解析式.(2)若P是抛物线对称轴上一点,且∠BPC=90°,求点P的坐标.(3)若Q是抛物线上一点,且在直线BC的下方,连接AQ交BC于点D,过点Q作QE∥AC交BC于点E.记△QDE,△ACD的面积分别为S1,S2,判断S13.(2024·厦门二模)已知顶点为D的抛物线y=ax2+c过(2,-3)和(0,-2).(1)求抛物线的函数表达式.(2)直线AB:y=kx-4(k<0)交抛物线于点A和点B(点A在点B的左边),交y轴于点C.直线AD交x轴于点P.①若△POD的面积是△ADC面积的2倍,求k的值;②连接BP,过点B作BQ⊥AP,交y轴于点Q,用等式表示CQ和BP的数量关系,并证明.4.如图,已知直线l:y=kx+4与抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)交于点A,B(1,3),且点A在x轴上,P是y轴上一动点,连接PA,PB.(1)求k,a,b的值.(2)当PA+PB取最小值时,求点P的坐标.(3)若直线x=m交直线l于点C(点C在线段AB上,不与端点重合),交抛物线y=ax2+bx+2于点D.设W=OC2+CD,求W关于m的函数关系式,并求出W的最小值.参考答案1.解析:(1)把(-1,0)和(0,-3)代入得12-b+c=0,∴二次函数的解析式为y=12x2-5(2)95提示:令y=0,则0=12x2-52x-3,解得x1=-1,x∴点B的坐标为(6,0),∴BC=OB2+OC2设直线BC的解析式为y=mx+n,代入得n=−3,6m+n=0,解得∴直线BC的解析式为y=12如图,过点P作PD⊥x轴交BC于点D,设点P的坐标为x,12∴PD=12x-3-12x2-∴S△PBC=12PD·OB=12×6-12x2+3x∴S△PBC的最大值为272∴PN=2S△PBCBC=2.解析:(1)∵当x1<x2<32时,(x1-x2)(y1-y2)<0;当32<x1<x2时,(x1-x2)(y1-y∴在y=ax2+bx-2中,当x<32时,y随x增大而减小,当x>3∴抛物线y=ax2+bx-2的对称轴为直线x=32∴-b2a=3∵抛物线y=ax2+bx-2过(2,-3),∴4a+2b-2=-3,②由①②解得a=∴抛物线的解析式为y=12x2-3(2)在y=12x2-32x-2中,令y=0,得0=12x2解得x=-1或x=4,∴A(-1,0),B(4,0).在y=12x2-3∴C(0,-2).设P32∵∠BPC=90°,∴BP2+CP2=BC2,∴4−322+t2+322+(t+2)2解得t=19-22或t=∴点P的坐标为32,19(3)S1如图,过点Q作QK∥y轴交BC于点K,过点A作AT∥y轴交BC的延长线于点T.设Qm,由B(4,0),C(0,-2)得直线BC的解析式为y=12∴Km,∴KQ=12m-2-12m2-在y=12x-2中,令x=-1得y=-5∴T-1,-5∴AT=52∵AT∥y轴∥KQ,∴△QDK∽△ADT,∴DQAD=KQAT=-1∵QE∥AC,∴△QED∽△ACD,∴S1S2=DQ∵-m2+4m5=-15∴当m=2时,-m2+4m∵点Q在直线BC的下方,即0<m<4,∴0<-m2+4m∴当Q(2,-3)时,S1S2∴S1S23.解析:(1)∵抛物线过(0,-2),∴c=-2,∴y=ax2-2.又∵抛物线过(2,-3),∴4a-2=-3,a=-14∴y=-14x2(2)①由题得D(0,-2),C(0,-4),∴CD=OD=2.如图1,作AM⊥y轴于点M.∵△POD的面积是△ADC面积的2倍,∴OP=2AM.∵∠AMD=∠POD=90°,∠ADM=∠PDO,∴△ADM∽△PDO,∴AMOP=DMDO,即12∴DM=1,∴OM=1+2=3,∴yA=yM=-3,∴-14xA∴A(-2,-3),∴-2k-4=-3,∴k=-12②由y=−14x2-2,y=kx-4,∴xA·xB=-8,∴xB=-8x∵△ADM∽△PDO,∴AMOP=DM∴-xAOP解得OP=-8x∴P-8∴xP=xB,∴BP∥y轴,∴BP=0--14x如图2,作BN⊥y轴于点N.∵BQ⊥AP,∠POD=90°,∴∠BQN+∠PDO=∠OPD+∠PDO=90°,∴∠BQN=∠OPD.∴tan∠BQN=tan∠OPD.∵tan∠OPD=DOPO=2xPtan∠BQN=BNQN=xByQ-∴2xB=∴yQ=14∴CQ=14xB∴BP=CQ.4.解析:(1)由题意知点B(1,3)在直线l上,∴k+4=3,∴k=-1,∴直线l的表达式为y=-x+4.对于y=-x+4,令y=0,则x=4,∴点A的坐标为(4,0).将A(4,0),B(1,3)分别代入y=ax2+bx+2,得16a+4b+2=0,解得a=−(2)设点B关于y轴的对称点为点B',则点B'的坐标为(-1,3).连接AB',则AB'与y轴的交点即为PA+PB取得最小值时点P的位置,易求得直线AB'的表达式为y=-35x+12对于y=-35x+125,当x=0时,y=故当PA+PB取得最小值时点P的坐标是0,125.(3)由(1)知二次函数的关系式为y=-12x2+3根据题意可得C(m,-m+4),D(m,-12m2+3∴OC2=m2+(-m+4)2=2m2-8m+16.∵点C在线段AB上(