2018年数学（北师大版选修2-2）练习模块综合测评

模块综合测评(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．设复数z＝1＋eq\f(2,i)(其中i为虚数单位)，则z2＋3eq\o(z,\s\up6(－))的虚部为()A．2i B．0C．－10 D．2解析：∵z＝1＋eq\f(2,i)＝1－2i，∴z2＝(1－2i)2＝－3－4i，eq\o(z,\s\up6(－))＝1＋2i.∴z2＋3eq\o(z,\s\up6(－))＝－3－4i＋3(1＋2i)＝2i.∴虚部为2.答案：D2．观察一列数的特点：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，则第100项是()A．10 B．13C．14 D．100解析：∵eq\f(1＋13×13,2)＝91，∴从第92项开始为14，共有14项．∴第100项为14.答案：C3．已知i是虚数单位，且z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))2014＋2i的共轭复数为eq\o(z,\s\up6(－))，则z·eq\o(z,\s\up6(－))＝()A．5 B．1C．eq\r(5) D．9解析：z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))2014＋2i＝(－i)2014＋2i＝－1＋2i，故z·eq\o(z,\s\up6(－))＝(－1＋2i)(－1－2i)＝5.答案：A4．数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A．3n－2 B．n2C．3n－1 D．4n－3解析：计算出a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.答案：B5．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接受方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b，2b＋c，2c＋3d,4d，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接受方收到密文14,9,23,28时，解密得到的明文为A．4,6,1,7 B．7,6,1,4C．6,4,1,7 D．1,6,4,7解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2b＝14，,2b＋c＝9，,2c＋3d＝23，,4d＝28，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝6，,b＝4，,c＝1，,d＝7.))故选C．答案：C6．(2017·北京卷)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)解析：(1－i)(a＋i)＝a＋i－ai－i2＝a＋1＋(1－a)i.由复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1＜0，,1－a＞0.))解得a＜－1.答案：B7．由直线x＝－eq\f(π,6)，x＝eq\f(7π,6)，y＝0与曲线y＝sinx所围成的封闭图形的面积为()A．2－eq\r(3) B．4－eq\r(3)C．2＋eq\r(3) D．4＋eq\r(3)解析：如下图，封闭图形的面积为S＝－sinxdx＋eq\a\vs4\al(\i\in(0,π,))sinxdx－sinxdx＝－2sinxdx＋eq\a\vs4\al(\i\in(0,π,))sinxdx＝－2(－cosx)＋(－cosx)eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(π,0)＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos0－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))))－(cosπ－cos0)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(3),2)))－(－1－1)＝4－eq\r(3).答案：B8．已知α，β是三次函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)ax2＋2bx(a，b∈R)的两个极值点，且α∈(0,1)，β∈(1,2)，则eq\f(b－3,a－2)的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,5))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，1))C．(1，＋∞) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,5)))∪(1，＋∞)解析：因为函数有两个极值，所以f′(x)＝0有两个不同的根，即Δ>0.又f′(x)＝x2＋ax＋2b，α∈(0,1)，β∈(1，2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′0>0，,f′1<0，,f′2>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b>0，,1＋a＋2b<0，,4＋2a＋2b>0.))eq\f(b－3,a－2)的几何意义是动点P(a，b)到定点A(2,3)两点连线的斜率．作出可行域如图，由图像可知当直线经过AB时斜率最小，此时斜率为k＝eq\f(1－3,－3－2)＝eq\f(2,5)；当直线经过AD时斜率最大，此时斜率为k＝eq\f(0－3,－1－2)＝1.故eq\f(2,5)<eq\f(b－3,a－2)<1.答案：B9．定义在R上的函数y＝f(x)满足f(4－x)＝f(x)，(x－2)f′(x)<0，若x1<x2，且x1＋x2>4，则()A．f(x1)<f(x2)B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．f(x1)与f(x2)的大小不确定解析：由f(4－x)＝f(x)，得函数f(x)的图像关于直线x＝2对称．由(x－2)f′(x)<0，得函数f(x)在(－∞，2)上是增加的，在(2，＋∞)上是减少的．故当x2>x1>2时，f(x1)>f(x2)；当x2>2>x1时，由x1＋x2>4，得x2>4－x1>2.故f(4－x1)＝f(x1)>f(x2)．综上，f(x1)>f(x2)．答案：B10．若直线x＋y＋m＝0(m∈R)不可能是曲线f(x)＝ax2＋lnx的切线，则实数a的取值范围是()A．a≤0 B．a≥－eq\f(1,8)C．a<－eq\f(1,8) D．a≥0解析：由题意，得f′(x)＝2ax＋eq\f(1,x)(x>0)，且直线x＋y＋m＝0(m∈R)的斜率为－1.由对任意实数m直线x＋y＋m＝0都不是曲线y＝f(x)的切线，得曲线y＝f(x)的切线的斜率不可能为－1，即2ax＋eq\f(1,x)＝－1无正实数根．分离a，得a＝－eq\f(1,2x2)－eq\f(1,2x)①，也就是当x>0时，①不能成立．令y＝－eq\f(1,2x2)－eq\f(1,2x)＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,2)))2＋eq\f(1,8)，设t＝eq\f(1,x)，由x>0，得t>0.则y＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))2＋eq\f(1,8)<0.故a≥0.答案：D11．如果函数f(x)＝ax(ax－3a2－1)(a>0且a≠1)在区间[0，＋∞)上是增函数，那么实数a的取值范围是A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))C．(1，eq\r(3)] D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))解析：由已知得f′(x)＝2a2xlna－(3a2＋1)ax·lna＝axlna(2ax－3a2－1①当a>1时，lna>0，ax>0，∴2ax－3a2－1≥0恒成立当x∈[0，＋∞)时，ax≥1，故只需2－3a2－1≥0，∴3a2∴a2≤eq\f(1,3)与a>1矛盾．②当0<a<1时，lna<0，ax>0，∴2ax－3a2－1<0恒成立当x∈[0，＋∞)时，ax≤1，故只需2－3a2－1≤0，∴3a2≥1.∴eq\f(\r(3),3)≤a<1.答案：B12．已知f(x)在点x处可导，那么eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx－Δx,Δx)＝()A．0 B．f′(x)C．eq\f(1,2)f′(x) D．2f′(x)解析：eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx－Δx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＋eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx－fx－Δx,Δx)＝f′(x)＋eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx－Δx－fx,－Δx)＝f′(x)＋f′(x)＝2f′(x答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设P是△ABC内一点，△ABC三边上的高分别为hA，hB，hC，P到三边的距离依次为la，lb，lc，则有eq\f(la,hA)＋eq\f(lb,hB)＋eq\f(lc,hC)＝________；类比到空间，设P是四面体ABCD内一点，四顶点到对面的距离分别是hA，hB，hC，hD，P到这四个面的距离依次是la，lb，lc，ld，则有____________．解析：用等面积法可得eq\f(la,hA)＋eq\f(lb,hB)＋eq\f(lc,hC)＝1.类比到空间有eq\f(la,hA)＋eq\f(lb,hB)＋eq\f(lc,hC)＋eq\f(ld,hD)＝1.答案：1eq\f(la,hA)＋eq\f(lb,hB)＋eq\f(lc,hC)＋eq\f(ld,hD)＝114．曲线y＝2lnx＋x2－2x在x＝1处的切线方程为__________．解析：当x＝1时，y＝－1.又y′＝eq\f(2,x)＋2x－2，于是k＝y′|x＝1＝2.故切线方程为y＋1＝2(x－1)，即2x－y－3＝0.答案：2x－y－3＝015．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，且f(x)的值域为[0，＋∞)，则eq\f(f1,f′0)的最小值为________．解析：∵f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b>0.又函数f(x)的值域为[0，＋∞)，∴a>0，且Δ＝b2－4ac＝0，即4ac＝b2.∴∵f(1)＝a＋b＋c，∴eq\f(f1,f′0)＝eq\f(a＋b＋c,b)＝1＋eq\f(a＋c,b)≥1＋eq\f(2\r(ac),b)＝1＋eq\f(\r(4ac),\r(4ac))＝1＋1＝2，当且仅当a＝c时等号成立．∴eq\f(f1,f′0)的最小值为2.答案：216．定义两个实数间的一种新运算“*”：x*y＝lg(10x＋10y)，x，y∈R.对任意实数a，b，c，给出下列结论：①(a*b)*c＝a*(b*c)；②a*b＝b*a；③(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)．其中正确的是________(填序号)．解析：∵a*b＝lg(10a＋10b)∴(a*b)*c＝lg(10lg(10a＋10b)＋10＝lg(10a＋10b＋10同理a*(b*c)＝lg(10a＋10b＋10∴a*(b*c)＝(a*b)*c.故①正确．同理可验证②正确．∵a*b＝lg(10a＋10b)b*a＝lg(10a＋10b)∴a*b＝b*a.又∵(a＋c)*(b＋c)＝lg(10a＋c＋10b＋c＝lg[10c(10a＋10＝lg(10a＋10b)＋c(a*b)＋c＝lg(10a＋10b)＋c∴(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)．故③正确．答案：①②③三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)求证：ac＋bd≤eq\r(a2＋b2)·eq\r(c2＋d2).证明：若ac＋bd≤0，则不等式显然成立．若ac＋bd>0，要证原不等式成立，只要证(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)，即要证a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2只要证(ad－bc)2≥0.此式显然成立，所以原不等式成立．18．(12分)设复数z满足4z＋2eq\o(z,\s\up6(－))＝3eq\r(3)＋i，ω＝sinθ－icosθ(θ∈R)．求z的值和|z－ω|的取值范围．解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi.代入4z＋2eq\o(z,\s\up6(－))＝3eq\r(3)＋i，得4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3eq\r(3)＋i，即6a＋2bi＝3eq\r(3)＋i.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6a＝3\r(3)，,2b＝1.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(\r(3),2)，,b＝\f(1,2).))∴z＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)i.∴|z－ω|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)＋\f(1,2)i－sinθ－icosθ))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－sinθ))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋cosθ))2)＝eq\r(2－\r(3)sinθ＋cosθ)＝eq\r(2－2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))).∵－1≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))≤1，∴0≤2－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))≤4.∴0≤|z－ω|≤2.故|z－w|的取值范围是[0,2]．19．(12分)已知复数z＝(2x＋a)＋(2－x＋a)i，x，a∈R，当x在(－∞，＋∞)内变化时，试求|z|的最小值g(a)．解：|z|2＝(2x＋a)2＋(2－x＋a)2＝22x＋2－2x＋2a(2x＋2－x)＋2a令t＝2x＋2－x，则t≥2,22x＋2－2x＝t2－2.从而|z|2＝t2＋2at＋2a2－2＝(t＋a)2＋a2当－a≥2，即a≤－2时，g(a)＝eq\r(a2－2)；当－a<2，即a>－2时，g(a)＝eq\r(a＋22＋a2－2)＝eq\r(2)|a＋1|.20．(12分)用数学归纳法证明不等式：eq\f(2＋1,2)×eq\f(4＋1,4)×…×eq\f(2n＋1,2n)>eq\r(n＋1).证明：①当n＝1时，左式＝eq\f(3,2)，右式＝eq\r(2)，左式>右式，所以不等式成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立，即eq\f(2＋1,2)×eq\f(4＋1,4)×…×eq\f(2k＋1,2k)>eq\r(k＋1)，则当n＝k＋1时，eq\f(2＋1,2)×eq\f(4＋1,4)×…×eq\f(2k＋1,2k)×eq\f(2k＋3,2k＋1)>eq\r(k＋1)×eq\f(2k＋3,2k＋1)＝eq\f(2k＋3,2\r(k＋1)).要证当n＝k＋1时不等式成立，只需证eq\f(2k＋3,2\r(k＋1))≥eq\r(k＋2)，即证eq\f(2k＋3,2)≥eq\r(k＋1k＋2).由基本不等式eq\f(2k＋3,2)＝eq\f(k＋1＋k＋2,2)≥eq\r(k＋1k＋2)成立，故eq\f(2k＋3,2\r(k＋1))≥eq\r(k＋2)成立．所以，当n＝k＋1时，不等式成立．由①②可知，n∈N＋时，不等式eq\f(2＋1,2)×eq\f(4＋1,4)×…×eq\f(2n＋1,2n)>eq\r(n＋1)成立．21．(12分)已知函数f(x)＝x3＋2bx2＋cx－2的图像在与x轴交点处的切线方程是y＝5x－10.(1)求函数f(x)的解析式．(2)设函数g(x)＝f(x)＋eq\f(1,3)mx，若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g(x)取得极值时对应的自变量x的值．解：(1)由已知得切点为(2,0)，故有f(2)＝0，即4b＋c＋3＝0.①又f′(x)＝3x2＋4bx＋c，由已知f′(2)＝12＋8b＋c＝5，得8b＋c＋7＝0.②联立①②，解得b＝－1，c＝1.所以函数的解析式为f(x)＝x3－2x2＋x－2.(2)g(x)＝x3－2x2＋x－2＋eq\f(1,3)mx，令g′(x)＝3x2－4x＋1＋eq\f(1,3)m＝0.当函数有极值时，方程3x2－4x＋1＋eq\f(1,3)m＝0有实数解，即Δ≥0.由Δ＝4(1－m)≥0，得m≤1.①当m＝1时，g′(x)＝0有实数根x＝eq\f(2,3)，在x＝eq\f(2,3)左右两侧均有g′(x)>0，故函数g(x)无极值．②当m<1时，g′(x)＝0有两个实数根x1＝eq\f(1,3)(2－eq\r(1－m))，x2＝eq\f(1,3)(2＋eq\r(1－m))．当x变化时，g′(x)，g(x)的情况如下表：x(－∞，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)极大值极小值所以当m∈(－∞，1)时，函数g(x)有极值，当x＝eq\f(1,3)(2－eq\r(1－m))时，g(x)有极大值；当x＝eq\f(1,3)(2＋eq\r(1－m))时，g(x)有极小