数学高考备考课件第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ23

§2.3函数的奇偶性与周期性第二章

函数概念与基本初等函数Ⅰ基础知识

自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.函数的奇偶性知识梳理奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有

，那么函数f(x)就叫做偶函数关于

对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有

，那么函数f(x)就叫做奇函数关于

对称f(－x)＝f(x)y轴f(－x)＝－f(x)原点2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有

，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个

的正数，那么这个

就叫做f(x)的最小正周期.f(x＋T)＝f(x)最小最小正数1.函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.2.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).【知识拓展】题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.(

)(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称.(

)(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数.(

)(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.(

)(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.(

)基础自测×√√√√1234567题组二教材改编2.[P39A组T6]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝____.－2解析f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.1245637112345674.[P39A组T6]设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为_____________.解析由题图可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0，又f(x)是奇函数，∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，当－5≤x<－2时，f(x)>0.综上，f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5].12456(－2,0)∪(2,5]37解析依题意得f(－x)＝f(x)，∴b＝0，又a－1＝－2a，12456题组三易错自纠5.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是3√76.(2011·浙江)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝____.124560解析∵函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|，∴|－x＋a|＝|x＋a|，∴a＝0.377.已知奇函数f(x)，当x＞0时，f(x)＝log2(x＋3)，则f(－1)＝____.12456－2解析∵f(1)＝log2(1＋3)＝2，又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.37题型分类深度剖析典例判断下列函数的奇偶性：题型一判断函数的奇偶性师生共研∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.∴函数f(x)为奇函数.解显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.∵当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立.思维升华跟踪训练

(1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A.y＝x＋sin2x

B.y＝x2－cosxC.y＝2x＋

D.y＝x2＋sinx√解析对于A，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cosx＝f(x)，为偶函数；对于D，y＝x2＋sinx既不是偶函数也不是奇函数，故选D.(2)函数f(x)＝lg|sinx|是A.最小正周期为π的奇函数

B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的偶函数

D.最小正周期为2π的偶函数解析易知函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|－sinx|＝lg|sinx|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，又函数y＝|sinx|的最小正周期为π，所以函数f(x)＝lg|sinx|是最小正周期为π的偶函数.√题型二函数的周期性及其应用自主演练1.奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为A.2 B.1 C.－1 D.－2√解析∵f(x＋1)为偶函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，则f(－x)＝f(x＋2)，又y＝f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)＝f(x＋2)，且f(0)＝0.从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，y＝f(x)的周期为4.∴f(4)＋f(5)＝f(0)＋f(1)＝0＋2＝2.解析由于函数f(x)是周期为4的奇函数，3.(2017·山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2).若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝____.6解析∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期为6的周期函数，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1).又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.4.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)＝_____.339解析∵f(x＋6)＝f(x)，∴周期T＝6.∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x，∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)＋f(2016)又f(2017)＝f(1)＝1，f(2018)＝f(2)＝2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)＝339.函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值.思维升华题型三函数性质的综合应用多维探究命题点1求函数值或函数解析式典例

(1)(2017·全国Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝____.12解析方法一令x＞0，则－x＜0.∴f(－x)＝－2x3＋x2.∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x).∴f(x)＝2x3－x2(x＞0).∴f(2)＝2×23－22＝12.方法二f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.(2)(2016·全国Ⅲ改编)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则f(x)＝________________.解析∵当x＞0时，－x＜0，∴f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x，1解析∵f(－x)＝f(x)，－10解析因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，即3a＋2b＝－2.

①即b＝－2a. ②由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.命题点3利用函数的性质解不等式典例

(1)已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x＜0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)＝

若f(2－x2)＞f(x)，则实数x的取值范围是A.(－∞，1)∪(2，＋∞) B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(1,2) D.(－2,1)解析∵g(x)是奇函数，∴x＞0时，g(x)＝－g(－x)＝ln(1＋x)，易知f(x)在R上是增函数，由f(2－x2)＞f(x)，可得2－x2＞x，即x2＋x－2＜0，∴－2＜x＜1.√解析令g(x)＝f(x)－2，则函数g(x)为奇函数且在R上为增函数，不等式转化为g(3x＋1)＋g(x)＞0，∴g(3x＋1)＞g(－x)，∴3x＋1＞－x，(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.(2)关于偶函数和奇函数的两个结论①f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|).②若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0.思维升华√几何画板展示解析因为f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则A.f(－25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(－25)C.f(11)<f(80)<f(－25) D.f(－25)<f(80)<f(11)√解析因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3).由f(x)是定义在R上的奇函数且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1).因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，所以f(－1)<f(0)<f(1).所以f(－25)<f(80)<f(11).函数的性质高频小考点函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.考点分析一、函数性质的判断典例1

(1)(2017·北京)已知函数f(x)＝3x－

x，则f(x)A.是偶函数，且在R上是增函数B.是奇函数，且在R上是增函数C.是偶函数，且在R上是减函数D.是奇函数，且在R上是减函数√解析∵函数f(x)的定义域为R，∴函数f(x)是奇函数.又∵y＝3x在R上是增函数，√解析易知①中函数在(0,1)上为增函数；④中函数不是奇函数；满足条件的函数为②③.(3)定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x).现有以下三个命题：①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数.其中正确命题的序号是________.解析

由f(x)＋f(x＋2)＝0可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的周期是4，①对；由f(4－x)＝f(x)，可得f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)的图象关于直线x＝2对称，②对；f(4－x)＝f(－x)且f(4－x)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数，③对.①②③2∴f(2017)＝f(6×336＋1)＝f(1).∵f(x)为偶函数，∴f(1)＝f(－1)，∴f(2017)＝2.[－1,2019)令y′≥0得a≥－x2(x≥1)，∴a≥－1.又由当x＝1时，y＝1＋2018－a＞0，得a＜2019.∴a的取值范围是[－1,2019).又由已知可得f(x)在(0，＋∞)上单调递减，课时作业1.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是A.f(x)＝ln|x| B.f(x)＝2－xC.f(x)＝x3

D.f(x)＝－x2基础保分练12345678910111213141516解析A中，f(x)＝ln|x|是偶函数；又x＞0时，f(x)＝lnx，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，其余三项均不符合，故选A.√2.设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B.奇函数，且在(0,1)上是减函数C.偶函数，且在(0,1)上是增函数D.偶函数，且在(0,1)上是减函数√12345678910111213141516解析易知函数定义域为(－1，1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0,1)上是增函数，故选A.3.已知R上的奇函数f(x)满足：当x＞0时，f(x)＝x2＋x－1，则f(f(－1))等于A.－1 B.1 C.2 D.－212345678910111213141516解析∵y＝f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f(f(－1)＝f(－1)＝－1.√4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，且当x∈时，f(x)＝log2(－3x＋1)，则f(2021)等于A.4 B.2 C.－2 D.log27√解析∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，∴f(2021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝－f(－1).f(x)＝log2(－3x＋1)，∴f(－1)＝log2[－3×(－1)＋1]＝2，∴f(2021)＝－f(－1)＝－2.123456789101112131415165.(2018·海盐高级中学期中)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≤0时，f(x)＝x2＋4x，则f(x＋2)>5的解集为A.(－∞，－5)∪(5，＋∞) B.(－∞，－5)∪(3，＋∞)C.(－∞，－7)∪(3，＋∞) D.(－∞，－7)∪(2，＋∞)12345678910111213141516√解析当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝x2－4x，∵f(x)是定义域为R的偶函数，∴当x＞0时，f(x)＝f(－x)＝x2－4x，由f(x＋2)＞5，得f(|x＋2|)＞5，∴|x＋2|2－4|x＋2|＞5，故|x＋2|＞5或|x＋2|＜－1(舍去)，解得x＜－7或x＞3.6.已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在区间[0,1]上是单调递增的，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是A.f(0)＜f(－6.5)＜f(－1) B.f(－6.5)＜f(0)＜f(－1)C.f(－1)＜f(－6.5)＜f(0) D.f(－1)＜f(0)＜f(－6.5)12345678910111213141516√解析由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函数f(x)的周期是2.∵函数f(x)为偶函数，∴f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1).∵f(x)在区间[0,1]上是单调递增的，∴f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即f(0)＜f(－6.5)＜f(－1).7.若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝____.解析函数f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，故f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，整理得e3x＋1＝e2ax＋3x(e3x＋1)，所以2ax＋3x＝0，12345678910111213141516123456789101112131415168.已知函数f(x)在R上为奇函数，且当x>0时，f(x)＝

＋1，则当x<0时，f(x)＝__________.解析

∵f(x)为奇函数，∴当x<0时，－x>0，9.已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝4x，则f＋f(1)＝____.－2解析∵函数f(x)为定义在R上的奇函数，且周期为2，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(1)＝－f(－1)＝－f(－1＋2)＝－f(1)，∴f(1)＝0，1234567891011121314151612345678910111213141516解析由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，得f(lnt)≤f(1).又函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，所以|lnt|≤1，即－1≤lnt≤1，1234567891011121314151612345678910111213141516解设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x).于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.12345678910111213141516解要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，所以1<a≤3，故实数a的取值范围是(1,3].12.设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.(1)判定f(x)的奇偶性；解∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x).又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x).又f(x)的定义域为R，∴f(x)是偶函数.12345678910111213141516(2)试求出函数f(x)在区间[－1,2]上的表达式.12345678910111213141516解当x∈[0,1]时，－x∈[－1,0]，则f(x)＝f(－x)＝x；从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.技能提升练12345678910111213141516112345678910111213141516即函数f(x)的周期是4，所以f(2019)＝f(505×4－1)＝f(－1).因为函数f(x)为偶函数，所以f(2019)＝f(－1)＝f(1).由f(x)>0，得f(1)＝1，所以f(2019)＝f(1)＝1.1234567891011121314151614.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则有①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是______.①②12345678910111213141516解析在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，则有f(t＋2)＝f(t)，因此2是函数f(x)的周期，故①正确；当x∈[0,1]时，f(x)＝2x是增函数，根据函数的奇偶性知，f(x)在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)