《常微分方程求解中的初等积分法及其变换技巧10000字》

]。分项组合法的侧重点是组合，关于组合的基本原则是如果在分项之后只剩下和与有关联的项，或者只有和与有关联的项时，应当把它们视为独立的项，不参与项的组合。其余的所以微分相关的项组合成一项。这里列举几种常用的函数的微分(刘宁宇,罗晨曦,2022)：，，，，等。例题4.1求微分方程的通解。分析首先进行“拆项”，得到。然后进行项的“组合”，这里的、，即和是呈全微分的相关项，应该把它们组合成新的一项，剩下的应该单独作为一项。把方程转换为分组的全微分方程(赵雨桐,孙乐天,2020)。由于，，就有，所以微分方程的通解是（是任意的一个常数）。例题4.2求解微分方程。分析观察后进行“拆项”并组合，得到，。这在某种程度上验证了将方程的左端重新进行组合，有，所以原方程的通解是，是任意常数。4.2把微分方程中的变为当有一阶微分方程的形式如同，或者说能够转化成这种形式，并且不方便求解时，可以考虑在等式的两边分别取倒数，这样就可以把微分方程变成的形式(王嘉熙,刘元熙,2022)。从中可以表明经过作此变换后（是未知量，是自变量），这样微分方程就可能是我们所熟知的方程类型。例题4.3求微分方程的通解。分析显而易见，是该方程的一个解。因此我们只讨论的情况，当直接进行求解有困难的时候，不妨考虑转换的策略。原方程可化为：然后求解上式所对应的齐次微分方程的通解，通解是。接着利用常数变易法，让，就能得到(陈晓婷,吴浩然,2021)：，将方程（4-2）和方程（4-3）代到方程（4-1）中，并作化简，这无疑暴露出可得：，方程的两边进行积分化处理，得：，再把等式（4-4）代到等式（4-2）中，化简可得：，为任意常数。故原方程的通解就是：，为任意常数。例题4.4求解微分方程。分析让，，则。所以有，这是一个伯努利方程，令，，那么该方程就变成。求解，得到(郑宇晨,王悦婷,2022)，即，所以原方程的通解是，是任意常数。4.3关于积分因子的选择我们知道，如果微分方程不是恰当微分方程的时候需要借助于积分因子来求解。由前文可知，从这些趋势中看出一个齐次微分方程的积分因子可以有多个，那么选择哪一个积分因子能够让求解过程变得更加简便呢？通常求解微分方程是积分因子就是重新组合后的各个项的公因子(韩一鸣,王瑾瑜,2022)。例题4.5求解微分方程。分析第一步：进行分项，重新进行组合则原方程即，这里是独立的微分项，应该单独列为一项。这样方程就可以改写成。第二步：找积分因子根据和，推出与都可以作为左端的积分因子。但是由于方程的右端的符号是负号，为了计算简便，从这些活动中看出这里选择作为方程左端的积分因子。在方程的两端同乘，可得：，两边进行积分化处理，有：，为任意常数。因此原方程的通解就是，为任意常数。例题4.6求微分方程的通解。分析令，，在平面上有连续偏导数，、均为、的多项式(张语涵,李睿泽,2023)。然后计算，，所以方程不是恰当微分方程，因为，所以，解得，积分因子是，把积分因子同乘方程的两边，得。此时方程是恰当微分方程，进行凑微分，方程可化为因此，方程的通解是，是任意常数。参考文献李晓东，张文博，王俊宇.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2022.4.BYC.常微分方程[M].上海:复旦大学出版社,2023.8.张志华，李天佑，王怡萱,等.应用常微分方程[M].北京:科学出版社,2021.2.周逸和，刘思琪，张博文.基于化归思想的几种常微分方程解法研究[J].淮南职业技术学院学报,2021,18(05):89-90.王紫萱，陈雪婷，李俊杰,等.常微分方程简明教程[M].杭州:浙江大学出版社,2013.7.李博然，赵思源，王瑾萱.变量代换法在常微分方程求解中的应用[J].高等数学研究,2017,20(03):8-9.(瑞典)NailH.lbragimov著.微分方程与数学物理问题(中文校订版)[M].刘凯琳，张宇航，周文博译.北京:高等教育出版社,2013.8.王天泽，赵子萱，陈宇和.常微分方程导教·导学·导考[M].西安:西北工业大学出版社,2014.8.李星宇，周佳怡，张晓冯.常微分方程习题解答与学习指导[M].北京:清华大学出版社,2013.7.刘思远，王文静，陈嘉瑞.积分因子法在求解常微分方程中的应用[J].数学学习与研究,2017(21):5-6.张文杰，赵瑞婷，李宇翔.一阶微分方程的积分因子研究[J].齐鲁工业大学学报,2021,35(01):69-72.王子凡，刘玉婷，张启航.全微分方程的求解方法研究[J].电子技术,2020,49(11):142-143.Kh.A.Khachatryan,A.K.Kroyan.ExistenceofOddSolutionstoBoundaryValueProblemswithPowerNonlinearity[J].JournalofMathematicalSciences,2021,(253),382-390.AnhNgocPhamHuu.Contractionofstochasticdifferentialequations[J].Commun-icationsinNonlinearScienceandNumericalSimulation,2021,(95),56-64.BaccouchMahboub.ThediscontinuousGalerkinmethodforgeneralnonlinearthird-orderordinarydifferentialequations[J].AppliedNumericalMathematics,2021,(162),331-350.致谢衷心感谢在论文写作期间，我的导师及各位同学所给予的悉心陪伴与无私帮助。在无数个日夜的深入讨论与紧密合作